5.1函数的概念和图象（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册苏教版（2019）

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预习衔接.夯实基础 函数的概念和图象
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 景德镇期中）函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 惠城区校级期中）定义在[﹣2，2]上的函数f（x）满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，x1≠x2，且f（a2﹣a）＞f（2a﹣2），则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，2） B．[0，2） C．[0，1） D．[﹣1，1）
3．（2024秋 南通期中）已知函数f（x﹣1）的定义域为（2，4），则函数f（x）+f（x2）的定义域为（　　）
A． B． C．（1，4） D．（1，9）
4．（2024秋 惠城区校级期中）下列各组函数是同一个函数的是（　　）
A．f（x）＝x2与
B．与g（x）＝x﹣1
C．f（x）＝1与g（x）＝x0
D．与g（x）＝x
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 城关区校级期中）下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）6．（2024秋 西湖区校级期中）如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v（h，w，v为变量），则下列说法：①w是v的函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，其中正确的有（　　）
A．① B．② C．③ D．④
（多选）7．（2024秋 西湖区校级期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如[3.24]＝3，[﹣1.5]＝﹣2．设函数f（x）＝x﹣[x]，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于y轴对称
B．f（x）的值域为[0，1）
C．
D．f（x）在（0，1）上是增函数
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 徐汇区校级期中）已知函数y＝f（x）的表达式为，则函数y＝f（x）的值域为 　 　．
9．（2024秋 碑林区期中）下列四组函数中，表示的是同一个函数有 　 　（填序号）．
①；
②；
③；
④．
10．（2024秋 浙江期中）函数f（x）定义域为（0，2），则f（x+1）定义域为 　 　．
11．（2024秋 浦东新区校级期中）已知y＝f（2x+1）定义域为（1，3]，则y＝f（x+1）的定义域为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 宁波期中）函数的定义域为集合A，B＝{x|x2﹣6x+5≤0}，C＝{x|m﹣2≤x≤m+1}．
（1）求A∩B，（ RA）∩B．
（2）若B∪C＝B，求实数m的取值范围．
13．（2024秋 江阴市期中）已知函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．
（1）求a的值及函数f（x）的值域；
（2）证明：f（x）+f（1﹣x）为定值；并求的值．
14．（2024秋 长沙期中）经过函数性质的学习，我们知道：“函数y＝f（x）的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“y＝f（x）是奇函数”．
（1）若f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+1，求f（x）的解析式；
（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称图形”的充要条件是“y＝f（x+a）为奇函数”．若定义域为R的函数g（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且当x＞1时，．
①求g（x）的解析式；
②若函数f（x）满足：当定义域为[a，b]时值域也是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间，若函数h（x）＝tg（x）（t＞0）在（0，+∞）上存在保值区间，求t的取值范围．
15．（2024秋 重庆期中）对于定义域为D的函数y＝f（x），若存在区间[a，b] D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“最美区间”．
（Ⅰ）求函数f（x）＝x2的“最美区间”；
（Ⅱ）若存在最美区间[a，b]函数，求实数k的取值范围．
预习衔接.夯实基础 函数的概念和图象
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 景德镇期中）函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】列出使函数有意义的不等式组，即可求解．
【解答】解：函数，
则，解得x＜3且，
故函数f（x）的定义域为（﹣∞，）∪（）．
故选：C．
【点评】本题主要考查简单函数的定义域，属于基础题．
2．（2024秋 惠城区校级期中）定义在[﹣2，2]上的函数f（x）满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，x1≠x2，且f（a2﹣a）＞f（2a﹣2），则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，2） B．[0，2） C．[0，1） D．[﹣1，1）
