中小学教育资源及组卷应用平台
预习衔接.夯实基础 导数的概念
一.选择题(共4小题)
1.(2024秋 海淀区期中)大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖,可以调节小环境的气温,好的绿化有助于降低气温日较差(一天气温的最高值与最低值之差).如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外,其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致,则下列结论中错误的是( )
A.由该图推测,甲地的绿化好于乙地
B.当日6时到12时,甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C.当日12时到18时,甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D.当日必存在一个时刻,甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
2.(2024秋 西城区校级期中)曲线在点(﹣3,﹣8)处的切线斜率为( )
A.9 B.5 C.﹣8 D.10
3.(2024秋 海淀区期中)已知,则( )
A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2
4.(2024春 武汉期中)设f(x)是可导函数,且2,则f′(1)=( )
A.2 B. C.﹣1 D.﹣2
二.多选题(共3小题)
(多选)5.(2024春 市中区校级期中)下列求导公式正确的是( )
A.(x3ex)′=3x2ex+x3ex
B.
C.(sin2x)′=2cos2x
D.(e﹣cosx)′=﹣sinx e﹣cosx
(多选)6.(2024春 烟台期末)某弹簧振子在振动过程中的位移y(单位:mm)与时间t(单位:s)之间的函数关系为,则( )
A.t=3s时,弹簧振子的位移为12mm
B.t=3s时,弹簧振子的瞬时速度为0mm/s
C.t=3s时,弹簧振子的瞬时加速度为
D.t=1.5s时,弹簧振子的瞬时速度为4πmm/s
(多选)7.(2024春 华州区校级期中)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列说法错误的是( )
A.x=﹣3为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极大值点
C.x=﹣1.5为f(x)的极大值点
D.x=2.5为f(x)的极小值点
三.填空题(共4小题)
8.(2024秋 普陀区校级期中)已知一罐汽水放入冰箱后的温度x(单位:℃)与时间t(单位:h)满足函数关系x=4+16e﹣2t,则大约经过 分钟,温度的瞬时变化率为﹣1℃/h.(精确到1分钟)
9.(2024秋 虹口区校级期中)已知函数f(x)=2x2+1,则 .
10.(2024 保定一模)已知曲线y=ex﹣1+ax3+1在x=1处的切线斜率为4,则实数a的值为 .
11.(2024秋 杭州期中)函数f(x)=lnx在点(e,1)处的切线的斜率等于 .
四.解答题(共4小题)
12.(2024春 双城区校级期中)①在微积分中,求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则,法则中有一结论:若函数f(x),g(x)的导函数分别为f′(x),g′(x),且,则;
②设a>0,k是大于1的正整数,若函数f(x)满足:对任意x∈[0,a],均有成立,且,则称函数f(x)为区间[0,a]上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息,回答下列问题:
(1)证明f(x)=x3﹣3x不是区间[0,3]上的2阶无穷递降函数;
(2)计算:;
(3)记,;求证:f(t)>1.
13.(2024春 辽源期末)已知函数f(x)=x﹣1.
(Ⅰ)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
14.(2024春 黄浦区校级期中)已知车辆启动后的一段时间内,车轮旋转的角度和时间(单位:秒)的平方成正比,且车辆启动后车轮转动第一圈需要1秒.
(1)求车轮转动前2秒的平均角速度;
(2)求车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度.
15.(2024春 韩城市期中)一小球做简谐振动,其运动方程为,其中x(单位:cm)是小球相对于平衡点的距离,t(单位:s)为运动时间.
(Ⅰ)求小球在时刻的速度;
(Ⅱ)从t=0s开始,最少经过多长时间该小球的瞬时速度达到最大?
预习衔接.夯实基础 导数的概念
参考答案与试题解析
一.选择题(共4小题)
1.(2024秋 海淀区期中)大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖,可以调节小环境的气温,好的绿化有助于降低气温日较差(一天气温的最高值与最低值之差).如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外,其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致,则下列结论中错误的是( )
A.由该图推测,甲地的绿化好于乙地
B.当日6时到12时,甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C.当日12时到18时,甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D.当日必存在一个时刻,甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
【考点】平均变化率.
【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计;逻辑思维;运算求解.
【答案】C
【分析】直接利用曲线图分析出结果.
