23.5位似图形（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版

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预习衔接.夯实基础 位似图形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 宝安区期中）如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，下列说法错误的是（　　）
A．AC∥A'C'
B．S△A'B′C′：S△ABC＝9：25
C．△BCO～△B'C'O
D．OB′：BB′＝5：3
2．（2024秋 大连期中）利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点O为位似中心，设计“MATH”中字母“M”美术字的一种方法．若AB＝5，A'B'＝3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 铁西区期中）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OA：AD＝1：2，DF﹣AC＝8，则DF+AC为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．18
4．（2024秋 武强县期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AD，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
5．（2024秋 饶阳县期中）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，且点O在边AA′上．若AA′＝3OA，BC＝5，则B′C′的长为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长春期中）如图，以点A为位似中心的四边形ABCD和四边形AB′C′D′面积比为9：4，若AB＝6，则AB′的长为 　 　．
7．（2024秋 农安县期中）按下列方法，将△ABC的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，FD得到△DEF，则下列说法正确的序号有 　 　．
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；
④△ABC与△DEF的面积之比为2：1．
8．（2024春 河口区期末）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为 　 　．
9．（2024 久治县二模）如图，以点A为位似中心，把△ABC按相似比3：1放大得到△ADE，连接CD．若△ABC的面积为6，则△CDE的面积为 　 　．
10．（2024 东港区校级二模）《墨子 天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB＝2：1，则四边形A′B′C′D′的周长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 市南区校级期中）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B1的坐标；
（2）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标．
12．（2024秋 福田区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为（a，b），直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．
13．（2024秋 碑林区校级期中）尺规作图：如图，在矩形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）
14．（2024秋 碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格格点上，且点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（4，2），C（2，4）．
（1）以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；
（2）在（1）的条件下，求△A1B1C1的面积．
15．（2024秋 泰兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D是AB的中点．请用无刻度直尺和圆规在AC边上作出点E，使△ADE∽△ACB，并求AE的长．
预习衔接.夯实基础 位似图形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 宝安区期中）如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，下列说法错误的是（　　）
A．AC∥A'C'
B．S△A'B′C′：S△ABC＝9：25
C．△BCO～△B'C'O
D．OB′：BB′＝5：3
【考点】位似变换；平行线的判定．
【专题】图形的相似；几何直观；应用意识．
【答案】D
【分析】结合位似图形的定义、相似三角形的判定与性质逐项判断即可．
【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，
∴AC∥A'C'，△A'B'C'∽△ABC，且相似比为3：5，
∴S△A'B'C'：S△ABC＝9：25．
故A，B选项正确，不符合题意；
∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，
∴BC∥B'C'，
∴∠C'B'O＝∠CBO，∠B'C'O＝∠BCO，
∴△BCO～△B'C'O，
故C选项正确，不符合题意；
∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，
∴OB'：OB＝3：5，
∴OB′：BB′＝3：2．
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查位似变换、平行线的判定，熟练掌握位似图形的定义、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
2．（2024秋 大连期中）利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点O为位似中心，设计“MATH”中字母“M”美术字的一种方法．若AB＝5，A'B'＝3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】B
【分析】根据位似图形的性质知：，代入数值求解即可．
【解答】解：∵该图形是以点O为位似中心，
∴．
∵AB＝5，A'B'＝3，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换．位似变换的两个图形相似．根据相似多边形对应边成比例．
3．（2024秋 铁西区期中）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OA：AD＝1：2，DF﹣AC＝8，则DF+AC为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．18
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】首先根据题意可知，再结合位似图形的性质可得，结合DF﹣AC＝8解得AC、DF的值，进而可得答案．
【解答】解：△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，OA：AD＝1：2，
∴，
∴，
∴DF＝3AC，
∵DF﹣AC＝8，
∴3AC﹣AC＝2AC＝8，
解得AC＝4，
∴DF＝3AC＝12，
∴DF+AC＝12+4＝16．
故选：C．
【点评】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似图形的定义和性质是解题关键．
4．（2024秋 武强县期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AD，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】结合题意可得△ABC与△DEF的位似比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为2：3，进而可得答案．
【解答】解：∵OA＝2AD，
∴OA：OD＝2：3．
∵△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，
∴△ABC与△DEF的位似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：3．
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长为6．
故选：A．
【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
5．（2024秋 饶阳县期中）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，且点O在边AA′上．若AA′＝3OA，BC＝5，则B′C′的长为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据位似图形的定义得到AC∥A′C′，得到△AOC∽△A′OC′，根据相似三角形的性质求出，进而求出，计算即可．
【解答】解：∵AA′＝3OA，
∴OA：OA′＝1：2，
