23.3相似三角形（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版

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预习衔接.夯实基础 相似三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 大连期中）数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端C，此时∠AEB＝∠CED，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为1.5m，同时测得BE＝30cm，BD＝2.3m，则旗杆的高度为（　　）
A．10m B．11.5m C．22.5m D．40m
2．（2024秋 兰州期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD＝1.5cm，则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 德州）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（　　）
A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1
4．（2024 罗湖区校级模拟）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 虹口区期中）如图，在 ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，如果S△DEF＝3，那么 ABCD的面积为（　　）
A．6 B．12 C．24 D．36
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 历下区期中）坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼DE的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC保持水平，点A，B，D在同一直线上，∠AFE＝∠DEF＝90°，测得．AB＝0.15m，BC＝0.2m，AF＝1.7m，EF＝37.5m，则超然楼的高度DE＝ 　 　m．
7．（2024秋 嘉定区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝10，那么GE＝ 　 　．
8．（2024秋 嘉定区期中）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，如果，那么　 　．
9．（2024秋 济南期中）如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分别为A，B．若测得影长AB＝16米，DA＝3米，影长CA＝4米，则楼高EB为 　 　米．
10．（2024秋 龙岗区期中）图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm．如图（c），当夹子完全张开时（即A，B两点重合），夹嘴间的距离CD的长为 　 　mm．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 嘉定区期中）如图，点D、E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD AB＝AE AC，DF∥BE．求证：△ADF∽△ACD．
12．（2024秋 永春县校级期中）如图，在Rt△ABC中，D是BC边上的一点，∠C＝90°，BC＝8，，BD＝5．
（1）在AB上找一点E，连结DE，使△BDE与△ABC相似（尺规作图）；
（2）根据你画出的图形，计算BE的长度．
13．（2024秋 碑林区校级期中）已知△ABC和△DEF中，有．且△ABC和△DEF的周长之差为15厘米，求△ABC和△DEF的周长．
14．（2024秋 碑林区校级期中）如图，△ABC中，AB＝7厘米，AC＝15厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
15．（2024秋 崇明区期中）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG FE．
（1）求证：△FAG∽△FEA；
（2）求证：AG BF＝AE DF．
预习衔接.夯实基础 相似三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 大连期中）数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端C，此时∠AEB＝∠CED，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为1.5m，同时测得BE＝30cm，BD＝2.3m，则旗杆的高度为（　　）
A．10m B．11.5m C．22.5m D．40m
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】根据镜面反射性质，可求出∠AEB＝∠CED，再利用垂直求∠ABE＝∠CDE＝90°，得出△AEB∽△CED，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案．
【解答】解：由题意得，AB＝1.5m，BE＝0.3m，
根据镜面反射可知：∠AEB＝∠CED，
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°，
∴△AEB∽△CED，
∴，
∵BD＝2.3m，
∴ED＝2m，
∴，
解得CD＝10，
则旗杆的高度为10米．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．
2．（2024秋 兰州期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD＝1.5cm，则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵BC＝3cm，DE＝1cm
∴，
解得：AD，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3．（2024 德州）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（　　）
A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】设AB＝3x，BC＝4x，根据勾股定理得到AC5x，根据相似三角形的性质得到ADx，根据等腰三角形的性质得到BE＝BF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴ADx，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，
∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
4．（2024 罗湖区校级模拟）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
5．（2024秋 虹口区期中）如图，在 ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，如果S△DEF＝3，那么 ABCD的面积为（　　）
A．6 B．12 C．24 D．36
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【答案】D
【分析】先证明△EFD∽△CFB，依据相似三角形的性质得到△BFC的面积为12，设△DFC的面积为x，然后依据△EDC的面积等于△BCD的面积的一半列方程求得△FCD的面积，从而得到△BCD的面积，最后依据S ABCD＝2S△BCD求解即可．
【解答】解：∵ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴△EFD∽△CFB．
又∵E是AD的中点，
∴DECB．
∴S△BCF＝4S△EDF＝12．
设S△DFC＝x，则3+x（12+x），
解得：x＝6．
∴S△BCD＝12+6＝18．
∴S ABCD＝2S△BCD＝36．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 历下区期中）坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼DE的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC保持水平，点A，B，D在同一直线上，∠AFE＝∠DEF＝90°，测得．AB＝0.15m，BC＝0.2m，AF＝1.7m，EF＝37.5m，则超然楼的高度DE＝ 　51.7　m．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】51.7．
【分析】证明△ABC∽△AHD，得出，代入数据求出DH的长即可推出结果．
【解答】解：如图，
由题意可知，∠ABC＝∠AHD＝90°，HE＝AF＝1.7m，AH＝EF＝37.5m，
又∵∠BAC＝∠HAD，
∴△ABC∽△AHD，
∴，
∴，
∴DH＝50，
∴DE＝DH+EH＝50+1.7＝51.7（m），
