第22章 一元二次方程（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版
文档属性
| 名称 | 第22章 一元二次方程（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 61.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-17 21:13:35 | ||
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文档简介
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预习衔接.夯实基础 一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 番禺区期中）青山村种的水稻2023年平均每公顷产720kg，2025年平均每公顷产845kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则根据题意列出方程为（ ）
A．720（1+x）2＝845 B．720（1+2x）＝845
C．720x+720x2＝845 D．720（1+x2）＝845
2．（2024秋 番禺区期中）若关于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
3．（2024 咸宁二模）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C． D．x1x2＝7
4．（2024秋 永春县校级期中）对于实数a、b，定义新运算，规则如下：aΔb＝b2﹣ab，则等式6Δx＝7中x的值为（ ）
A．1或﹣7 B．﹣1或7 C．﹣1 D．﹣7
5．（2024春 仓山区校级期末）是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0
C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 铁西区期中）方程x2+3x﹣3＝x2+1 一元二次方程（填“是”或“不是”）．
7．（2024秋 番禺区期中）若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣3a2+6a+2024的值为 ．
8．（2024秋 津南区校级期中）将一元二次方程4x2﹣5x＝81化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项的和为 ．
9．（2024 任城区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 ．
10．（2024秋 三明期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则可列方程是 （方程化为一般形式）．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 大连期中）某商场销售一种商品，经市场调查发现，每件盈利20元，每星期可卖出300件．为吸引顾客，商场决定在“双十一”期间进行促销活动．若每件商品降价1元，每星期可多卖出20件．
（1）为了实现该商品每星期3000元的销售利润，则每件需降价多少元？
（2）该商品每星期的销售利润能否达到6200元？如果能，求出每件盈利；如果不能，请说明理由．
12．（2024秋 东川区期中）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0．
（1）判断此方程根的情况；
（2）若x＝﹣2是该方程的一个根，求代数式2m2+8m﹣3的值．
13．（2024秋 南昌期中）解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）5（x﹣2）2＝x2﹣4．
14．（2024秋 南昌期中）关于x的一元二次方程x2﹣（3+m）x+3m＝0．
（1）试判断该方程根的情况；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且2x1﹣x1x2+2x2＝12，求m的值．
15．（2024秋 江津区期中）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房层的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的边AB为多少米时，能围成一个面积为640m2的兰圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
预习衔接.夯实基础 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 番禺区期中）青山村种的水稻2023年平均每公顷产720kg，2025年平均每公顷产845kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则根据题意列出方程为（ ）
A．720（1+x）2＝845 B．720（1+2x）＝845
C．720x+720x2＝845 D．720（1+x2）＝845
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】利用青山村种的水稻2025年平均每公顷的产量＝青山村种的水稻2023年平均每公顷的产量×（1+水稻每公顷产量的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：720（1+x）2＝845．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2024秋 番禺区期中）若关于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据方程根的定义，把问题转化为关于a的方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一个根是0，
∴a﹣2＝0，
∴a＝2，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
3．（2024 咸宁二模）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C． D．x1x2＝7
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和与两根之积，进行判断即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
∴x1+x26，x1x27．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积．
4．（2024秋 永春县校级期中）对于实数a、b，定义新运算，规则如下：aΔb＝b2﹣ab，则等式6Δx＝7中x的值为（ ）
A．1或﹣7 B．﹣1或7 C．﹣1 D．﹣7
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用新运算的规定列出方程，解方程求解即可得出结论．
【解答】解：∵aΔb＝b2﹣ab，6Δx＝7，
∴x2﹣6x＝7，
∴x2﹣6x﹣7＝0，
∴（x+1）（x﹣7）＝0，
∴x+1＝0或x﹣7＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝7．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
5．（2024春 仓山区校级期末）是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0
C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤对各选项逐项判断即可．
【解答】解：A．方程2x2+3x+1＝0的解为：，故符合题意；
