3.2.2奇偶性的应用
一、选择题
1．设函数f (x)＝若f (x)是奇函数，则g(－2)等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．定义在R上的偶函数f (x)满足f (2)＝0，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x)＜0的解集为( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2，2)
D．(0，2)
3．若偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，则a＝，b＝f 的大小关系是( )
A．b＜a＜c B．b＜c＜a
C．a＜c＜b D．c＜a＜b
4．如果偶函数f (x)在[2，5]上单调递减且最小值是4，那么f (x)在[－5，－2]上( )
A．单调递减且最小值是4
B．单调递减且最大值是4
C．单调递增且最小值是4
D．单调递增且最大值是4
5．(教材P101复习参考题3T12改编)已知函数f (x)＝x－的部分图象如图所示，则( )
A．f (x)的定义域为R
B．f (x)的值域为(0，＋∞)
C．f (x)在区间(－∞，0)上单调递减
D．f (x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)
6．定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，若f (a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
7．已知定义域为R的函数f (x)在[2，＋∞)上单调递减，且f (x＋2)是奇函数，则f (1)，f ，f (3)的大小关系是( )
A．f ＜f (1)＜f (3)
B．f (1)＜f (3)＜f
C．f (3)＜f (1)＜f
D．f (3)＜f ＜f (1)
二、填空题
8．若f (x)是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则函数f (x)的解析式可以为________．(写出符合条件的一个即可)
9．若f (x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是________．
10．已知f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f (x)＝________，g(x)＝________．
11．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增．若f (－3)＝0，则<0的解集为________．
12．定义在R上的奇函数f (x)为减函数，若a＋b≤0，给出下列不等式：
①f (a)·f (－a)≤0；
②f (a)＋f (b)≤f (－a)＋f (－b)；
③f (b)·f (－b)≥0；
④f (a)＋f (b)≥f (－a)＋f (－b)．
其中正确的是________(填序号)．
三、解答题
13．设g(x)是定义在[－5，5]上的函数，且f (x)＝g(x)＋g(－x)，讨论f (x)的奇偶性；如果在[0，5]上，f (x)＝1－2x，试求f (x)在[－5，0]上的解析式．
14．已知y＝f (x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，且f (x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论．
15．已知f (x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，则有>0成立．
(1)判断f (x)在[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)解不等式：f 答案解析
1．B [由已知可得g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2)＝0．]
2．C [因为f(x)为偶函数，f(2)＝0，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
所以f(－2)＝0，f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以不等式f(x)<0的解集为(－2，2)．
故选C．]
3．C [由f(x)为偶函数，得a＝f(－)＝f()．
又，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f()4．C [偶函数f(x)在[2，5]上单调递减且最小值是4，所以f(5)＝4，则f(x)在[－5，－2]上单调递增且最小值为f(－5)＝4．故选C．]
5．D [对于选项A：显然函数f(x)＝x－的定义域为{x|x≠0}，故A错误；
对于选项B：由题图可知f(x)可以为负值，所以f(x)的值域不为(0，＋∞)，故B错误；
因为f(－x)＝－x－＝－f(x)，可知f(x)为奇函数．
对于选项C：由题图可知f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
则f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，故C错误；
对于选项D：因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
且f(1)＝0，此时f(x)>0的解集为(1，＋∞)；
又因为f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，
且f(－1)＝－f(1)＝0，此时f(x)>0的解集为(－1，0)．
综上所述，f(x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，故D正确．故选D．]
6．C [∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，
∴由f(a)7．D [因为f(x＋2)是奇函数，所以f(x)的图象关于(2，0)对称，且在[2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，2)单调递减，又因为f(x)定义域为R，所以f(2)＝0，所以f(x)在R连续且单调递减，由于1<<3，所以f(3)8．f(x)＝－x2(答案不唯一) [举例f(x)＝－x2，则f(x)的定义域为R，f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，
故f(x)为偶函数，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故f(x)在(0，上单调递减，符合条件．]
9．f(－2)当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，
∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．
又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．]
10．x2－2 x [f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x．]
11．(－3，0)∪(3，＋∞) [
结合题意，画出f(x)草图如图所示，
由<0可知：当x<0时，
f(x)>0，此时x∈(－3，0)，当x>0时，f(x)<0，此时x∈(3，＋∞)．故所求不等式的解集是(－3，0)∪(3，＋∞)．]
12．①④ [因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(a)·f(－a)＝f(a)·[－f(a)]＝－[f(a)]2≤0，f(b)·f(－b)＝f(b)·[－f(b)]＝－[f(b)]2≤0，
所以①正确，③错误；
因为a＋b≤0，
所以a≤－b，b≤－a，
因为f(x)在R上为减函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
所以②错误，④正确．
故填①④．]
13．解：因为g(x)的定义域为[－5，5]，
所以f(x)＝g(x)＋g(－x)的定义域也为[－5，5]，
又f(－x)＝g(－x)＋g(－(－x))
＝g(－x)＋g(x)
＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，
当x∈[－5，0]时，－x∈[0，5]，
由偶函数的性质得f(x)＝f(－x)＝1－2(－x)＝1＋2x．
14．解：F(x)在(－∞，0)上单调递减．证明如下：
x1，x2∈(－∞，0)，且x1则有－x1>－x2>0．
因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，
所以f(－x2)又因为f(x)是奇函数，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②
由①②得f(x2)>f(x1)>0．
于是F(x1)－F(x2)＝>0，
即F(x1)>F(x2)，
所以F(x)＝在(－∞，0)上单调递减．
15．解：(1)f(x)在[－1，1]上单调递增．证明如下：
x1，x2∈[－1，1]，且x1∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝·(x1－x2)．
