第1章 直线与方程（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019）
文档属性
| 名称 | 第1章 直线与方程（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 62.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-21 09:50:44 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
预习衔接.夯实基础 直线与方程
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 海淀区校级期中）对于直线l：mx+y﹣2m＝0，下列说法不正确的是（ ）
A．l的斜率一定存在
B．l恒过定点（2，0）
C．时，l的倾斜角为60°
D．m＝﹣2时，l不经过第二象限
2．（2024秋 金湾区期中）已知直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0，点M（4，3），记M到l的距离为d，则d的取值范围为（ ）
A．[0，8） B．[0，8] C． D．
3．（2024秋 开福区校级期中）设直线的倾斜角为α，则α＝（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．（2024秋 碑林区校级期中）“a＝3”是“直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 漳州期中）已知两直线l1：ax+2y﹣3＝0与l2：3x+4y+4＝0，则（ ）
A．直线l1过定点
B．直线l2在y轴上的截距为1
C．当l1⊥l2时，
D．当l1∥l2时，l1与l2之间的距离为
（多选）6．（2024秋 金坛区期中）设a为实数，直线l1：ax+2ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0，则（ ）
A．当a＞0时，l1不经过第一象限
B．l1∥l2的充要条件是
C．若l1⊥l2，则a＝﹣3或a＝0
D．l2恒过点（2，2）
（多选）7．（2024秋 安康期中）已知直线y＝2x与x+y+a＝0交于点P（1，b），则（ ）
A．a＝﹣3
B．b＝2
C．点P到直线ax+by+3＝0的距离为
D．点P到直线ax+by+3＝0的距离为
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 海淀区校级期中）如果直线x+ay﹣5＝0与直线3x﹣y+7＝0互相垂直，则实数a的值是 ．
9．（2024秋 漳州期中）已知点P，Q在直线l：x+2y0上，且P，Q两点到原点的距离均小于或等于2，则|PQ|的最大值为 ．
10．（2024秋 安康期中）过点（3，1）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ．
11．（2024秋 荔湾区校级期中）已知两点A（1，1，0），C（0，0，1），B（0，1，1）是直线AC外一点，则点B到直线AC的距离 ．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 金坛区期中）已知直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若直线l2过点，且l1⊥l2．
（1）求直线l1和直线l2的交点坐标；
（2）已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线l3的方程．
13．（2024秋 普陀区校级期中）已知直线l经过点P（2，3）．
（1）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程．
（2）若直线l和l1：3x+4y﹣7＝0、l2：3x+4y+8＝0分别交于C、D两点，且，求直线l的方程．
14．（2024秋 张家港市期中）已知△ABC的三个顶点是A（1，5），B（﹣5，﹣7），C（3，﹣3），求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）∠ABC的角平分线所在直线的方程．
15．（2024秋 荔湾区校级期中）已知△ABC的三个顶点是A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4）．
（1）求BC边上的中线所在直线l1的方程；
（2）求△ABC的面积；
（3）若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．
预习衔接.夯实基础 直线与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 海淀区校级期中）对于直线l：mx+y﹣2m＝0，下列说法不正确的是（ ）
A．l的斜率一定存在
B．l恒过定点（2，0）
C．时，l的倾斜角为60°
D．m＝﹣2时，l不经过第二象限
【考点】直线的斜率；恒过定点的直线．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可．
【解答】解；对A，直线l方程为mx+y﹣2m＝0，斜率为﹣m，一定存在，故A正确；
对B，直线l的方程整理可得：m（x﹣2）+y＝0，可得直线过点（2，0），故B正确；
对C，当时，斜率为，设直线的倾斜角为α，0°≤α＜180°，
可得tanα，所以倾斜角为120°，故C错误；
对D，m＝﹣2时，直线方程为﹣2x+y+4＝0，即y＝2x﹣4，斜率是2＞0，在y轴上的截距为﹣4，
因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查直线恒过定点的求法，直线的倾斜角与斜率的关系的应用，属于基础题．
