24.2直角三角形的性质（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版
文档属性
| 名称 | 24.2直角三角形的性质（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 261.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-17 21:21:14 | ||
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文档简介
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预习衔接.夯实基础 直角三角形的性质
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 香坊区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AB的垂线交BC于D，BD＝4，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
2．（2024秋 蜀山区校级期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A＝2∠B＝3∠C，③∠A：∠B：∠C＝1：2：3，④∠A＝90°﹣∠B，⑤中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2024秋 贵阳期中）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
4．（2024 灵山县一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝6，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则BC的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2024 霍山县三模）如图，△ABC与△CDE均为直角三角形，AB交CD于点F，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，∠ECB＝α，则∠CFB＝（ ）
A．α+90° B．α+45° C．105°﹣α D．180°﹣α
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 海淀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段AB的长是 ；线段BF长的最大值是 ．
7．（2024秋 天河区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则AB的长为 ．
8．（2024秋 惠城区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝3，则AC＝ ．
9．（2024秋 重庆期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AF＝4，则BC＝ ．
10．（2024秋 如东县期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝30°，P是BC上任意一点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则PM+PN的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 亭湖区期中）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，AC＝26，BD＝24．求MN的长．
12．（2024秋 溧阳市期中）如图所示，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC到E，使得CE＝AC，求证：AB＝AE．
13．（2024 北京模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．
14．（2024秋 璧山区期末）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？
15．（2024秋 宿迁期末）如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．
预习衔接.夯实基础 直角三角形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 香坊区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AB的垂线交BC于D，BD＝4，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，求出∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，得到∠DAC＝∠C，因此AD＝DC，由含30°角的直角三角形的性质得到BD＝2AD，推出AD＝CD＝2即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵DA⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝DC，
∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，
∴BD＝2AD＝4，
∴AD＝CD＝2，
∴CD＝2．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，关键是由以上知识点推出AD＝DC，BD＝2AD．
2．（2024秋 蜀山区校级期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A＝2∠B＝3∠C，③∠A：∠B：∠C＝1：2：3，④∠A＝90°﹣∠B，⑤中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】直角三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和为180°，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②∠A＝2∠B＝3∠C，
∴，
∴，
∴△ABC不是直角三角形，故②不正确；
③∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴最大角∠C＝180°90°；故③正确；
④∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，故④正确；
⑤∵∠A＝∠B∠C，
∴∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故⑤正确；
综上所述，是直角三角形的是①③④⑤共4个．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，关键是三角形内角和定理的熟练应用．
3．（2024秋 贵阳期中）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
【解答】解：∵点A、B对应的刻度为1、7，
∴AB＝7﹣1＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，点D为线段AB的中点，
∴CDAB6＝3（cm），
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（2024 灵山县一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝6，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则BC的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质得到EF＝3，根据EF＝3DF，得到DF＝1，求出DE，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，
∴EFAC＝3，
∵EF＝3DF，
∴DF＝1，
∴DE＝DF+EF＝4，
∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝8，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
5．（2024 霍山县三模）如图，△ABC与△CDE均为直角三角形，AB交CD于点F，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，∠ECB＝α，则∠CFB＝（ ）
A．α+90° B．α+45° C．105°﹣α D．180°﹣α
【考点】直角三角形的性质；三角形的外角性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠DCE，进而得到∠CFB，即可解题．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠E＝45°，∠ECB＝α，∠ACB＝∠CDE＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣∠CDE﹣∠E＝45°，
∴∠CFB＝180°﹣∠B﹣∠DCE﹣∠ECB＝105°﹣α，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理得到∠DCE，进而得到∠CFB，即可解题．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 海淀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段AB的长是 ；线段BF长的最大值是 ．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】，．
【分析】先求出AB的长，过点F作FH⊥BC于H，连接DF，若要使BF最大，则AF需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可．
