6.1幂函数（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册苏教版（2019）

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预习衔接.夯实基础 幂函数
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 景德镇期中）若函数f（x）＝（m2﹣m﹣5）x1﹣m为幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，则m＝（　　）
A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．2或﹣3
2．（2024秋 闵行区期中）若幂函数f（x）＝xa为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足条件的实数a的值是（　　）
A．﹣1 B． C．3 D．4
3．（2024秋 浦东新区校级期中）如图是幂函数y＝xa的部分图像，已知a分别取这四个值，则与曲线C1、C2、C3、C4相应的a依次为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 兴庆区校级期中）已知点（a，27）在幂函数f（x）＝（a﹣2）xm（a，m∈R）的图象上，则a+m＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 天河区校级期中）下列关于幂函数的说法正确的有（　　）
A．f（x）的定义域为R
B．f（x）的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．f（x）为偶函数
D．不等式f（x）＞1的解集为（0，1）
（多选）6．（2024秋 新城区校级期中）幂函数在（0，+∞）上是增函数，则以下说法正确的是（　　）
A．m＝3
B．函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增
C．函数f（x）是偶函数
D．函数f（x）的图象关于原点对称
（多选）7．（2024秋 岳麓区校级期中）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）xa的图象经过点，下列结论正确的有（　　）
A．m＝2
B．f（0）＝0
C．f（x）是偶函数
D．若f（3﹣2x）＞f（x+1），则
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西湖区校级期中）已知幂函数在（0，+∞）上是减函数，则m的值为 　 　．
9．（2024秋 南海区校级期中）已知幂函数f（x）＝（a2﹣3a﹣3）xa在（0，+∞）为增函数，则实数a的值为 　 　．
10．（2024秋 浦东新区期中）若点在幂函数y＝xa的图象上，则该幂函数的表达式为 　 　．
11．（2024秋 洪山区校级期末）若幂函数 为偶函数，则不等式f（2x﹣1）＞f（x+3）的解集为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 荔湾区校级期中）已知幂函数，满足f（1）＜f（2）．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）若函数g（x）＝f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，是否存在实数m使得g（x）的最小值为10？
（3）若函数h（x）＝n﹣f（x+2），是否存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．
13．（2024秋 嘉定区校级期中）已知幂函数，且该函数的图象经过点．
（1）确定m、n的值；
（2）求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．
14．（2024秋 浙江期中）已知幂函数f（x）＝（2k2+5k﹣2）xk（k∈R）在区间（0，+∞）上单调递增．
（1）求k的值；
（2）（ⅰ）若，求的值；
（ⅱ）求y＝f（a﹣1）+2a的值域．
15．（2024秋 通州区期中）已知幂函数f（x）的图象过点（2，8）．
（1）求f（﹣2）的值；
（2）求f（x）在区间上的最大值；
（3）设函数g（x）＝f（x）﹣x，判断g（x）的奇偶性．
预习衔接.夯实基础 幂函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 景德镇期中）若函数f（x）＝（m2﹣m﹣5）x1﹣m为幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，则m＝（　　）
A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．2或﹣3
【考点】由幂函数的单调性求解参数．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据幂函数定义和性质可解．
【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣m﹣5）x1﹣m为幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，
则，解得m＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查幂函数定义和性质，属于基础题．
2．（2024秋 闵行区期中）若幂函数f（x）＝xa为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足条件的实数a的值是（　　）
A．﹣1 B． C．3 D．4
【考点】由幂函数的单调性求解参数．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据奇函数的定义并结合幂函数的性质逐一判断即可得到正确选项．
【解答】解：选项A，α＝﹣1时，在（0，+∞）上单调递减，不合题意；
选项B，时，，定义域为[0，+∞），是非奇非偶函数，不合题意；
选项C，α＝3时，f（x）＝x3，f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，满足题意；
选项D，α＝4时，f（x）＝x4，f（x）是偶函数，不满足题意．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性判断问题，是基础题．