B．方程2x2﹣3x+1＝0的解为：，故不符合题意；
C．方程2x2+3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意；
D．方程2x2﹣3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是记住公式法解方程．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 铁西区期中）方程x2+3x﹣3＝x2+1 不是 一元二次方程（填“是”或“不是”）．
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】不是．
【分析】把方程移项，合并后为3x﹣4＝0，据此判定．
【解答】解：方程x2+3x﹣3＝x2+1，
移项，合并，得：3x﹣4＝0，
所以根据一元二次方程的定义可知，这是一元一次方程，不是一元二次方程，
故答案为：不是．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是先化简，再判定．
7．（2024秋 番禺区期中）若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣3a2+6a+2024的值为 2021 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2021．
【分析】利用整体代入的思想解决问题即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴﹣3a2+6a＝﹣3，
∴﹣3a2+6a+2024＝2021．
故答案为：2021．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
8．（2024秋 津南区校级期中）将一元二次方程4x2﹣5x＝81化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项的和为 ﹣82 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣82．
【分析】根据一元二次方程的定义先求出二次项系数，一次项系数，常数项，再求出它们的和即可．
【解答】解：将一元二次方程4x2﹣5x＝81变为一般形式为：4x2﹣5x﹣81＝0，
∴根据一元二次方程的定义，二次项系数为：4，一次项系数为：﹣5，常数项为：﹣81，
所以一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为：4+（﹣5）+（﹣81）＝﹣1﹣81＝﹣82．
故答案为：﹣82．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的定义是解答关键．
9．（2024 任城区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【专题】整式；数感．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值即可．
【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0，得
a﹣1+a2﹣a＝0，
解得：a1＝1，a2＝﹣1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式．
10．（2024秋 三明期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则可列方程是 x2﹣60x+864＝0 （方程化为一般形式）．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；数学常识．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】x2﹣60x+864＝0．
【分析】根据长与宽之间的关系，可得出宽为（60﹣x）步，结合矩形面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，将其化为一般形式即可得出结论．
【解答】解：∵长与宽和为60步，且长为x步，
∴宽为（60﹣x）步．
依题意得：x（60﹣x）＝864，
即x2﹣60x+864＝0．
故答案为：x2﹣60x+864＝0．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 大连期中）某商场销售一种商品，经市场调查发现，每件盈利20元，每星期可卖出300件．为吸引顾客，商场决定在“双十一”期间进行促销活动．若每件商品降价1元，每星期可多卖出20件．
（1）为了实现该商品每星期3000元的销售利润，则每件需降价多少元？
（2）该商品每星期的销售利润能否达到6200元？如果能，求出每件盈利；如果不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）每件需降价15元；
（2）该商品每星期的销售利润不能达到6200元，理由见解答．
【分析】（1）设每件降价x元，则每件盈利（20﹣x）元，每星期可卖出（300+20x）件，利用总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）假设该商品每星期的销售利润能达到6200元，设每件降价y元，则每件盈利（20﹣y）元，每星期可卖出（300+20y）件，利用总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣15＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该商品每星期的销售利润不能达到6200元．
【解答】解：（1）设每件降价x元，则每件盈利（20﹣x）元，每星期可卖出（300+20x）件，
根据题意得：（20﹣x）（300+20x）＝3000，
整理得：x2﹣5x﹣150＝0，
解得：x1＝﹣10（不符合题意，舍去），x2＝15．
答：每件需降价15元；
（2）该商品每星期的销售利润不能达到6200元，理由如下：
假设该商品每星期的销售利润能达到6200元，设每件降价y元，则每件盈利（20﹣y）元，每星期可卖出（300+20y）件，
根据题意得：（20﹣y）（300+20y）＝6200，
整理得：y2﹣5y+10＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×10＝﹣15＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即该商品每星期的销售利润不能达到6200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
12．（2024秋 东川区期中）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0．
（1）判断此方程根的情况；
（2）若x＝﹣2是该方程的一个根，求代数式2m2+8m﹣3的值．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）﹣5．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＞0，从而根据根的判别式的意义可判断方程根的情况；
（2）先根据一元二次方程解的定义得到m2+4m＝﹣1，再把2m2+8m﹣3变形为2（m2+4m）﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣3）
＝4m2﹣4m2+12
＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）把x＝﹣2代入方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0得4+4m+m2﹣3＝0，
∴m2+4m＝﹣1，
