24.4解直角三角形（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版
文档属性
| 名称 | 24.4解直角三角形（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 392.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-17 21:22:32 | ||
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文档简介
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预习衔接.夯实基础 解直角三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 莱芜区期中）如图，把一个长方形卡片ABCD放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝37°，则BC的长为（参考数据：）（ ）
A． B．4 C．5 D．
2．（2024秋 黄浦区期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，已知∠ACB＝90°，BC＝1．下列线段中，其长为sinA的是（ ）
A．BD B．AC C．BC D．AD
3．（2024秋 惠阳区期中）正定凌霄塔是全国重点文物保护单位．其造型优美端庄，八角九层，塔高约40米，如图①、如图②所示的正八边形是凌霄塔其中一层的平面示意图，其每个内角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．135°
4．（2024 绥江县二模）如图，某登山队在攀登一座坡角为35°的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为80米，那么这两根标杆在坡面上的距离AB为（ ）
A．80cos35° B． C． D．
5．（2024秋 冀州区期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 新城区期中）农用温室大棚的上半部分如图，迎阳坡的坡度i＝3.3：7，背阳坡AC的坡脚满足，棚宽CD＝11.4m，则拱高AB＝ ．
7．（2024秋 雁塔区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，AC＝16，，则AE的长为 ．
8．（2024秋 平谷区校级期中）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为 ．
9．（2024 梧州模拟）如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为α、β，A、B两点的距离是a，过C点作CD⊥AB交AB的延长线于点D．则CD的高度h＝ .（用含有α、β、a的式子表示）
10．（2024秋 淮安区期中）为了测量一幢高楼的高度，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，则高楼的高度大约为 米．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 碑林区校级期中）小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．
国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为40°，求小雁塔的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54）
12．（2024秋 平谷区校级期中）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．求飞船从B处到C处的距离．
13．（2024秋 琼山区校级期中）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°（参考数据：，，tan53°）
（1）∠AEM＝ 度，∠ACN＝ 度，MN＝ 米；
（2）电子厂AB的高度为多少米？
14．（2024秋 东平县期中）综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°．
独立思考：
（1）这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m，那么它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度．
问题解决：
（3）在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救援被困人员？
15．（2024 海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF为矩形；
（2）若BC＝6，sin，求EF的长．
预习衔接.夯实基础 解直角三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 莱芜区期中）如图，把一个长方形卡片ABCD放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝37°，则BC的长为（参考数据：）（ ）
A． B．4 C．5 D．
【考点】解直角三角形的应用；锐角三角函数的定义．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】过B点作横格线得垂线，交过A点、C点的横格线分别于E、F点，如图，BE＝2，BF＝4，再证明∠CBF＝∠BAE＝37°，接着在Rt△BFC中利用正切的定义求出CF的长，然后利用勾股定理计算出BC的长．
【解答】解：过B点作横格线得垂线，交过A点、C点的横格线分别于E、F点，如图，
则BE＝2，BF＝4，∠AEB＝∠BFC＝90°，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE＝37°，
在Rt△BFC中，tan∠CBFtan37°，
∴CF4＝3，
∴BC5．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构建Rt△ABE和Rt△BCF是解决问题的关键．
2．（2024秋 黄浦区期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，已知∠ACB＝90°，BC＝1．下列线段中，其长为sinA的是（ ）
A．BD B．AC C．BC D．AD
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据“同角的余角相等”得出∠BCD＝∠A，再根据正弦的定义即可解决问题．
【解答】解：∵CD是边AB上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°．
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD．
在Rt△BCD中，
sin∠BCD．
∵BC＝1，
∴sin∠BCD＝BD，
即sinA＝BD．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义及“同角的余角相等”是解题的关键．
3．（2024秋 惠阳区期中）正定凌霄塔是全国重点文物保护单位．其造型优美端庄，八角九层，塔高约40米，如图①、如图②所示的正八边形是凌霄塔其中一层的平面示意图，其每个内角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．135°
