第2章 圆与方程（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019）
文档属性
| 名称 | 第2章 圆与方程（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 140.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-21 09:51:27 | ||
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文档简介
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预习衔接.夯实基础 圆与方程
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 安徽期中）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（3，3），点M在圆C：（x+2）2+y2＝4上运动，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2024秋 五华区校级期中）已知A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围为（ ）
A．[72，88] B．[36，44] C． D．[36，88]
3．（2024秋 金坛区期中）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线x﹣2ay﹣9＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024秋 安康期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 上城区校级期中）已知直线l：kx﹣y+k＝0，圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，点P（x0，y0）为圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．x0+y0的最大值为
D．圆心C到直线l的距离最大为4
（多选）6．（2024秋 龙岩期中）已知圆和圆C2：x2+y2﹣8x﹣10y+41﹣r2＝0（r＞0）．其中正确的结论是（ ）
A．当r＝2时，圆C1和圆C2有4条公切线
B．若圆C1与圆C2相交，则r的取值范围为
C．若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P，Q两点，且4（O为坐标原点），则实数k的值为
D．若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，则所有满足条件的点P的坐标为或
（多选）7．（2023秋 南京期末）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，则下列说法正确的有（ ）
A．若r＝1，则两圆外切
B．若r＝1，直线x＝﹣1为两圆的公切线
C．若r＝2，则两圆的公共弦所在直线方程为6x+8y+5＝0
D．若r∈（0，1），则两圆外离
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 安康期中）已知圆C：x2+y2＝4，从点E（﹣4，2）出发的光线经过x轴反射后的反射光线要想不被圆C挡住从而到达点F（5，m）（当光线与圆相切时也认为光线没被圆挡住），则实数m的取值范围为 ．
9．（2024秋 南阳期中）若点（﹣2，6）在圆x2+y2+2ax﹣ay+5a＝0的外部，则正实数a的取值范围是 ．
10．（2024秋 南昌县校级期中）已知直线l过点P（2，﹣1），当l被圆C：x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0截得的弦最短时，直线l的方程为 ．
11．（2024秋 碑林区校级期中）已知△ABC的三个顶点A（0，0），B（0，5），C（2，0），那么三角形外接圆的方程是 ．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 启东市期中）已知点A（﹣2，4），B（﹣1，3），C（2，6）．
（1）求△ABC的外接圆方程；
（2）若点A关于直线BC的对称点为D，求点C到直线AD的距离．
13．（2024秋 南昌县校级期中）求符合下列条件的方程：
（1）直线过点（2，1），且横截距为纵截距的两倍．
（2）求过两点C（﹣1，2）和，且圆心在x轴上的圆的标准方程．
14．（2024秋 南昌县校级期中）已知以（2，1）为圆心的圆C，过直线x﹣2y+5＝0上一点P作圆C的切线，切线段PT（T为切点）长的最小值为2．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆C与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，求两个圆公共弦AB的长．
15．（2024秋 五华区校级期中）已知圆C经过点A（5，﹣2）和B（3，2），且圆心C在直线l1：x﹣y﹣2＝0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l2被圆C所截得的弦长为8，求直线l2的方程；
（3）圆C关于直线y＝﹣1的对称圆是圆Q，设M（x1，y1）、P（x2，y2）是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．
预习衔接.夯实基础 圆与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 安徽期中）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（3，3），点M在圆C：（x+2）2+y2＝4上运动，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】设存在定点D（t，0），使得点M在圆C：（x+2）2+y2＝4上运动时均有MD||MA|，求解t，通过M，B，D三点共线，且M在线段BD上时，求解最小值．
【解答】解：设存在定点D（t，0），使得点M在圆C：（x+2）2+y2＝4上运动时均有MD||MA|，
设M（x，y），则有
化简可得3x2+3y2+（4﹣8t）x＝4﹣4t2，
又因为C：（x+2）2+y2＝4，即x2+y2+4x＝0，
可得：4﹣8t＝12，4﹣4t2＝0，解得t＝﹣1，
所以|MD|+|MB|，
因为|MD|+|MB|≥|BD|5，当M，B，D三点共线，且M在线段BD上时，|MD|+|MB|＝|BD|＝5，
所以|MA|+|MB|＝|MD|+|MB|≥5．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，距离公式的应用，属于中档题．
