12.3等腰三角形（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024）
文档属性
| 名称 | 12.3等腰三角形（预习衔接.夯实基础.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学华东师大版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 273.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-17 21:25:02 | ||
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文档简介
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预习衔接.夯实基础 等腰三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 南开区期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝4，ED＝9，则BE+DC的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．（2024秋 南开区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5，则BF的长为（ ）
A．7.5 B．10 C．12 D．12.5
3．（2024秋 北京期中）如图，BD和AD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠CAE的角平分线，AD∥BC，连接CD．以下结论：①AB＝AC；②∠BAC＝2∠BDC；③∠EAC＝4∠ADB；④∠ADC+∠ABD＝90°．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024秋 伊金霍洛旗期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为（ ）
A．12 B．9 C．10 D．11
5．（2024秋 梨树县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 东莞市期中）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点（即OA＝OB），支柱OH垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，∠AOH＝71°，则AB上下可转动的最大角度∠AOM＝ °．
7．（2024秋 晋安区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，AD为中线，AD＝AE，则∠EDC＝ °．
8．（2024秋 江阴市期中）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，AD＝2，则AB的长为 ．
9．（2024秋 新吴区期中）如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有 个．
10．（2024秋 兴宁区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，DE为悬杆，BC为支杆．已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝120°，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 cm．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 南开区期中）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相于点F．
（Ⅰ）证明：△ADF是等腰三角形；
（Ⅱ）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝3，求EC的长．
12．（2024秋 浏阳市期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△BED是等腰三角形．
（2）若BD平分△ABC的周长，△ADE的周长为15，求△ABC的周长．
13．（2024秋 江夏区校级期中）已知，如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E．CF⊥AE于点F．
（1）若∠B＝75°，∠BAC＝60°，直接写出∠E，∠DCF的度数；
（2）用等式表示线段AF，AB，AC之间的数量关系，并证明．
14．（2024秋 延平区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知AC＝13，BD＝5，求AB的长．
15．（2024秋 秦淮区期中）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．判断△AEG的形状并说明理由．
预习衔接.夯实基础 等腰三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 南开区期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝4，ED＝9，则BE+DC的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵FG＝4，ED＝9，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝13，
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．
2．（2024秋 南开区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5，则BF的长为（ ）
A．7.5 B．10 C．12 D．12.5
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】过点D作DH⊥AC于点H，由题意易得AD平分∠CAB，则有DE＝DH，然后根据等积法可进行求解．
【解答】解：如图所示，过点D作DH⊥AC于点H，
∵∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于点D，
∴AD平分∠CAB，
∵DE⊥AB于点E，DE＝5，
∴DE＝DH＝5，
∵，
∴2DH＝BF，
∴BF＝10；
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2024秋 北京期中）如图，BD和AD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠CAE的角平分线，AD∥BC，连接CD．以下结论：①AB＝AC；②∠BAC＝2∠BDC；③∠EAC＝4∠ADB；④∠ADC+∠ABD＝90°．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得出，∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：只有∠ABC＝∠ACB时，AB＝AC，
故①错误，不符合题意；
∵BD和AD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠CAE的角平分线，
∴∠EAC＝2∠EAD＝2∠CAD，∠ABC＝2∠ABD＝2∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝2∠ABC，∠ADB＝∠CBD，
∴∠EAC＝4∠ADB，
故③正确，符合题意；
∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠DCF，
∴2∠DCF+∠ACB＝180°，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF，
∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝2∠BDC，
故②正确，符合题意；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF＝2∠DCF，
∵∠ADB+∠CDB＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°，
∴2∠DCF+∠ABC＝2∠DCF+2∠ABD＝180°，
∴∠DCF+∠ABD＝90°，
∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°，
∴，故④正确；
⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度．
4．（2024秋 伊金霍洛旗期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为（ ）
A．12 B．9 C．10 D．11
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再根据垂直定义可得∠MNC＝∠MNB＝90°，从而可得∠B+∠BON＝90°，∠C+∠M＝90°，然后利用等角的余角相等可得∠M＝∠BON，再根据对顶角相等可得∠BON＝∠MOA，从而可得∠M＝∠MOA，进而可得AM＝AO＝3，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵MN⊥BC，
∴∠MNC＝∠MNB＝90°，
∴∠B+∠BON＝90°，∠C+∠M＝90°，
∴∠M＝∠BON，
∵∠BON＝∠MOA，
∴∠M＝∠MOA，
∴AM＝AO＝3，
∵BO＝4，
∴AB＝AC＝AO+BO＝7，
∴MC＝AM+AC＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2024秋 梨树县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【考点】等边三角形的性质．
【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22 OA1，A4B4＝A4A5＝23 OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，即可求解．
【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、规律型等知识，熟练掌握等边三角形的性质，找出规律是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 东莞市期中）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点（即OA＝OB），支柱OH垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，∠AOH＝71°，则AB上下可转动的最大角度∠AOM＝ 38 °．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】38．
【分析】根据题意可得：AM∥OH，从而利用平行线的性质可得∠AOH＝∠OAM＝70°，然后利用等腰三角形的性质可得∠M＝∠OAM＝70°，最后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：AM∥OH，
∴∠AOH＝∠OAM＝71°，
∵OM＝OA，
∴∠M＝∠OAM＝71°，
∴∠AOM＝180°﹣∠M﹣∠OAM＝38°，
故答案为：38．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．
7．（2024秋 晋安区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，AD为中线，AD＝AE，则∠EDC＝ 16 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】16．
【分析】可以设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，根据∠ADE＝∠AED＝x+y，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．
【解答】解：设∠B＝∠C＝y，∠EDC＝x，
∵∠BAC＝56°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝62°，
∠EDC+∠C＝x+y＝∠AED，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝x+y，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴2x+y＝y+32，
∴x＝16，
∴∠EDC的度数是16°．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．
8．（2024秋 江阴市期中）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，AD＝2，则AB的长为 2 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD＝∠ADB，然后求出∠ABD＝∠ADB，可得结论．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，AD＝2，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，熟记概念与性质是解题的关键．
9．（2024秋 新吴区期中）如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有 8 个．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】网格型．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别以A、B为圆心，AB的长为半径画圆，看其与方格是的交点是格点的个数即可．
【解答】解：
如图，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，
则其与方格的交点为格点的有8个，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用画圆可以确定出满足条件的点．
10．（2024秋 兴宁区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，DE为悬杆，BC为支杆．已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝120°，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 30 cm．
【考点】等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】30
【分析】连接BD，证明△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得到结论．
【解答】解：如图，连接BD，
∵∠BCE＝120°，∠BCD+BCE＝180°，
∴∠BCD＝60°，
∵BC＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝CD＝30cm，
此时B，D两点之间的距离为30cm，
故答案为：30．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出∠BCD＝60°．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 南开区期中）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相于点F．
（Ⅰ）证明：△ADF是等腰三角形；