【考点】解直角三角形的应用；多边形内角与外角．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】设图中的正多边形为正八边形ABCDEFGH，作出它的一个外角∠ABL，则8∠ABL＝360°，求得∠ABL＝45°，则∠ABC＝135°，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图②，延长CB到点L，
∵正多边形的每个外角都相等，八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴8∠ABL＝360°，
∴∠ABL＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABL＝180°﹣45°＝135°，
∴正八边形ABCDEFGH的每个内角的度数都是135°，
故选：D．
【点评】此题重点考查多边形内角与外角、正多边形的性质等知识，正确地求出正八边形的一个外角的度数是解题的关键．
4．（2024 绥江县二模）如图，某登山队在攀登一座坡角为35°的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为80米，那么这两根标杆在坡面上的距离AB为（ ）
A．80cos35° B． C． D．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：由题意可知：在Rt△ABC中，∠BAC＝35°，AC＝80米，
∵cos∠BAC，
∴AB（米），
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．
5．（2024秋 冀州区期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【考点】解直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】连接BE交CD于点F，由正方形的性质得DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD，进而得BF＝CF＝DF，证得△ACP∽△BDP，得DP：CP＝BD：AC＝1：3，从而得到DP＝PFCFBF，进而利用正切定义解答即可．
【解答】解：如图，连接BE交CD于点F，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF＝DF，
根据题意，AC∥BD，
∴∠ACP＝∠BDP，∠DBP＝∠CAP，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∵BF＝CF＝DF，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PFCFBF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 新城区期中）农用温室大棚的上半部分如图，迎阳坡的坡度i＝3.3：7，背阳坡AC的坡脚满足，棚宽CD＝11.4m，则拱高AB＝ 3.3m ．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】3.3m．
【分析】设AB＝h，根据正弦和勾股定理可得，再根据坡度可得，最后根据CD＝CB+BD＝11.4列方程求解即可．
【解答】解：设AB＝h，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵迎阳坡的坡度i＝3.3：7，
∴，即
，解得：，
∵CD＝CB+BD＝11.4，
∴，
解得：h＝3.3．
故答案为：3.3m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、正弦、坡度等知识点，灵活运用正弦和坡度的知识是解题的关键．
7．（2024秋 雁塔区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，AC＝16，，则AE的长为 ．
【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】．
【分析】根据三角函数求出AB，从而由线段中点的定义求出AD，再由三角函数求出AE即可．
【解答】解：∵AC＝16，
∴cosA，
∴AB＝20，
∵D是AB的中点，
∴ADAB＝10，
∴cosA，
∴AE．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形、线段垂直平分线的性质，掌握三角函数、线段中点的定义是解题的关键．
8．（2024秋 平谷区校级期中）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为 ．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，
∴AB5，AH＝3，
∴cos∠BAC，
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
9．（2024 梧州模拟）如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为α、β，A、B两点的距离是a，过C点作CD⊥AB交AB的延长线于点D．则CD的高度h＝ .（用含有α、β、a的式子表示）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据垂直定义可得：∠CDA＝90°，然后分别在Rt△ACD和Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝α，CD＝h，
∴AD，
在Rt△CBD中，∠CBD＝β，
∴BD，
∵AD﹣BD＝AB，
∴a，
∴tanβh﹣tanαh＝atanαtanβ，
∴h，
∴CD的高度h为，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（2024秋 淮安区期中）为了测量一幢高楼的高度，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，则高楼的高度大约为 18 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】18．
【分析】根据题意可得：CD⊥DB，AB⊥DB，从而可得∠CDP＝∠ABP＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠PAB＝21°，从而可得∠PAB＝∠CPD＝21°，然后根据AAS证明△BAP≌△DPC，从而利用全等三角形的性质可得DP＝AB＝18米，即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥DB，AB⊥DB，
∴∠CDP＝∠ABP＝90°，
∵∠APB＝69°，
∴∠PAB＝90°﹣∠APB＝21°，
∵∠CPD＝21°，
∴∠PAB＝∠CPD＝21°，
∵DB＝30米，PB＝12米，
∴DP＝BD﹣BP＝18（米），
在△BAP和△DPC中，
，
∴△BAP≌△DPC（AAS），
∴DP＝AB＝18米，
故答案为：18．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 碑林区校级期中）小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．
