3.3抛物线（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019）
文档属性
| 名称 | 3.3抛物线（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 236.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-21 09:52:15 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
预习衔接.夯实基础 抛物线
一．选择题（共3小题）
1．（2024秋 海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两个定点F1（0，﹣2），F2（0，2）的距离之积等于12，化简得曲线C：．下列结论不正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．x的最大值为3
C．|PF1|+|PF2|的最小值为
D．|OP|的最大值为4
2．（2024秋 漳州期中）已知曲线Ω：x2+y2＝2|x|+2y，P（a，b）是曲线Ω上一动点，则（ ）
A．曲线Ω围成的图形有4条对称轴
B．曲线Ω围成的图形的周长为
C．|a﹣b﹣3|的最大值为5
D．曲线Ω上任意两点间的距离不大于4
3．（2024 临汾模拟）已知F是椭圆C：的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且，则椭圆C的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）4．（2024秋 赣州期中）已知椭圆，我们把圆x2+y2＝a2+b2称为C的蒙日圆，O为原点，点P在C上，延长OP与C的蒙日圆交于点Q，则（ ）
A．|PQ|的最大值为
B．若P为OQ的中点，则C的离心率的最大值为
C．过点Q不可能作两条互相垂直的直线都与C相切
D．若点（2，1）在C上，则C的蒙日圆面积最小为9π
（多选）5．（2024秋 镇海区校级期中）已知抛物线C：y2＝4x，F为其焦点，直线l与抛物线交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A为抛物线上的一点，点B坐标为（3，1），则|AF|+|AB|的最小值为3
B．若直线l过焦点F，则以MN为直径的圆与x＝﹣1相切
C．若直线l过焦点F，当MN⊥OF时，则|OM| |ON|＝5
D．设直线MN的中点坐标为（x0，y0）（y0≠0），则该直线的斜率与x0无关，与y0有关
（多选）6．（2024 吴兴区校级模拟）已知F是抛物线C：y2＝2px的焦点，直线AB经过点F交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
B．若，则直线AB的斜率k＝3
C．弦AB的中点M的轨迹为一条抛物线，其方程为y2＝2px﹣p2
D．若p＝4，则|AF|+4|BF|的最小值为18
（多选）7．（2024秋 雁塔区校级期中）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（2，0）作斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠AOF＝∠BOF B．
C． D．∠AOB＜90°
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 南阳期中）抛物线C：y2＝16x的焦点为F，准线为l，过焦点F且斜率为的直线与C交于点P（P在第一象限内），Q为l上一动点，则△PQF周长的最小值为 ．
9．（2024秋 浙江期中）已知椭圆，过左焦点F作直线l与圆相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|＝3|EF|，则椭圆离心率为 ．
10．（2024秋 西湖区校级期中）已知直线l1：3x﹣4y﹣6＝0和直线l2：y＝﹣2，抛物线x2＝4y上一动点P到直线l1直线l2的距离之和的最小值是 ．
11．（2024秋 东丽区校级期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且，则e1e2的最小值为 ．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 赣州期中）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F．过F的直线与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，．
（1）求y1y2的值；
（2）求直线AD与C的公共点个数；
（3）证明：DA⊥DB．
13．（2024秋 赣州期中）已知曲线C：mx2+ny2＝1经过点．
（1）若C经过点，求C的离心率；
（2）若C表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围．
14．（2024 孝南区校级模拟）已知点O（2，0）、A（﹣6，0），动点P（x，y）满足|PA|＝3|PO|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆Q的圆心为Q（t，t）（t＞0），且圆Q与y轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围．
15．（2024秋 白山期末）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪．某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标（6，0），当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令；（1）求航天器变轨时点C的坐标；
（2）求航天器降落点B与观测点A之间的距离．
预习衔接.夯实基础 抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2024秋 海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两个定点F1（0，﹣2），F2（0，2）的距离之积等于12，化简得曲线C：．下列结论不正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．x的最大值为3
C．|PF1|+|PF2|的最小值为
D．|OP|的最大值为4
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】将曲线C方程中的y换为﹣y，x不变，可得曲线C的方程不变，可判断A；求得x2＝﹣（2）2+9，可得x的最大值，可判断B；由基本不等式可判断C；求得x2+y2＝44∈[8，16]，可判断D．
【解答】解：由|PF1| |PF2|＝12，化简可得曲线C：，
