5.4函数的奇偶性（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册苏教版（2019）

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预习衔接.夯实基础 函数的奇偶性
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 平罗县校级期中）已知函数为奇函数，则a＝（　　）
A．2 B．1 C． D．﹣1
2．（2024秋 漳州期中）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数， x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，，且f（﹣2）＝﹣4，f（0）＝0，求不等式f（x）＜﹣4的解集为（　　）
A．[﹣2，2] B．（﹣2，0）∪（0，2）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）
3．（2024秋 浑南区校级期中）已知函数，若f（x+a）为偶函数，则实数a＝（　　）
A．0 B．1 C．3 D．6
4．（2024秋 房山区期中）已知函数，下列说法错误的是（　　）
A．f（x）的定义域为（﹣1，1）
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的图象关于原点对称
D．f（x）在（0，1）上单调递增
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 景德镇期中）关于函数的性质描述，正确的有（　　）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）为偶函数
C．f（x）在（0，2）上是增函数
D．f（x）的值域是[0，2]
（多选）6．（2024秋 南通期中）已知函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣4，下列结论正确的是（　　）
A．f（0）＝4 B．f（﹣2）+f（2）＝8
C．f（x）﹣4为奇函数 D．f（x）﹣4为偶函数
（多选）7．（2024秋 阳江期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为偶函数，f（x+1）为奇函数，则下列选项正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称
B．f（x）的图象关于点（1，0）对称
C．f（﹣3）＝1
D．f（x）的一个周期为8
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西宁期中）已知f（6）＝6，f（8）＝5，且f（x+1）是奇函数，则f（﹣6）＝ 　 　．
9．（2024秋 天河区校级期中）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝x﹣x2，则f（3）＝ 　 　，当x∈（0，+∞） 时f（x）＝ 　 　．
10．（2024秋 重庆期中）已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝ex+1+2x，则f（1）＝ 　 　．
11．（2024秋 西湖区校级期中）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝4﹣x+1，则函数f（x）的解析式为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 漳州期中）设函数f（x）＝ax﹣2ka﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），若f（x）是定义在R上的奇函数且．
（1）求k和a的值；
（2）判断f（x）的单调性（无需证明），并求关于m的不等式f（m+1）+f（﹣m2+5）＜0成立时实数m的取值范围；
（3）已知函数g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[0，1]，求g（x）的值域．
13．（2024秋 浙江期中）已知函数是定义在上的奇函数且．
（1）求f（x）的表达式；
（2）判断函数f（x）在上的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（﹣3﹣4t）＞0．
14．（2024春 吉林期末）已知幂函数的图像关于y轴对称，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值及函数f（x）的解析式；
（2）若f（a﹣2）＜f（1+2a），求实数a的取值范围．
15．（2024秋 沙坪坝区校级期中）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并用定义证明函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性；
（3）若不等式f（x2）+f（cx﹣c）＞0对任意x∈（﹣1，1）恒成立，求实数c的取值范围．
预习衔接.夯实基础 函数的奇偶性
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 平罗县校级期中）已知函数为奇函数，则a＝（　　）
A．2 B．1 C． D．﹣1
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】先求得f（x）的定义域，利用f（﹣1）+f（1）＝0即可求得答案．
【解答】解：∵的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）为奇函数，
∴f（﹣1）+f（1）＝aa﹣2＝2a+2＝0，
∴a＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查奇函数的性质的应用，为基础题．
2．（2024秋 漳州期中）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数， x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，，且f（﹣2）＝﹣4，f（0）＝0，求不等式f（x）＜﹣4的解集为（　　）
A．[﹣2，2] B．（﹣2，0）∪（0，2）