国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为40°，求小雁塔的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】小雁塔的高度约为44米．
【分析】根据题意可得：BA⊥AD，CD＝24米，然后设AC＝x米，则AD＝（x+24）米，再分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：BA⊥AD，CD＝24米，
设AC＝x米，则AD＝AC+CD＝（x+24）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝57°，
∴AB＝AC tan57°≈1.54x（米），
在Rt△ABD中，∠ADB＝40°，
∴AB＝AD tan40°≈0.84（x+24），
∴1.54x＝0.84（x+24），
解得：x＝28.8，
∴AB＝1.54x≈44（米），
∴小雁塔的高度约为44米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（2024秋 平谷区校级期中）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．求飞船从B处到C处的距离．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】4km．
【分析】根据题意可得：BO⊥OC，然后在Rt△AOC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AO和OC的长，再在Rt△BOC中，解直角三角形即可求出BC．
【解答】解：由题意得：BO⊥OC，
在Rt△AOC中，AC＝8km，∠ACO＝30°，
∴AOAC＝4km，
∴OC4km，
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴∠B＝45°＝∠BCO，
∴OB＝OC＝4km，
∴BC4km．
答：飞船从B处到C处的距离为4km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．（2024秋 琼山区校级期中）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°（参考数据：，，tan53°）
（1）∠AEM＝ 45 度，∠ACN＝ 53 度，MN＝ 0.3 米；
（2）电子厂AB的高度为多少米？
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）45；53；0.3；
（2）电子厂AB的高度为22.7m．
【分析】（1）根据题意可得：∠AEM＝45°，∠ACN＝53°，EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：EM＝BF，CN＝BD，DF＝5m，从而可设EM＝BF＝x m，则BD＝CN＝（x﹣5）m，然后分别在Rt△AEM和Rt△ACN中，利用锐角三角函数的定义求出AM和AN的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：∠AEM＝45°，∠ACN＝53°，EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，
∴MN＝BM﹣BN＝1.8﹣1.5＝0.3（m），
故答案为：45；53；0.3；
（2）由题意得：EM＝BF，CN＝BD，DF＝5m，
设EM＝BF＝x m，则BD＝CN＝（x﹣5）m，
在Rt△AEM中，∠AEM＝45°，
∴AM＝EM tan45°＝x（m），
在Rt△ACN中，∠ACN＝53°，
∴AN＝CN tan53°（x﹣5）m，
∵AM+MB＝AN+BN，
∴x+1.8（x﹣5）+1.5，
解得：x＝20.9，
∴AM＝20.9m，
∴AB＝AM+BM＝20.9+1.8＝22.7（m），
∴电子厂AB的高度为22.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（2024秋 东平县期中）综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°．
独立思考：
（1）这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m，那么它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度．
问题解决：
（3）在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救援被困人员？
【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形，即梯子为斜边，将梯子底部到墙的距离线段对应为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段对应为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为252﹣72＝242，所以梯子顶端到地为24米；
（2）求出BB'的长度即可；
（3）先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与24.3比较即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACB中，
∴AC24m，
答：这架云梯顶端距地面的距离AC有24m．
（2）云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′不是4m．理由如下：
由（1）可知AC＝24m，
∴A′C＝AC﹣AA′＝24﹣4＝20m．
在Rt△A′CB′中，
∴，
∴BB′＝CB′﹣BC＝15﹣7＝8m．
（3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，
则能够到达墙面的最大高度为．
∵24.32＝590.49＜600，
∴，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24.3m高的墙头去救援被困人员．
【点评】本题考查勾股定理和解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键．
15．（2024 海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF为矩形；
（2）若BC＝6，sin，求EF的长．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先证△AFE≌△DBE（AAS），得出AF＝BD，则AF＝DC，得出四边形ADCF为平行四边形，再证∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）BC＝6，AD为BC边上的中线，则，在Rt△ABD 中，，求出，则，又根据点E为AD中点，求出，则EF可根据勾股定理可求．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝BD，
∴AF＝DC，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形；
（2）解：∵BC＝6，AD为BC边上的中线，
∴，
∵在Rt△ABD 中，，
∴，
∴，
又∵点E为AD中点，
∴，