将曲线C方程中的y换为﹣y，x不变，可得曲线C的方程不变，即有曲线C关于x轴对称，故A正确；
由x2＝4（y2+4）＝﹣（y2+9）+45＝﹣（2）2+9，由于3，
可得x2≤9﹣（3﹣2）2＝8，即有﹣2x≤2，即x的最大值为2，故B错误；
由|PF1|+|PF2|≥224，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时，取等号，故C正确；
由x2＝﹣（y2+9）+45≥0，解得35，则x2+y2＝44∈[8，16]，
则24，即2|OP|≤4，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查曲线与方程的关系，以及曲线的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
2．（2024秋 漳州期中）已知曲线Ω：x2+y2＝2|x|+2y，P（a，b）是曲线Ω上一动点，则（ ）
A．曲线Ω围成的图形有4条对称轴
B．曲线Ω围成的图形的周长为
C．|a﹣b﹣3|的最大值为5
D．曲线Ω上任意两点间的距离不大于4
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】B
【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的两端关系式，从而作出曲线C的图象，由曲线C图象判断各选项即可．
【解答】解：当x≥0时，曲线C的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，
代表以（1，1）为圆心，为半径的圆，在y轴右侧部分，
当x≤0时，曲线C的方程可化为（x+1）2+（y﹣1）2＝2，
代表以（﹣1，1）为圆心，为半径的圆，在y轴左侧部分，
所以曲线C的图象如图所示，
对于A，由图可知曲线C围成的图形有2条对称轴，故A错误；
对于B，曲线C由2个圆组成，其周长为，故B正确；
对于C，P（a，b）到直线x﹣y﹣3＝0的距离，所以，
点（﹣1，1）到直线x﹣y﹣3＝0的距离为，
则曲线上的点到直线x﹣y﹣3＝0的距离最大值为，
所以|a﹣b﹣3|最大值为7，故C错误；
对于D，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为两圆圆心距离加上两个半径，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查曲线与方程综合应用，属于中档题．
3．（2024 临汾模拟）已知F是椭圆C：的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且，则椭圆C的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】利用已知条件，画出图形，设出圆的圆心，利用椭圆的定义，转化求解椭圆的离心率即可
【解答】解：由题意，椭圆的图形如图：F是椭圆C：的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且，圆的圆心为：D（，0），圆的半径为：，
所以F1P＝2b，FQ，
所以PF，
所以：2b＝2a，可得c2﹣b2＝a2﹣2ab+b2，
可得2a＝3b，即4a2＝9（a2﹣c2），
所以e
则椭圆C的离心率：．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）4．（2024秋 赣州期中）已知椭圆，我们把圆x2+y2＝a2+b2称为C的蒙日圆，O为原点，点P在C上，延长OP与C的蒙日圆交于点Q，则（ ）
A．|PQ|的最大值为
B．若P为OQ的中点，则C的离心率的最大值为
C．过点Q不可能作两条互相垂直的直线都与C相切
D．若点（2，1）在C上，则C的蒙日圆面积最小为9π
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据P为OQ的中点建立关于a，b的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D．
【解答】解：对于选项A，圆x2+y2＝a2+b2的圆心为O（0，0），半径为，
又椭圆，∴|OP|≥b，
∴，故选项A正确；
对于选项B，若P为OQ的中点，则，
则a2≥3b2，故，选项B错误；
对于选项C，取Q（a，b），则直线x＝a，y＝b互相垂直，且都与C相切，过点Q不可能作两条互相垂直的直线都与C相切是不正确的，选项C错误；
对于D，∵点（2，1）在C上，∴1，
则r2＝a2+b29，
当且仅当，即a＝2b时取等号，
∴C的蒙日圆面积最小为9π，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查椭圆与圆的位置关系的应用，是中档题．
（多选）5．（2024秋 镇海区校级期中）已知抛物线C：y2＝4x，F为其焦点，直线l与抛物线交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A为抛物线上的一点，点B坐标为（3，1），则|AF|+|AB|的最小值为3
B．若直线l过焦点F，则以MN为直径的圆与x＝﹣1相切
C．若直线l过焦点F，当MN⊥OF时，则|OM| |ON|＝5
D．设直线MN的中点坐标为（x0，y0）（y0≠0），则该直线的斜率与x0无关，与y0有关
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；求出M、N的坐标，利用两点间的距离公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，如下图所示：
抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，
设点A在准线上的射影点为D，由抛物线的定义可得|AD|＝|AF|，
则|AB|+|AF|＝|AB|+|AD|≥|BD|，
当且仅当A、B、D三点共线时，
即当BD与准线垂直时，|AB|+|AF|取最小值|BD|＝3+1＝4，故A错误；
对于B选项，若直线l过焦点F，则|MN|＝x1+x2+2，
线段MN的中点E到直线x＝﹣1的距离为，则|MN|＝2d，
因此，以MN为直径的圆与x＝﹣1相切，故B对；
对于C选项，当MN⊥OF时，直线MN的方程为：x＝1，
联立，解得：，
不妨取M（1，2），N（1，﹣2），
则，
此时，|OM| |ON|＝5，故C对；
对于D选项，线段MN的中点坐标为（x0，y0）（y0≠0），
若MN⊥x轴，则线段MN的中点在x轴上，不合乎题意，
所以直线MN的斜率存在，
由题可得，
又M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线C上，
则，两式作差得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），
所以，故D对．
故选：BCD．