2．（2024秋 金湾区期中）已知直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0，点M（4，3），记M到l的距离为d，则d的取值范围为（ ）
A．[0，8） B．[0，8] C． D．
【考点】恒过定点的直线；两点间的距离公式．
【答案】C
【分析】当直线l过点M（4，3）时，求出m的值，可得出d＝0；然后求出直线l所过定点A的作坐标，求出|AM|，分析可知当MA⊥l时，d最大，但此时l不存在，由此可得出d的取值范围．
【解答】解：若直线l过点M（4，3），则4（m+2）+3（m﹣1）﹣3m﹣3＝4m+2＝0，解得，
此时，点M到直线l的距离为d＝0；
由直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0，可得m（x+y﹣3）+2x﹣y﹣3＝0，
由，可解得，
即直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0过定点A（2，1），
则，，
当直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0与直线MA垂直时，最大，
此时，直线l的斜率为，m的值不存在，即这样的直线l不存在，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
3．（2024秋 开福区校级期中）设直线的倾斜角为α，则α＝（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】设直线l的倾斜角为α，根据题意，得到，即可求解．
【解答】解：直线可化为斜截式方程yx，则直线l的斜率为，
又直线l的倾斜角α满足0°≤α＜180°，所以α＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
4．（2024秋 碑林区校级期中）“a＝3”是“直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件与必要条件．
【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】C
【分析】根据两条直线平行的充要条件写出关系式，得到a的两个数值，再检验得到结论．
【解答】解：当两条直线平行时，则（a﹣1）×a＝3×2，
∴a2﹣a﹣6＝0，
∴a＝3，a＝﹣2，
当a＝﹣2时，两条直线重合，故舍去，
∴a＝3是直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行的充分必要条件，
故选：C．
【点评】本题考查两条直线的位置关系，解题的关键是正确应用两条直线平行的条件，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 漳州期中）已知两直线l1：ax+2y﹣3＝0与l2：3x+4y+4＝0，则（ ）
A．直线l1过定点
B．直线l2在y轴上的截距为1
C．当l1⊥l2时，
D．当l1∥l2时，l1与l2之间的距离为
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的截距式方程；恒过定点的直线；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AC
【分析】A中，求出直线恒过的定点的坐标，判断出A的真假；B中，令x＝0，可得直线在y轴上的截距，判断出B的真假；C中，由两条直线垂直的充要条件，可得a的值，判断出C的真假；D中，由两条直线平行的充要条件，可得a的值，整理直线l1的方程，由平行线间的距离公式，可得两条直线的距离，判断出D的真假．
【解答】解：A中，直线l1的方程中，令x＝0，可得y，即直线恒过定点（0，），所以A正确；
B中，直线l2的方程中，令x＝0，可得y＝﹣1，所以直线在y轴上的截距为﹣1，所以B不正确；
C中，当l1⊥l2时，则3a+2×4＝0，解得a，所以C正确；
D中，当l1∥l2时，则，解得a，整理直线l1的方程为3x+4y﹣6＝0，
所以两条直线间的距离d2，所以D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查平行线间的距离公式的应用，直线恒过定点的坐标的求法，两条直线平行，垂直的充要条件的应用，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 金坛区期中）设a为实数，直线l1：ax+2ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0，则（ ）
A．当a＞0时，l1不经过第一象限
B．l1∥l2的充要条件是
C．若l1⊥l2，则a＝﹣3或a＝0
D．l2恒过点（2，2）
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的一般式方程与直线的性质；恒过定点的直线；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AB
【分析】A中，由a＞0，可得直线的斜率的符号及直线在y轴上的截距的符号，判断出A的真假；B中，写出两条直线平行的充要条件，可得a的值，判断出B的真假；C中，写出两条直线垂直的充要条件，求出a的值，判断出C的真假；D中，整理直线l2的方程，求出直线恒过的定点的坐标，判断出D的真假．
【解答】解：直线l1中，由直线的定义可知，a≠0，
A中，当a＞0，直线的斜率为0，且直线在y轴的截距为0，可知直线l1不过第一象限，所以A正确；
B中，两条直线平行的充要条件为：，解得a，所以B正确；
C中，两条直线垂直时，则，解得a＝﹣3，所以C不正确；
D中，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0整理可得：a（x﹣y）﹣x﹣y﹣4＝0，
令x﹣y＝0，则﹣x﹣y﹣4＝0，
