5.3函数的单调性（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册苏教版（2019）

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预习衔接.夯实基础 函数的单调性
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 龙岩期中）已知是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，3） B．（2，3） C．（0，3） D．（0，3]
2．（2024秋 南海区校级期中）定义在[﹣1，1]上的函数f（x）满足下列两个条件：①对任意的x∈[﹣1，1]，都有f（﹣x）﹣f（x）＝0．②对任意的m，n∈[0，1]，且m≠n，都有，则不等式f（1﹣3x）≤f（x﹣1）的解集是（　　）
A． B． C．[0，2] D．
3．（2024秋 平罗县校级期中）函数f（x）是定义在[0，+∞）上的增函数，则满足的x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 浑南区校级期中）已知函数f（x）满足f（﹣2﹣x）＝f（﹣2+x），对任意x1，x2∈（﹣∞，﹣2]，且x1≠x2，都有成立，且f（0）＝0，则f（x）＞0的解集是（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣2，2）
C．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） D．（﹣4，0）
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 西湖区校级期中）下列函数既是偶函数，又在（﹣∞，0）上是减函数的是（　　）
A． B．y＝3|x|
C．y＝lg（x2+1） D．
（多选）6．（2024秋 嘉兴期中）下列说法不正确的是（　　）
A．函数在定义域内是减函数
B．若函数g（x）是奇函数，则一定有g（0）＝0
C．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，﹣1]
D．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则f（2x﹣1）的定义域为
（多选）7．（2024秋 龙岩期中）下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）＝3ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，1）
B．函数的单调递增区间为[2，+∞）
C．若f（x）满足f（x+2）＝﹣f（﹣x），则f（x）的图象关于点（2，0）中心对称
D．若直线y＝2a与函数f（x）＝|ax﹣1|的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 惠城区校级期中）已知函数在定义域上单调递减，则实数a取值范围 　 　．
9．（2024秋 东莞市期中）max{f（x），g（x）}表示f（x）与g（x）中的较大者，设h（x）＝max{|x+1|，﹣x2+2x+3}，则函数h（x）的最小值是 　 　．
10．（2024秋 南通期中）若函数f（x）＝ax2﹣x+3在区间（﹣∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是 　 　．
11．（2024秋 景德镇期中）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，且f（x﹣1）＞f（1﹣3x），则x的取值范围是　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 东莞市期中）已知函数．
（1）用定义法证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；
（2）函数f（x）的定义域为[1，+∞），若f（m2﹣m﹣1）＜f（11﹣2m），求实数m的取值范围．
13．（2024秋 嘉兴期中）已知函数，且f（1）＝2．
（1）求a；
（2）根据定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）在区间（1，+∞）上，若函数f（x）满足f（a+2）＞f（2a﹣1），求实数a的取值范围．
14．（2024秋 南海区校级期中）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有，当x＞1时，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）若f（4）＝2，解不等式f（x﹣6）﹣f（）≤4．
15．（2024秋 安康期中）已知x，y是实数，且（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．
（1）求3x+4y的最值；
（2）求的取值范围；
（3）求的最值．
预习衔接.夯实基础 函数的单调性
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 龙岩期中）已知是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，3） B．（2，3） C．（0，3） D．（0，3]
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】分段函数在R上单调递减，需满足每一段上单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案．
【解答】解：由题意得，
即，解得2≤a＜3，
故实数a的取值范围是[2，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数、幂函数的性质，属于基础题．
2．（2024秋 南海区校级期中）定义在[﹣1，1]上的函数f（x）满足下列两个条件：①对任意的x∈[﹣1，1]，都有f（﹣x）﹣f（x）＝0．②对任意的m，n∈[0，1]，且m≠n，都有，则不等式f（1﹣3x）≤f（x﹣1）的解集是（　　）