【解答】解：连接DF，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5，
∴AB＝2AC＝10，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
过点F作FH⊥BC于H，若要使BF最大，则AF需要最小，
设AF＝x，则BF＝10﹣x，
∵∠B＝30°，
∴FH＝5x，
∵FD≥FH（垂线段最短），
∴x≥5x，
解得x．
∴AF最小值为，BF的最大值为10，
故答案为：，．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，关键掌握30°角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题．
7．（2024秋 天河区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则AB的长为 6 ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据含30度角的直角三角形性质进行计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，
∴AB＝2BC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形性质是解题的关键．
8．（2024秋 惠城区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝3，则AC＝ 6 ．
【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据直角三角形的性质得到∠BCD＝30°，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：由条件可知：∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△CDB中，∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD＝6，
在Rt△ACB中，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12．
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是关键．
9．（2024秋 重庆期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AF＝4，则BC＝ 12 ．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】12．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FC＝4，得到∠BAF＝90°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，∠B＝∠C＝30°，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴FC＝AF＝4，
∴∠FAC＝∠C＝30°，又∠BAC＝120°，
∴∠BAF＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BF＝2AF＝8，
∴BC＝BF+FC＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（2024秋 如东县期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝30°，P是BC上任意一点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则PM+PN的值为 2 ．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】2．
【分析】如图，连接AP，过点B作BT⊥AC于点T．利用你姐夫证明PM+PN＝BT，求出BT即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AP，过点B作BT⊥AC于点T．
∵AB＝AC＝4，∠BAT＝30°，
∴BTAB＝2，
∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，PM⊥AB．PN⊥AC，
∴AC BTAB PMAC PN，
∴PM+PN＝BT＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 亭湖区期中）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，AC＝26，BD＝24．求MN的长．
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM＝DM＝13，根据等腰三角形的性质得到BN＝12，根据勾股定理得到答案．
【解答】解：连接BM、DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴26＝13，26＝13，
∴BM＝DM＝13，
∵N是BD的中点，
∴，MN⊥BD，
∴MN5．
所以MN的长为5．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
12．（2024秋 溧阳市期中）如图所示，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC到E，使得CE＝AC，求证：AB＝AE．
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）∠CAD＝30°；
（2）见解析．
【分析】（1）易证∠CAB＝60°，再由角平分线的定义即可得出结果；
（2）先证AE＝2AC，再由含30°角的直角三角形的性质证得AB＝2AC，即可得出结论．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD∠CAB＝30°；
（2）证明：∵CE＝AC，
∴AE＝2AC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∴AB＝AE．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
13．（2024 北京模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DEAB＝AE，根据等腰三角形的性质证明结论；
（2）作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接DE，
在Rt△ADB中，点E是AB的中点，
∴DEAB＝AE，
∵CD＝AE，
∴DE＝DC，又DG⊥CE，
∴CG＝EG．
（2）解：作EF⊥BC于F，
∵BC＝13，CD＝5，
∴BD＝13﹣5＝8，
∵DE＝BE，EF⊥BC，
∴DF＝BF＝4，
∴EF3，
∴△EDC的面积CD×EF5×3＝7.5．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
14．（2024秋 璧山区期末）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知条件得到∠ACB＝60°﹣30°＝30°，
根据等腰三角形的性质得到结论；
（2）过C作CP⊥AB于P，则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠NBC＝60，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝60°﹣30°＝30°，
∴AB＝BC，
∵AB＝15×2＝30海里，
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里；
（2）过C作CP⊥AB于P，
则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离，
∵∠NBC＝60°，∠BPC＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣60°＝30°，
∴PBBC＝15海里，
∴15÷15＝1小时，
∴这条船继续向正北航行，在上午的11时时间小船与灯塔C的距离最短．
【点评】本题考查了含30°直角三角形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练正确直角三角形的性质是解题的关键．
15．（2024秋 宿迁期末）如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）40°．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出DEAB和CEAB即可；
（2）求出∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，根据直角三角形斜边上的中线性质得出DEAB＝AE，CEAB＝BE，求出∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，根据三角形内角和定理求出∠DEA和∠CEB，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴DEAB，CEAB，
∴DE＝CE；
（2）解：在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，
∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，
在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴DEAB＝AE，CEAB＝BE，
∴∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠CEB＝180°﹣∠ECB﹣∠CBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠CEB＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质，能熟记直角三角形斜边上中线性质是解此题的关键，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