解得x＝y＝﹣2，即直线l2恒过定点（﹣2，﹣2），所以D不正确．
故选：AB．
【点评】本题考查两条直线平行，垂直的充要条件的应用，直线恒过定点的求法，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 安康期中）已知直线y＝2x与x+y+a＝0交于点P（1，b），则（ ）
A．a＝﹣3
B．b＝2
C．点P到直线ax+by+3＝0的距离为
D．点P到直线ax+by+3＝0的距离为
【考点】点到直线的距离公式；两点间的距离公式．
【专题】计算题；对应思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由直线y＝2x与x+y+a＝0交于点P（1，b）知，从而解出a，b；再求点到直线的距离即可．
【解答】解：∵直线y＝2x与x+y+a＝0交于点P（1，b），
∴，
解得b＝2，a＝﹣3；
故点P（1，2），直线ax+by+3＝0可化为﹣3x+2y+3＝0，
故点P到直线ax+by+3＝0的距离为，
故选：ABD．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 海淀区校级期中）如果直线x+ay﹣5＝0与直线3x﹣y+7＝0互相垂直，则实数a的值是 3 ．
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】3．
【分析】由两条直线垂直的充要条件列方程，求解即可．
【解答】解：因为直线x+ay﹣5＝0与直线3x﹣y+7＝0互相垂直，
所以1×3+a×（﹣1）＝0，
解得a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查两条直线垂直的充要条件的应用，属于基础题．
9．（2024秋 漳州期中）已知点P，Q在直线l：x+2y0上，且P，Q两点到原点的距离均小于或等于2，则|PQ|的最大值为 2 ．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据已知得到P，Q在以（0，0）为圆心，2为半径的圆上或圆内，再分析得到|PQ|的最大值为直线被圆截得的弦长，进而求解结论．
【解答】解：P，Q两点到原点的距离均小于或等于2，
故P，Q在以（0，0）为圆心，2为半径的圆上或圆内，
又因为点P，Q在直线l：x+2y0上，
所以|PQ|的最大值为直线被圆截得的弦长，
又（0，0）到x+2y0的距离d1，
所以|PQ|的最大值为：22．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查直线和圆的相交弦长，考查计算能力，属于基础题．
10．（2024秋 安康期中）过点（3，1）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 x﹣3y＝0或x+y﹣4＝0 ．
【考点】直线的截距式方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】x﹣3y＝0或x+y﹣4＝0．
【分析】根据已知条件，分直线在两坐标轴上的截距是否为0讨论，即可求解．
【解答】解：当直线在两坐标轴上的截距为0时，
则设直线方程为y＝kx，
因为直线过点（3，1），
所以直线方程为x﹣3y＝0，
当直线在两坐标轴上的截距不为0时，
可设直线方程为x+y＝a，
因为直线过点（3，1），
所以3+1﹣a＝0，解得a＝4，即直线方程为x+y﹣4＝0，
综上所述，所求的直线方程为x﹣3y＝0或x+y﹣4＝0．
故答案为：x﹣3y＝0或x+y﹣4＝0．
【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
11．（2024秋 荔湾区校级期中）已知两点A（1，1，0），C（0，0，1），B（0，1，1）是直线AC外一点，则点B到直线AC的距离 ．
【考点】点到直线的距离公式；两点间的距离公式．
【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】．
【分析】求出，的夹角和的模长，利用向量法能求出点B到直线AC的距离．
【解答】解：∵A（1，1，0），C（0，0，1），B（0，1，1），
∴（﹣1，0，1），（﹣1，﹣1，1），
设，的夹角为θ，
则cosθ，
∵θ∈[0，π]，∴sinθ，
∴点B到直线AC的距离为：
d＝||sinθ．
故答案为：．
【点评】本题考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 金坛区期中）已知直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若直线l2过点，且l1⊥l2．
（1）求直线l1和直线l2的交点坐标；
（2）已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线l3的方程．
【考点】两条直线的交点坐标；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的截距式方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）（2，1）；
（2）x﹣2y＝0或2x+y﹣5＝0．
【分析】（1）由已知结合直线垂直时的斜率关系可求l2的斜率，进而可求直线方程；
（2）由已知对所求直线的截距是否为0进行分类讨论，进而可求．
【解答】解：（1）因为直线l2过点（，0），且l1⊥l2，
所以直线l2的方程为y＝2（x），即2x﹣y﹣3＝0，
联立，解得x＝2，y＝1，
所以直线l1和直线l2的交点坐标为（2，1）；
（2）当直线l3在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为yx，
当直线l3在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为，