∴2m2+8m﹣3＝2（m2+4m）﹣3＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．（2024秋 南昌期中）解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）5（x﹣2）2＝x2﹣4．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝3，x2＝3；
（2）x1＝2，x2＝3．
【分析】（1）先利用配方法得到（x﹣3）2＝13，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项，再利用因式分解法把原方程转化为x﹣2＝0或5x﹣10﹣x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x＝4，
x2﹣6x+9＝13，
（x﹣3）2＝13，
x﹣3＝±，
所以x1＝3，x2＝3；
（2）5（x﹣2）2＝x2﹣4．
5（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（5x﹣10﹣x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或5x﹣10﹣x﹣2＝0，
所以x1＝2，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
14．（2024秋 南昌期中）关于x的一元二次方程x2﹣（3+m）x+3m＝0．
（1）试判断该方程根的情况；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且2x1﹣x1x2+2x2＝12，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式判断即可；
（2）根据2x1﹣x1x2+2x2＝12求出m即可．
【解答】解：（1）Δ＝[﹣（3+m）]2﹣4×3m×1＝m2+6m+9﹣12m＝（m﹣3）2，
∴当m＝3时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根；
当m≠3时，△＞0，方程有两个不相等的实数根．
（2）由题意得，
∵2x1﹣x1x2+2x2＝12，
∴2（3+m）﹣3m＝12，
解得：m＝﹣6．
【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，分情况讨论是解答本题的关键．
15．（2024秋 江津区期中）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房层的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的边AB为多少米时，能围成一个面积为640m2的兰圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）当羊圈的边AB的长为16m或20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈；
（2）羊圈的面积不能达到650m2，理由详见解析．
【分析】（1）设羊圈的边AB为x m，则边BC的长为70﹣2x+2＝（72﹣2x）m，根据围成一个面积为640m2的兰圈列出方程，解方程即可得到答案；
（2）根据（1）中的方程得到x（72﹣2x）＝650，再求出此方程的根的判别式小于0，即可得到结论．
【解答】解：（1）设羊圈的边AB为x m，则边BC的长为70﹣2x+2＝（72﹣2x）m，根据题意得x（72﹣2x）＝640，
化简得，x2﹣36x+320＝0，
解方程得x1＝16，x2＝20，
当x1＝16时，72﹣2x＝40；
当x2＝20时，72﹣2x＝32；
答：当羊圈的边AB的长为16m或20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈．
（2）不能，
理由如下：x（72﹣2x）＝650，
化简得，x2﹣36x+325＝0，
∵Δ＝362﹣4×325＝﹣4＜0，
∴该方程没有实数根，
∴羊圈的面积不能达到650m2．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，根据题意中的等量关系列出方程是解题的关键．
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预习衔接.夯实基础 一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 番禺区期中）青山村种的水稻2023年平均每公顷产720kg，2025年平均每公顷产845kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则根据题意列出方程为（ ）
A．720（1+x）2＝845 B．720（1+2x）＝845
C．720x+720x2＝845 D．720（1+x2）＝845
2．（2024秋 番禺区期中）若关于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
3．（2024 咸宁二模）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C． D．x1x2＝7
4．（2024秋 永春县校级期中）对于实数a、b，定义新运算，规则如下：aΔb＝b2﹣ab，则等式6Δx＝7中x的值为（ ）
A．1或﹣7 B．﹣1或7 C．﹣1 D．﹣7
5．（2024春 仓山区校级期末）是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0
C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 铁西区期中）方程x2+3x﹣3＝x2+1 一元二次方程（填“是”或“不是”）．
7．（2024秋 番禺区期中）若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣3a2+6a+2024的值为 ．
8．（2024秋 津南区校级期中）将一元二次方程4x2﹣5x＝81化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项的和为 ．
9．（2024 任城区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 ．
10．（2024秋 三明期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则可列方程是 （方程化为一般形式）．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 大连期中）某商场销售一种商品，经市场调查发现，每件盈利20元，每星期可卖出300件．为吸引顾客，商场决定在“双十一”期间进行促销活动．若每件商品降价1元，每星期可多卖出20件．
（1）为了实现该商品每星期3000元的销售利润，则每件需降价多少元？
（2）该商品每星期的销售利润能否达到6200元？如果能，求出每件盈利；如果不能，请说明理由．
12．（2024秋 东川区期中）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0．
（1）判断此方程根的情况；
（2）若x＝﹣2是该方程的一个根，求代数式2m2+8m﹣3的值．
13．（2024秋 南昌期中）解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）5（x﹣2）2＝x2﹣4．
14．（2024秋 南昌期中）关于x的一元二次方程x2﹣（3+m）x+3m＝0．
（1）试判断该方程根的情况；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且2x1﹣x1x2+2x2＝12，求m的值．
15．（2024秋 江津区期中）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房层的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的边AB为多少米时，能围成一个面积为640m2的兰圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