2．（2024秋 五华区校级期中）已知A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围为（ ）
A．[72，88] B．[36，44] C． D．[36，88]
【考点】圆上的点到定点的距离及其最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】设P（a，b），则|PA|2+|PB|2+|PC|2＝3a2+3b2﹣4b+68，由点P在圆x2+y2＝4运动，知﹣2≤b≤2，把a2＝4﹣b2代入3a2+3b2﹣4b+68＝﹣4b+80即可求出的取值范围．
【解答】解：点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），设P（a，b），
则|PA|2+|PB|2+|PC|2＝（a+2）2+（b+2）2+（a+2）2+（b﹣6）2+（a﹣4）2+（b+2）2
＝3a2+3b2﹣4b+68，
点P在圆x2+y2＝4上运动，∴a2+b2＝4，a2＝4﹣b2≥0，∴b2≤4，﹣2≤b≤2，
把a2＝4﹣b2代入3a2+3b2﹣4b+68＝12﹣3b2+3b2﹣4b+68＝﹣4b+80，
∵﹣2≤b≤2，
∴当b＝﹣2时，|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围为[72，88]．﹒
故选：A．
【点评】本题主要考查两点间距离公式的应用，结合不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．
3．（2024秋 金坛区期中）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线x﹣2ay﹣9＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】过圆内一点的弦及弦长的最值；关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线x﹣2ay﹣9＝0对称，即说明直线过圆心C（1，﹣2），可求出a＝2，再由垂径定理即可求出弦长．
【解答】解：圆方程配方得（x﹣1）2+（y+2）2＝5，圆心C（1，﹣2），r，
∵圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线x﹣2ay﹣9＝0对称，
∴可知直线过圆心C（1，﹣2），即1﹣2a （﹣2）﹣9＝0，解得a＝2，
故（，）＝（1，﹣1），
则圆心与点（1，﹣1）的距离为1，
则圆C中以（1，﹣1）为中点的弦长为24．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
4．（2024秋 安康期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：d＞r1+r2．
【解答】解：圆与圆有4条公切线，
则C1，C2外离，
故，
又∵a＞0，
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 上城区校级期中）已知直线l：kx﹣y+k＝0，圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，点P（x0，y0）为圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．x0+y0的最大值为
D．圆心C到直线l的距离最大为4
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解答】解：对于A，圆C的方程可化为（x﹣3）2+y2＝22，圆心为C（3，0），半径r＝2．
|OC|＝3，P（x0，y0）是圆上的点，
所以的最大值为（3+2）2＝25，A错误．
对于B，表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，
如图所示，当直线OP的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B正确．
对于C，设x0＝3+2cosθ，y0＝2sinθ，
则，
等号成立当且仅当，所以C正确．
对于D，圆心C（3，0）到直线l的距离，
当k≠0时，，
当k＝0时，d＝0，
所以D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查圆的相关性质应用，考查计算能力，属于中档题．
（多选）6．（2024秋 龙岩期中）已知圆和圆C2：x2+y2﹣8x﹣10y+41﹣r2＝0（r＞0）．其中正确的结论是（ ）
A．当r＝2时，圆C1和圆C2有4条公切线
B．若圆C1与圆C2相交，则r的取值范围为
C．若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P，Q两点，且4（O为坐标原点），则实数k的值为
D．若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，则所有满足条件的点P的坐标为或
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对于A，当r＝2时，由圆的一般方程 得到圆的标准方程，进而得到圆心和半径，判断两圆的位置关系即可求解；对于B，根据两圆相交得到|r﹣2|r+2，进而得到r的取值范围；对于C，设P1（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线和圆的方程，可得k的取值范围，由韦达定理代入x1x2+y1y2＝4，即可求解；对于D，设点P（m，n），由l1⊥l2，可得两直线方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于k的方程 有无数多组解，从而解出m，n，即得到P点坐标．
【解答】解：对于A，当r＝2时，C1：（x+3）2+（y﹣1）2＝4，C1（﹣3，1），r1＝2，
C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，C2（4，5），r2＝2，
∴|C1C2|，
∴4+4＝8，
∴圆C1和圆C2相离，有4条公切线，故A正确；
对于B，|C1C2|，
若圆C1与圆C2相交，则|r﹣2|r+2，
解得，故B正确；
对于C，若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P，Q两点，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，得（1+k2）x2+6x+5＝0，
∴，解得k∈（），
x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝64，
∴k，∵k∈（，），
∴k，故C错误；
对于D，设P（m，n），直线l1和l2的方程分别为，
即kx﹣y+n﹣km＝0，，
∵直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，
∴，