因为直线l3过（2，1），
所以1，
所以a，此时直线方程为1，即2x+y﹣5＝0，
综上直线l3的方程为：x﹣2y＝0或2x+y﹣5＝0．
【点评】本题主要考查了直线的交点坐标，直线垂直的斜率关系，直线的截距式方程的应用，属于基础题．
13．（2024秋 普陀区校级期中）已知直线l经过点P（2，3）．
（1）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程．
（2）若直线l和l1：3x+4y﹣7＝0、l2：3x+4y+8＝0分别交于C、D两点，且，求直线l的方程．
【考点】两条直线的交点坐标．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）3x+2y﹣12＝0；
（2）x﹣7y+19＝0或者7x+y﹣17＝0．
【分析】（1）由题意设直线的截距式方程为1，（a＞0，b＞0），再结合基本不等式的公式，即可求解；
（2）根据平行间的距离公式可得两条平行间的距离为3，即可得到l与l1成45°角，再根据两角和与差的正切公式可得直线的斜率，进而求出答案．
【解答】解：（1）由题意设直线的截距式方程为1，（a＞0，b＞0），
因为直线过P（2，3），
所以1，
所以12，
所以ab≥24，当且仅当即a＝4且b＝6时取等号，△AOB的面积Sab≥12，△AOB面积的最小值为12，
此时直线l的方程为1，即直线l的方程为3x+2y﹣12＝0；
（2）两直线间的距离d3，
又因为，
所以l与l1成45°角，
设所求直线的斜率为k，
所以tan45°＝||，
∴k或k＝﹣7，
∴y﹣3＝﹣7（x﹣2）或y﹣3（x﹣2），
故直线l的方程为：x﹣7y+19＝0或者7x+y﹣17＝0．
【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
14．（2024秋 张家港市期中）已知△ABC的三个顶点是A（1，5），B（﹣5，﹣7），C（3，﹣3），求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）∠ABC的角平分线所在直线的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）5x﹣y＝0；
（2）2x+y﹣7＝0；
（3）x﹣y﹣2＝0．
【分析】（1）对于求边BC上的中线所在直线方程：首先要找到BC中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程；
（2）对于求边BC上的高所在直线方程：先求BC边的斜率，根据斜率公式，高与BC垂直，两条垂直直线斜率乘积为﹣1，再利用点斜式求直线方程；
（3）对于求∠ABC的角平分线所在直线方程：先求AB和BC边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为k，求出k，再利用点斜式求出直线方程．
【解答】解：（1）B（﹣5，﹣7），C（3，﹣3），
BC中点D（﹣1，﹣5），
中线过A（1，5）和D（﹣1，﹣5）两点，根据两点式，
即，化简得y﹣5＝5（x﹣1），即5x﹣y＝0．
（2）先求BC边的斜率，已知B（﹣5，﹣7），C（3，﹣3），
根据斜率公式，
设高的斜率为k，则，解得k＝﹣2，
又因为高过A（1，5）点，根据点斜式y﹣5＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣7＝0．
（3）先求AB边的斜率，BC边的斜率，
设角平分线斜率为k，根据夹角公式得，化简，
整理得|（k﹣2）（2+k）|＝|（1﹣2k）（1+2k）|，
即k2﹣4＝4k2﹣1或k2﹣4＝1﹣4k2，
继续化简k2＝﹣1（舍去），或k2＝1，即k＝±1，
因为角平分线的斜率应该在kAB和kBC之间，所以k＝1，
又因为角平分线过B（﹣5，﹣7）点，根据点斜式y+7＝1×（x+5），即x﹣y﹣2＝0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
15．（2024秋 荔湾区校级期中）已知△ABC的三个顶点是A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4）．
（1）求BC边上的中线所在直线l1的方程；
（2）求△ABC的面积；
（3）若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x﹣2y+4＝0；
（2）；
（3）x﹣y﹣8＝0或13x+5y﹣32＝0．
【分析】（1）求出直线BC的斜率，则可求出直线l1的斜率，再利用点斜式，可求出直线l1的方程；
（2）求出三角形的三边的长，由余弦定理可得cos∠ABC的值，进而求出sin∠ABC的值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积；
（3）由题意分直线l2与AB平行和直线l2通过AB的中点两种情况求解．
【解答】解：（1）由B（1，2），C（4，﹣4）．
所以，
所以BC边上的高所在直线l1的斜率为，
则BC边上的高所在直线l1的方程，
即x﹣2y+4＝0；
（2）A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4），
所以|AB|，|AC|，|BC|3，
所以cos∠ABC，
所以sin∠ABC，
所以S△ABC|AB| |BC|sin∠ABC3；
（3）因为点A，B到直线l2的距离相等，所以直线l2与AB平行或通过AB的中点，
①当直线l2与AB平行，
因为，且l2过点C，
所以l2方程为y+4＝x﹣4，即x﹣y﹣8＝0，
②当直线l2通过AB的中点，
所以，
所以l2的方程为，即13x+5y﹣32＝0．
综上：直线l2的方程为x﹣y﹣8＝0或13x+5y﹣32＝0．