（Ⅱ）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝3，求EC的长．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【分析】（1）由AB＝AC得∠B＝∠C，再根据余角性质可得∠F＝∠BDE，最后根据对顶角的性质可得∠F＝∠FDA，据此即可求证；
（2）由∠B＝60°可得∠BDE＝30°，进而由直角三角形的性质可得，又可得△ABC是等边三角形，得到BC＝AB＝AD+BD＝9，据此即可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠CEF＝∠BED＝90°，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵∠DEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∵BD＝4，
∴BEBD＝2，
∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝7，
∴EC＝BC﹣BE＝5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
12．（2024秋 浏阳市期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△BED是等腰三角形．
（2）若BD平分△ABC的周长，△ADE的周长为15，求△ABC的周长．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）30．
【分析】（1）由角平分线和平行线的性质可得到∠EBD＝∠EDB，可证得结论；
（2）根据三角形的周长公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABD，
∴BE＝ED，
∴△DBE为等腰三角形；
解：（2）∵BE＝ED，△ADE的周长为15，
∴AE+ED+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝15，
∵BD平分△ABC的周长，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2（AB+AD）＝30．
【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是由角平分线和平行线的性质可得到∠EBD＝∠EDB解答．
13．（2024秋 江夏区校级期中）已知，如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E．CF⊥AE于点F．
（1）若∠B＝75°，∠BAC＝60°，直接写出∠E，∠DCF的度数；
（2）用等式表示线段AF，AB，AC之间的数量关系，并证明．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）∠E＝30°；∠DCF＝15°；
（2）AB+AC＝2AF，证明见解答过程．
【分析】（1）根据角平分线定义得∠BAD＝∠CAD＝30°，再根据CE∥AB得∠E＝∠BAD＝30°，∠DCE＝∠B＝75°，然后根据CF⊥AE得∠ECF＝60°，进而可得∠DCF的度数；
（2）先根据角平分线定义得∠BAD＝∠CAD，再根据CE∥AB得∠E＝∠BAD，∠DCE＝∠B，则∠CAD＝∠E，由此得AC＝EC，则AE＝2AF，再证明∠DCE＝∠CDE得EC＝ED＝AC，继而得AE＝AD+ED＝AB+AC，据此即可得出线段AF，AB，AC之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝30°，
∵CE∥AB，∠B＝75°，
∴∠E＝∠BAD＝30°，∠DCE＝∠B＝75°，
∵CF⊥AE，
∴∠ECF＝90°﹣∠E＝60°，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝75°﹣60°＝15°，
故∠E＝30°；∠DCF＝15°；
（2）线段AF，AB，AC之间的数量关系是：AB+AC＝2AF，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAD，∠DCE＝∠B，
∴∠CAD＝∠E，
∴△ACE是等腰三角形，
∴AC＝EC，
∵CF⊥AE，
∴AF＝EF，即AE＝2AF，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB，
又∵∠DCE＝∠B，∠CDE＝∠ADB，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴EC＝ED，
∴EC＝ED＝AC，
∴AE＝AD+ED＝AB+AC，
∴AB+AC＝2AF．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．
14．（2024秋 延平区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知AC＝13，BD＝5，求AB的长．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】计算题；证明题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）8．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠AFE＝∠AFB＝90°，由角平分线的定义得到∠EAF＝∠BAF，根据三角形的内角和得到∠AEF＝∠ABF，得到AE＝AB，于是得到结论；
（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD＝ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF＝∠DBF，等量代换得到∠AED＝∠ABD，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AD，
∴∠AFE＝∠AFB＝90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠BAF，
又∵在△AEF和△ABF中
∠AFE+∠EAF+∠AEF＝180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF＝180°
∴∠AEF＝∠ABF，
∴AE＝AB，
∴△ABE为等腰三角形；
（2）解：连接DE，
∵AE＝AB，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BE，
∴BD＝ED，
∴∠DEF＝∠DBF，
∵∠AEF＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ABD，
又∵∠ABC＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C，
又∵△CED中，∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠C＝∠EDC，
∴EC＝ED，
∴CE＝BD．
∴AB＝AE＝AC﹣CE＝AC﹣BD＝13﹣5＝8．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（2024秋 秦淮区期中）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．判断△AEG的形状并说明理由．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】△AEG是等腰三角形，理由见解析．
【分析】过点E作EF⊥BC交于点F，然后根据等腰三角形三线合一得出∠BEF＝∠CEF∠BEC，再根据EF∥AD，得出∠FEC＝∠DGC，得∠AGE＝∠EAG即可．
【解答】解：△AEG是等腰三角形，理由如下：
如图，过点E作EF⊥BC交于点F，
∵BE＝CE，EF⊥BC，
∴∠BEF＝∠CEF∠BEC，
∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF∥AD，
∴∠FEC＝∠DGC，