化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，
∵存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，
∴关于k的方程有无穷多解，
∴或，
解得或，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）7．（2023秋 南京期末）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，则下列说法正确的有（ ）
A．若r＝1，则两圆外切
B．若r＝1，直线x＝﹣1为两圆的公切线
C．若r＝2，则两圆的公共弦所在直线方程为6x+8y+5＝0
D．若r∈（0，1），则两圆外离
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】直接利用两圆的位置关系判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：当r＝1时，两圆的圆心距d＝5，半径分别为r＝1和R＝4，故两圆相外切，故A正确；
对于B：当r＝1时，圆O的方程为x2+y2＝1，直线x＝﹣1与该圆相切，同时x＝﹣1又是圆M的切线方程，故直线x＝﹣1为两圆的公切线，故B正确；
对于C：当r＝2时，圆O的方程为x2+y2＝4，圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，两圆相减得：4﹣6x﹣8y+9＝0，整理得6x+8y﹣13＝0，故C错误；
对于D：当r∈（0，1）时，两圆的圆心距d＝5，由于r∈（0，1），故两圆的半径和为5＞4+r＞4，故两圆相外离，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识要点：两圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 安康期中）已知圆C：x2+y2＝4，从点E（﹣4，2）出发的光线经过x轴反射后的反射光线要想不被圆C挡住从而到达点F（5，m）（当光线与圆相切时也认为光线没被圆挡住），则实数m的取值范围为 [10，+∞） ．
【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】[10，+∞）．
【分析】令从点E（﹣4，2）出发的光线射到x轴上的入射点为B，反射光线的反向延长线必过点E′（﹣4，﹣2），设直线E′B的方程为y＝k（x+4）﹣2，（k＞0），根据直线与圆的位置关系求出k的取值范围，再由m＝9k﹣2求出m的范围．
【解答】解：圆C：x2+y2＝4，从点E（﹣4，2）出发的光线经过x轴反射后的反射光线要想不被圆C挡住从而到达点F（5，m）（当光线与圆相切时也认为光线没被圆挡住），
令从点E（﹣4，2）出发的光线射到x轴上的入射点为B，反射光线的反向延长线必过点E′（﹣4，﹣2），如图：
设直线E′B的方程为y＝k（x+4）﹣2，（k＞0），
当直线E′B与圆C：x2+y2＝4相交时，反射光线被圆C挡住不能到达点F（5，m），
则不被挡住时，，解得或k≤0（舍去），
直线E′B与直线x＝5的交点F（5，m），因此m＝9k﹣2≥10，
∴实数m的取值范围为[10，+∞）．
故答案为：[10，+∞）．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
9．（2024秋 南阳期中）若点（﹣2，6）在圆x2+y2+2ax﹣ay+5a＝0的外部，则正实数a的取值范围是 （4，8） ．
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】（4，8）．
【分析】结合圆的定义、点与圆的位置关系计算即可得解．
【解答】解：点（﹣2，6）在圆x2+y2+2ax﹣ay+5a＝0的外部，
则，解得4＜a＜8，
故正实数a的取值范围是（4，8）．
故答案为：（4，8）．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题．
10．（2024秋 南昌县校级期中）已知直线l过点P（2，﹣1），当l被圆C：x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0截得的弦最短时，直线l的方程为 x+2y＝0 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】x+2y＝0．
【分析】根据题意，求出圆C的圆心，分析可得当CP与直线l垂直时，点P且被圆C所截得的弦最短，求出CP的斜率，进而可得直线l的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0的圆心C为（3，1），
分析可得：当CP与直线l垂直时，点P且被圆C所截得的弦最短，
此时KCP2，
则直线l的斜率k，则直线l的方程为y+1（x﹣2），变形可得x+2y＝0．
故答案为：x+2y＝0．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．
11．（2024秋 碑林区校级期中）已知△ABC的三个顶点A（0，0），B（0，5），C（2，0），那么三角形外接圆的方程是 x2+y2﹣2x﹣5y＝0 ．
【考点】根据圆的几何属性求圆的一般式方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】x2+y2﹣2x﹣5y＝0．
【分析】设圆的一般方程，把三个点的坐标代入求解即可．
【解答】解：设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
因为A（0，0），B（0，5），C（2，0），
则，解得D＝﹣2，E＝﹣5，F＝0，
所以△ABC外接圆的方程为x2+y2﹣2x﹣5y＝0．
故答案为：x2+y2﹣2x﹣5y＝0．
【点评】本题考查了圆的方程的求解，主要考查了利用待定系数法求解圆的方程的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 启东市期中）已知点A（﹣2，4），B（﹣1，3），C（2，6）．
（1）求△ABC的外接圆方程；
（2）若点A关于直线BC的对称点为D，求点C到直线AD的距离．
【考点】经过三点的圆的方程；点到直线的距离公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x2+y2﹣10y+20＝0；
（2）3．
【分析】（1）根据题意，设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，将A、B、C的坐标代入方程可得，解可得D、E、F的值，即可得答案；
（2）根据题意，设D（m，n），先求出直线BC的方程，进而求出D的坐标，即可得直线AD的方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
又由A（﹣2，4），B（﹣1，3），C（2，6），
则有，解可得，