A． B． C．[0，2] D．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，分析函数的奇偶性和单调性，原不等式等价于，解可得答案．
【解答】解：根据题意，对任意的x∈[﹣1，1]，都有f（﹣x）﹣f（x）＝0，则f（x）是定义域为[﹣1，1]的偶函数，
又由对任意的m，n∈[0，1]，且m≠n，都有，即f（x）在[0，1]上是减函数，
故f（1﹣3x）≤f（x﹣1） f（1﹣3x|）≤f（|x﹣1|），
则，解得或x＝0，
故不等式f（1﹣3x）≤f（x﹣1）的解集是．
故选：D．
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的性质和应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
3．（2024秋 平罗县校级期中）函数f（x）是定义在[0，+∞）上的增函数，则满足的x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】D
【分析】根据函数f（x）的定义域与单调性可得出关于x的不等式，解之即可．
【解答】解：因为f（x）是定义在[0，+∞）上的增函数，
由可得，解得．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
4．（2024秋 浑南区校级期中）已知函数f（x）满足f（﹣2﹣x）＝f（﹣2+x），对任意x1，x2∈（﹣∞，﹣2]，且x1≠x2，都有成立，且f（0）＝0，则f（x）＞0的解集是（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣2，2）
C．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） D．（﹣4，0）
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知条件得到f（x）的图象关于x＝﹣2对称，从而可知f（x）在（﹣∞，﹣2]上为增函数，在（﹣2，+∞）上为减函数，且f（﹣4）＝0，再画出折线图表示出函数f（x）的单调性，即可得到答案．
【解答】解：根据题意，因为数f（x）满足f（﹣2﹣x）＝f（﹣2+x），则所以f（x）的图象关于x＝﹣2对称．
因为函数f（x）对任意x1，x2∈（﹣∞，﹣2]，且x1≠x2，都有成立，
所以f（x）在（﹣∞，﹣2]上为增函数．
又因为f（x）的图象关于x＝﹣2对称，f（0）＝0，
所以f（x）在（﹣2，+∞）为减函数，且f（﹣4）＝0．
用折线图表示函数f（x）的单调性，如图所示：
由图知：f（x）＞0 ﹣4＜x＜0．
故选：D．
【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数的图象分析，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 西湖区校级期中）下列函数既是偶函数，又在（﹣∞，0）上是减函数的是（　　）
A． B．y＝3|x|
C．y＝lg（x2+1） D．
【考点】复合函数的单调性；奇函数偶函数的判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y，其定义域为[0，+∞），不是偶函数，不符合题意；
对于B，y＝3|x|，该函数既是偶函数，又在（﹣∞，0）上是减函数，符合题意；
对于C，设f（x）＝lg（x2+1），其定义域为R，有f（﹣x）＝lg（x2+1）＝f（x），f（x）为偶函数，
设t＝x2+1，则y＝lgt，t＝x2+1在（﹣∞，0）上是减函数，而y＝lgt在（0，+∞）上递增，
故该函数在（﹣∞，0）上是减函数，符合题意；
对于D，yx，函数y和函数y＝x在（﹣∞，0）上都是增函数，则yx在（﹣∞，0）上都是增函数，不符合题意．
故选：BC．
【点评】本题考查函数单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 嘉兴期中）下列说法不正确的是（　　）
A．函数在定义域内是减函数
B．若函数g（x）是奇函数，则一定有g（0）＝0
C．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，﹣1]
D．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则f（2x﹣1）的定义域为
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；奇函数偶函数的性质；抽象函数的定义域．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】对于A，由函数的单调性即可判断；
对于B，举反例即可判断；
对于C，根据题意求出a的范围，即可判断；
对于D，由抽象函数的定义即可判断．
【解答】解：对于A，函数在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，故错误；
对于B，令g（x），为奇函数，但在x＝0处无定义，故错误；
对于C，因为在R上是增函数，
所以，解得﹣3≤a≤﹣2，故错误；
对于D，因为函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，
由﹣2≤2x﹣1≤2，解得x，
所以f（2x﹣1）的定义域为，故正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查了函数的单调性、求抽象函数的定义域，考查了奇函数的性质，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 龙岩期中）下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）＝3ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，1）
B．函数的单调递增区间为[2，+∞）
C．若f（x）满足f（x+2）＝﹣f（﹣x），则f（x）的图象关于点（2，0）中心对称