又∵∠DGC＝∠AGE，
∴∠AGE＝∠FEC∠BEC，
∴∠BEF＝∠AGE，
∵EF∥AD，
∴∠BEF＝∠BAD，即∠BEF＝∠EAG，
∴∠AGE＝∠EAG，
∴EA＝EG，
∴△AEG是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，关键是对这些性质的掌握和运用．
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预习衔接.夯实基础 等腰三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 南开区期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝4，ED＝9，则BE+DC的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．（2024秋 南开区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5，则BF的长为（ ）
A．7.5 B．10 C．12 D．12.5
3．（2024秋 北京期中）如图，BD和AD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠CAE的角平分线，AD∥BC，连接CD．以下结论：①AB＝AC；②∠BAC＝2∠BDC；③∠EAC＝4∠ADB；④∠ADC+∠ABD＝90°．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024秋 伊金霍洛旗期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为（ ）
A．12 B．9 C．10 D．11
5．（2024秋 梨树县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 东莞市期中）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点（即OA＝OB），支柱OH垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，∠AOH＝71°，则AB上下可转动的最大角度∠AOM＝ °．
7．（2024秋 晋安区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，AD为中线，AD＝AE，则∠EDC＝ °．
8．（2024秋 江阴市期中）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，AD＝2，则AB的长为 ．
9．（2024秋 新吴区期中）如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有 个．
10．（2024秋 兴宁区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，DE为悬杆，BC为支杆．已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝120°，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 cm．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 南开区期中）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相于点F．
（Ⅰ）证明：△ADF是等腰三角形；
（Ⅱ）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝3，求EC的长．
12．（2024秋 浏阳市期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△BED是等腰三角形．
（2）若BD平分△ABC的周长，△ADE的周长为15，求△ABC的周长．
13．（2024秋 江夏区校级期中）已知，如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E．CF⊥AE于点F．
（1）若∠B＝75°，∠BAC＝60°，直接写出∠E，∠DCF的度数；
（2）用等式表示线段AF，AB，AC之间的数量关系，并证明．
14．（2024秋 延平区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知AC＝13，BD＝5，求AB的长．
15．（2024秋 秦淮区期中）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．判断△AEG的形状并说明理由．
预习衔接.夯实基础 等腰三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 南开区期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝4，ED＝9，则BE+DC的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵FG＝4，ED＝9，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝13，
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．
2．（2024秋 南开区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5，则BF的长为（ ）
A．7.5 B．10 C．12 D．12.5
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】过点D作DH⊥AC于点H，由题意易得AD平分∠CAB，则有DE＝DH，然后根据等积法可进行求解．
【解答】解：如图所示，过点D作DH⊥AC于点H，
∵∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于点D，
∴AD平分∠CAB，
∵DE⊥AB于点E，DE＝5，
∴DE＝DH＝5，
∵，
∴2DH＝BF，
∴BF＝10；
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2024秋 北京期中）如图，BD和AD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠CAE的角平分线，AD∥BC，连接CD．以下结论：①AB＝AC；②∠BAC＝2∠BDC；③∠EAC＝4∠ADB；④∠ADC+∠ABD＝90°．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得出，∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：只有∠ABC＝∠ACB时，AB＝AC，
故①错误，不符合题意；
∵BD和AD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠CAE的角平分线，
∴∠EAC＝2∠EAD＝2∠CAD，∠ABC＝2∠ABD＝2∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝2∠ABC，∠ADB＝∠CBD，
∴∠EAC＝4∠ADB，
故③正确，符合题意；
∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠DCF，
∴2∠DCF+∠ACB＝180°，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF，
∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝2∠BDC，
故②正确，符合题意；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF＝2∠DCF，
∵∠ADB+∠CDB＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°，