故要求圆的方程为x2+y2﹣10y+20＝0，
（2）根据题意，设D（m，n），
B（﹣1，3），C（2，6），则kBC1，
直线BC的方程为y﹣3＝x+1，即y＝x+4，
点A关于直线BC的对称点为D，则有，
解可得，即D的坐标为（0，2），
直线AD的方程为y﹣2＝﹣x，即x+y﹣2＝0，
故点C到直线AD的距离d3．
【点评】本题考查圆的标准方程，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．
13．（2024秋 南昌县校级期中）求符合下列条件的方程：
（1）直线过点（2，1），且横截距为纵截距的两倍．
（2）求过两点C（﹣1，2）和，且圆心在x轴上的圆的标准方程．
【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程；直线的截距式方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x﹣2y＝0或x+2y﹣4＝0；
（2）（x﹣2）2+y2＝13．
【分析】（1）当横截距与纵截距都为0时，可得直线方程为y＝2x；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为1，结合题意即可解；
（2）由圆的性质求出圆心坐标，从而得出圆的半径，写出圆的方程．
【解答】解：（1）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点（2，1），
所以1＝2k，解得k，
所以直线方程为yx，即x﹣2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为1，
代入点（2，1）可得，1，即a＝2，
所以直线方程为：1，即x+2y﹣4＝0；
综上，所求直线方程为x﹣2y＝0或x+2y﹣4＝0；
（2）由题意圆过两点C（﹣1，2）和D（1，2），且圆心在x轴上，
可设圆心为M（a，0），
因为|MC|＝|MD|，
所以（a+1）2+（0﹣2）2＝（a﹣1）2+（0﹣2）2，即a2+2a+1+4＝a2﹣2a+1+12，
所以a＝2，r＝|MC|，
故圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝13．
【点评】本题主要考查了直线方程的截距式的应用，考查圆的一般方程和标准方程，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
14．（2024秋 南昌县校级期中）已知以（2，1）为圆心的圆C，过直线x﹣2y+5＝0上一点P作圆C的切线，切线段PT（T为切点）长的最小值为2．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆C与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，求两个圆公共弦AB的长．
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1；
（2）．
【分析】（1）求出圆心C（2，1）到直线x﹣2y+5＝0，即可求出圆C的半径r，从而得到圆的标准方程；
（2）首先判断两圆相交，两圆方程相减即可得到公共弦方程，再求出弦长．
【解答】解：（1）因为圆心C（2，1）到直线x﹣2y+5＝0的距离，
设圆C的半径为r（r＞0），
又过直线x﹣2y+5＝0上一点P作圆C的切线，切线段PT（T为切点）长的最小值为2，
所以，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
（2）圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的圆心C（2，1），半径r＝1，
圆O：x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径r1＝2，
所以，则|r﹣r1|＜|OC|＜r+r1，所以两圆相交，
则相交弦AB：2x+y﹣4＝0，
则圆心C（2，1）到2x+y﹣4＝0 距离，
所以．
【点评】本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15．（2024秋 五华区校级期中）已知圆C经过点A（5，﹣2）和B（3，2），且圆心C在直线l1：x﹣y﹣2＝0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l2被圆C所截得的弦长为8，求直线l2的方程；
（3）圆C关于直线y＝﹣1的对称圆是圆Q，设M（x1，y1）、P（x2，y2）是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）x2+（y+2）2＝25．
（2）为4x+3y+21＝0或x＝﹣3．
（3）m n为定值．理由见解答．
【分析】（1）设C（a，a﹣2）．圆C经过点A（5，﹣2）和B（3，2），列出方程转化求解圆心与半径，即可得到圆的方程．
（2）求解圆心C（0，﹣2）到直线l2的距离．①当直线l2的斜率不存在时，直线l2：x＝﹣3满足要求．②当直线l2的斜率存在时，即kx﹣y+3k﹣3＝0，由圆心C（0，﹣2）到直线l2的距离，解得，即可得到直线l2的方程．
（3）求出圆Q的方程为x2+y2＝25．点M（x1，y1）关于原点和x轴的对称点分别为M1、M2，求出M1（﹣x1，﹣y1）、M2（x1，﹣y1）．然后利用已知条件，转化推出m n为定值，即可．
【解答】解：（1）因为圆心C在直线l1：x﹣y﹣2＝0上，所以设C（a，a﹣2）．
又因为圆C经过点A（5，﹣2）和B（3，2），
所以（5﹣a）2+（﹣2﹣a+2）2＝（3﹣a）2+（2﹣a+2）2，且半径r，解得a＝0，r＝5，因此圆C的标准方程为x2+（y+2）2＝25．
（2）解：因为直线l2被圆C所截得的弦长为8，所以由垂径定理得圆心C（0，﹣2）到直线l2的距离为．
①当直线l2的斜率不存在时，直线l2：x＝﹣3满足要求；
②当直线l2的斜率存在时，不妨设直线l2的方程为y+3＝k（x+3），即kx﹣y+3k﹣3＝0，
由圆心C（0，﹣2）到直线l2的距离，解得，因此直线l2的方程为4x+3y+21＝0．
综上所述，直线l2的方程为4x+3y+21＝0或x＝﹣3．
（3）解：因为C（0，﹣2）关于直线y＝﹣1的对称点为（0，0），而圆C关于直线y＝﹣1的对称圆是圆Q，所以圆Q的方程为x2+y2＝25．
因为点M（x1，y1）关于原点和x轴的对称点分别为M1、M2，
所以M1（﹣x1，﹣y1）、M2（x1，﹣y1）．
又因为P（x2，y2），当x1＝x2时，点M2的坐标为M2（x2，﹣y1），则直线PM2与x轴垂直，不满足题意，所以x1≠x2．
当x1＝﹣x2时，点M1的坐标为M1（x2，﹣y1），则直线PM1与x轴垂直，不满足题意，所以x1≠﹣x2，
因此直线PM1的方程为，直线PM2的方程为．
在方程中，令x＝0得，即．
在方程中，令x＝0得，．
又因为M（x1，y1）、P（x2，y2）是圆Q上的两个动点，