D．若直线y＝2a与函数f（x）＝|ax﹣1|的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是
【考点】复合函数的单调性；指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据a0＝1（a≠0）可判断A；
根据复合函数的单调性可判断B；
根据函数的对称性可判断C；
利用数形结合可判断D．
【解答】解：对于A，因为指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）过定点（0，1），
当x＝1时，f（1）＝3a0﹣2＝1，
所以函数f（x）的图象恒过定点（1，1），故A正确；
对于B，设u＝x2+4x﹣12，则，
由x2+4x﹣12≥0，即（x+6）（x﹣2）≥0，
解得x≤﹣6或x≥2，
因为在[0，+∞）单调递增，
u＝x2+4x﹣12在（﹣∞，﹣6]单调递减，在[2，+∞）单调递增，
所以的单调递增区间为[2，+∞），故B正确；
对于C，因为f（x）满足f（x+2）＝﹣f（﹣x），
当x取x﹣1时，f（x+1）＝﹣f（1﹣x），即f（x+1）+f（1﹣x）＝0，
所以f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，故C错误；
对于D，当a＞1时，函数f（x）＝|ax﹣1|的图象下图所示，
当0＜a＜1时，函数f（x）＝|ax﹣1|的图象下图所示，
则当0＜2a＜1时，直线y＝2a与函数f（x）＝|ax﹣1|的图象有两个公共点，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了指数函数的性质、复合函数的单调性，考查了数形结合思想，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 惠城区校级期中）已知函数在定义域上单调递减，则实数a取值范围 　[﹣4，﹣2]　．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】[﹣4，﹣2]．
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数在定义域上单调递减，
则有，解得﹣4≤a≤﹣2，即a的取值范围为[﹣4，﹣2]．
故答案为：[﹣4，﹣2]．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
9．（2024秋 东莞市期中）max{f（x），g（x）}表示f（x）与g（x）中的较大者，设h（x）＝max{|x+1|，﹣x2+2x+3}，则函数h（x）的最小值是 　0　．
【考点】求函数的最值．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】0．
【分析】画出h（x）＝max{|x+1|，﹣x2+2x+3}的图象，数形结合得到h（x）的最小值．
【解答】解：max{f（x），g（x）}表示f（x）与g（x）中的较大者，
设h（x）＝max{|x+1|，﹣x2+2x+3}，
令﹣x2+2x+3＝x+1，解得x＝2或﹣1，
令﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，解得x＝4或﹣1，
画出h（x）＝max{|x+1|，﹣x2+2x+3}的图象，如下：
显然h（x）的最小值为0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了函数最值的计算，属于中档题．
10．（2024秋 南通期中）若函数f（x）＝ax2﹣x+3在区间（﹣∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是 　　．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】当a＝0，符合题意，当a≠0，列不等式组，解不等式即可得出答案．
【解答】解：当a＝0时，f（x）＝﹣x+3在区间（﹣∞，2]上单调递减，故成立，
当a≠0时，要使函数f（x）＝ax2﹣x+3在区间（﹣∞，2]上单调递减，
所以，解得，
综上，实数a的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了由函数单调性求解参数范围，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
11．（2024秋 景德镇期中）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，且f（x﹣1）＞f（1﹣3x），则x的取值范围是　（，]　．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可得，，由此解得x的范围．
【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，且f（x﹣1）＞f（1﹣3x），
∴，
即 ，
解得 x，
故答案为：（，]．
【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 东莞市期中）已知函数．
（1）用定义法证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；
（2）函数f（x）的定义域为[1，+∞），若f（m2﹣m﹣1）＜f（11﹣2m），求实数m的取值范围．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；定义法求解函数的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）证明见解析
（2）{m|﹣4＜m≤﹣1或2≤m＜3}．
【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；
（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）证明：根据题意，设1≤x1＜x2，
则，
又x1＜x2，x1，x2∈[1，+∞），则x1+1≥2，x2+2＞2，