【考点】函数的值域．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据不等式即可得到函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，根据单调性即可列出不等式组，即可解出答案．
【解答】解：因为函数f（x）满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，x1≠x2，
所以函数在[﹣2，2]上单调递增，
所以得0≤a＜1．
故选：C．
【点评】本题考查了利用函数单调性解不等式，属于中档题．
3．（2024秋 南通期中）已知函数f（x﹣1）的定义域为（2，4），则函数f（x）+f（x2）的定义域为（　　）
A． B． C．（1，4） D．（1，9）
【考点】抽象函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合抽象函数定义域的解法，即可求解．
【解答】解：函数f（x﹣1）的定义域为（2，4），
则函数f（x）的定义域为（1，3），
令，解得1＜x，
故函数f（x）+f（x2）的定义域为（1，）．
故选：B．
【点评】本题主要考查抽象函数定义域的求解，属于基础题．
4．（2024秋 惠城区校级期中）下列各组函数是同一个函数的是（　　）
A．f（x）＝x2与
B．与g（x）＝x﹣1
C．f（x）＝1与g（x）＝x0
D．与g（x）＝x
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】先检验两函数定义域，再检验解析式，根据同一函数的概念，分析即可得答案．
【解答】解：对于A：f（x）＝x2的定义域为R，g（x）＝（）4的定义域为[0，+∞），定义域不同，故不是同一个函数；
对于B：f（x）|x﹣1|，g（x）＝x﹣1，解析式不同，故不是同一个函数；
对于C：f（x）＝1定义域为R，g（x）＝x0定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故不是同一个函数；
对于D：f（x）x，g（x）＝x，定义域都为R，解析式也相同，故是同一个函数．
故选：D．
【点评】本题考查了同一函数的判断，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 城关区校级期中）下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的概念及其构成要素．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据函数的知识求得正确答案．
【解答】解：因为函数是一一对应或多对一对应关系，
所以AD选项错误，BC选项正确．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了函数的概念，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 西湖区校级期中）如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，储油量为v（h，w，v为变量），则下列说法：①w是v的函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，其中正确的有（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】函数的概念及其构成要素．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】AD
【分析】直接利用变量间的关系，建立函数的关系式，再利用函数的定义判断①②③④的结论．
【解答】解：根据圆柱的体积公式的实际应用，
油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v，
对于①，w是v的函数；由于v确定，故h确定，w就确定，故①正确；
对于②，v是w的函数，由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故②错误；
对于③，h是w的函数，同②，w确定，所以有两个h（上下对称）故与函数的定义相矛盾，不是函数，故③错误；
对于④，w是h的函数，h确定，则w确定，故④正确．
故①④正确．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识要点：实际问题的应用，函数的定义，主要考查学生对基础定义的理解和应用，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 西湖区校级期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如[3.24]＝3，[﹣1.5]＝﹣2．设函数f（x）＝x﹣[x]，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于y轴对称
B．f（x）的值域为[0，1）
C．
D．f（x）在（0，1）上是增函数
【考点】简单函数的值域；函数的单调性与函数图象的特征．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解；新定义类．
【答案】BCD
【分析】根据[x]的定义，结合f（x）的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可．
【解答】解：因为，画出f（x）＝x﹣[x]的图象如下：
A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于y轴对称，A错误；
B选项，f（x）的值域为[0，1），正确