所以，，
因，
因此m n为定值．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
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预习衔接.夯实基础 圆与方程
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 安徽期中）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（3，3），点M在圆C：（x+2）2+y2＝4上运动，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2024秋 五华区校级期中）已知A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围为（ ）
A．[72，88] B．[36，44] C． D．[36，88]
3．（2024秋 金坛区期中）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线x﹣2ay﹣9＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024秋 安康期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 上城区校级期中）已知直线l：kx﹣y+k＝0，圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，点P（x0，y0）为圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．x0+y0的最大值为
D．圆心C到直线l的距离最大为4
（多选）6．（2024秋 龙岩期中）已知圆和圆C2：x2+y2﹣8x﹣10y+41﹣r2＝0（r＞0）．其中正确的结论是（ ）
A．当r＝2时，圆C1和圆C2有4条公切线
B．若圆C1与圆C2相交，则r的取值范围为
C．若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P，Q两点，且4（O为坐标原点），则实数k的值为
D．若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，则所有满足条件的点P的坐标为或
（多选）7．（2023秋 南京期末）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，则下列说法正确的有（ ）
A．若r＝1，则两圆外切
B．若r＝1，直线x＝﹣1为两圆的公切线
C．若r＝2，则两圆的公共弦所在直线方程为6x+8y+5＝0
D．若r∈（0，1），则两圆外离
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 安康期中）已知圆C：x2+y2＝4，从点E（﹣4，2）出发的光线经过x轴反射后的反射光线要想不被圆C挡住从而到达点F（5，m）（当光线与圆相切时也认为光线没被圆挡住），则实数m的取值范围为 ．
9．（2024秋 南阳期中）若点（﹣2，6）在圆x2+y2+2ax﹣ay+5a＝0的外部，则正实数a的取值范围是 ．
10．（2024秋 南昌县校级期中）已知直线l过点P（2，﹣1），当l被圆C：x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0截得的弦最短时，直线l的方程为 ．
11．（2024秋 碑林区校级期中）已知△ABC的三个顶点A（0，0），B（0，5），C（2，0），那么三角形外接圆的方程是 ．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 启东市期中）已知点A（﹣2，4），B（﹣1，3），C（2，6）．
（1）求△ABC的外接圆方程；
（2）若点A关于直线BC的对称点为D，求点C到直线AD的距离．
13．（2024秋 南昌县校级期中）求符合下列条件的方程：
（1）直线过点（2，1），且横截距为纵截距的两倍．
（2）求过两点C（﹣1，2）和，且圆心在x轴上的圆的标准方程．
14．（2024秋 南昌县校级期中）已知以（2，1）为圆心的圆C，过直线x﹣2y+5＝0上一点P作圆C的切线，切线段PT（T为切点）长的最小值为2．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆C与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，求两个圆公共弦AB的长．
15．（2024秋 五华区校级期中）已知圆C经过点A（5，﹣2）和B（3，2），且圆心C在直线l1：x﹣y﹣2＝0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l2被圆C所截得的弦长为8，求直线l2的方程；
（3）圆C关于直线y＝﹣1的对称圆是圆Q，设M（x1，y1）、P（x2，y2）是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．
预习衔接.夯实基础 圆与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 安徽期中）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（3，3），点M在圆C：（x+2）2+y2＝4上运动，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】设存在定点D（t，0），使得点M在圆C：（x+2）2+y2＝4上运动时均有MD||MA|，求解t，通过M，B，D三点共线，且M在线段BD上时，求解最小值．
【解答】解：设存在定点D（t，0），使得点M在圆C：（x+2）2+y2＝4上运动时均有MD||MA|，
设M（x，y），则有
化简可得3x2+3y2+（4﹣8t）x＝4﹣4t2，
又因为C：（x+2）2+y2＝4，即x2+y2+4x＝0，
可得：4﹣8t＝12，4﹣4t2＝0，解得t＝﹣1，
所以|MD|+|MB|，
因为|MD|+|MB|≥|BD|5，当M，B，D三点共线，且M在线段BD上时，|MD|+|MB|＝|BD|＝5，
所以|MA|+|MB|＝|MD|+|MB|≥5．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，距离公式的应用，属于中档题．
2．（2024秋 五华区校级期中）已知A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围为（ ）
A．[72，88] B．[36，44] C． D．[36，88]
【考点】圆上的点到定点的距离及其最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】设P（a，b），则|PA|2+|PB|2+|PC|2＝3a2+3b2﹣4b+68，由点P在圆x2+y2＝4运动，知﹣2≤b≤2，把a2＝4﹣b2代入3a2+3b2﹣4b+68＝﹣4b+80即可求出的取值范围．