【点评】本题考查平行直线，垂直直线的性质的应用，三角形的面积公式的应用，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
预习衔接.夯实基础 直线与方程
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 海淀区校级期中）对于直线l：mx+y﹣2m＝0，下列说法不正确的是（ ）
A．l的斜率一定存在
B．l恒过定点（2，0）
C．时，l的倾斜角为60°
D．m＝﹣2时，l不经过第二象限
2．（2024秋 金湾区期中）已知直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0，点M（4，3），记M到l的距离为d，则d的取值范围为（ ）
A．[0，8） B．[0，8] C． D．
3．（2024秋 开福区校级期中）设直线的倾斜角为α，则α＝（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．（2024秋 碑林区校级期中）“a＝3”是“直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 漳州期中）已知两直线l1：ax+2y﹣3＝0与l2：3x+4y+4＝0，则（ ）
A．直线l1过定点
B．直线l2在y轴上的截距为1
C．当l1⊥l2时，
D．当l1∥l2时，l1与l2之间的距离为
（多选）6．（2024秋 金坛区期中）设a为实数，直线l1：ax+2ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0，则（ ）
A．当a＞0时，l1不经过第一象限
B．l1∥l2的充要条件是
C．若l1⊥l2，则a＝﹣3或a＝0
D．l2恒过点（2，2）
（多选）7．（2024秋 安康期中）已知直线y＝2x与x+y+a＝0交于点P（1，b），则（ ）
A．a＝﹣3
B．b＝2
C．点P到直线ax+by+3＝0的距离为
D．点P到直线ax+by+3＝0的距离为
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 海淀区校级期中）如果直线x+ay﹣5＝0与直线3x﹣y+7＝0互相垂直，则实数a的值是 ．
9．（2024秋 漳州期中）已知点P，Q在直线l：x+2y0上，且P，Q两点到原点的距离均小于或等于2，则|PQ|的最大值为 ．
10．（2024秋 安康期中）过点（3，1）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ．
11．（2024秋 荔湾区校级期中）已知两点A（1，1，0），C（0，0，1），B（0，1，1）是直线AC外一点，则点B到直线AC的距离 ．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 金坛区期中）已知直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若直线l2过点，且l1⊥l2．
（1）求直线l1和直线l2的交点坐标；
（2）已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线l3的方程．
13．（2024秋 普陀区校级期中）已知直线l经过点P（2，3）．
（1）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程．
（2）若直线l和l1：3x+4y﹣7＝0、l2：3x+4y+8＝0分别交于C、D两点，且，求直线l的方程．
14．（2024秋 张家港市期中）已知△ABC的三个顶点是A（1，5），B（﹣5，﹣7），C（3，﹣3），求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）∠ABC的角平分线所在直线的方程．
15．（2024秋 荔湾区校级期中）已知△ABC的三个顶点是A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4）．
（1）求BC边上的中线所在直线l1的方程；
（2）求△ABC的面积；
（3）若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．
预习衔接.夯实基础 直线与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 海淀区校级期中）对于直线l：mx+y﹣2m＝0，下列说法不正确的是（ ）
A．l的斜率一定存在
B．l恒过定点（2，0）
C．时，l的倾斜角为60°
D．m＝﹣2时，l不经过第二象限
【考点】直线的斜率；恒过定点的直线．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可．
【解答】解；对A，直线l方程为mx+y﹣2m＝0，斜率为﹣m，一定存在，故A正确；
对B，直线l的方程整理可得：m（x﹣2）+y＝0，可得直线过点（2，0），故B正确；
对C，当时，斜率为，设直线的倾斜角为α，0°≤α＜180°，
可得tanα，所以倾斜角为120°，故C错误；
对D，m＝﹣2时，直线方程为﹣2x+y+4＝0，即y＝2x﹣4，斜率是2＞0，在y轴上的截距为﹣4，
因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查直线恒过定点的求法，直线的倾斜角与斜率的关系的应用，属于基础题．
2．（2024秋 金湾区期中）已知直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0，点M（4，3），记M到l的距离为d，则d的取值范围为（ ）
A．[0，8） B．[0，8] C． D．
【考点】恒过定点的直线；两点间的距离公式．
【答案】C
【分析】当直线l过点M（4，3）时，求出m的值，可得出d＝0；然后求出直线l所过定点A的作坐标，求出|AM|，分析可知当MA⊥l时，d最大，但此时l不存在，由此可得出d的取值范围．