【解答】解:对于A:由图可知:甲地的气温日较差明显小于乙地的气温日较差,所以甲地的绿化好于乙地,故A正确;
对于B:由图可知,甲乙两地的平均变化率为正数,且乙地的变化趋势更大,所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率,故B正确;
对于C:由图可知,甲乙两地的平均变化率为负值,且乙地的变化趋势更大,所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率,故C错误;
对于D:由图可知,存在一个时刻,使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同,故D正确.
故选:C.
【点评】本题考查的知识点:曲线图,瞬时变化率,平均变化率,主要考查学生的理解能力,属于基础题.
2.(2024秋 西城区校级期中)曲线在点(﹣3,﹣8)处的切线斜率为( )
A.9 B.5 C.﹣8 D.10
【考点】导数及其几何意义.
【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用;运算求解.
【答案】A
【分析】求导,根据导数的几何意义可得解.
【解答】解:,则y′=x2,
当x=﹣3时,y′=(﹣3)2=9,
故曲线在点(﹣3,﹣8)处的切线斜率为9.
故选:A.
【点评】本题主要考查导数的几何意义,属于基础题.
3.(2024秋 海淀区期中)已知,则( )
A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2
【考点】导数及其几何意义.
【专题】对应思想;综合法;导数的概念及应用;运算求解.
【答案】B
【分析】求出原函数的导函数,进一步可得的值.
【解答】解:由,得f′(x),
则.
故选:B.
【点评】本题考查导数值的求法,是基础题.
4.(2024春 武汉期中)设f(x)是可导函数,且2,则f′(1)=( )
A.2 B. C.﹣1 D.﹣2
【考点】变化率的极限与导数的概念.
【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用;运算求解.
【答案】B
【分析】根据已知条件,结合导数的定义,即可求解.
【解答】解:f(x)是可导函数,且2,
则3f'(1)=2,
故f'(2).
故选:B.
【点评】本题主要考查导数的定义,属于基础题.
二.多选题(共3小题)
(多选)5.(2024春 市中区校级期中)下列求导公式正确的是( )
A.(x3ex)′=3x2ex+x3ex
B.
C.(sin2x)′=2cos2x
D.(e﹣cosx)′=﹣sinx e﹣cosx
【考点】导数及其几何意义.
【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用;运算求解.
【答案】AC
【分析】利用初等函数 公式和导数的运算法则求函数的导数判断AB,利用复合函数求导公式和初等函数导数公式求函数的导数判断CD.
【解答】解:对于A,(x3ex)′=(x3)′ex+x3 (ex)′=3x2ex+x3ex,A正确,
对于B,,B错误,
对于C,函数y=sin2x,可视为函数y=sint,t=2x的复合函数,
函数y=sint关于变量t的导函数y′=cost,函数t=2x关于变量x的导函数t′=2,
所以(sin2x)′=cos2x 2=2cos2x,C正确,
对于D,函数y=e﹣cosx,可视为函数y=et,t=﹣cosx的复合函数,
函数y=et关于变量t的导函数y′=et,函数t=﹣cosx关于变量x的导函数t′=sinx,
所以(e﹣cosx)′=sinx e﹣cosx,D错误,
故选:AC.
【点评】本题主要考查导数的运算,属于基础题.
(多选)6.(2024春 烟台期末)某弹簧振子在振动过程中的位移y(单位:mm)与时间t(单位:s)之间的函数关系为,则( )
A.t=3s时,弹簧振子的位移为12mm
B.t=3s时,弹簧振子的瞬时速度为0mm/s
C.t=3s时,弹簧振子的瞬时加速度为
D.t=1.5s时,弹簧振子的瞬时速度为4πmm/s
【考点】导数及其几何意义.
【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用;运算求解.
【答案】ABD
【分析】对于A,将t=3代入即可判断;对于B,根据导数的几何意义先求出y′,将t=3代入即可判断;对于C,设y′=f(t),根据导数的几何意义求出f′(t),将t=3代入即可判断;对于D,将t=1.5代入y′即可判断.