C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】构造函数，由已知条件确定它的奇偶性与单调性，然后利用其性质分类讨论解不等式．
【解答】解：因为 x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，，
则，，
所以，
设，则，
因此g（x）在（﹣∞，0）上是增函数，
又因为f（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），
则g（﹣x）g（x），
所以g（x）是奇函数，
因此g（x）在（0，+∞）上也是增函数，
因为f（﹣2）＝﹣4，
所以，则g（2）＝﹣g（﹣2）＝0，
f（x）＜﹣4，f（x）+4＜0，
x＜0时，，即g（x）＞0，所以﹣2＜x＜0，
x＞0时，，即g（x）＜0，所以0＜x＜2，
综上，不等式的解集为（﹣2，0）∪（0，2）．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性解不等式，解题时主要要构造新函数，利用它的性质求解，属于中档题．
3．（2024秋 浑南区校级期中）已知函数，若f（x+a）为偶函数，则实数a＝（　　）
A．0 B．1 C．3 D．6
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由f（x+a）为偶函数，得f（x+a）＝f（﹣x+a），进而代入解析式求解即可．
【解答】解：依题意，f（x+a）＝f（﹣x+a），
又，
则，
即，
则a＝6﹣a，解得a＝3．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（2024秋 房山区期中）已知函数，下列说法错误的是（　　）
A．f（x）的定义域为（﹣1，1）
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的图象关于原点对称
D．f（x）在（0，1）上单调递增
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】B
【分析】结合函数奇偶性的定义及复合函数的单调性检验各选项即可判断．
【解答】解：由题意可得，0，即（x+1）（x﹣1）＜0，
解得﹣1＜x＜1，A正确；
因为f（﹣x）+f（x）lnln1＝0，
即f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数图象关于原点对称，B错误，C正确；
当0＜x＜1时，t单调递增，根据复合函数单调性可知f（x）在（0，1）上单调递增，D正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 景德镇期中）关于函数的性质描述，正确的有（　　）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）为偶函数
C．f（x）在（0，2）上是增函数
D．f（x）的值域是[0，2]
【考点】奇偶性与单调性的综合；复合函数的单调性；求函数的最值．
【答案】BC
【分析】对AB：根据函数奇偶性的定义，直接判断即可；对C：根据幂函数单调性和复合函数单调性，直接判断即可；对D：根据函数奇偶性和单调性，直接求函数值域即可．
【解答】解：对AB：由题意可得，，解得x∈[﹣2，0）∪（0，2]，定义域关于原点对称；
当x∈[﹣2，0）∪（0，2]时，，
又，
故f（x）为偶函数，A错误，B正确；
对C：当x∈（0，2）时，，根据复合函数单调性，在（0，2）单调递减，
故在（0，2）单调递增，故C正确；
对D：根据C中所求，f（x）在（0，2]单调递增，又f（0）＝﹣2，f（2）＝0，
故f（x）在（0，2]的值域为（﹣2，0]，又f（x）为偶函数，故f（x）的值域为（﹣2，0]，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
（多选）6．（2024秋 南通期中）已知函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣4，下列结论正确的是（　　）
A．f（0）＝4 B．f（﹣2）+f（2）＝8
C．f（x）﹣4为奇函数 D．f（x）﹣4为偶函数
【考点】抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据赋值法，即可求解．
【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣4，
∴令x＝y＝0，可得f（0）＝f（0）+f（0）﹣4，∴f（0）＝4，∴A选项正确；
∴令x＝﹣2，y＝2，可得4＝f（0）＝f（﹣2）+f（2）﹣4，∴f（﹣2）+f（2）＝8，∴B选项正确；
∴令y＝﹣x，可得4＝f（0）＝f（x）+f（﹣x）﹣4，
∴f（x）﹣4+f（﹣x）﹣4＝0，∴f（x）﹣4为奇函数，∴C选项正确，D选项错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查抽象函数的性质，赋值法的应用，属基础题．
（多选）7．（2024秋 阳江期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为偶函数，f（x+1）为奇函数，则下列选项正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称
B．f（x）的图象关于点（1，0）对称
C．f（﹣3）＝1
D．f（x）的一个周期为8
【考点】抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断A，B；
利用赋值法求出f（1）的值，结合对称性可求f（3），判断C；
结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D．
【解答】解：由于函数f（x）的定义域为R，f（x﹣1）为偶函数，
则f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），即f（﹣x﹣2）＝f（x），
则f（x）的图象关于直线x＝﹣1 对称，A正确；
又f（x+1）为奇函数，
则f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），
即f（﹣x+2）＝﹣f（x），
故f（x）的图象关于点（1，0）对称，B正确；