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预习衔接.夯实基础 直角三角形的性质
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 香坊区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AB的垂线交BC于D，BD＝4，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
2．（2024秋 蜀山区校级期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A＝2∠B＝3∠C，③∠A：∠B：∠C＝1：2：3，④∠A＝90°﹣∠B，⑤中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2024秋 贵阳期中）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
4．（2024 灵山县一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝6，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则BC的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2024 霍山县三模）如图，△ABC与△CDE均为直角三角形，AB交CD于点F，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，∠ECB＝α，则∠CFB＝（ ）
A．α+90° B．α+45° C．105°﹣α D．180°﹣α
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 海淀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段AB的长是 ；线段BF长的最大值是 ．
7．（2024秋 天河区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则AB的长为 ．
8．（2024秋 惠城区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝3，则AC＝ ．
9．（2024秋 重庆期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AF＝4，则BC＝ ．
10．（2024秋 如东县期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝30°，P是BC上任意一点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则PM+PN的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 亭湖区期中）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，AC＝26，BD＝24．求MN的长．
12．（2024秋 溧阳市期中）如图所示，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC到E，使得CE＝AC，求证：AB＝AE．
13．（2024 北京模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．
14．（2024秋 璧山区期末）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？
15．（2024秋 宿迁期末）如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．
预习衔接.夯实基础 直角三角形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 香坊区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AB的垂线交BC于D，BD＝4，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，求出∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，得到∠DAC＝∠C，因此AD＝DC，由含30°角的直角三角形的性质得到BD＝2AD，推出AD＝CD＝2即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵DA⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝DC，
∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，
∴BD＝2AD＝4，
∴AD＝CD＝2，
∴CD＝2．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，关键是由以上知识点推出AD＝DC，BD＝2AD．
2．（2024秋 蜀山区校级期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A＝2∠B＝3∠C，③∠A：∠B：∠C＝1：2：3，④∠A＝90°﹣∠B，⑤中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】直角三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和为180°，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②∠A＝2∠B＝3∠C，
∴，
∴，
∴△ABC不是直角三角形，故②不正确；
③∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴最大角∠C＝180°90°；故③正确；
④∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，故④正确；
⑤∵∠A＝∠B∠C，
∴∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故⑤正确；
综上所述，是直角三角形的是①③④⑤共4个．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，关键是三角形内角和定理的熟练应用．
3．（2024秋 贵阳期中）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
【解答】解：∵点A、B对应的刻度为1、7，
∴AB＝7﹣1＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，点D为线段AB的中点，
∴CDAB6＝3（cm），
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（2024 灵山县一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝6，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则BC的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质得到EF＝3，根据EF＝3DF，得到DF＝1，求出DE，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，
∴EFAC＝3，
∵EF＝3DF，
∴DF＝1，
∴DE＝DF+EF＝4，
∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝8，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
5．（2024 霍山县三模）如图，△ABC与△CDE均为直角三角形，AB交CD于点F，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，∠ECB＝α，则∠CFB＝（ ）
A．α+90° B．α+45° C．105°﹣α D．180°﹣α
【考点】直角三角形的性质；三角形的外角性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠DCE，进而得到∠CFB，即可解题．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠E＝45°，∠ECB＝α，∠ACB＝∠CDE＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣∠CDE﹣∠E＝45°，
∴∠CFB＝180°﹣∠B﹣∠DCE﹣∠ECB＝105°﹣α，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理得到∠DCE，进而得到∠CFB，即可解题．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 海淀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段AB的长是 ；线段BF长的最大值是 ．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】，．
【分析】先求出AB的长，过点F作FH⊥BC于H，连接DF，若要使BF最大，则AF需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可．
【解答】解：连接DF，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5，
∴AB＝2AC＝10，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
过点F作FH⊥BC于H，若要使BF最大，则AF需要最小，
设AF＝x，则BF＝10﹣x，
∵∠B＝30°，
∴FH＝5x，
∵FD≥FH（垂线段最短），
∴x≥5x，
解得x．
∴AF最小值为，BF的最大值为10，
故答案为：，．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，关键掌握30°角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题．