【解答】解：点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），设P（a，b），
则|PA|2+|PB|2+|PC|2＝（a+2）2+（b+2）2+（a+2）2+（b﹣6）2+（a﹣4）2+（b+2）2
＝3a2+3b2﹣4b+68，
点P在圆x2+y2＝4上运动，∴a2+b2＝4，a2＝4﹣b2≥0，∴b2≤4，﹣2≤b≤2，
把a2＝4﹣b2代入3a2+3b2﹣4b+68＝12﹣3b2+3b2﹣4b+68＝﹣4b+80，
∵﹣2≤b≤2，
∴当b＝﹣2时，|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围为[72，88]．﹒
故选：A．
【点评】本题主要考查两点间距离公式的应用，结合不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．
3．（2024秋 金坛区期中）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线x﹣2ay﹣9＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】过圆内一点的弦及弦长的最值；关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线x﹣2ay﹣9＝0对称，即说明直线过圆心C（1，﹣2），可求出a＝2，再由垂径定理即可求出弦长．
【解答】解：圆方程配方得（x﹣1）2+（y+2）2＝5，圆心C（1，﹣2），r，
∵圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线x﹣2ay﹣9＝0对称，
∴可知直线过圆心C（1，﹣2），即1﹣2a （﹣2）﹣9＝0，解得a＝2，
故（，）＝（1，﹣1），
则圆心与点（1，﹣1）的距离为1，
则圆C中以（1，﹣1）为中点的弦长为24．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
4．（2024秋 安康期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：d＞r1+r2．
【解答】解：圆与圆有4条公切线，
则C1，C2外离，
故，
又∵a＞0，
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 上城区校级期中）已知直线l：kx﹣y+k＝0，圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，点P（x0，y0）为圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5
B．的最大值为
C．x0+y0的最大值为
D．圆心C到直线l的距离最大为4
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解答】解：对于A，圆C的方程可化为（x﹣3）2+y2＝22，圆心为C（3，0），半径r＝2．
|OC|＝3，P（x0，y0）是圆上的点，
所以的最大值为（3+2）2＝25，A错误．
对于B，表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，
如图所示，当直线OP的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B正确．
对于C，设x0＝3+2cosθ，y0＝2sinθ，
则，
等号成立当且仅当，所以C正确．
对于D，圆心C（3，0）到直线l的距离，
当k≠0时，，
当k＝0时，d＝0，
所以D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查圆的相关性质应用，考查计算能力，属于中档题．
（多选）6．（2024秋 龙岩期中）已知圆和圆C2：x2+y2﹣8x﹣10y+41﹣r2＝0（r＞0）．其中正确的结论是（ ）
A．当r＝2时，圆C1和圆C2有4条公切线
B．若圆C1与圆C2相交，则r的取值范围为
C．若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P，Q两点，且4（O为坐标原点），则实数k的值为
D．若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，则所有满足条件的点P的坐标为或
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对于A，当r＝2时，由圆的一般方程 得到圆的标准方程，进而得到圆心和半径，判断两圆的位置关系即可求解；对于B，根据两圆相交得到|r﹣2|r+2，进而得到r的取值范围；对于C，设P1（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线和圆的方程，可得k的取值范围，由韦达定理代入x1x2+y1y2＝4，即可求解；对于D，设点P（m，n），由l1⊥l2，可得两直线方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于k的方程 有无数多组解，从而解出m，n，即得到P点坐标．
【解答】解：对于A，当r＝2时，C1：（x+3）2+（y﹣1）2＝4，C1（﹣3，1），r1＝2，
C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，C2（4，5），r2＝2，
∴|C1C2|，
∴4+4＝8，
∴圆C1和圆C2相离，有4条公切线，故A正确；
对于B，|C1C2|，
若圆C1与圆C2相交，则|r﹣2|r+2，
解得，故B正确；
对于C，若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P，Q两点，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，得（1+k2）x2+6x+5＝0，
∴，解得k∈（），
x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝64，
∴k，∵k∈（，），
∴k，故C错误；
对于D，设P（m，n），直线l1和l2的方程分别为，
即kx﹣y+n﹣km＝0，，
∵直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，
∴，
化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，
∵存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，
∴关于k的方程有无穷多解，
∴或，