∴2∠DCF+∠ABC＝2∠DCF+2∠ABD＝180°，
∴∠DCF+∠ABD＝90°，
∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°，
∴，故④正确；
⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度．
4．（2024秋 伊金霍洛旗期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为（ ）
A．12 B．9 C．10 D．11
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再根据垂直定义可得∠MNC＝∠MNB＝90°，从而可得∠B+∠BON＝90°，∠C+∠M＝90°，然后利用等角的余角相等可得∠M＝∠BON，再根据对顶角相等可得∠BON＝∠MOA，从而可得∠M＝∠MOA，进而可得AM＝AO＝3，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵MN⊥BC，
∴∠MNC＝∠MNB＝90°，
∴∠B+∠BON＝90°，∠C+∠M＝90°，
∴∠M＝∠BON，
∵∠BON＝∠MOA，
∴∠M＝∠MOA，
∴AM＝AO＝3，
∵BO＝4，
∴AB＝AC＝AO+BO＝7，
∴MC＝AM+AC＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2024秋 梨树县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【考点】等边三角形的性质．
【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22 OA1，A4B4＝A4A5＝23 OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，即可求解．
【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、规律型等知识，熟练掌握等边三角形的性质，找出规律是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 东莞市期中）如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点（即OA＝OB），支柱OH垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，∠AOH＝71°，则AB上下可转动的最大角度∠AOM＝ 38 °．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】38．
【分析】根据题意可得：AM∥OH，从而利用平行线的性质可得∠AOH＝∠OAM＝70°，然后利用等腰三角形的性质可得∠M＝∠OAM＝70°，最后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：AM∥OH，
∴∠AOH＝∠OAM＝71°，
∵OM＝OA，
∴∠M＝∠OAM＝71°，
∴∠AOM＝180°﹣∠M﹣∠OAM＝38°，
故答案为：38．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．
7．（2024秋 晋安区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，AD为中线，AD＝AE，则∠EDC＝ 16 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】16．
【分析】可以设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，根据∠ADE＝∠AED＝x+y，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．
【解答】解：设∠B＝∠C＝y，∠EDC＝x，
∵∠BAC＝56°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝62°，
∠EDC+∠C＝x+y＝∠AED，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝x+y，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴2x+y＝y+32，
∴x＝16，
∴∠EDC的度数是16°．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．
8．（2024秋 江阴市期中）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，AD＝2，则AB的长为 2 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD＝∠ADB，然后求出∠ABD＝∠ADB，可得结论．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，AD＝2，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，熟记概念与性质是解题的关键．
9．（2024秋 新吴区期中）如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有 8 个．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】网格型．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别以A、B为圆心，AB的长为半径画圆，看其与方格是的交点是格点的个数即可．
【解答】解：
如图，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，
则其与方格的交点为格点的有8个，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用画圆可以确定出满足条件的点．
10．（2024秋 兴宁区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，DE为悬杆，BC为支杆．已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝120°，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 30 cm．
【考点】等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】30
【分析】连接BD，证明△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得到结论．
【解答】解：如图，连接BD，
∵∠BCE＝120°，∠BCD+BCE＝180°，
∴∠BCD＝60°，
∵BC＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝CD＝30cm，
此时B，D两点之间的距离为30cm，
故答案为：30．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出∠BCD＝60°．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 南开区期中）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相于点F．
（Ⅰ）证明：△ADF是等腰三角形；
（Ⅱ）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝3，求EC的长．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【分析】（1）由AB＝AC得∠B＝∠C，再根据余角性质可得∠F＝∠BDE，最后根据对顶角的性质可得∠F＝∠FDA，据此即可求证；