3．（2024秋 浦东新区校级期中）如图是幂函数y＝xa的部分图像，已知a分别取这四个值，则与曲线C1、C2、C3、C4相应的a依次为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】幂函数的特征及辨识．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可．
【解答】解：当a＜0时，幂函数在（0，+∞）上单调递减，
当a＞0时，幂函数在（0，+∞）上单调递增，
并且在直线x＝1的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数a依次增大，
故与曲线C1、C2、C3、C4相应的a依次为4，，，﹣4．
故选：A．
【点评】本题主要考查幂函数的特征，属于中档题．
4．（2024秋 兴庆区校级期中）已知点（a，27）在幂函数f（x）＝（a﹣2）xm（a，m∈R）的图象上，则a+m＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】由幂函数的解析式求解参数．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】直接由幂函数的定义列方程组即可求解．
【解答】解：点（a，27）在幂函数f（x）＝（a﹣2）xm（a，m∈R）的图象上，
则．
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 天河区校级期中）下列关于幂函数的说法正确的有（　　）
A．f（x）的定义域为R
B．f（x）的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．f（x）为偶函数
D．不等式f（x）＞1的解集为（0，1）
【考点】幂函数的定义域；幂函数的值域；求解幂函数的奇偶性．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义，以及性质，即可求解．
【解答】解：幂函数，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故A错误，
f（x）的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故B正确；
函数f（x）的定义域关于原点对称，
f（﹣x），
所以f（x）为奇函数，故C错误；
f（x）＞1，
则，解得0＜x＜1，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查幂函数的应用，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 新城区校级期中）幂函数在（0，+∞）上是增函数，则以下说法正确的是（　　）
A．m＝3
B．函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增
C．函数f（x）是偶函数
D．函数f（x）的图象关于原点对称
【考点】由幂函数的单调性求解参数．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义与性质，求出m，即可依次判断．
【解答】解：在（0，+∞）上是增函数，
则，解得m＝3，故A正确；
故f（x）＝x3，
函数f（x）在R上单调递增，且为奇函数，故BD正确，C错误．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 岳麓区校级期中）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）xa的图象经过点，下列结论正确的有（　　）
A．m＝2
B．f（0）＝0
C．f（x）是偶函数
D．若f（3﹣2x）＞f（x+1），则
【考点】求幂函数的解析式．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】由幂函数定义可得A；结合图象经过点可得f（x）解析式及其定义域，即可得B；结合偶函数的定义计算即可得C；结合偶函数性质与幂函数单调性计算即可得D．
【解答】解：A项：幂函数f（x）＝（m﹣1）xa的图象经过点，
则有，解得，即，故A正确；
B项：由，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故B错误；
C项：由，故f（x）是偶函数，故C正确；
D项：由，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x）是偶函数，
故可得，|3﹣2x|＜|x+1|，即有（3﹣2x）2＜（x+1）2，
整理得（3x﹣2）（x﹣4）＜0，解得，
由3﹣2x≠0、x+1≠0可得、x≠﹣1，
故，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查幂函数的性质，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西湖区校级期中）已知幂函数在（0，+∞）上是减函数，则m的值为 　﹣1　．
【考点】由幂函数的单调性求解参数．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义与性质，即可求解．
【解答】解：幂函数在（0，+∞）上是减函数，
则，解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题．
9．（2024秋 南海区校级期中）已知幂函数f（x）＝（a2﹣3a﹣3）xa在（0，+∞）为增函数，则实数a的值为 　4　．
【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】4．
【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解．
【解答】解：因为幂函数f（x）＝（a2﹣3a﹣3）xa在（0，+∞）为增函数，
所以，解得a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查幂函数的性质和定义，属于基础题．
10．（2024秋 浦东新区期中）若点在幂函数y＝xa的图象上，则该幂函数的表达式为 　　．
【考点】求幂函数的解析式．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】将的坐标代入幂函数的解析式易得结果．
【解答】解：点在幂函数y＝xa的图象上，
则，解得．
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查幂函数解析式的求解，属于基础题．
11．（2024秋 洪山区校级期末）若幂函数 为偶函数，则不等式f（2x﹣1）＞f（x+3）的解集为 　{x|x或x＞4}　．