【点评】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于难题．
（多选）6．（2024 吴兴区校级模拟）已知F是抛物线C：y2＝2px的焦点，直线AB经过点F交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
B．若，则直线AB的斜率k＝3
C．弦AB的中点M的轨迹为一条抛物线，其方程为y2＝2px﹣p2
D．若p＝4，则|AF|+4|BF|的最小值为18
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】AD
【分析】A．由抛物线的方程可得焦点F（，0），准线方程为：x，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得AB的中点M（，），利用焦点弦的性质可得
|AB|，求出AB的中点M准线的距离，进而判断出A误；
B．设直线AB的方程为x＝my，k0，联立，化为y2﹣2mpy﹣p2＝0，由，可得y1＝﹣2y2，结合根与系数的关系即可得出斜率k，进而判断出B误；
C．设M（x，y），结合A，B可得：ymp，可得x，消去m，进而判断出C正误；
D．若p＝4，则抛物线C：y2＝8x，不妨设x1＞x2＞0，可得x1x24，于是|AF|+4|BF|＝x1+4x2+104x2+10，利用基本不等式即可判断出正误．
【解答】解：A．由抛物线的方程可得焦点F（，0），准线方程为：x，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点M（，），
利用焦点弦的性质可得|AB|＝x1+x2+p，而AB的中点M到准线的距离d（）（1+x2+p）|AB|，
∴以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确；
B．设直线AB的方程为x＝my，k0，联立
，
整理可得：y2﹣2mpy﹣p2＝0，
可得y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，
∵，∴y1＝﹣2y2，
解得y2＝﹣2mp，y1＝4mp，
∴﹣8m2p2＝﹣p2，解得m2，
∴k2，因此B不正确；
C．设M（x，y），结合A，B可得：ymp，
xm2p，消去m可得：2y2＝2px﹣p2，因此C不正确；
D．若p＝4，则抛物线C：y2＝8x，不妨设x1＞x2＞0，
x1x24，∴|AF|+4|BF|＝x1+4x2+104x2+10≥4×210＝18，当且仅当x2＝1，x1＝4时取等号，因此D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了抛物线焦点弦的性质与抛物线的标准方程、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
（多选）7．（2024秋 雁塔区校级期中）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（2，0）作斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠AOF＝∠BOF B．
C． D．∠AOB＜90°
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据焦点坐标求得抛物线方程，然后联立直线和抛物线方程求得点A和B坐标，利用焦半径公式求得弦长判断B，利用面积分割法求面积判断C，利用两点式斜率和正切函数的单调性判断A，利用数量积判断夹角范围判断D．
【解答】解：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（2，0），
则，
则p＝4，
则抛物线C：y2＝8x，准线方程为x＝﹣2，
则直线的方程为，
设B（x1，y1），A（x2，y2），
联立，
解得，，
所以点，点，
所以，
，
故选项BC正确；
又，
所以tan∠AOF≠tan∠BOF，
故∠AOF≠∠BOF，
故A错误；
因为，
所以，
即为钝角，
所以∠AOB为钝角，
故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 南阳期中）抛物线C：y2＝16x的焦点为F，准线为l，过焦点F且斜率为的直线与C交于点P（P在第一象限内），Q为l上一动点，则△PQF周长的最小值为 ．
【考点】抛物线的焦点三角形．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】过P作直线l的垂线，垂足为A，分析出△PAF为正三角形，求出|PF|；再通过轴对称求出（|PQ|+|QF′|）min，即可得△PQF周长的最小值．
【解答】解：设准线l交x轴于点E，过P作直线l的垂线，垂足为A，连接AF，
又抛物线C：y2＝16x的焦点为F，
则抛物线的焦点F（4，0），|EF|＝8，|PA|＝|PF|，
因为直线PF的斜率为，
则∠APF＝∠PFx＝60°，
所以△PAF为正三角形，
所以∠AFE＝60°，|PF|＝|AF|＝2|EF|＝16，
所以，
记F关于直线l的对称点为F′（﹣12，0），
则|QF|＝|QF′|，
当P，Q，F′三点共线时，，
所以△PQF周长的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的定义，重点考查了抛物线的性质，属中档题．
9．（2024秋 浙江期中）已知椭圆，过左焦点F作直线l与圆相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|＝3|EF|，则椭圆离心率为 ．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的定义；求椭圆的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由题意利用直线与圆相切可得，再由余弦定理计算得出|PF1|＝2c，利用椭圆定义即可得出离心率．
【解答】解：椭圆，左焦点F，
设椭圆右焦点为F1，连接PF1，ME，如下图所示：
由圆M：可知圆心M（0，0），半径；
显然，|MF|＝c，过左焦点F作直线l与圆相切于点E，可知EM⊥EF，
因此可得，可得∠EFM＝30°，∴；
即可得，|FF1|＝2c；
在△PFF1中，由余弦定理可得，
解得|PF1|＝2c，
又，即，
因此离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
10．（2024秋 西湖区校级期中）已知直线l1：3x﹣4y﹣6＝0和直线l2：y＝﹣2，抛物线x2＝4y上一动点P到直线l1直线l2的距离之和的最小值是 3 ．
【考点】抛物线上的点到准线及其平行线的距离；点到直线的距离公式；抛物线的定义．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】3．
【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再结合点到直线的距离公式，以及数形结合，即可求解．