由于f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），
令x＝0，则f（1）＝﹣f（1），
所以f（1）＝0，
又f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，
故f（﹣3）＝f（1）＝0，C错误；
又f（﹣x﹣2）＝f（x），f（﹣x+2）＝﹣f（x），
则f（﹣x﹣2）＝﹣f（﹣x+2），
故f（x﹣2）＝﹣f（x+2），
即f（x+4）＝﹣f（x），
则f（x+8）＝f（x），
即f（x）的一个周期为8，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，考查了利用赋值法求抽象函数的值，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西宁期中）已知f（6）＝6，f（8）＝5，且f（x+1）是奇函数，则f（﹣6）＝ 　﹣5　．
【考点】抽象函数的奇偶性；奇函数偶函数的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣5．
【分析】由题意可得f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），令x＝7，即可得答案．
【解答】解：因为f（x+1）是奇函数，
所以f（﹣x+1）＝﹣f（x+1）．
令x＝7，
则有f（﹣6）＝﹣f（8）＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性，考查了利用赋值法求抽象函数的值，属于基础题．
9．（2024秋 天河区校级期中）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝x﹣x2，则f（3）＝ 　12　，当x∈（0，+∞） 时f（x）＝ 　x+x2　．
【考点】奇函数偶函数的性质；函数的值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】12，x+x2．
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（3）的值，结合函数的奇偶性计算可得答案．
【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝x﹣x2，
则f（﹣3）＝﹣3﹣（﹣3）2＝﹣12＝﹣f（3），
故f（3）＝12；
当x∈（0，+∞）时，﹣x∈（﹣∞，0），
此时f（﹣x）＝（﹣x）﹣（﹣x）2＝﹣x﹣x2，又f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）＝x+x2．
故答案为：12，x+x2．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
10．（2024秋 重庆期中）已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝ex+1+2x，则f（1）＝ 　1　．
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】由奇函数性质可得f（1）＝﹣f（﹣1）．
【解答】解：由于f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝ex+1+2x，
则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣e﹣1+1﹣2×（﹣1）＝﹣1+2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（2024秋 西湖区校级期中）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝4﹣x+1，则函数f（x）的解析式为 　f（x）　．
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】f（x）．
【分析】由已知结合奇函数定义及性质即可求解．
【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝4﹣x+1，
则f（0）＝0，
当x＞0时，﹣x＜0，
所以f（﹣x）＝4x+1＝﹣f（x），
故f（x）＝﹣1﹣4x
则f（x）．
故答案为：f（x）．
【点评】本题主要考查了奇函数定义及性质的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 漳州期中）设函数f（x）＝ax﹣2ka﹣x（a＞0且a≠1，k∈R），若f（x）是定义在R上的奇函数且．
（1）求k和a的值；
（2）判断f（x）的单调性（无需证明），并求关于m的不等式f（m+1）+f（﹣m2+5）＜0成立时实数m的取值范围；
（3）已知函数g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2f（x），x∈[0，1]，求g（x）的值域．
【考点】奇偶性与单调性的综合；求指数函数及指数型复合函数的最值；奇函数偶函数的性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）在R上单调递增，（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）；
（3）．
【分析】（1）利用函数奇偶性以及函数值即可解得k和a的值；
（2）由复合函数单调性可判断f（x）在R上单调递增，利用单调性以及奇偶性解不等式可得实数m的取值范围；
（3）利用换元法将函数整理成二次函数形式，判断出其单调性，再由二次函数性质可得结果．
【解答】解：（1）因为f（x）是R上奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣x﹣2kax＝﹣ax+2ka﹣x，
整理得：（1﹣2k）（ax+a﹣x）＝0，
所以1﹣2k＝0，即k，
所以f（x）＝ax﹣a﹣x，
又，即，
解得a＝3或（舍），
所以．
（2）由（1）可知f（x）＝3x﹣3﹣x在R上单调递增，
又因为f（x）为R上的奇函数，所以f（m+1）＜﹣f（﹣m2+5）＝f（m2﹣5），
所以m+1＜m2﹣5，即m2﹣m﹣6＞0，
解得m＜﹣2或m＞3．
所以f（x）在R上单调递增，m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）；