C选项，因为，
故，
，
因为，
所以，故，C正确；
D选项，由图可知f（x）在（0，1）上是增函数，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查函数的单调性与函数图象的特征的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 徐汇区校级期中）已知函数y＝f（x）的表达式为，则函数y＝f（x）的值域为 　（﹣∞，0]∪（1，+∞）　．
【考点】函数的值域．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣∞，0]∪（1，+∞）．
【分析】结合幂函数及对数函数的性质及分段函数的性质即可求解．
【解答】解：当x≤0时，f（x）＝x0，
当x＞10时，f（x）＝lgx＞1，
故函数的值域为（﹣∞，0]∪（1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0]∪（1，+∞）．
【点评】本题主要考查了幂函数及对数函数性质及分段函数性质的应用，属于基础题．
9．（2024秋 碑林区期中）下列四组函数中，表示的是同一个函数有 　①　（填序号）．
①；
②；
③；
④．
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】①．
【分析】函数相等当且仅当定义域和对应法则都一样，由此即可逐一判断各个序号．
【解答】解：对于①，的定义域、对应法则都一样，故①符合题意；
对于②，函数f（x）的定义域为R，函数g（x）的定义域为，[0，+∞），即它们的定义域不相同，故②不符合题意；
对于③，f（x），g（x）函数的定义域分别是{x|x≠1}，R，即它们的定义域不相同，故③不符合题意；
对于④，要使得有意义，则x≤0，所以，
故的对应法则不一样，故④不符合题意．
故答案为：①．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
10．（2024秋 浙江期中）函数f（x）定义域为（0，2），则f（x+1）定义域为 　（﹣1，1）　．
【考点】抽象函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣1，1）．
【分析】由f（x）定义域可得答案．
【解答】解：f（x）定义域为（0，2），
令0＜x+1＜2，解得﹣1＜x＜1，
故f（x+1）定义域为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】本题主要考查抽象函数定义域的求解，属于基础题．
11．（2024秋 浦东新区校级期中）已知y＝f（2x+1）定义域为（1，3]，则y＝f（x+1）的定义域为 　（2，6]　．
【考点】抽象函数的定义域．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（2，6]．
【分析】根据3＜2x+1≤7可得3＜x+1≤7，即可求解．
【解答】解：由y＝f（2x+1）的定义域为（1，3]，得出3＜2x+1≤7，
所以f（x+1）的定义域满足：3＜x+1≤7，解得2＜x≤6，
所以f（x+1）的定义域为：（2，6]．
故答案为：（2，6]．
【点评】本题考查了已知f[g（x）]的定义域求f（x）定义域的方法，由f（x）的定义域求f[g（x）]的定义域的方法，是基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 宁波期中）函数的定义域为集合A，B＝{x|x2﹣6x+5≤0}，C＝{x|m﹣2≤x≤m+1}．
（1）求A∩B，（ RA）∩B．
（2）若B∪C＝B，求实数m的取值范围．
【考点】简单函数的定义域；集合的包含关系的应用；集合的交并补混合运算．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；集合；运算求解．
【答案】（1）A∩B＝[1，3]，（ RA）∩B＝（3，5]；
（2）{m|3≤m≤4}．
【分析】（1）求出函数定义域化简集合A，解不等式化简集合B，再利用补集、交集的定义求解即得；
（2）由（1）的信息，利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解．
【解答】解：（1）由﹣x2+x+6≥0，得x2﹣x﹣6≤0，
解得﹣2≤x≤3，则A＝[﹣2，3]，
所以 RA＝（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），
由x2﹣6x+5≤0，得1≤x≤5，
则B＝[1，5]，
所以A∩B＝[1，3]，（ RA）∩B＝（3，5]；
（2）由B∪C＝B，得C B，而C≠ ，
则，
解得3≤m≤4，
所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
【点评】本题主要考查了函数的定义域，考查了集合的基本运算，以及集合间的包含关系，属于基础题．
13．（2024秋 江阴市期中）已知函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．
（1）求a的值及函数f（x）的值域；
（2）证明：f（x）+f（1﹣x）为定值；并求的值．
【考点】函数的值域．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）a＝4，f（x）的值域为（0，1）；
（2）证明见解析；100．
【分析】（1）根据指数函数的单调性即可根据最值求解a＝4，利用分离常数即可结合不等式的性质求解值域，
（2）代入即可根据指数幂的运算化简即可求解f（x）+f（1﹣x），进而可求解．
【解答】解：（1）由题意有a+a2＝20，解得a＝4或a＝﹣5（舍去），
则，
∵4x＞0，∴4x+2＞2，，，
∴0＜f（x）＜1，函数f（x）的值域为（0，1）．
证明：（2），