【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】{x|x或x＞4}．
【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求得函数的解析式，从而求出原不等式的解集．
【解答】解：∵幂函数 为偶函数，∴，
求得m＝﹣3，故f（x）＝x18，为偶函数，满足题意．
则由不等式f（2x﹣1）＞f（x+3），可得|2x﹣1|＞|x+3|，
求得x或x＞4．
故原不等式的解集为{x|x或x＞4}．
故答案为：{x|x或x＞4}．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 荔湾区校级期中）已知幂函数，满足f（1）＜f（2）．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）若函数g（x）＝f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，是否存在实数m使得g（x）的最小值为10？
（3）若函数h（x）＝n﹣f（x+2），是否存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】求幂函数及幂函数型复合函数的最值；求幂函数的解析式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）；
（2）存在m＝9使得g（x）的最小值为10；
（3）（，﹣1]．
【分析】（1）根据幂函数f（x）是幂函数，可得p2﹣2p+1＝1，求解p，可得解析式；
（2）由函数g（x）＝f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得m的值；
（3）由函数h（x）＝n﹣f（x+2），求解h（x）的解析式，判断其单调性，根据在[a，b]上的值域为[a，b]，转化为方程有解问题求解n的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）是幂函数，
∴得p2﹣2p+1＝1，解得：p＝0或p＝2，
当p＝0时，f（x），满足f（1）＜f（2）．
当p＝2时，f（x），不满足f（1）＜f（2）．
∴故得p＝0，函数f（x）的解析式为f（x）；
（2）由函数g（x）＝f2（x）+mf（x），即g（x）＝（）2+m，
令t，
∵x∈[1，9]，
∴t∈[1，3]，
记k（t）＝t2+mt，
其对称轴为t，
①当1，即m≥﹣2时，则k（x）min＝k（1）＝1+m＝10，解得：m＝9；
②当13时，即﹣6＜m＜﹣2，则k（x）min＝k（）10，无解，舍去；
③当3时，即m≤﹣6时，则k（x）min＝k（3）＝3m+9＝10，解得：m，不满足，舍去；
综上所述，存在m＝9使得g（x）的最小值为10；
（3）由函数h（x）＝n﹣f（x+2）＝n在定义域内为单调递减函数，
若存在实数存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
则h（x），
两式相减：可得：a﹣b＝（a+2）﹣（b+2），
∴1③，
将③代入②得，n＝aa+1，
令t，
∵a＜b，
∴0≤t，
得：n＝t2﹣t﹣1＝（t）2，
故得实数n的取值范围（，﹣1]．
【点评】本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．属于难题．
13．（2024秋 嘉定区校级期中）已知幂函数，且该函数的图象经过点．
（1）确定m、n的值；
（2）求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．
【考点】由幂函数的单调性求解参数；幂函数的特征及辨识．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）n＝2，m＝1；（2）．
【分析】根据幂函数的定义可得n，根据其性质可得m，解不等式．
【解答】解：（1）函数f（x）为幂函数，则n＝2，因为该函数图象过点，
所以，所以m2+m＝2，所以m＝1或m＝﹣2（舍去），
则n＝2，m＝1；
（2）f（x），由f（2﹣a）＞f（a﹣1），得，解得，
a的取值范围为．
【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题．
14．（2024秋 浙江期中）已知幂函数f（x）＝（2k2+5k﹣2）xk（k∈R）在区间（0，+∞）上单调递增．
（1）求k的值；
（2）（ⅰ）若，求的值；
（ⅱ）求y＝f（a﹣1）+2a的值域．
【考点】由幂函数的单调性求解参数．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）
（2）（i）2；（ii）[2，+∞）
【分析】（1）由幂函数的定义可得k，再利用在（0，+∞）上单调递增，即可求解；
（2）（i）根据（1）可知，将转化为有关的式子即可求解；
（ii）根据换元法可设，再根据函数的对称轴，可求出最小值．
【解答】解：（1）由已知2k2+5k﹣2＝1，得k＝﹣3或，
又因为f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，所以．
（2），
（i），
；
（ii），
令，y＝2t2+t+2，
对称轴，所以当t＝0时取到最小值2，
所以值域为[2，+∞）．
【点评】本题主要考查幂函数的性质，属于中档题．
15．（2024秋 通州区期中）已知幂函数f（x）的图象过点（2，8）．
（1）求f（﹣2）的值；
（2）求f（x）在区间上的最大值；
（3）设函数g（x）＝f（x）﹣x，判断g（x）的奇偶性．
【考点】求幂函数的解析式；奇函数偶函数的判断．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）f（﹣2）＝﹣8
（2）
（3）g（x）为奇函数．
【分析】（1）根据幂函数的知识求得f（x）的解析式，进而求得f（﹣2）．
（2）根据函数的单调性来求得最大值．
（3）根据函数的奇偶性的定义进行判断．
【解答】解：（1）设幂函数f（x）＝xα，∵f（x）的图象过点（2，8），
∴2α＝8，∴α＝3．∴f（x）＝x3．∴f（﹣2）＝﹣8．
（2）f（x）＝x3，
∴f（x）在区间上单调递增．
∴f（x）在区间上的最大值为．
（3）∵函数g（x）＝f（x）﹣x，
∴g（x）＝x3﹣x．
∵g（x）的定义域为R，关于原点对称
∴g（﹣x）＝（﹣x）3﹣（﹣x）＝﹣x3+x＝﹣（x3﹣x）＝﹣g（x）．
∴g（x）为奇函数．
【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题．
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