∴在 Rt△EBD中，，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
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预习衔接.夯实基础 解直角三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 莱芜区期中）如图，把一个长方形卡片ABCD放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝37°，则BC的长为（参考数据：）（ ）
A． B．4 C．5 D．
2．（2024秋 黄浦区期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，已知∠ACB＝90°，BC＝1．下列线段中，其长为sinA的是（ ）
A．BD B．AC C．BC D．AD
3．（2024秋 惠阳区期中）正定凌霄塔是全国重点文物保护单位．其造型优美端庄，八角九层，塔高约40米，如图①、如图②所示的正八边形是凌霄塔其中一层的平面示意图，其每个内角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．135°
4．（2024 绥江县二模）如图，某登山队在攀登一座坡角为35°的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为80米，那么这两根标杆在坡面上的距离AB为（ ）
A．80cos35° B． C． D．
5．（2024秋 冀州区期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 新城区期中）农用温室大棚的上半部分如图，迎阳坡的坡度i＝3.3：7，背阳坡AC的坡脚满足，棚宽CD＝11.4m，则拱高AB＝ ．
7．（2024秋 雁塔区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，AC＝16，，则AE的长为 ．
8．（2024秋 平谷区校级期中）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为 ．
9．（2024 梧州模拟）如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为α、β，A、B两点的距离是a，过C点作CD⊥AB交AB的延长线于点D．则CD的高度h＝ .（用含有α、β、a的式子表示）
10．（2024秋 淮安区期中）为了测量一幢高楼的高度，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，则高楼的高度大约为 米．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 碑林区校级期中）小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．
国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为40°，求小雁塔的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54）
12．（2024秋 平谷区校级期中）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．求飞船从B处到C处的距离．
13．（2024秋 琼山区校级期中）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°（参考数据：，，tan53°）
（1）∠AEM＝ 度，∠ACN＝ 度，MN＝ 米；
（2）电子厂AB的高度为多少米？
14．（2024秋 东平县期中）综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°．
独立思考：
（1）这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m，那么它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度．
问题解决：
（3）在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救援被困人员？
15．（2024 海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF为矩形；
（2）若BC＝6，sin，求EF的长．
预习衔接.夯实基础 解直角三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 莱芜区期中）如图，把一个长方形卡片ABCD放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝37°，则BC的长为（参考数据：）（ ）
A． B．4 C．5 D．
【考点】解直角三角形的应用；锐角三角函数的定义．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】过B点作横格线得垂线，交过A点、C点的横格线分别于E、F点，如图，BE＝2，BF＝4，再证明∠CBF＝∠BAE＝37°，接着在Rt△BFC中利用正切的定义求出CF的长，然后利用勾股定理计算出BC的长．
【解答】解：过B点作横格线得垂线，交过A点、C点的横格线分别于E、F点，如图，
则BE＝2，BF＝4，∠AEB＝∠BFC＝90°，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE＝37°，
在Rt△BFC中，tan∠CBFtan37°，
∴CF4＝3，
∴BC5．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构建Rt△ABE和Rt△BCF是解决问题的关键．
2．（2024秋 黄浦区期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，已知∠ACB＝90°，BC＝1．下列线段中，其长为sinA的是（ ）
A．BD B．AC C．BC D．AD
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据“同角的余角相等”得出∠BCD＝∠A，再根据正弦的定义即可解决问题．
【解答】解：∵CD是边AB上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°．
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD．
在Rt△BCD中，
sin∠BCD．
∵BC＝1，
∴sin∠BCD＝BD，
即sinA＝BD．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义及“同角的余角相等”是解题的关键．
3．（2024秋 惠阳区期中）正定凌霄塔是全国重点文物保护单位．其造型优美端庄，八角九层，塔高约40米，如图①、如图②所示的正八边形是凌霄塔其中一层的平面示意图，其每个内角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．135°
【考点】解直角三角形的应用；多边形内角与外角．
【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】设图中的正多边形为正八边形ABCDEFGH，作出它的一个外角∠ABL，则8∠ABL＝360°，求得∠ABL＝45°，则∠ABC＝135°，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图②，延长CB到点L，