∵△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，
∴AC∥A′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴，
∴，
∵BC＝5，
∴B′C′＝10，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的定义、相似三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长春期中）如图，以点A为位似中心的四边形ABCD和四边形AB′C′D′面积比为9：4，若AB＝6，则AB′的长为 　4　．
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；几何直观；应用意识．
【答案】4．
【分析】由题意得四边形ABCD与四边形AB′C′D′的相似比为3：2，即AB：AB'＝3：2，进而可得答案．
【解答】解：∵以点A为位似中心的四边形ABCD和四边形AB′C′D′面积比为9：4，
∴四边形ABCD与四边形AB′C′D′的相似比为3：2，
∴AB：AB'＝3：2，
∵AB＝6，
∴AB′＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
7．（2024秋 农安县期中）按下列方法，将△ABC的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，FD得到△DEF，则下列说法正确的序号有 　①②③　．
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；
④△ABC与△DEF的面积之比为2：1．
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】①②③．
【分析】根据位似变换的定义和性质判断即可．
【解答】解：由题意可知：△ABC与△DEF是位似图形，故①说法正确；
△ABC与△DEF是相似图形，故②说法正确；
△ABC与△DEF的周长之比为2：1，故③说法正确；
△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故④说法错误；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
8．（2024春 河口区期末）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为 　4：9　．
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】4：9．
【分析】根据位似图形的性质和OA：OA′＝2：3得到四边形ABCD和A′B′C′D′的相似比为2：3，即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，且OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD和A′B′C′D′的相似比为2：3，
∴四边形与四边形的面积比为4：9．
故答案为4：9．
【点评】此题考查了位似变换，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
9．（2024 久治县二模）如图，以点A为位似中心，把△ABC按相似比3：1放大得到△ADE，连接CD．若△ABC的面积为6，则△CDE的面积为 　36　．
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】36．
【分析】根据位似变换的性质及三角形的面积公式求解．
【解答】解：∵△ABC按相似比3：1放大得到△ADE，
∴△ABC与△ADE的面积比为9：1，AB：DB＝1：2，
∴△ADE的面积为54，△BDC的面积为12，
∴△CDE的面积为：54﹣6﹣12＝36，
故答案为：36．
【点评】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质及三角形的面积公式的解题的关键．
10．（2024 东港区校级二模）《墨子 天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB＝2：1，则四边形A′B′C′D′的周长为 　8　．
【考点】位似变换；正方形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】利用“相似多边形的周长之比等于相似比”求得答案．
【解答】解：根据题意知，正方形ABCD∽正方形A'B'C'D'，且相似比为：AB：A'B'＝2：1，
∴正方形ABCD的周长：四边形A'B'C'D'的周长＝AB：A'B'＝2：1．
∵正方形ABCD的周长为4，
∴四边形A′B′C′D′的周长为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查位似变换，相似多边形的性质，圆的周长等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 市南区校级期中）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B1的坐标；
（2）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）画图见解答；点P的坐标为（﹣5，﹣1），点B1的坐标为（3，﹣5）．
（2）点M2的坐标为（2a+5，2b+1）．
【分析】（1）连接O1O，A1A，B1B，并分别延长相交于点P，则点P即为所求，由图可得答案．
（2）根据题意可得点M2的坐标为（2a+5，2b+1）．
【解答】解：（1）如图，连接O1O，A1A，B1B，并分别延长相交于点P，
则点P即为所求．
由图可得，点P的坐标为（﹣5，﹣1），点B1的坐标为（3，﹣5）．
（2）由题意得，点M2的坐标为（2a+5，2b+1）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
12．（2024秋 福田区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为（a，b），直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．
【考点】作图﹣位似变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）点P2的坐标为：（2a，2b）．
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点坐标位置进而得出答案；
（2）画出一个以点O为位似中心的△A2B2C2，使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2即可；
（3）根据相似比即可求得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求三角形．
（2）如图所示，△A2B2C2为所求角形．
（3）由题意可知△A2B2C2∽△A2B2C2，且相似比为2：1，
∴当点P1的坐标为（a，b）时，对应点P2的坐标为：（2a，2b）．
【点评】本题考查了平移作图，画位似图形，数形结合是解题的关键．
13．（2024秋 碑林区校级期中）尺规作图：如图，在矩形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图﹣相似变换；矩形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】过点D作DP⊥AM于P，则点P即为所求．
【解答】解：如图所示，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换，矩形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
14．（2024秋 碑林区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格格点上，且点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（4，2），C（2，4）．
（1）以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；
（2）在（1）的条件下，求△A1B1C1的面积．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）12．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为24﹣4﹣8＝12．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
15．（2024秋 泰兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D是AB的中点．请用无刻度直尺和圆规在AC边上作出点E，使△ADE∽△ACB，并求AE的长．
【考点】作图﹣相似变换．
【专题】图形的相似；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】作图见解析，AE＝1.8．
【分析】以C为圆心，DA为半径作弧与CB，CA相交，两交点确定线段a，以D为圆心，DA为半径作弧，以A为圆心，线段a为半径作弧，两弧交于一点，连接点D与交点并延长与CA相交，即为点E；由△ADE∽△ACB得到，代入数据即可求解AE．
【解答】解：作图如下；
∵△ADE∽△ACB，
∴，
∵AB＝6，AC＝10，点D是AB的中点，
∴AD＝3，
∴，
解得：AE＝1.8．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．
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