【解答】解：由题意可得：抛物线x2＝4y的焦点F（0，1），准线l：y＝﹣1，
设动点P直线l，l1，l2的距离分别为d，d1，d2，
点F到直线l1的距离为，
则d2＝d+1＝|PF|+1，可得d1+d2＝d1+|PF|+1≥d3+1＝3，
当且仅当点P在点F到直线l1的垂线上且P在F与l1之间时，等号成立，
动点P到直线l1直线l2的距离之和的最小值是3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
11．（2024秋 东丽区校级期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且，则e1e2的最小值为 ．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，可求得|PF1|，|PF2|，|F1F2|的长，再结合余弦定理，求出a1，a2，c的关系式，从而得到，利用基本不等式，即可得到e1e2的最小值．
【解答】解：如图，
不妨设点P在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
所以|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，
又|F1F2|＝2c，
所以由余弦定理可知：，
即，
化简得，
所以，
即，
化简得，
由基本不等式可得，
因为e1e2＞0，所以，
当时，取“＝”．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆与双曲线定义、方程的应用，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 赣州期中）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F．过F的直线与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，．
（1）求y1y2的值；
（2）求直线AD与C的公共点个数；
（3）证明：DA⊥DB．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）y1y2＝﹣16；
（2）1个；
（3）证明见解析．
【分析】（1）设出直线方程，直曲联立，由韦达定理可得；
（2）由坐标表示出直线AD的斜率进而得到直线方程，直曲联立，得到二次方程的根只有一个即可求出；
（3）由向量乘积的坐标表示再结合韦达定理化简得到数量积为零即可证明．
【解答】（1）解：已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F．过F的直线与C交于A，B两点，
又F（2，0），
设直线AB的方程为x＝my+2，
与y2＝8x联立得y2﹣8my﹣16＝0，
又A（x1，y1），B（x2，y2），
所以y1y2＝﹣16．
（2）解：已知点，
则直线AD的斜率为，
所以直线AD的方程为，
即，
与y2＝8x联立得，
解得y＝y1，
所以直线AD与C只有1个公共点A．
（3）证明：由（1）知，y1y2＝﹣16，
所以
，
所以DA⊥DB．
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，重点考查了韦达定理及平面向量数量积的运算，属中档题．
13．（2024秋 赣州期中）已知曲线C：mx2+ny2＝1经过点．
（1）若C经过点，求C的离心率；
（2）若C表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）把P，Q两点代入曲线方程，求出m，n，得到标准方程后可求离心率；
（2）把曲线方程化为椭圆标准方程，由焦点在y轴上，列不等式求m的取值范围．
【解答】解：（1）由于点在C上，因此，，
由于C经过点，因此3m＝1，所以，
代入，解得，
因此曲线C的标准方程为，
，，，
因此曲线C的离心率．
（2）因为曲线C的方程可化为，
由于C表示焦点在y轴上的椭圆，因此，所以m＞n＞0，
由于，因此，
解得，因此m的取值范围是．
【点评】本题考查圆锥曲线综合应用，属于中档题．
14．（2024 孝南区校级模拟）已知点O（2，0）、A（﹣6，0），动点P（x，y）满足|PA|＝3|PO|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆Q的圆心为Q（t，t）（t＞0），且圆Q与y轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用平面内两点间的距离公式化简可得出轨迹C的方程；
（2）求出圆Q的方程，分析可知，圆Q与圆C有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于t的不等式，结合t＞0可得出实数t的取值范围．
【解答】解：（1）由|PA|＝3|PO|得|PA|2＝9|PO|2，
即（x+6）2+y2＝9[（x﹣2）2+y2]，整理得（x﹣3）2+y2＝9，
故动点P的轨迹C的方程为（x﹣3）2+y2＝9．
（2）∵点Q的坐标为（t，t）（t＞0）且圆Q与y轴相切，∴圆Q的半径为t，
∴圆Q的方程为（x﹣t）2+（y﹣t）2＝t2，
∴圆Q与圆C两圆心的距离为，
∵圆Q与圆C有公共点，∴|3﹣t|≤|CQ|≤3+t，
即|3﹣t|2≤（t﹣3）2+t2≤（3+t）2，且t＞0，解得0＜t≤12，
所以实数t的取值范围是（0，12]．
【点评】本题考查了动点的轨迹方程的求法，圆与圆位置关系的应用，属于中档题．
15．（2024秋 白山期末）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪．某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标（6，0），当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令；（1）求航天器变轨时点C的坐标；
（2）求航天器降落点B与观测点A之间的距离．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解；时事热点类．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设出点C，利用A，C的距离和椭圆方程可求出点C的坐标；
（2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案．
【解答】解：（1）设C（x，y），由题意，|AC|＝4，即，
又，联立解得x＝6或x＝10（舍），当x＝6时，y＝4，
故C的坐标为（6，4）．
（2）由题意设抛物线的方程为y＝﹣mx2+n，
因为抛物线经过点C（6，4），，
所以，，解得，即；
令y＝0可得x＝9或x＝﹣9（舍），即B（9，0）；
所以|AB|＝|OB|﹣|OA|＝3，