【解答】解：若直线l过点M（4，3），则4（m+2）+3（m﹣1）﹣3m﹣3＝4m+2＝0，解得，
此时，点M到直线l的距离为d＝0；
由直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0，可得m（x+y﹣3）+2x﹣y﹣3＝0，
由，可解得，
即直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0过定点A（2，1），
则，，
当直线l：（m+2）x+（m﹣1）y﹣3m﹣3＝0与直线MA垂直时，最大，
此时，直线l的斜率为，m的值不存在，即这样的直线l不存在，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
3．（2024秋 开福区校级期中）设直线的倾斜角为α，则α＝（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【考点】直线的倾斜角；直线的斜率．
【专题】方程思想；定义法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】设直线l的倾斜角为α，根据题意，得到，即可求解．
【解答】解：直线可化为斜截式方程yx，则直线l的斜率为，
又直线l的倾斜角α满足0°≤α＜180°，所以α＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
4．（2024秋 碑林区校级期中）“a＝3”是“直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；充分条件与必要条件．
【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】C
【分析】根据两条直线平行的充要条件写出关系式，得到a的两个数值，再检验得到结论．
【解答】解：当两条直线平行时，则（a﹣1）×a＝3×2，
∴a2﹣a﹣6＝0，
∴a＝3，a＝﹣2，
当a＝﹣2时，两条直线重合，故舍去，
∴a＝3是直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行的充分必要条件，
故选：C．
【点评】本题考查两条直线的位置关系，解题的关键是正确应用两条直线平行的条件，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 漳州期中）已知两直线l1：ax+2y﹣3＝0与l2：3x+4y+4＝0，则（ ）
A．直线l1过定点
B．直线l2在y轴上的截距为1
C．当l1⊥l2时，
D．当l1∥l2时，l1与l2之间的距离为
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的截距式方程；恒过定点的直线；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AC
【分析】A中，求出直线恒过的定点的坐标，判断出A的真假；B中，令x＝0，可得直线在y轴上的截距，判断出B的真假；C中，由两条直线垂直的充要条件，可得a的值，判断出C的真假；D中，由两条直线平行的充要条件，可得a的值，整理直线l1的方程，由平行线间的距离公式，可得两条直线的距离，判断出D的真假．
【解答】解：A中，直线l1的方程中，令x＝0，可得y，即直线恒过定点（0，），所以A正确；
B中，直线l2的方程中，令x＝0，可得y＝﹣1，所以直线在y轴上的截距为﹣1，所以B不正确；
C中，当l1⊥l2时，则3a+2×4＝0，解得a，所以C正确；
D中，当l1∥l2时，则，解得a，整理直线l1的方程为3x+4y﹣6＝0，
所以两条直线间的距离d2，所以D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查平行线间的距离公式的应用，直线恒过定点的坐标的求法，两条直线平行，垂直的充要条件的应用，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 金坛区期中）设a为实数，直线l1：ax+2ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0，则（ ）
A．当a＞0时，l1不经过第一象限
B．l1∥l2的充要条件是
C．若l1⊥l2，则a＝﹣3或a＝0
D．l2恒过点（2，2）
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的一般式方程与直线的性质；恒过定点的直线；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】AB
【分析】A中，由a＞0，可得直线的斜率的符号及直线在y轴上的截距的符号，判断出A的真假；B中，写出两条直线平行的充要条件，可得a的值，判断出B的真假；C中，写出两条直线垂直的充要条件，求出a的值，判断出C的真假；D中，整理直线l2的方程，求出直线恒过的定点的坐标，判断出D的真假．
【解答】解：直线l1中，由直线的定义可知，a≠0，
A中，当a＞0，直线的斜率为0，且直线在y轴的截距为0，可知直线l1不过第一象限，所以A正确；
B中，两条直线平行的充要条件为：，解得a，所以B正确；
C中，两条直线垂直时，则，解得a＝﹣3，所以C不正确；
D中，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0整理可得：a（x﹣y）﹣x﹣y﹣4＝0，
令x﹣y＝0，则﹣x﹣y﹣4＝0，
解得x＝y＝﹣2，即直线l2恒过定点（﹣2，﹣2），所以D不正确．
故选：AB．
【点评】本题考查两条直线平行，垂直的充要条件的应用，直线恒过定点的求法，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 安康期中）已知直线y＝2x与x+y+a＝0交于点P（1，b），则（ ）
