7.2三角函数的概念（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册苏教版（2019）

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预习衔接.夯实基础 三角函数的概念
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 湖北期中）已知cos（α+β），cosαcosβ，则tanαtanβ＝（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．（2024秋 顺义区校级期中）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cos（π+α）＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 越秀区期末）若tanθ＝﹣3，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 东城区校级期中）在平面直角坐标系中，角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点P（2，4），则（　　）
A． B．﹣3 C． D．3
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 西宁期中）已知α的终边经过点，则（　　）
A．tanα＝﹣1 B．α可能等于
C． D．α可能等于
（多选）6．（2024秋 江苏期末）已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）7．（2024秋 吕梁期末）已知，0≤α≤π，则下列选项中正确的有（　　）
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西城区校级期中）已知，且，则 　 　．
9．（2024秋 河西区期中）化简： 　 　．
10．（2024秋 朝阳区期中）在△ABC中，已知，则sinA＝ 　 　；tan（π﹣A）＝ 　 　．
11．（2024 芝罘区校级模拟）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，若|BC|＝1，则的值为　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 越秀区期末）已知θ是第二象限角，5sinθcosθ＝4tan（π+θ），求：
（1）tanθ；
（2）．
13．（2024春 喀什市期中）（1）已知，α在第二象限，求sinα，tanα的值；
（2）已知tanα＝﹣2，求的值．
14．（2024秋 河南期中）（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，求sin2α﹣2sinαcosα+3cos2α的值；
（2）已知，且α∈（0，π），求的值．
15．（2024 海州区校级模拟）已知函数f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a，A为锐角，且f（A），求△ABC面积S的最大值．
预习衔接.夯实基础 三角函数的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 湖北期中）已知cos（α+β），cosαcosβ，则tanαtanβ＝（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系；求两角和与差的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式求出sinαsinβ即可得解．
【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以，
可得．
故选：C．
【点评】本题考查了和角的余弦公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
2．（2024秋 顺义区校级期中）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cos（π+α）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】C
【分析】根据任意角的三角函数的定义以及诱导公式即可求解．
【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣3，4），
∴x＝﹣3，y＝4，r＝5，
则cosα
∴cos（π+α）＝﹣cosα．
故选：C．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3．（2024秋 越秀区期末）若tanθ＝﹣3，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．
【解答】解：因为tanθ＝﹣3，
所以sinθ（sinθ+cosθ）．
故选：D．
【点评】本题考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
4．（2024秋 东城区校级期中）在平面直角坐标系中，角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点P（2，4），则（　　）
A． B．﹣3 C． D．3
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】直接利用三角函数的定义求出三角函数的值．
【解答】解：角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点P（2，4），则tanθ＝2，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的定义，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 西宁期中）已知α的终边经过点，则（　　）
A．tanα＝﹣1 B．α可能等于
C． D．α可能等于
【考点】任意角的三角函数的定义；对数的运算性质．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；空间想象．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，正切的两角和公式，即可求解．
【解答】解：因为，α的终边经过点，
所以，，A，C均正确，
lg2＞0，﹣lg2＜0，
则点（lg2，﹣lg2）在第四象限，所以α不可能等于，α可能等于，B错误，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，正切的两角和公式，是基础题．
（多选）6．（2024秋 江苏期末）已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】AD
【分析】对两边平方得，结合θ的范围得到，AD正确；结合同角三角函数平方关系得到正弦和余弦值，进而求出正切值，BC错误．
【解答】解：，两边平方得：，
解得：，D正确；
故sinθ，cosθ异号，
因为θ∈（0，π），所以，A正确；
因为，结合，得到sinθ＞0，cosθ＜0，
解得：，故，BC错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 吕梁期末）已知，0≤α≤π，则下列选项中正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【考点】同角正弦、余弦的平方和为1．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】AB