所以航天器降落点B与观测点A之间的距离为3．
【点评】本题考查椭圆与抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
预习衔接.夯实基础 抛物线
一．选择题（共3小题）
1．（2024秋 海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两个定点F1（0，﹣2），F2（0，2）的距离之积等于12，化简得曲线C：．下列结论不正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．x的最大值为3
C．|PF1|+|PF2|的最小值为
D．|OP|的最大值为4
2．（2024秋 漳州期中）已知曲线Ω：x2+y2＝2|x|+2y，P（a，b）是曲线Ω上一动点，则（ ）
A．曲线Ω围成的图形有4条对称轴
B．曲线Ω围成的图形的周长为
C．|a﹣b﹣3|的最大值为5
D．曲线Ω上任意两点间的距离不大于4
3．（2024 临汾模拟）已知F是椭圆C：的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且，则椭圆C的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）4．（2024秋 赣州期中）已知椭圆，我们把圆x2+y2＝a2+b2称为C的蒙日圆，O为原点，点P在C上，延长OP与C的蒙日圆交于点Q，则（ ）
A．|PQ|的最大值为
B．若P为OQ的中点，则C的离心率的最大值为
C．过点Q不可能作两条互相垂直的直线都与C相切
D．若点（2，1）在C上，则C的蒙日圆面积最小为9π
（多选）5．（2024秋 镇海区校级期中）已知抛物线C：y2＝4x，F为其焦点，直线l与抛物线交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A为抛物线上的一点，点B坐标为（3，1），则|AF|+|AB|的最小值为3
B．若直线l过焦点F，则以MN为直径的圆与x＝﹣1相切
C．若直线l过焦点F，当MN⊥OF时，则|OM| |ON|＝5
D．设直线MN的中点坐标为（x0，y0）（y0≠0），则该直线的斜率与x0无关，与y0有关
（多选）6．（2024 吴兴区校级模拟）已知F是抛物线C：y2＝2px的焦点，直线AB经过点F交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
B．若，则直线AB的斜率k＝3
C．弦AB的中点M的轨迹为一条抛物线，其方程为y2＝2px﹣p2
D．若p＝4，则|AF|+4|BF|的最小值为18
（多选）7．（2024秋 雁塔区校级期中）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（2，0）作斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠AOF＝∠BOF B．
C． D．∠AOB＜90°
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 南阳期中）抛物线C：y2＝16x的焦点为F，准线为l，过焦点F且斜率为的直线与C交于点P（P在第一象限内），Q为l上一动点，则△PQF周长的最小值为 ．
9．（2024秋 浙江期中）已知椭圆，过左焦点F作直线l与圆相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|＝3|EF|，则椭圆离心率为 ．
10．（2024秋 西湖区校级期中）已知直线l1：3x﹣4y﹣6＝0和直线l2：y＝﹣2，抛物线x2＝4y上一动点P到直线l1直线l2的距离之和的最小值是 ．
11．（2024秋 东丽区校级期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且，则e1e2的最小值为 ．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 赣州期中）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F．过F的直线与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，．
（1）求y1y2的值；
（2）求直线AD与C的公共点个数；
（3）证明：DA⊥DB．
13．（2024秋 赣州期中）已知曲线C：mx2+ny2＝1经过点．
（1）若C经过点，求C的离心率；
（2）若C表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围．
14．（2024 孝南区校级模拟）已知点O（2，0）、A（﹣6，0），动点P（x，y）满足|PA|＝3|PO|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆Q的圆心为Q（t，t）（t＞0），且圆Q与y轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围．
15．（2024秋 白山期末）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪．某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标（6，0），当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令；（1）求航天器变轨时点C的坐标；
（2）求航天器降落点B与观测点A之间的距离．
预习衔接.夯实基础 抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2024秋 海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两个定点F1（0，﹣2），F2（0，2）的距离之积等于12，化简得曲线C：．下列结论不正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．x的最大值为3
C．|PF1|+|PF2|的最小值为
D．|OP|的最大值为4
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用；直线与圆；运算求解．
【答案】B
【分析】将曲线C方程中的y换为﹣y，x不变，可得曲线C的方程不变，可判断A；求得x2＝﹣（2）2+9，可得x的最大值，可判断B；由基本不等式可判断C；求得x2+y2＝44∈[8，16]，可判断D．
【解答】解：由|PF1| |PF2|＝12，化简可得曲线C：，
将曲线C方程中的y换为﹣y，x不变，可得曲线C的方程不变，即有曲线C关于x轴对称，故A正确；
由x2＝4（y2+4）＝﹣（y2+9）+45＝﹣（2）2+9，由于3，
可得x2≤9﹣（3﹣2）2＝8，即有﹣2x≤2，即x的最大值为2，故B错误；