A．a＝﹣3
B．b＝2
C．点P到直线ax+by+3＝0的距离为
D．点P到直线ax+by+3＝0的距离为
【考点】点到直线的距离公式；两点间的距离公式．
【专题】计算题；对应思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由直线y＝2x与x+y+a＝0交于点P（1，b）知，从而解出a，b；再求点到直线的距离即可．
【解答】解：∵直线y＝2x与x+y+a＝0交于点P（1，b），
∴，
解得b＝2，a＝﹣3；
故点P（1，2），直线ax+by+3＝0可化为﹣3x+2y+3＝0，
故点P到直线ax+by+3＝0的距离为，
故选：ABD．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 海淀区校级期中）如果直线x+ay﹣5＝0与直线3x﹣y+7＝0互相垂直，则实数a的值是 3 ．
【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】3．
【分析】由两条直线垂直的充要条件列方程，求解即可．
【解答】解：因为直线x+ay﹣5＝0与直线3x﹣y+7＝0互相垂直，
所以1×3+a×（﹣1）＝0，
解得a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查两条直线垂直的充要条件的应用，属于基础题．
9．（2024秋 漳州期中）已知点P，Q在直线l：x+2y0上，且P，Q两点到原点的距离均小于或等于2，则|PQ|的最大值为 2 ．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据已知得到P，Q在以（0，0）为圆心，2为半径的圆上或圆内，再分析得到|PQ|的最大值为直线被圆截得的弦长，进而求解结论．
【解答】解：P，Q两点到原点的距离均小于或等于2，
故P，Q在以（0，0）为圆心，2为半径的圆上或圆内，
又因为点P，Q在直线l：x+2y0上，
所以|PQ|的最大值为直线被圆截得的弦长，
又（0，0）到x+2y0的距离d1，
所以|PQ|的最大值为：22．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查直线和圆的相交弦长，考查计算能力，属于基础题．
10．（2024秋 安康期中）过点（3，1）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 x﹣3y＝0或x+y﹣4＝0 ．
【考点】直线的截距式方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】x﹣3y＝0或x+y﹣4＝0．
【分析】根据已知条件，分直线在两坐标轴上的截距是否为0讨论，即可求解．
【解答】解：当直线在两坐标轴上的截距为0时，
则设直线方程为y＝kx，
因为直线过点（3，1），
所以直线方程为x﹣3y＝0，
当直线在两坐标轴上的截距不为0时，
可设直线方程为x+y＝a，
因为直线过点（3，1），
所以3+1﹣a＝0，解得a＝4，即直线方程为x+y﹣4＝0，
综上所述，所求的直线方程为x﹣3y＝0或x+y﹣4＝0．
故答案为：x﹣3y＝0或x+y﹣4＝0．
【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
11．（2024秋 荔湾区校级期中）已知两点A（1，1，0），C（0，0，1），B（0，1，1）是直线AC外一点，则点B到直线AC的距离 ．
【考点】点到直线的距离公式；两点间的距离公式．
【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】．
【分析】求出，的夹角和的模长，利用向量法能求出点B到直线AC的距离．
【解答】解：∵A（1，1，0），C（0，0，1），B（0，1，1），
∴（﹣1，0，1），（﹣1，﹣1，1），
设，的夹角为θ，
则cosθ，
∵θ∈[0，π]，∴sinθ，
∴点B到直线AC的距离为：
d＝||sinθ．
故答案为：．
【点评】本题考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 金坛区期中）已知直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若直线l2过点，且l1⊥l2．
（1）求直线l1和直线l2的交点坐标；
（2）已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线l3的方程．
【考点】两条直线的交点坐标；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的截距式方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）（2，1）；
（2）x﹣2y＝0或2x+y﹣5＝0．
【分析】（1）由已知结合直线垂直时的斜率关系可求l2的斜率，进而可求直线方程；
（2）由已知对所求直线的截距是否为0进行分类讨论，进而可求．
【解答】解：（1）因为直线l2过点（，0），且l1⊥l2，
所以直线l2的方程为y＝2（x），即2x﹣y﹣3＝0，
联立，解得x＝2，y＝1，
所以直线l1和直线l2的交点坐标为（2，1）；
（2）当直线l3在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为yx，
当直线l3在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为，
因为直线l3过（2，1），
所以1，
所以a，此时直线方程为1，即2x+y﹣5＝0，
综上直线l3的方程为：x﹣2y＝0或2x+y﹣5＝0．
【点评】本题主要考查了直线的交点坐标，直线垂直的斜率关系，直线的截距式方程的应用，属于基础题．