预习衔接.夯实基础 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 番禺区期中）青山村种的水稻2023年平均每公顷产720kg，2025年平均每公顷产845kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．若设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则根据题意列出方程为（ ）
A．720（1+x）2＝845 B．720（1+2x）＝845
C．720x+720x2＝845 D．720（1+x2）＝845
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】利用青山村种的水稻2025年平均每公顷的产量＝青山村种的水稻2023年平均每公顷的产量×（1+水稻每公顷产量的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：720（1+x）2＝845．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2024秋 番禺区期中）若关于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据方程根的定义，把问题转化为关于a的方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+a﹣2＝0的一个根是0，
∴a﹣2＝0，
∴a＝2，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
3．（2024 咸宁二模）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C． D．x1x2＝7
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和与两根之积，进行判断即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
∴x1+x26，x1x27．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积．
4．（2024秋 永春县校级期中）对于实数a、b，定义新运算，规则如下：aΔb＝b2﹣ab，则等式6Δx＝7中x的值为（ ）
A．1或﹣7 B．﹣1或7 C．﹣1 D．﹣7
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用新运算的规定列出方程，解方程求解即可得出结论．
【解答】解：∵aΔb＝b2﹣ab，6Δx＝7，
∴x2﹣6x＝7，
∴x2﹣6x﹣7＝0，
∴（x+1）（x﹣7）＝0，
∴x+1＝0或x﹣7＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝7．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
5．（2024春 仓山区校级期末）是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0
C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤对各选项逐项判断即可．
【解答】解：A．方程2x2+3x+1＝0的解为：，故符合题意；
B．方程2x2﹣3x+1＝0的解为：，故不符合题意；
C．方程2x2+3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意；
D．方程2x2﹣3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是记住公式法解方程．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 铁西区期中）方程x2+3x﹣3＝x2+1 不是 一元二次方程（填“是”或“不是”）．
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】不是．
【分析】把方程移项，合并后为3x﹣4＝0，据此判定．
【解答】解：方程x2+3x﹣3＝x2+1，
移项，合并，得：3x﹣4＝0，
所以根据一元二次方程的定义可知，这是一元一次方程，不是一元二次方程，
故答案为：不是．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是先化简，再判定．
7．（2024秋 番禺区期中）若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣3a2+6a+2024的值为 2021 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2021．
【分析】利用整体代入的思想解决问题即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴﹣3a2+6a＝﹣3，
∴﹣3a2+6a+2024＝2021．
故答案为：2021．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
8．（2024秋 津南区校级期中）将一元二次方程4x2﹣5x＝81化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项的和为 ﹣82 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣82．
【分析】根据一元二次方程的定义先求出二次项系数，一次项系数，常数项，再求出它们的和即可．
【解答】解：将一元二次方程4x2﹣5x＝81变为一般形式为：4x2﹣5x﹣81＝0，
∴根据一元二次方程的定义，二次项系数为：4，一次项系数为：﹣5，常数项为：﹣81，
所以一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为：4+（﹣5）+（﹣81）＝﹣1﹣81＝﹣82．
故答案为：﹣82．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的定义是解答关键．
9．（2024 任城区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【专题】整式；数感．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值即可．
【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0，得
a﹣1+a2﹣a＝0，
解得：a1＝1，a2＝﹣1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式．
10．（2024秋 三明期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则可列方程是 x2﹣60x+864＝0 （方程化为一般形式）．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；数学常识．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】x2﹣60x+864＝0．
【分析】根据长与宽之间的关系，可得出宽为（60﹣x）步，结合矩形面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，将其化为一般形式即可得出结论．
【解答】解：∵长与宽和为60步，且长为x步，
∴宽为（60﹣x）步．
依题意得：x（60﹣x）＝864，
即x2﹣60x+864＝0．