由|PF1|+|PF2|≥224，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时，取等号，故C正确；
由x2＝﹣（y2+9）+45≥0，解得35，则x2+y2＝44∈[8，16]，
则24，即2|OP|≤4，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查曲线与方程的关系，以及曲线的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
2．（2024秋 漳州期中）已知曲线Ω：x2+y2＝2|x|+2y，P（a，b）是曲线Ω上一动点，则（ ）
A．曲线Ω围成的图形有4条对称轴
B．曲线Ω围成的图形的周长为
C．|a﹣b﹣3|的最大值为5
D．曲线Ω上任意两点间的距离不大于4
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】B
【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的两端关系式，从而作出曲线C的图象，由曲线C图象判断各选项即可．
【解答】解：当x≥0时，曲线C的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，
代表以（1，1）为圆心，为半径的圆，在y轴右侧部分，
当x≤0时，曲线C的方程可化为（x+1）2+（y﹣1）2＝2，
代表以（﹣1，1）为圆心，为半径的圆，在y轴左侧部分，
所以曲线C的图象如图所示，
对于A，由图可知曲线C围成的图形有2条对称轴，故A错误；
对于B，曲线C由2个圆组成，其周长为，故B正确；
对于C，P（a，b）到直线x﹣y﹣3＝0的距离，所以，
点（﹣1，1）到直线x﹣y﹣3＝0的距离为，
则曲线上的点到直线x﹣y﹣3＝0的距离最大值为，
所以|a﹣b﹣3|最大值为7，故C错误；
对于D，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为两圆圆心距离加上两个半径，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查曲线与方程综合应用，属于中档题．
3．（2024 临汾模拟）已知F是椭圆C：的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且，则椭圆C的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】利用已知条件，画出图形，设出圆的圆心，利用椭圆的定义，转化求解椭圆的离心率即可
【解答】解：由题意，椭圆的图形如图：F是椭圆C：的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且，圆的圆心为：D（，0），圆的半径为：，
所以F1P＝2b，FQ，
所以PF，
所以：2b＝2a，可得c2﹣b2＝a2﹣2ab+b2，
可得2a＝3b，即4a2＝9（a2﹣c2），
所以e
则椭圆C的离心率：．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）4．（2024秋 赣州期中）已知椭圆，我们把圆x2+y2＝a2+b2称为C的蒙日圆，O为原点，点P在C上，延长OP与C的蒙日圆交于点Q，则（ ）
A．|PQ|的最大值为
B．若P为OQ的中点，则C的离心率的最大值为
C．过点Q不可能作两条互相垂直的直线都与C相切
D．若点（2，1）在C上，则C的蒙日圆面积最小为9π
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据P为OQ的中点建立关于a，b的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D．
【解答】解：对于选项A，圆x2+y2＝a2+b2的圆心为O（0，0），半径为，
又椭圆，∴|OP|≥b，
∴，故选项A正确；
对于选项B，若P为OQ的中点，则，
则a2≥3b2，故，选项B错误；
对于选项C，取Q（a，b），则直线x＝a，y＝b互相垂直，且都与C相切，过点Q不可能作两条互相垂直的直线都与C相切是不正确的，选项C错误；
对于D，∵点（2，1）在C上，∴1，
则r2＝a2+b29，
当且仅当，即a＝2b时取等号，
∴C的蒙日圆面积最小为9π，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查椭圆与圆的位置关系的应用，是中档题．
（多选）5．（2024秋 镇海区校级期中）已知抛物线C：y2＝4x，F为其焦点，直线l与抛物线交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A为抛物线上的一点，点B坐标为（3，1），则|AF|+|AB|的最小值为3
B．若直线l过焦点F，则以MN为直径的圆与x＝﹣1相切
C．若直线l过焦点F，当MN⊥OF时，则|OM| |ON|＝5
D．设直线MN的中点坐标为（x0，y0）（y0≠0），则该直线的斜率与x0无关，与y0有关
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用抛物线的定义以及数形结合可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；求出M、N的坐标，利用两点间的距离公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，如下图所示：
抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，
设点A在准线上的射影点为D，由抛物线的定义可得|AD|＝|AF|，
则|AB|+|AF|＝|AB|+|AD|≥|BD|，
当且仅当A、B、D三点共线时，
即当BD与准线垂直时，|AB|+|AF|取最小值|BD|＝3+1＝4，故A错误；
对于B选项，若直线l过焦点F，则|MN|＝x1+x2+2，
线段MN的中点E到直线x＝﹣1的距离为，则|MN|＝2d，
因此，以MN为直径的圆与x＝﹣1相切，故B对；
对于C选项，当MN⊥OF时，直线MN的方程为：x＝1，
联立，解得：，
不妨取M（1，2），N（1，﹣2），
则，
此时，|OM| |ON|＝5，故C对；
对于D选项，线段MN的中点坐标为（x0，y0）（y0≠0），
若MN⊥x轴，则线段MN的中点在x轴上，不合乎题意，
所以直线MN的斜率存在，
由题可得，
又M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线C上，
则，两式作差得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），
所以，故D对．
故选：BCD．
【点评】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于难题．