由已知得>0，又x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[－1，1]上单调递增．
(2)∵f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴≤x<－1．
故原不等式的解集为．
1 / 73.2.2奇偶性的概念
一、选择题
1．下列函数是奇函数的是( )
A．f (x)＝x2＋5 B．f (x)＝x3－1
C．f (x)＝x3＋ D．f (x)＝x4＋2x2
2．若函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，则f (－1)＋f (0)＋f (1)＝( )
A．0 B．1
C．－2 D．－3
3．函数f (x)是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f (x)＝－1，则f (－1)＝( )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
4．函数f (x)＝|x＋1|－|x－1|的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．点(1，0)对称
5．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常根据函数的解析式来思考函数的图象特征，则函数f (x)＝的大致图象是( )
A B
C D
6．已知f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f (－1)＋g(1)＝2，f (1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
7．(多选)已知f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且g(x)≠0，则( )
A．f (x)＋g(x)是奇函数
B．f (x)－g(x)是奇函数
C．f (x)g(x)是奇函数
D．是奇函数
二、填空题
8．已知函数f (x)＝ax3＋＋1，若f (2)＝3，则f (－2)＝________．
9．设a为常数，函数f (x)＝x2－2x＋3，若f (x＋a)为偶函数，则a＝________．
10．已知函数y＝f (x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f (x)＝0的所有实根之和是________．
11．设偶函数f (x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)<0的解集是________．
12．已知函数f (x)＝，若f (a)＝，则f (－a)＝________．
三、解答题
13．判断下列函数的奇偶性．
(1)f (x)＝x4－3x2；
(2)f (x)＝．
14．已知函数f (x)＝，令g(x)＝f ．
(1)已知f (x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，请据此在该坐标系中补全函数f (x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据；
(2)求证：f (x)＋g(x)＝1(x≠0)．
15．已知函数f (x)对一切实数x，y都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，
(1)求证：f (x)是奇函数；
(2)若f (－3)＝a，试用a表示f (12)．
答案解析
1．C [对于A，因为f(x)＝x2＋5的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋5＝x2＋5＝f(x)，
所以f(x)＝x2＋5为偶函数；
对于B，因为f(x)＝x3－1的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3－1＝－x3－1≠－f(x)，
所以f(x)＝x3－1不是奇函数；
对于C，因为f(x)＝x3＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝(－x)3＋＝－f(x)，所以f(x)＝x3＋为奇函数；
对于D，因为f(x)＝x4＋2x2的定义域为R，且f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＝x4＋2x2＝f(x)，所以f(x)＝x4＋2x2为偶函数．故选C．]
2．A [因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)＝0，
又f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＋f(1)＝0，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＝0．故选A．]
3．A [因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1，
所以f(－1)＝－f(1)＝－＝－1．故选A．]
4．A [根据题意，函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|，其定义域为R，有f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，其图象关于原点对称．故选A．]
5．A [f(x)＝的定义域为{x|x≠±1}，且f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除CD，且当x>1时，f(x)>0，当06．B [因为f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，代入条件等式再相加，得g(1)＝3．
故选B．]
7．CD [∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)；
∵g(x)是偶函数，∴g(－x)＝g(x)；
对于A，∵f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，
∴f(x)＋g(x)不是奇函数，A错误；
对于B，
∵f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠－[f(x)－g(x)]，
∴f(x)－g(x)不是奇函数，B错误；
对于C，∵f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，
∴f(x)g(x)是奇函数，C正确；
对于D，∵，∴是奇函数，D正确．
故选CD．]
8．－1 [令g(x)＝f(x)－1＝ax3＋，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称，则g(－x)＝a(－x)3＋＝－g(x)，则g(x)为奇函数，
∴g(－2)＝－g(2)＝－[f(2)－1]＝－2，
∴f(－2)－1＝－2，∴f(－2)＝－1．]
9．1 [f(x)＝x2－2x＋3，
f(x＋a)＝(x＋a)2－2(x＋a)＋3＝x2＋(2a－2)x＋a2－2a＋3，
因为f(x＋a)为偶函数，
所以f(x＋a)的图象关于y轴对称，
故2a－2＝0，解得a＝1．]
10．0 [由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0．]
11．{x|－5≤x<－2或2因为当x∈[0，5]时，f(x)<0的解集为{x|2所以当x∈[－5，0]时，f(x)<0的解集为{x|－5≤x<－2}．
所以f(x)<0的解集是{x|－5≤x<－2或212． [根据题意，f(x)＝，
而h(x)＝是奇函数，∴f(a)＝1＋h(a)，
故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)
＝2－f(a)＝2－．]
13．解：(1)f(x)＝x4－3x2的定义域是R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)4－3(－x)2＝x4－3x2＝f(x)，
∴f(x)＝x4－3x2是偶函数．
(2)由
得－1≤x<0或0∴f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，
∴f(x)＝．
又f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
14．解：(1)∵f(x)＝，∴f(x)的定义域为R．
又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示，
(2)证明：∵g(x)＝f((x≠0)，
∴f(x)＋g(x)＝＝1，
即f(x)＋g(x)＝1(x≠0)．
15．解：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0．
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，
所以f(3)＝－a．
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a．
[点评] 证明抽象函数的奇偶性，关键是建立f(x)与f(－x)间的正负关系，求证时要先依据题设条件“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”对变量x，y赋值．
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