1×100＝100．
【点评】本题主要考查了函数单调性在最值求解中的应用，还考查了函数值的求解，属于中档题．
14．（2024秋 长沙期中）经过函数性质的学习，我们知道：“函数y＝f（x）的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“y＝f（x）是奇函数”．
（1）若f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+1，求f（x）的解析式；
（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称图形”的充要条件是“y＝f（x+a）为奇函数”．若定义域为R的函数g（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且当x＞1时，．
①求g（x）的解析式；
②若函数f（x）满足：当定义域为[a，b]时值域也是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间，若函数h（x）＝tg（x）（t＞0）在（0，+∞）上存在保值区间，求t的取值范围．
【考点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性．
【专题】新定义；分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；运算求解．
【答案】（1）f（x）；
（2）①g（x）；
②（4，+∞）．
【分析】（1）由奇偶性的定义求解即可；
（2）①由题意可知y＝g（x+a）为奇函数，进而g（x）＝﹣g（2﹣x），由此可求出x＜1时的解析式，即可求解；
②由h（x）的单调性结合“保值”区间的定义，分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）f（x）为定义在R上的奇函数，
当x＞0时，﹣x＜0，
所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+1]＝﹣x2﹣1，
又f（0）＝0，
所以f（x）；
（2）①因为定义域为R的函数g（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，
所以y＝g（x+1）为奇函数，
所以g（1+x）＝﹣g（1﹣x），即g（x）＝﹣g（2﹣x），x＜1时，2﹣x＞1，
所以．
所以g（x）；
②当x∈（0，1）时，在（0，1）单调递增，
当[a，b] （0，1）时，则，
即方程在（0，1）有两个不相等的根，
即x2+（t﹣2）x﹣t＝0在（0，1）有两个不相等的根，
令m（x）＝x2+（t﹣2）x﹣t，（t＞0），
则，
所以x2+（t﹣2）x﹣t＝0有（0，1）不可能有两个不相等的根；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＝t（1）（t＞0）在（1，+∞）单调递增，
当[a，b] （1，+∞）时，则，
即方程在（1，+∞）有两个不相等的根，
即x2﹣tx+t＝0在（1，+∞）两个不相等的根，
令n（x）＝x2﹣tx+t，（t＞0），
则，解得t＞4，
当0＜a＜1＜b时，易知g（x）在R上单调递增，
所以h（x）＝tg（x）（t＞0）在（0，+∞）单调递增，
此时，
即，
令，则易知r（a）在（0，1）单调递减，
所以r（a）＜r（0）＝0即t＜0，
又b＞1时，，
当且仅当，即b＝2时取等，
所以，此时无解．
综上可知：t的取值范围是（4，+∞）．
【点评】本题考查了函数的奇偶性、一元二次方程根的情况及分类讨论思想，属于中档题．
15．（2024秋 重庆期中）对于定义域为D的函数y＝f（x），若存在区间[a，b] D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“最美区间”．
（Ⅰ）求函数f（x）＝x2的“最美区间”；
（Ⅱ）若存在最美区间[a，b]函数，求实数k的取值范围．
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）[0，1]；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）根据题意，可推导出a≥0，b＞0，结合f（x）在[a，b]上单调递增，得到f（b）＝b，f（a）＝a，求出a、b的值，即可得到答案；
（Ⅱ）根据在[﹣2，+∞）上单调递增，得到，转化为a，b为方程在[﹣2，+∞）上有两个不相等的实数根，且k≤a＜b，平方后化简整理，得到不等式组，解之即可得到实数k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝x2≥0，且f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，所以a≥0，
因为a＜b，所以b＞0，故f（x）在[a，b]上单调递增，
可得f（b）＝b，即b2＝b，解得b＝1或0（舍去），
所以a＜1，同理由f（a）＝a解得a＝0（a＝1舍去），
综上所述，f（x）＝x2的“最美区间”是[0，1]；
（Ⅱ）令x+2≥0，解得x≥﹣2，故的定义域为[﹣2，+∞），
且在[﹣2，+∞）上单调递增，
故，即，
即a，b为方程在[﹣2，+∞）上的两个不相等的实数根，且k≤a＜b，
由两边平方，整理得x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0，
设g（x）＝x2﹣（2k+1）x+k2﹣2，需满足，
解得，结合a≥﹣2，可得，故实数的取值范围是．
【点评】本题主要考查函数的定义域与值域、函数的单调性、二次函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
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