（多选）6．（2024 吴兴区校级模拟）已知F是抛物线C：y2＝2px的焦点，直线AB经过点F交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
B．若，则直线AB的斜率k＝3
C．弦AB的中点M的轨迹为一条抛物线，其方程为y2＝2px﹣p2
D．若p＝4，则|AF|+4|BF|的最小值为18
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】AD
【分析】A．由抛物线的方程可得焦点F（，0），准线方程为：x，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得AB的中点M（，），利用焦点弦的性质可得
|AB|，求出AB的中点M准线的距离，进而判断出A误；
B．设直线AB的方程为x＝my，k0，联立，化为y2﹣2mpy﹣p2＝0，由，可得y1＝﹣2y2，结合根与系数的关系即可得出斜率k，进而判断出B误；
C．设M（x，y），结合A，B可得：ymp，可得x，消去m，进而判断出C正误；
D．若p＝4，则抛物线C：y2＝8x，不妨设x1＞x2＞0，可得x1x24，于是|AF|+4|BF|＝x1+4x2+104x2+10，利用基本不等式即可判断出正误．
【解答】解：A．由抛物线的方程可得焦点F（，0），准线方程为：x，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点M（，），
利用焦点弦的性质可得|AB|＝x1+x2+p，而AB的中点M到准线的距离d（）（1+x2+p）|AB|，
∴以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确；
B．设直线AB的方程为x＝my，k0，联立
，
整理可得：y2﹣2mpy﹣p2＝0，
可得y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，
∵，∴y1＝﹣2y2，
解得y2＝﹣2mp，y1＝4mp，
∴﹣8m2p2＝﹣p2，解得m2，
∴k2，因此B不正确；
C．设M（x，y），结合A，B可得：ymp，
xm2p，消去m可得：2y2＝2px﹣p2，因此C不正确；
D．若p＝4，则抛物线C：y2＝8x，不妨设x1＞x2＞0，
x1x24，∴|AF|+4|BF|＝x1+4x2+104x2+10≥4×210＝18，当且仅当x2＝1，x1＝4时取等号，因此D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了抛物线焦点弦的性质与抛物线的标准方程、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
（多选）7．（2024秋 雁塔区校级期中）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（2，0）作斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠AOF＝∠BOF B．
C． D．∠AOB＜90°
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据焦点坐标求得抛物线方程，然后联立直线和抛物线方程求得点A和B坐标，利用焦半径公式求得弦长判断B，利用面积分割法求面积判断C，利用两点式斜率和正切函数的单调性判断A，利用数量积判断夹角范围判断D．
【解答】解：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（2，0），
则，
则p＝4，
则抛物线C：y2＝8x，准线方程为x＝﹣2，
则直线的方程为，
设B（x1，y1），A（x2，y2），
联立，
解得，，
所以点，点，
所以，
，
故选项BC正确；
又，
所以tan∠AOF≠tan∠BOF，
故∠AOF≠∠BOF，
故A错误；
因为，
所以，
即为钝角，
所以∠AOB为钝角，
故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 南阳期中）抛物线C：y2＝16x的焦点为F，准线为l，过焦点F且斜率为的直线与C交于点P（P在第一象限内），Q为l上一动点，则△PQF周长的最小值为 ．
【考点】抛物线的焦点三角形．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】过P作直线l的垂线，垂足为A，分析出△PAF为正三角形，求出|PF|；再通过轴对称求出（|PQ|+|QF′|）min，即可得△PQF周长的最小值．
【解答】解：设准线l交x轴于点E，过P作直线l的垂线，垂足为A，连接AF，
又抛物线C：y2＝16x的焦点为F，
则抛物线的焦点F（4，0），|EF|＝8，|PA|＝|PF|，
因为直线PF的斜率为，
则∠APF＝∠PFx＝60°，
所以△PAF为正三角形，
所以∠AFE＝60°，|PF|＝|AF|＝2|EF|＝16，
所以，
记F关于直线l的对称点为F′（﹣12，0），
则|QF|＝|QF′|，
当P，Q，F′三点共线时，，
所以△PQF周长的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的定义，重点考查了抛物线的性质，属中档题．
9．（2024秋 浙江期中）已知椭圆，过左焦点F作直线l与圆相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|＝3|EF|，则椭圆离心率为 ．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的定义；求椭圆的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由题意利用直线与圆相切可得，再由余弦定理计算得出|PF1|＝2c，利用椭圆定义即可得出离心率．
【解答】解：椭圆，左焦点F，
设椭圆右焦点为F1，连接PF1，ME，如下图所示：
由圆M：可知圆心M（0，0），半径；
显然，|MF|＝c，过左焦点F作直线l与圆相切于点E，可知EM⊥EF，
因此可得，可得∠EFM＝30°，∴；
即可得，|FF1|＝2c；
在△PFF1中，由余弦定理可得，
解得|PF1|＝2c，
又，即，
因此离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
10．（2024秋 西湖区校级期中）已知直线l1：3x﹣4y﹣6＝0和直线l2：y＝﹣2，抛物线x2＝4y上一动点P到直线l1直线l2的距离之和的最小值是 3 ．
【考点】抛物线上的点到准线及其平行线的距离；点到直线的距离公式；抛物线的定义．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】3．
【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再结合点到直线的距离公式，以及数形结合，即可求解．
【解答】解：由题意可得：抛物线x2＝4y的焦点F（0，1），准线l：y＝﹣1，