7．（2024秋 天河区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则AB的长为 6 ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据含30度角的直角三角形性质进行计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，
∴AB＝2BC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形性质是解题的关键．
8．（2024秋 惠城区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝3，则AC＝ 6 ．
【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据直角三角形的性质得到∠BCD＝30°，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：由条件可知：∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△CDB中，∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD＝6，
在Rt△ACB中，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12．
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是关键．
9．（2024秋 重庆期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AF＝4，则BC＝ 12 ．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】12．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FC＝4，得到∠BAF＝90°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，∠B＝∠C＝30°，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴FC＝AF＝4，
∴∠FAC＝∠C＝30°，又∠BAC＝120°，
∴∠BAF＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BF＝2AF＝8，
∴BC＝BF+FC＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（2024秋 如东县期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝30°，P是BC上任意一点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则PM+PN的值为 2 ．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】2．
【分析】如图，连接AP，过点B作BT⊥AC于点T．利用你姐夫证明PM+PN＝BT，求出BT即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AP，过点B作BT⊥AC于点T．
∵AB＝AC＝4，∠BAT＝30°，
∴BTAB＝2，
∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，PM⊥AB．PN⊥AC，
∴AC BTAB PMAC PN，
∴PM+PN＝BT＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 亭湖区期中）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，AC＝26，BD＝24．求MN的长．
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM＝DM＝13，根据等腰三角形的性质得到BN＝12，根据勾股定理得到答案．
【解答】解：连接BM、DM，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴26＝13，26＝13，
∴BM＝DM＝13，
∵N是BD的中点，
∴，MN⊥BD，
∴MN5．
所以MN的长为5．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
12．（2024秋 溧阳市期中）如图所示，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC到E，使得CE＝AC，求证：AB＝AE．
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）∠CAD＝30°；
（2）见解析．
【分析】（1）易证∠CAB＝60°，再由角平分线的定义即可得出结果；
（2）先证AE＝2AC，再由含30°角的直角三角形的性质证得AB＝2AC，即可得出结论．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD∠CAB＝30°；
（2）证明：∵CE＝AC，
∴AE＝2AC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∴AB＝AE．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
13．（2024 北京模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．
（1）求证：CG＝EG．
（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DEAB＝AE，根据等腰三角形的性质证明结论；
（2）作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接DE，
在Rt△ADB中，点E是AB的中点，
∴DEAB＝AE，
∵CD＝AE，
∴DE＝DC，又DG⊥CE，
∴CG＝EG．
（2）解：作EF⊥BC于F，
∵BC＝13，CD＝5，
∴BD＝13﹣5＝8，
∵DE＝BE，EF⊥BC，
∴DF＝BF＝4，
∴EF3，
∴△EDC的面积CD×EF5×3＝7.5．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
14．（2024秋 璧山区期末）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求从海岛B到灯塔C的距离；
（2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知条件得到∠ACB＝60°﹣30°＝30°，
根据等腰三角形的性质得到结论；
（2）过C作CP⊥AB于P，则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠NBC＝60，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝60°﹣30°＝30°，
∴AB＝BC，
∵AB＝15×2＝30海里，
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里；
（2）过C作CP⊥AB于P，
则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离，
∵∠NBC＝60°，∠BPC＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣60°＝30°，
∴PBBC＝15海里，
∴15÷15＝1小时，
∴这条船继续向正北航行，在上午的11时时间小船与灯塔C的距离最短．
【点评】本题考查了含30°直角三角形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练正确直角三角形的性质是解题的关键．
15．（2024秋 宿迁期末）如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：DE＝CE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）40°．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出DEAB和CEAB即可；
（2）求出∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，根据直角三角形斜边上的中线性质得出DEAB＝AE，CEAB＝BE，求出∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，根据三角形内角和定理求出∠DEA和∠CEB，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴DEAB，CEAB，
∴DE＝CE；
（2）解：在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，
∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，
在Rt△ADB和Rt△ABC中，∵∠ADB＝90，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴DEAB＝AE，CEAB＝BE，
∴∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠CEB＝180°﹣∠ECB﹣∠CBA＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠CEB＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质，能熟记直角三角形斜边上中线性质是解此题的关键，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
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