解得或，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）7．（2023秋 南京期末）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，则下列说法正确的有（ ）
A．若r＝1，则两圆外切
B．若r＝1，直线x＝﹣1为两圆的公切线
C．若r＝2，则两圆的公共弦所在直线方程为6x+8y+5＝0
D．若r∈（0，1），则两圆外离
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】直接利用两圆的位置关系判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：当r＝1时，两圆的圆心距d＝5，半径分别为r＝1和R＝4，故两圆相外切，故A正确；
对于B：当r＝1时，圆O的方程为x2+y2＝1，直线x＝﹣1与该圆相切，同时x＝﹣1又是圆M的切线方程，故直线x＝﹣1为两圆的公切线，故B正确；
对于C：当r＝2时，圆O的方程为x2+y2＝4，圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，两圆相减得：4﹣6x﹣8y+9＝0，整理得6x+8y﹣13＝0，故C错误；
对于D：当r∈（0，1）时，两圆的圆心距d＝5，由于r∈（0，1），故两圆的半径和为5＞4+r＞4，故两圆相外离，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识要点：两圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 安康期中）已知圆C：x2+y2＝4，从点E（﹣4，2）出发的光线经过x轴反射后的反射光线要想不被圆C挡住从而到达点F（5，m）（当光线与圆相切时也认为光线没被圆挡住），则实数m的取值范围为 [10，+∞） ．
【考点】由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数；与直线关于点、直线对称的直线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】[10，+∞）．
【分析】令从点E（﹣4，2）出发的光线射到x轴上的入射点为B，反射光线的反向延长线必过点E′（﹣4，﹣2），设直线E′B的方程为y＝k（x+4）﹣2，（k＞0），根据直线与圆的位置关系求出k的取值范围，再由m＝9k﹣2求出m的范围．
【解答】解：圆C：x2+y2＝4，从点E（﹣4，2）出发的光线经过x轴反射后的反射光线要想不被圆C挡住从而到达点F（5，m）（当光线与圆相切时也认为光线没被圆挡住），
令从点E（﹣4，2）出发的光线射到x轴上的入射点为B，反射光线的反向延长线必过点E′（﹣4，﹣2），如图：
设直线E′B的方程为y＝k（x+4）﹣2，（k＞0），
当直线E′B与圆C：x2+y2＝4相交时，反射光线被圆C挡住不能到达点F（5，m），
则不被挡住时，，解得或k≤0（舍去），
直线E′B与直线x＝5的交点F（5，m），因此m＝9k﹣2≥10，
∴实数m的取值范围为[10，+∞）．
故答案为：[10，+∞）．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
9．（2024秋 南阳期中）若点（﹣2，6）在圆x2+y2+2ax﹣ay+5a＝0的外部，则正实数a的取值范围是 （4，8） ．
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】（4，8）．
【分析】结合圆的定义、点与圆的位置关系计算即可得解．
【解答】解：点（﹣2，6）在圆x2+y2+2ax﹣ay+5a＝0的外部，
则，解得4＜a＜8，
故正实数a的取值范围是（4，8）．
故答案为：（4，8）．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题．
10．（2024秋 南昌县校级期中）已知直线l过点P（2，﹣1），当l被圆C：x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0截得的弦最短时，直线l的方程为 x+2y＝0 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】x+2y＝0．
【分析】根据题意，求出圆C的圆心，分析可得当CP与直线l垂直时，点P且被圆C所截得的弦最短，求出CP的斜率，进而可得直线l的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0的圆心C为（3，1），
分析可得：当CP与直线l垂直时，点P且被圆C所截得的弦最短，
此时KCP2，
则直线l的斜率k，则直线l的方程为y+1（x﹣2），变形可得x+2y＝0．
故答案为：x+2y＝0．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．
11．（2024秋 碑林区校级期中）已知△ABC的三个顶点A（0，0），B（0，5），C（2，0），那么三角形外接圆的方程是 x2+y2﹣2x﹣5y＝0 ．
【考点】根据圆的几何属性求圆的一般式方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】x2+y2﹣2x﹣5y＝0．
【分析】设圆的一般方程，把三个点的坐标代入求解即可．
【解答】解：设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
因为A（0，0），B（0，5），C（2，0），
则，解得D＝﹣2，E＝﹣5，F＝0，
所以△ABC外接圆的方程为x2+y2﹣2x﹣5y＝0．
故答案为：x2+y2﹣2x﹣5y＝0．
【点评】本题考查了圆的方程的求解，主要考查了利用待定系数法求解圆的方程的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 启东市期中）已知点A（﹣2，4），B（﹣1，3），C（2，6）．
（1）求△ABC的外接圆方程；
（2）若点A关于直线BC的对称点为D，求点C到直线AD的距离．
【考点】经过三点的圆的方程；点到直线的距离公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x2+y2﹣10y+20＝0；
（2）3．
【分析】（1）根据题意，设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，将A、B、C的坐标代入方程可得，解可得D、E、F的值，即可得答案；
（2）根据题意，设D（m，n），先求出直线BC的方程，进而求出D的坐标，即可得直线AD的方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
又由A（﹣2，4），B（﹣1，3），C（2，6），
则有，解可得，
故要求圆的方程为x2+y2﹣10y+20＝0，
（2）根据题意，设D（m，n），
B（﹣1，3），C（2，6），则kBC1，
直线BC的方程为y﹣3＝x+1，即y＝x+4，
点A关于直线BC的对称点为D，则有，
解可得，即D的坐标为（0，2），