设动点P直线l，l1，l2的距离分别为d，d1，d2，
点F到直线l1的距离为，
则d2＝d+1＝|PF|+1，可得d1+d2＝d1+|PF|+1≥d3+1＝3，
当且仅当点P在点F到直线l1的垂线上且P在F与l1之间时，等号成立，
动点P到直线l1直线l2的距离之和的最小值是3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
11．（2024秋 东丽区校级期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且，则e1e2的最小值为 ．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，可求得|PF1|，|PF2|，|F1F2|的长，再结合余弦定理，求出a1，a2，c的关系式，从而得到，利用基本不等式，即可得到e1e2的最小值．
【解答】解：如图，
不妨设点P在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
所以|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，
又|F1F2|＝2c，
所以由余弦定理可知：，
即，
化简得，
所以，
即，
化简得，
由基本不等式可得，
因为e1e2＞0，所以，
当时，取“＝”．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆与双曲线定义、方程的应用，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 赣州期中）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F．过F的直线与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，．
（1）求y1y2的值；
（2）求直线AD与C的公共点个数；
（3）证明：DA⊥DB．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）y1y2＝﹣16；
（2）1个；
（3）证明见解析．
【分析】（1）设出直线方程，直曲联立，由韦达定理可得；
（2）由坐标表示出直线AD的斜率进而得到直线方程，直曲联立，得到二次方程的根只有一个即可求出；
（3）由向量乘积的坐标表示再结合韦达定理化简得到数量积为零即可证明．
【解答】（1）解：已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F．过F的直线与C交于A，B两点，
又F（2，0），
设直线AB的方程为x＝my+2，
与y2＝8x联立得y2﹣8my﹣16＝0，
又A（x1，y1），B（x2，y2），
所以y1y2＝﹣16．
（2）解：已知点，
则直线AD的斜率为，
所以直线AD的方程为，
即，
与y2＝8x联立得，
解得y＝y1，
所以直线AD与C只有1个公共点A．
（3）证明：由（1）知，y1y2＝﹣16，
所以
，
所以DA⊥DB．
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，重点考查了韦达定理及平面向量数量积的运算，属中档题．
13．（2024秋 赣州期中）已知曲线C：mx2+ny2＝1经过点．
（1）若C经过点，求C的离心率；
（2）若C表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）把P，Q两点代入曲线方程，求出m，n，得到标准方程后可求离心率；
（2）把曲线方程化为椭圆标准方程，由焦点在y轴上，列不等式求m的取值范围．
【解答】解：（1）由于点在C上，因此，，
由于C经过点，因此3m＝1，所以，
代入，解得，
因此曲线C的标准方程为，
，，，
因此曲线C的离心率．
（2）因为曲线C的方程可化为，
由于C表示焦点在y轴上的椭圆，因此，所以m＞n＞0，
由于，因此，
解得，因此m的取值范围是．
【点评】本题考查圆锥曲线综合应用，属于中档题．
14．（2024 孝南区校级模拟）已知点O（2，0）、A（﹣6，0），动点P（x，y）满足|PA|＝3|PO|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆Q的圆心为Q（t，t）（t＞0），且圆Q与y轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用平面内两点间的距离公式化简可得出轨迹C的方程；
（2）求出圆Q的方程，分析可知，圆Q与圆C有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于t的不等式，结合t＞0可得出实数t的取值范围．
【解答】解：（1）由|PA|＝3|PO|得|PA|2＝9|PO|2，
即（x+6）2+y2＝9[（x﹣2）2+y2]，整理得（x﹣3）2+y2＝9，
故动点P的轨迹C的方程为（x﹣3）2+y2＝9．
（2）∵点Q的坐标为（t，t）（t＞0）且圆Q与y轴相切，∴圆Q的半径为t，
∴圆Q的方程为（x﹣t）2+（y﹣t）2＝t2，
∴圆Q与圆C两圆心的距离为，
∵圆Q与圆C有公共点，∴|3﹣t|≤|CQ|≤3+t，
即|3﹣t|2≤（t﹣3）2+t2≤（3+t）2，且t＞0，解得0＜t≤12，
所以实数t的取值范围是（0，12]．
【点评】本题考查了动点的轨迹方程的求法，圆与圆位置关系的应用，属于中档题．
15．（2024秋 白山期末）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪．某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标（6，0），当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令；（1）求航天器变轨时点C的坐标；
（2）求航天器降落点B与观测点A之间的距离．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解；时事热点类．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设出点C，利用A，C的距离和椭圆方程可求出点C的坐标；
（2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案．
【解答】解：（1）设C（x，y），由题意，|AC|＝4，即，
又，联立解得x＝6或x＝10（舍），当x＝6时，y＝4，
故C的坐标为（6，4）．
（2）由题意设抛物线的方程为y＝﹣mx2+n，
因为抛物线经过点C（6，4），，
所以，，解得，即；
令y＝0可得x＝9或x＝﹣9（舍），即B（9，0）；
所以|AB|＝|OB|﹣|OA|＝3，
所以航天器降落点B与观测点A之间的距离为3．
【点评】本题考查椭圆与抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)