故答案为：x2﹣60x+864＝0．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 大连期中）某商场销售一种商品，经市场调查发现，每件盈利20元，每星期可卖出300件．为吸引顾客，商场决定在“双十一”期间进行促销活动．若每件商品降价1元，每星期可多卖出20件．
（1）为了实现该商品每星期3000元的销售利润，则每件需降价多少元？
（2）该商品每星期的销售利润能否达到6200元？如果能，求出每件盈利；如果不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）每件需降价15元；
（2）该商品每星期的销售利润不能达到6200元，理由见解答．
【分析】（1）设每件降价x元，则每件盈利（20﹣x）元，每星期可卖出（300+20x）件，利用总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）假设该商品每星期的销售利润能达到6200元，设每件降价y元，则每件盈利（20﹣y）元，每星期可卖出（300+20y）件，利用总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣15＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该商品每星期的销售利润不能达到6200元．
【解答】解：（1）设每件降价x元，则每件盈利（20﹣x）元，每星期可卖出（300+20x）件，
根据题意得：（20﹣x）（300+20x）＝3000，
整理得：x2﹣5x﹣150＝0，
解得：x1＝﹣10（不符合题意，舍去），x2＝15．
答：每件需降价15元；
（2）该商品每星期的销售利润不能达到6200元，理由如下：
假设该商品每星期的销售利润能达到6200元，设每件降价y元，则每件盈利（20﹣y）元，每星期可卖出（300+20y）件，
根据题意得：（20﹣y）（300+20y）＝6200，
整理得：y2﹣5y+10＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×10＝﹣15＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即该商品每星期的销售利润不能达到6200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
12．（2024秋 东川区期中）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0．
（1）判断此方程根的情况；
（2）若x＝﹣2是该方程的一个根，求代数式2m2+8m﹣3的值．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）﹣5．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＞0，从而根据根的判别式的意义可判断方程根的情况；
（2）先根据一元二次方程解的定义得到m2+4m＝﹣1，再把2m2+8m﹣3变形为2（m2+4m）﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣3）
＝4m2﹣4m2+12
＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）把x＝﹣2代入方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0得4+4m+m2﹣3＝0，
∴m2+4m＝﹣1，
∴2m2+8m﹣3＝2（m2+4m）﹣3＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．（2024秋 南昌期中）解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）5（x﹣2）2＝x2﹣4．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝3，x2＝3；
（2）x1＝2，x2＝3．
【分析】（1）先利用配方法得到（x﹣3）2＝13，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项，再利用因式分解法把原方程转化为x﹣2＝0或5x﹣10﹣x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x＝4，
x2﹣6x+9＝13，
（x﹣3）2＝13，
x﹣3＝±，
所以x1＝3，x2＝3；
（2）5（x﹣2）2＝x2﹣4．
5（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（5x﹣10﹣x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或5x﹣10﹣x﹣2＝0，
所以x1＝2，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
14．（2024秋 南昌期中）关于x的一元二次方程x2﹣（3+m）x+3m＝0．
（1）试判断该方程根的情况；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且2x1﹣x1x2+2x2＝12，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式判断即可；
（2）根据2x1﹣x1x2+2x2＝12求出m即可．
【解答】解：（1）Δ＝[﹣（3+m）]2﹣4×3m×1＝m2+6m+9﹣12m＝（m﹣3）2，
∴当m＝3时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根；
当m≠3时，△＞0，方程有两个不相等的实数根．
（2）由题意得，
∵2x1﹣x1x2+2x2＝12，
∴2（3+m）﹣3m＝12，
解得：m＝﹣6．
【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，分情况讨论是解答本题的关键．
15．（2024秋 江津区期中）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房层的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的边AB为多少米时，能围成一个面积为640m2的兰圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）当羊圈的边AB的长为16m或20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈；
（2）羊圈的面积不能达到650m2，理由详见解析．
【分析】（1）设羊圈的边AB为x m，则边BC的长为70﹣2x+2＝（72﹣2x）m，根据围成一个面积为640m2的兰圈列出方程，解方程即可得到答案；
（2）根据（1）中的方程得到x（72﹣2x）＝650，再求出此方程的根的判别式小于0，即可得到结论．
【解答】解：（1）设羊圈的边AB为x m，则边BC的长为70﹣2x+2＝（72﹣2x）m，根据题意得x（72﹣2x）＝640，
化简得，x2﹣36x+320＝0，
解方程得x1＝16，x2＝20，
当x1＝16时，72﹣2x＝40；
当x2＝20时，72﹣2x＝32；
答：当羊圈的边AB的长为16m或20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈．
（2）不能，
理由如下：x（72﹣2x）＝650，
化简得，x2﹣36x+325＝0，
∵Δ＝362﹣4×325＝﹣4＜0，
∴该方程没有实数根，
∴羊圈的面积不能达到650m2．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，根据题意中的等量关系列出方程是解题的关键．
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