13．（2024秋 普陀区校级期中）已知直线l经过点P（2，3）．
（1）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程．
（2）若直线l和l1：3x+4y﹣7＝0、l2：3x+4y+8＝0分别交于C、D两点，且，求直线l的方程．
【考点】两条直线的交点坐标．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）3x+2y﹣12＝0；
（2）x﹣7y+19＝0或者7x+y﹣17＝0．
【分析】（1）由题意设直线的截距式方程为1，（a＞0，b＞0），再结合基本不等式的公式，即可求解；
（2）根据平行间的距离公式可得两条平行间的距离为3，即可得到l与l1成45°角，再根据两角和与差的正切公式可得直线的斜率，进而求出答案．
【解答】解：（1）由题意设直线的截距式方程为1，（a＞0，b＞0），
因为直线过P（2，3），
所以1，
所以12，
所以ab≥24，当且仅当即a＝4且b＝6时取等号，△AOB的面积Sab≥12，△AOB面积的最小值为12，
此时直线l的方程为1，即直线l的方程为3x+2y﹣12＝0；
（2）两直线间的距离d3，
又因为，
所以l与l1成45°角，
设所求直线的斜率为k，
所以tan45°＝||，
∴k或k＝﹣7，
∴y﹣3＝﹣7（x﹣2）或y﹣3（x﹣2），
故直线l的方程为：x﹣7y+19＝0或者7x+y﹣17＝0．
【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
14．（2024秋 张家港市期中）已知△ABC的三个顶点是A（1，5），B（﹣5，﹣7），C（3，﹣3），求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）∠ABC的角平分线所在直线的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）5x﹣y＝0；
（2）2x+y﹣7＝0；
（3）x﹣y﹣2＝0．
【分析】（1）对于求边BC上的中线所在直线方程：首先要找到BC中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程；
（2）对于求边BC上的高所在直线方程：先求BC边的斜率，根据斜率公式，高与BC垂直，两条垂直直线斜率乘积为﹣1，再利用点斜式求直线方程；
（3）对于求∠ABC的角平分线所在直线方程：先求AB和BC边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为k，求出k，再利用点斜式求出直线方程．
【解答】解：（1）B（﹣5，﹣7），C（3，﹣3），
BC中点D（﹣1，﹣5），
中线过A（1，5）和D（﹣1，﹣5）两点，根据两点式，
即，化简得y﹣5＝5（x﹣1），即5x﹣y＝0．
（2）先求BC边的斜率，已知B（﹣5，﹣7），C（3，﹣3），
根据斜率公式，
设高的斜率为k，则，解得k＝﹣2，
又因为高过A（1，5）点，根据点斜式y﹣5＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣7＝0．
（3）先求AB边的斜率，BC边的斜率，
设角平分线斜率为k，根据夹角公式得，化简，
整理得|（k﹣2）（2+k）|＝|（1﹣2k）（1+2k）|，
即k2﹣4＝4k2﹣1或k2﹣4＝1﹣4k2，
继续化简k2＝﹣1（舍去），或k2＝1，即k＝±1，
因为角平分线的斜率应该在kAB和kBC之间，所以k＝1，
又因为角平分线过B（﹣5，﹣7）点，根据点斜式y+7＝1×（x+5），即x﹣y﹣2＝0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
15．（2024秋 荔湾区校级期中）已知△ABC的三个顶点是A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4）．
（1）求BC边上的中线所在直线l1的方程；
（2）求△ABC的面积；
（3）若直线l2过点C，且点A，B到直线l2的距离相等，求直线l2的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的性质．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x﹣2y+4＝0；
（2）；
（3）x﹣y﹣8＝0或13x+5y﹣32＝0．
【分析】（1）求出直线BC的斜率，则可求出直线l1的斜率，再利用点斜式，可求出直线l1的方程；
（2）求出三角形的三边的长，由余弦定理可得cos∠ABC的值，进而求出sin∠ABC的值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积；
（3）由题意分直线l2与AB平行和直线l2通过AB的中点两种情况求解．
【解答】解：（1）由B（1，2），C（4，﹣4）．
所以，
所以BC边上的高所在直线l1的斜率为，
则BC边上的高所在直线l1的方程，
即x﹣2y+4＝0；
（2）A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4），
所以|AB|，|AC|，|BC|3，
所以cos∠ABC，
所以sin∠ABC，
所以S△ABC|AB| |BC|sin∠ABC3；
（3）因为点A，B到直线l2的距离相等，所以直线l2与AB平行或通过AB的中点，
①当直线l2与AB平行，
因为，且l2过点C，
所以l2方程为y+4＝x﹣4，即x﹣y﹣8＝0，
②当直线l2通过AB的中点，
所以，
所以l2的方程为，即13x+5y﹣32＝0．
综上：直线l2的方程为x﹣y﹣8＝0或13x+5y﹣32＝0．
【点评】本题考查平行直线，垂直直线的性质的应用，三角形的面积公式的应用，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)