【分析】由已知结合同角基本关系检验各选项即可判断．
【解答】解：因为，sin2α+cos2α＝1，
两边平方得，
所以，A正确；
因为α∈[0，π]，所以sinα＞0，cosα＞0，
又因为，所以，故选项B正确；
因为，故选项C错误；
由，，所以 故选项D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西城区校级期中）已知，且，则 　　．
【考点】诱导公式．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】由已知利用三角函数的诱导公式求解．
【解答】解：由，得tanα，
∵，∴α，
则cosα＝cos（）．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
9．（2024秋 河西区期中）化简： 　﹣sinα　．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】﹣sinα．
【分析】利用诱导公式即可求解．
【解答】解：
＝﹣sinα．
故答案为：﹣sinα．
【点评】本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10．（2024秋 朝阳区期中）在△ABC中，已知，则sinA＝ 　　；tan（π﹣A）＝ 　　．
【考点】同角正弦、余弦的商为正切；同角正弦、余弦的平方和为1．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】；．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解．
【解答】解：在△ABC中，，
则A∈（0，π），
故sinA，
故tan（π﹣A）＝﹣tanA．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
11．（2024 芝罘区校级模拟）如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，若|BC|＝1，则的值为　　．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】综合题；方程思想；综合法；三角函数的求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角函数的定义，结合三角函数的辅助角公式进行化简即可得到结论．
【解答】解：∵点B的坐标为，设∠A0B＝θ
∴sin（2π﹣θ），cos（2π﹣θ），
即sinθ，cosθ，
∵∠AOC＝α，若|BC|＝1，∴θ+α，
则αθ，
则cosαsinα＝cos（α）＝cos（θ）＝sinθ，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 越秀区期末）已知θ是第二象限角，5sinθcosθ＝4tan（π+θ），求：
（1）tanθ；
（2）．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得tanθ的值．
（2）由题意，利用诱导公式，计算求得结果．
【解答】解：（1）∵θ是第二象限角，5sinθcosθ＝4tan（π+θ）＝4tanθ，
∴cos2θ，∴cosθ，此时，sinθ，
∴tanθ．
（2）．
【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
13．（2024春 喀什市期中）（1）已知，α在第二象限，求sinα，tanα的值；
（2）已知tanα＝﹣2，求的值．
【考点】同角正弦、余弦的商为正切；同角正弦、余弦的平方和为1．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角函数的基本关系式即得；
（2）弦化切即可．
【解答】解：（1）∵，α在第二象限，
∴，；
（2）由，
∴．
【点评】本题主要考查同角三角函数间的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（2024秋 河南期中）（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，求sin2α﹣2sinαcosα+3cos2α的值；
（2）已知，且α∈（0，π），求的值．
【考点】同角正弦、余弦的商为正切．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意得到tanα的值，将sin2α﹣2sinαcosα+3cos2α除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2α，即可得到有关tanα的式子，代入即可得到答案；
（2）先根据完全平方公式得到sinαcosα的值，然后再利用完全平方公式得到cosα+sinα的值，构造等式即可求得结果．
【解答】解：（1）由x2﹣x﹣2＝0，得x＝﹣1，或x＝2，
∵α是第三象限角，则tanα＞0，
∴tanα＝2，
∴
；
（2）∵，α∈（0，π），
则sinα＞0，cosα＞0，
∴，则，
故，
．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于中档题．
15．（2024 海州区校级模拟）已知函数f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a，A为锐角，且f（A），求△ABC面积S的最大值．
【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的周期性；正弦函数的定义域和值域．
【专题】计算题；解三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系将f（x）＝2sinxcosx﹣2sin2x+1（x∈R）转化为f（x）sin（2x），利用正弦函数的性质即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）由f（A），可求得cos2A，而A为锐角，可求得cosA、sinA，又a，利用余弦定理与基本不等式可得bc，从而可求得△ABC面积S的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sinxcosx﹣sin2x+1
＝2sinxcosx+cos2x
＝sin2x+cos2x
（sin2xcos2x）
sin（2x）﹣﹣﹣（2分）
∴f（x）的最小正周期为π；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∵2kπ≤2x2kπ（k∈Z），
∴kπ≤xkπ（k∈Z），
∴f（x）的增区间为（kπ，kπ）（k∈Z），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（Ⅱ）∵f（A），
∴sin（2A），
∴cos2A，
∴2cos2A﹣1，
∵A为锐角，即0＜A，
∴cosA，
∴sinA．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
又∵a，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2﹣2bc ，
∵b2+c2≥2bc，
∴bc．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
∴SbcsinA（） ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查同角三角函数基本关系，考查正弦函数的单调性与最值，突出余弦定理与基本不等式的应用，综合性强，属于中档题．
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