∵正多边形的每个外角都相等，八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴8∠ABL＝360°，
∴∠ABL＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABL＝180°﹣45°＝135°，
∴正八边形ABCDEFGH的每个内角的度数都是135°，
故选：D．
【点评】此题重点考查多边形内角与外角、正多边形的性质等知识，正确地求出正八边形的一个外角的度数是解题的关键．
4．（2024 绥江县二模）如图，某登山队在攀登一座坡角为35°的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为80米，那么这两根标杆在坡面上的距离AB为（ ）
A．80cos35° B． C． D．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：由题意可知：在Rt△ABC中，∠BAC＝35°，AC＝80米，
∵cos∠BAC，
∴AB（米），
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．
5．（2024秋 冀州区期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【考点】解直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】连接BE交CD于点F，由正方形的性质得DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD，进而得BF＝CF＝DF，证得△ACP∽△BDP，得DP：CP＝BD：AC＝1：3，从而得到DP＝PFCFBF，进而利用正切定义解答即可．
【解答】解：如图，连接BE交CD于点F，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF＝DF，
根据题意，AC∥BD，
∴∠ACP＝∠BDP，∠DBP＝∠CAP，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∵BF＝CF＝DF，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PFCFBF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 新城区期中）农用温室大棚的上半部分如图，迎阳坡的坡度i＝3.3：7，背阳坡AC的坡脚满足，棚宽CD＝11.4m，则拱高AB＝ 3.3m ．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】3.3m．
【分析】设AB＝h，根据正弦和勾股定理可得，再根据坡度可得，最后根据CD＝CB+BD＝11.4列方程求解即可．
【解答】解：设AB＝h，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵迎阳坡的坡度i＝3.3：7，
∴，即
，解得：，
∵CD＝CB+BD＝11.4，
∴，
解得：h＝3.3．
故答案为：3.3m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、正弦、坡度等知识点，灵活运用正弦和坡度的知识是解题的关键．
7．（2024秋 雁塔区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，AC＝16，，则AE的长为 ．
【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】．
【分析】根据三角函数求出AB，从而由线段中点的定义求出AD，再由三角函数求出AE即可．
【解答】解：∵AC＝16，
∴cosA，
∴AB＝20，
∵D是AB的中点，
∴ADAB＝10，
∴cosA，
∴AE．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形、线段垂直平分线的性质，掌握三角函数、线段中点的定义是解题的关键．
8．（2024秋 平谷区校级期中）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为 ．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，
∴AB5，AH＝3，
∴cos∠BAC，
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
9．（2024 梧州模拟）如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为α、β，A、B两点的距离是a，过C点作CD⊥AB交AB的延长线于点D．则CD的高度h＝ .（用含有α、β、a的式子表示）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据垂直定义可得：∠CDA＝90°，然后分别在Rt△ACD和Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝α，CD＝h，
∴AD，
在Rt△CBD中，∠CBD＝β，
∴BD，
∵AD﹣BD＝AB，
∴a，
∴tanβh﹣tanαh＝atanαtanβ，
∴h，
∴CD的高度h为，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（2024秋 淮安区期中）为了测量一幢高楼的高度，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，则高楼的高度大约为 18 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】18．
【分析】根据题意可得：CD⊥DB，AB⊥DB，从而可得∠CDP＝∠ABP＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠PAB＝21°，从而可得∠PAB＝∠CPD＝21°，然后根据AAS证明△BAP≌△DPC，从而利用全等三角形的性质可得DP＝AB＝18米，即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥DB，AB⊥DB，
∴∠CDP＝∠ABP＝90°，
∵∠APB＝69°，
∴∠PAB＝90°﹣∠APB＝21°，
∵∠CPD＝21°，
∴∠PAB＝∠CPD＝21°，
∵DB＝30米，PB＝12米，
∴DP＝BD﹣BP＝18（米），
在△BAP和△DPC中，
，
∴△BAP≌△DPC（AAS），
∴DP＝AB＝18米，
故答案为：18．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 碑林区校级期中）小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．
国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为57°，然后沿直线AC向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为40°，求小雁塔的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】小雁塔的高度约为44米．