所以x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞4，
故f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
（2）根据题意，函数f（x）的定义域为[1，+∞），且在区间[1，+∞）上是增函数，
由f（m2﹣m﹣1）＜f（11﹣2m），
则有，解得﹣4＜m≤﹣1或2≤m＜3，
故实数m的取值范围为{m|﹣4＜m≤﹣1或2≤m＜3}．
【点评】本题考查函数单调性的判断和应用，涉及函数的定义域，属于基础题．
13．（2024秋 嘉兴期中）已知函数，且f（1）＝2．
（1）求a；
（2）根据定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
（3）在区间（1，+∞）上，若函数f（x）满足f（a+2）＞f（2a﹣1），求实数a的取值范围．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；定义法求解函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）a＝1；
（2）证明见解析；
（3）（1，3）．
【分析】（1）由f（1）＝2，求解即可；
（2）利用函数的单调性的定义证明即可；
（3）利用函数的单调性求解不等式即可．
【解答】解：（1）因为f（1）＝2，
即2＝1+a，
解得a＝1；
（2）证明：因为，
x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2），
因为x1＜x2，x1，x2∈（1，+∞），
所以，
所以0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（3）因为f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以f（a+2）＞f（2a﹣1），
所以，即，
解得1＜a＜3．
所以实数a的取值范围为（1，3）．
【点评】本题考查了利用定义法证明函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．
14．（2024秋 南海区校级期中）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有，当x＞1时，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明；
（3）若f（4）＝2，解不等式f（x﹣6）﹣f（）≤4．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；定义法求解函数的单调性．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解；新定义类．
【答案】（1）0；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明详见解析；
（3）（6，8]．
【分析】（1）令x＝y＝1，即可求得f（1）的值；
（2）利用单调性的定义，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，作差f（x2）﹣f（x1）后，判断符号即可；
（3）先求出f（16）＝4，再根据新定义，列出不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）令x＝y＝1，则f（1）＝f（1）﹣f（1）＝0，
所以f（1）＝0．
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x2）﹣f（x1）＝f（），
∵x2＞x1＞0，
∴1，故f（）＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）因为f（4）＝2，所以f（）＝f（16）﹣f（4），
则f（16）＝2f（4）＝4，
f（x﹣6）﹣f（）≤4，
得f（x2﹣6x）＜f（16），
故，解得6＜x≤8，
所以原不等式的解集为（6，8]．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的证明，考查不等式的解法，属于中档题．
15．（2024秋 安康期中）已知x，y是实数，且（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．
（1）求3x+4y的最值；
（2）求的取值范围；
（3）求的最值．
【考点】函数的最值．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；直观想象；运算求解．
【答案】（1）最小值为1，最大值为21；
（2）；
（3）最小值为，最大值为．
【分析】（1）首先设3x+4y＝z，利用直线与圆有交点，列式求z的最值；
（2）首先设，转化为直线kx﹣y＝0与圆有交点，列不等式求k的取值范围；
（3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值．
【解答】解：（1）设3x+4y＝z，化为3x+4y﹣z＝0，
可知直线3x+4y﹣z＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4有交点，圆心（1，2），半径为2，
有，解得1≤z≤21，
可得3x+4y的最小值为1，最大值为21；
（2）设，化为kx﹣y＝0，
可知直线kx﹣y＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4有交点，
有，解得k≥0或，
故的取值范围为；
（3）的几何意义为坐标原点到圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4上任意一点的距离，
圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的圆心到坐标原点的距离为，
故的最小值为，最大值为．
【点评】本题考查了转化思想、直线与圆的位置关系，属于中档题．
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