（3）g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2f（x）＝a2x+a﹣2x﹣2（ax﹣a﹣x）＝32x+3﹣2x﹣2（3x﹣3﹣x）
＝（3x﹣3﹣x）2﹣2（3x﹣3﹣x）+2，x∈[0，1]，
令t＝3x﹣3﹣x，由（2）易知t＝3x﹣3﹣x在[0，1]上单调递增，所以，
记，
当时t＝1，ymin＝1；当时，．
所以g（x）的值域是．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，还考查了指数函数性质，不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．
13．（2024秋 浙江期中）已知函数是定义在上的奇函数且．
（1）求f（x）的表达式；
（2）判断函数f（x）在上的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（﹣3﹣4t）＞0．
【考点】奇偶性与单调性的综合；奇函数偶函数的性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）f（x）在（﹣2，2）上单调递减，详见解答过程；
（3）．
【分析】（1）对于奇函数，有f（0）＝0，再结合，可以求出函数中的参数a和b，从而得到函数表达式．（2）要判断函数单调性，可通过设出区间内的两个自变量x1，x2，然后作差f（x1）﹣f（x2），根据差的正负来判断单调性．
（3）根据函数的奇偶性和单调性来解不等式f（t﹣1）+f（﹣3﹣4t）＞0即可．
【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，定义域为，
所以f（0）0且2，
所以b＝0．又因为，
解得a＝﹣4．
所以，经验证此时为奇函数．
（2）f（x）在（﹣2，2）上单调递减．理由如下：
设﹣2＜x1＜x2＜2，
所以x2﹣x1＞0，，，x1x2+4＞0，．
则
0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（﹣2，2）上单调递减．
（3）因为f（x）是奇函数，
所以f（t﹣1）+f（﹣3﹣4t）＞0可化为f（t﹣1）＞﹣f（﹣3﹣4t）＝f（3+4t）．
又因为f（x）在（﹣2，2）上单调递减，所以，
解﹣2＜t﹣1＜2得﹣1＜t＜3．解﹣2＜3+4t＜2得．
解t﹣1＜3+4t得．
综上，不等式的解集为．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
14．（2024春 吉林期末）已知幂函数的图像关于y轴对称，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值及函数f（x）的解析式；
（2）若f（a﹣2）＜f（1+2a），求实数a的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；由幂函数的单调性求解参数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）m＝2，f（x）＝x2；
（2）．
【分析】（1）由幂函数的单调性求得0＜m＜4，由m∈Z，通过检验即可求解；
（2）由已知得|a﹣2|＜|1+2a|，两边平方，即可求解实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由幂函数f（x）在（0，+∞）上单调递增知，，解得0＜m＜4，
又m∈Z，则m＝1，2，3．
当m＝1或m＝3时，，不符合f（x）的图像关于y轴对称，故舍去．
当m＝2时，f（x）＝x2，图像关于y轴对称，符合题意．
综上所述，f（x）＝x2．
（2）由（1）得f（x）＝x2为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，
因为f（a﹣2）＜f（1+2a），所以|a﹣2|＜|1+2a|，
两边平方，得a2﹣4a+4＜4a2+4a+1，
化简得3a2+8a﹣3＞0，解得a＜﹣3或，
故实数a的取值范围为．
【点评】本题主要考查了幂函数性质的综合应用，属于中档题．
15．（2024秋 沙坪坝区校级期中）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并用定义证明函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性；
（3）若不等式f（x2）+f（cx﹣c）＞0对任意x∈（﹣1，1）恒成立，求实数c的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；奇函数偶函数的性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）f（x）在（﹣1，1）上为增函数，证明见解析；
（3）{c|}．
【分析】（1）先根据f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立求出b＝0，再根据求出a，故可求函数解析式；
（2）利用单调性定义结合函数为奇函数可证得f（x）在（﹣1，1）上为增函数．
（3）根据函数单调性结合定义域可得1＞x2＞c﹣cx＞﹣1在（﹣1，1）上恒成立，利用特征法可得﹣1＜c＜0，结合判别式可求参数的范围．
【解答】解：（1）因为f（x）为（﹣1，1）上的奇函数，
故f（﹣x）＝﹣f（x），
所以在（﹣1，1）上恒成立，
所以﹣ax+b＝﹣ax﹣b，即﹣b＝b，
则b＝0，
而，故，故a＝2，．
（2）f（x）在（﹣1，1）上为增函数，证明如下：
设 0≤x1＜x2＜1，故，
则0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则f（x）在[0，1）上为增函数，
而f（x）在（﹣1，1）上为奇函数，故f（x）在（﹣1，1）上为增函数．
（3）不等式f（x2）+f（cx﹣c）＞0即为f（x2）＞f（c﹣cx），
故1＞x2＞c﹣cx＞﹣1在（﹣1，1）上恒成立，
所以取x＝0，则﹣1＜c＜0，
故x2+cx﹣c＞0在（﹣1，1）上恒成立且c﹣c×（﹣1）≥0，
所以即，
故c的范围为{c|}．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
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