【分析】根据题意可得：BA⊥AD，CD＝24米，然后设AC＝x米，则AD＝（x+24）米，再分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：BA⊥AD，CD＝24米，
设AC＝x米，则AD＝AC+CD＝（x+24）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝57°，
∴AB＝AC tan57°≈1.54x（米），
在Rt△ABD中，∠ADB＝40°，
∴AB＝AD tan40°≈0.84（x+24），
∴1.54x＝0.84（x+24），
解得：x＝28.8，
∴AB＝1.54x≈44（米），
∴小雁塔的高度约为44米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（2024秋 平谷区校级期中）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．求飞船从B处到C处的距离．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】4km．
【分析】根据题意可得：BO⊥OC，然后在Rt△AOC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AO和OC的长，再在Rt△BOC中，解直角三角形即可求出BC．
【解答】解：由题意得：BO⊥OC，
在Rt△AOC中，AC＝8km，∠ACO＝30°，
∴AOAC＝4km，
∴OC4km，
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴∠B＝45°＝∠BCO，
∴OB＝OC＝4km，
∴BC4km．
答：飞船从B处到C处的距离为4km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．（2024秋 琼山区校级期中）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°（参考数据：，，tan53°）
（1）∠AEM＝ 45 度，∠ACN＝ 53 度，MN＝ 0.3 米；
（2）电子厂AB的高度为多少米？
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）45；53；0.3；
（2）电子厂AB的高度为22.7m．
【分析】（1）根据题意可得：∠AEM＝45°，∠ACN＝53°，EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：EM＝BF，CN＝BD，DF＝5m，从而可设EM＝BF＝x m，则BD＝CN＝（x﹣5）m，然后分别在Rt△AEM和Rt△ACN中，利用锐角三角函数的定义求出AM和AN的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：∠AEM＝45°，∠ACN＝53°，EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，
∴MN＝BM﹣BN＝1.8﹣1.5＝0.3（m），
故答案为：45；53；0.3；
（2）由题意得：EM＝BF，CN＝BD，DF＝5m，
设EM＝BF＝x m，则BD＝CN＝（x﹣5）m，
在Rt△AEM中，∠AEM＝45°，
∴AM＝EM tan45°＝x（m），
在Rt△ACN中，∠ACN＝53°，
∴AN＝CN tan53°（x﹣5）m，
∵AM+MB＝AN+BN，
∴x+1.8（x﹣5）+1.5，
解得：x＝20.9，
∴AM＝20.9m，
∴AB＝AM+BM＝20.9+1.8＝22.7（m），
∴电子厂AB的高度为22.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（2024秋 东平县期中）综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°．
独立思考：
（1）这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
深入探究：
（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′＝4m，那么它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度．
问题解决：
（3）在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救援被困人员？
【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形，即梯子为斜边，将梯子底部到墙的距离线段对应为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段对应为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为252﹣72＝242，所以梯子顶端到地为24米；
（2）求出BB'的长度即可；
（3）先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与24.3比较即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACB中，
∴AC24m，
答：这架云梯顶端距地面的距离AC有24m．
（2）云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′不是4m．理由如下：
由（1）可知AC＝24m，
∴A′C＝AC﹣AA′＝24﹣4＝20m．
在Rt△A′CB′中，
∴，
∴BB′＝CB′﹣BC＝15﹣7＝8m．
（3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，
则能够到达墙面的最大高度为．
∵24.32＝590.49＜600，
∴，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24.3m高的墙头去救援被困人员．
【点评】本题考查勾股定理和解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键．
15．（2024 海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF为矩形；
（2）若BC＝6，sin，求EF的长．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先证△AFE≌△DBE（AAS），得出AF＝BD，则AF＝DC，得出四边形ADCF为平行四边形，再证∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）BC＝6，AD为BC边上的中线，则，在Rt△ABD 中，，求出，则，又根据点E为AD中点，求出，则EF可根据勾股定理可求．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝BD，
∴AF＝DC，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形；
（2）解：∵BC＝6，AD为BC边上的中线，
∴，
∵在Rt△ABD 中，，
∴，
∴，
又∵点E为AD中点，
∴，
∴在 Rt△EBD中，，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
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