（2）由∠B＝60°可得∠BDE＝30°，进而由直角三角形的性质可得，又可得△ABC是等边三角形，得到BC＝AB＝AD+BD＝9，据此即可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠CEF＝∠BED＝90°，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵∠DEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∵BD＝4，
∴BEBD＝2，
∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝7，
∴EC＝BC﹣BE＝5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
12．（2024秋 浏阳市期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△BED是等腰三角形．
（2）若BD平分△ABC的周长，△ADE的周长为15，求△ABC的周长．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）30．
【分析】（1）由角平分线和平行线的性质可得到∠EBD＝∠EDB，可证得结论；
（2）根据三角形的周长公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABD，
∴BE＝ED，
∴△DBE为等腰三角形；
解：（2）∵BE＝ED，△ADE的周长为15，
∴AE+ED+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝15，
∵BD平分△ABC的周长，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2（AB+AD）＝30．
【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是由角平分线和平行线的性质可得到∠EBD＝∠EDB解答．
13．（2024秋 江夏区校级期中）已知，如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E．CF⊥AE于点F．
（1）若∠B＝75°，∠BAC＝60°，直接写出∠E，∠DCF的度数；
（2）用等式表示线段AF，AB，AC之间的数量关系，并证明．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）∠E＝30°；∠DCF＝15°；
（2）AB+AC＝2AF，证明见解答过程．
【分析】（1）根据角平分线定义得∠BAD＝∠CAD＝30°，再根据CE∥AB得∠E＝∠BAD＝30°，∠DCE＝∠B＝75°，然后根据CF⊥AE得∠ECF＝60°，进而可得∠DCF的度数；
（2）先根据角平分线定义得∠BAD＝∠CAD，再根据CE∥AB得∠E＝∠BAD，∠DCE＝∠B，则∠CAD＝∠E，由此得AC＝EC，则AE＝2AF，再证明∠DCE＝∠CDE得EC＝ED＝AC，继而得AE＝AD+ED＝AB+AC，据此即可得出线段AF，AB，AC之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝30°，
∵CE∥AB，∠B＝75°，
∴∠E＝∠BAD＝30°，∠DCE＝∠B＝75°，
∵CF⊥AE，
∴∠ECF＝90°﹣∠E＝60°，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝75°﹣60°＝15°，
故∠E＝30°；∠DCF＝15°；
（2）线段AF，AB，AC之间的数量关系是：AB+AC＝2AF，证明如下：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAD，∠DCE＝∠B，
∴∠CAD＝∠E，
∴△ACE是等腰三角形，
∴AC＝EC，
∵CF⊥AE，
∴AF＝EF，即AE＝2AF，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB，
又∵∠DCE＝∠B，∠CDE＝∠ADB，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴EC＝ED，
∴EC＝ED＝AC，
∴AE＝AD+ED＝AB+AC，
∴AB+AC＝2AF．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．
14．（2024秋 延平区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知AC＝13，BD＝5，求AB的长．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】计算题；证明题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）8．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠AFE＝∠AFB＝90°，由角平分线的定义得到∠EAF＝∠BAF，根据三角形的内角和得到∠AEF＝∠ABF，得到AE＝AB，于是得到结论；
（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD＝ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF＝∠DBF，等量代换得到∠AED＝∠ABD，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AD，
∴∠AFE＝∠AFB＝90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠BAF，
又∵在△AEF和△ABF中
∠AFE+∠EAF+∠AEF＝180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF＝180°
∴∠AEF＝∠ABF，
∴AE＝AB，
∴△ABE为等腰三角形；
（2）解：连接DE，
∵AE＝AB，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BE，
∴BD＝ED，
∴∠DEF＝∠DBF，
∵∠AEF＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ABD，
又∵∠ABC＝2∠C，
∴∠AED＝2∠C，
又∵△CED中，∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠C＝∠EDC，
∴EC＝ED，
∴CE＝BD．
∴AB＝AE＝AC﹣CE＝AC﹣BD＝13﹣5＝8．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（2024秋 秦淮区期中）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．判断△AEG的形状并说明理由．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】△AEG是等腰三角形，理由见解析．
【分析】过点E作EF⊥BC交于点F，然后根据等腰三角形三线合一得出∠BEF＝∠CEF∠BEC，再根据EF∥AD，得出∠FEC＝∠DGC，得∠AGE＝∠EAG即可．
【解答】解：△AEG是等腰三角形，理由如下：
如图，过点E作EF⊥BC交于点F，
∵BE＝CE，EF⊥BC，
∴∠BEF＝∠CEF∠BEC，
∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF∥AD，
∴∠FEC＝∠DGC，
又∵∠DGC＝∠AGE，
∴∠AGE＝∠FEC∠BEC，
∴∠BEF＝∠AGE，
∵EF∥AD，
∴∠BEF＝∠BAD，即∠BEF＝∠EAG，
∴∠AGE＝∠EAG，
∴EA＝EG，
∴△AEG是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，关键是对这些性质的掌握和运用．
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