故答案为：51.7．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（2024秋 嘉定区期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝10，那么GE＝ 　5　．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【答案】5．
【分析】由题意可证△GAE∽△CDE，可得，即可求GE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△GAE∽△CDE，
∴，
∵DE＝2AE，CE＝10，
∴，
∴GE＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是得到△GAE∽△CDE．
8．（2024秋 嘉定区期中）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，如果，那么　　．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】．
【分析】由DE∥AB可得，进而结合题干中的条件得到AE＝DE，即可求解．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴，
又∵，
∴，
又∵AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAE，
∴AE＝DE，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、角平分线的定义；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
9．（2024秋 济南期中）如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分别为A，B．若测得影长AB＝16米，DA＝3米，影长CA＝4米，则楼高EB为 　12　米．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】12．
【分析】根据垂直定义可得∠DAC＝∠EBA＝90°，再利用平行线的性质可得∠DCA＝∠EAB，从而可得△DCA∽△EAB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵DA⊥CB，EB⊥CB，
∴∠DAC＝∠EBA＝90°，
∵DC∥EA，
∴∠DCA＝∠EAB，
∴△DCA∽△EAB，
∴，
∴，
解得：EB＝12，
∴楼高EB为12米，
故答案为：12．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2024秋 龙岗区期中）图（a）是燕尾夹，图（b）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC，BD可分别绕点M，N旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm．如图（c），当夹子完全张开时（即A，B两点重合），夹嘴间的距离CD的长为 　14　mm．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】14．
【分析】连接CD，根据已知可证△AMN∽△ACD，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：连接CD，如图，
∵AM＝BN＝20mm，CM＝DN＝15mm，MN＝8mm，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ACD，
∴，
∴CD14（mm），
∴夹嘴间的距离CD为14mm；
故答案为：14．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 嘉定区期中）如图，点D、E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD AB＝AE AC，DF∥BE．求证：△ADF∽△ACD．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见解析过程．
【分析】通过证明△ACD∽△ABE，可得∠B＝∠C，可得∠ADF＝∠C，即可求解．
【解答】证明：∵AD AB＝AE AC，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABE，
∴∠B＝∠C，
∵DF∥BE，
∴∠ADF＝∠B，
∴∠ADF＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADF∽△ACD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
12．（2024秋 永春县校级期中）如图，在Rt△ABC中，D是BC边上的一点，∠C＝90°，BC＝8，，BD＝5．
（1）在AB上找一点E，连结DE，使△BDE与△ABC相似（尺规作图）；
（2）根据你画出的图形，计算BE的长度．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）或2．
【分析】（1）过D点作BC的垂线交AB于点E，或过D点作AB的垂线，垂足为E点，则△BDE与△ABC相似；
（2）如图1，证明△BDE∽△BCA得到；如图2，证明△BDE∽△BAC得到，然后利用比例的性质求出对应的BE的长．
【解答】解：（1）如图1，如图2，点E为所作；
（2）如图1，
∵∠BDE＝∠C＝90°，∠DBE＝∠CBA，
∴△BDE∽△BCA，
∴，即，
解得DE；
如图2，
∵∠BED＝∠C＝90°，∠DBE＝∠ABC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，即，
解得DE＝2；
综上所述，BE的长为或2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
13．（2024秋 碑林区校级期中）已知△ABC和△DEF中，有．且△ABC和△DEF的周长之差为15厘米，求△ABC和△DEF的周长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】△ABC的周长是10厘米，△DEF的周长是25厘米．
【分析】设△ABC和△DEF的周长分别是x厘米和y厘米，根据，则△ABC∽△DEF，通过性质可得，由y﹣x＝15，然后解方程组即可．
【解答】解：设△ABC的周长是x厘米，△DEF的周长是y厘米，
∵，
∴△ABC∽△DEF，
∴①，
由题意可得：y﹣x＝15②，
由①式得③，
将③式代入②式得：，
∴y＝25，
将y＝25代入③式得：x＝10，
答：△ABC的周长是10厘米，△DEF的周长是25厘米．
【点评】本题考查了相似三角形判定与性质，解二元一次方程组，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2024秋 碑林区校级期中）如图，△ABC中，AB＝7厘米，AC＝15厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】运动时间是秒．
【分析】首先设运动了t秒，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析得出t的值，再由“其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动”可得t的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：设运动了t秒．
根据题意得：AP＝2t cm，CQ＝3t cm，则AQ＝AC﹣CQ＝（15﹣3t）cm，
当△APQ∽△ABC时，，
即，
解得，
当△APQ∽△ACB时，，
即，
解得，
∵其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，
∴P点运动时长最多为秒，Q点运动时长最多为15÷3＝5秒，
∴，
∵，，
∴，
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是秒．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应边的比相等．
15．（2024秋 崇明区期中）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG FE．
（1）求证：△FAG∽△FEA；
（2）求证：AG BF＝AE DF．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】（1）利用AF2＝FG FE和∠AFG＝∠EFA可判断△FAG∽△FEA；
（2）根据相似三角形的性质，由△FAG∽△FEA得到，∠FAG＝∠E，再证明∠FBD＝∠FAG，于是可判断△BDF∽△AGF，根据相似三角形的性质和比例的性质得到，接着利用等量代换得到，然后根据比例的性质得到结论．
【解答】证明：（1）∵AF2＝FG FE，
∴，
∵∠AFG＝∠EFA，
∴△FAG∽△FEA；
（2）∵△FAG∽△FEA，
∴，∠FAG＝∠E，
∵AE∥BC，
∴∠FBD＝∠E，
∴∠FBD＝∠FAG，
∵∠BFD＝∠AFG，
∴△BDF∽△AGF，
∴，
∴，
∴，
∴AG BF＝AE DF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行线的性质．
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