直线AD的方程为y﹣2＝﹣x，即x+y﹣2＝0，
故点C到直线AD的距离d3．
【点评】本题考查圆的标准方程，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．
13．（2024秋 南昌县校级期中）求符合下列条件的方程：
（1）直线过点（2，1），且横截距为纵截距的两倍．
（2）求过两点C（﹣1，2）和，且圆心在x轴上的圆的标准方程．
【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程；直线的截距式方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x﹣2y＝0或x+2y﹣4＝0；
（2）（x﹣2）2+y2＝13．
【分析】（1）当横截距与纵截距都为0时，可得直线方程为y＝2x；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为1，结合题意即可解；
（2）由圆的性质求出圆心坐标，从而得出圆的半径，写出圆的方程．
【解答】解：（1）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点（2，1），
所以1＝2k，解得k，
所以直线方程为yx，即x﹣2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为1，
代入点（2，1）可得，1，即a＝2，
所以直线方程为：1，即x+2y﹣4＝0；
综上，所求直线方程为x﹣2y＝0或x+2y﹣4＝0；
（2）由题意圆过两点C（﹣1，2）和D（1，2），且圆心在x轴上，
可设圆心为M（a，0），
因为|MC|＝|MD|，
所以（a+1）2+（0﹣2）2＝（a﹣1）2+（0﹣2）2，即a2+2a+1+4＝a2﹣2a+1+12，
所以a＝2，r＝|MC|，
故圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝13．
【点评】本题主要考查了直线方程的截距式的应用，考查圆的一般方程和标准方程，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
14．（2024秋 南昌县校级期中）已知以（2，1）为圆心的圆C，过直线x﹣2y+5＝0上一点P作圆C的切线，切线段PT（T为切点）长的最小值为2．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆C与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，求两个圆公共弦AB的长．
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1；
（2）．
【分析】（1）求出圆心C（2，1）到直线x﹣2y+5＝0，即可求出圆C的半径r，从而得到圆的标准方程；
（2）首先判断两圆相交，两圆方程相减即可得到公共弦方程，再求出弦长．
【解答】解：（1）因为圆心C（2，1）到直线x﹣2y+5＝0的距离，
设圆C的半径为r（r＞0），
又过直线x﹣2y+5＝0上一点P作圆C的切线，切线段PT（T为切点）长的最小值为2，
所以，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
（2）圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的圆心C（2，1），半径r＝1，
圆O：x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径r1＝2，
所以，则|r﹣r1|＜|OC|＜r+r1，所以两圆相交，
则相交弦AB：2x+y﹣4＝0，
则圆心C（2，1）到2x+y﹣4＝0 距离，
所以．
【点评】本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15．（2024秋 五华区校级期中）已知圆C经过点A（5，﹣2）和B（3，2），且圆心C在直线l1：x﹣y﹣2＝0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l2被圆C所截得的弦长为8，求直线l2的方程；
（3）圆C关于直线y＝﹣1的对称圆是圆Q，设M（x1，y1）、P（x2，y2）是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）x2+（y+2）2＝25．
（2）为4x+3y+21＝0或x＝﹣3．
（3）m n为定值．理由见解答．
【分析】（1）设C（a，a﹣2）．圆C经过点A（5，﹣2）和B（3，2），列出方程转化求解圆心与半径，即可得到圆的方程．
（2）求解圆心C（0，﹣2）到直线l2的距离．①当直线l2的斜率不存在时，直线l2：x＝﹣3满足要求．②当直线l2的斜率存在时，即kx﹣y+3k﹣3＝0，由圆心C（0，﹣2）到直线l2的距离，解得，即可得到直线l2的方程．
（3）求出圆Q的方程为x2+y2＝25．点M（x1，y1）关于原点和x轴的对称点分别为M1、M2，求出M1（﹣x1，﹣y1）、M2（x1，﹣y1）．然后利用已知条件，转化推出m n为定值，即可．
【解答】解：（1）因为圆心C在直线l1：x﹣y﹣2＝0上，所以设C（a，a﹣2）．
又因为圆C经过点A（5，﹣2）和B（3，2），
所以（5﹣a）2+（﹣2﹣a+2）2＝（3﹣a）2+（2﹣a+2）2，且半径r，解得a＝0，r＝5，因此圆C的标准方程为x2+（y+2）2＝25．
（2）解：因为直线l2被圆C所截得的弦长为8，所以由垂径定理得圆心C（0，﹣2）到直线l2的距离为．
①当直线l2的斜率不存在时，直线l2：x＝﹣3满足要求；
②当直线l2的斜率存在时，不妨设直线l2的方程为y+3＝k（x+3），即kx﹣y+3k﹣3＝0，
由圆心C（0，﹣2）到直线l2的距离，解得，因此直线l2的方程为4x+3y+21＝0．
综上所述，直线l2的方程为4x+3y+21＝0或x＝﹣3．
（3）解：因为C（0，﹣2）关于直线y＝﹣1的对称点为（0，0），而圆C关于直线y＝﹣1的对称圆是圆Q，所以圆Q的方程为x2+y2＝25．
因为点M（x1，y1）关于原点和x轴的对称点分别为M1、M2，
所以M1（﹣x1，﹣y1）、M2（x1，﹣y1）．
又因为P（x2，y2），当x1＝x2时，点M2的坐标为M2（x2，﹣y1），则直线PM2与x轴垂直，不满足题意，所以x1≠x2．
当x1＝﹣x2时，点M1的坐标为M1（x2，﹣y1），则直线PM1与x轴垂直，不满足题意，所以x1≠﹣x2，
因此直线PM1的方程为，直线PM2的方程为．
在方程中，令x＝0得，即．
在方程中，令x＝0得，．
又因为M（x1，y1）、P（x2，y2）是圆Q上的两个动点，
所以，，
因，
因此m n为定值．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
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