【解答】解:对于A,当t=3时,,
即t=3s时,弹簧振子的位移为12mm,故A正确;
对于B,,
当t=3时,,
即t=3s时,弹簧振子的瞬时速度为0mm/s,故B正确;
对于C,设,
则,
当t=3时,,
即t=3s时,弹簧振子的瞬时加速度为,故C错误;
对于D,,
当t=1.5时,,
即t=1.5s时,弹簧振子的瞬时速度为4πmm/s,故D正确.
故选:ABD.
【点评】本题主要考查导数的几何意义,属于基础题.
(多选)7.(2024春 华州区校级期中)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列说法错误的是( )
A.x=﹣3为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极大值点
C.x=﹣1.5为f(x)的极大值点
D.x=2.5为f(x)的极小值点
【考点】导数及其几何意义;利用导数研究函数的极值.
【专题】数形结合;综合法;导数的概念及应用;直观想象;数据分析.
【答案】ACD
【分析】利用极值点的定义以及导数的几何意义,结合已知图象即可判断求解.
【解答】解:由图可知当x∈(﹣∞,﹣3)时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减,
当x∈(﹣3,1)时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增,
所以当﹣3是函数的极小值点,故A错误,
导函数在x=1左边大于0,右边小于0,所以x=1为函数的极大值点,故B正确,
导函数在x=﹣1.5,x=2.5左右两边同号,故CD错误,
故选:ACD.
【点评】本题考查了导数的几何意义,考查了学生的识图能力,属于基础题.
三.填空题(共4小题)
8.(2024秋 普陀区校级期中)已知一罐汽水放入冰箱后的温度x(单位:℃)与时间t(单位:h)满足函数关系x=4+16e﹣2t,则大约经过 104 分钟,温度的瞬时变化率为﹣1℃/h.(精确到1分钟)
【考点】瞬时变化率.
【专题】函数思想;综合法;导数的概念及应用;运算求解.
【答案】104.
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【解答】解:易知x′=﹣32e﹣2t,
令﹣32e﹣2t=﹣1,解得t,
则t≈104分钟.
故答案为:104.
【点评】本题考查了导数的几何意义,属于基础题.
9.(2024秋 虹口区校级期中)已知函数f(x)=2x2+1,则 ﹣4 .
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系.
【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用;运算求解.
【答案】﹣4.
【分析】结合导数的几何意义,即可求解.
【解答】解:f(x)=2x2+1,
则f'(x)=4x,
故f'(1)=﹣4.
故答案为:﹣4.
【点评】本题主要考查导数的应用,属于基础题.
10.(2024 保定一模)已知曲线y=ex﹣1+ax3+1在x=1处的切线斜率为4,则实数a的值为 1 .
【考点】导数与切线的斜率.
【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用;运算求解.
【答案】1.
【分析】根据已知条件,结合导数的几何意义,即可求解.
【解答】解:y=f(x)=ex﹣1+ax3+1,
则f'(x)=ex﹣1+3ax2,
曲线y=ex﹣1+ax3+1在x=1处的切线斜率为4,
则f'(1)=e1﹣1+3a=4,解得a=1.
故答案为:1.
【点评】本题考查导数的几何意义,属于基础题.
11.(2024秋 杭州期中)函数f(x)=lnx在点(e,1)处的切线的斜率等于 .
【考点】导数与切线的斜率.
【专题】函数思想;定义法;导数的概念及应用;运算求解.
【答案】.
【分析】求出原函数的导函数,得到函数在x=e处的导数值即可.
【解答】解:由f(x)=lnx,得f′(x),
则f′(e),即函数f(x)=lnx在点(e,1)处的切线的斜率等于.
故答案为:.
【点评】本题考查导数的几何意义及应用,是基础题.
四.解答题(共4小题)
12.(2024春 双城区校级期中)①在微积分中,求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则,法则中有一结论:若函数f(x),g(x)的导函数分别为f′(x),g′(x),且,则;
②设a>0,k是大于1的正整数,若函数f(x)满足:对任意x∈[0,a],均有成立,且,则称函数f(x)为区间[0,a]上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息,回答下列问题:
(1)证明f(x)=x3﹣3x不是区间[0,3]上的2阶无穷递降函数;
(2)计算:;
(3)记,;求证:f(t)>1.
【考点】极限及其运算.
【专题】整体思想;综合法;导数的概念及应用;逻辑思维;运算求解.
【答案】(1)证明见详解;
(2)e;
(3)证明见详解.
【分析】(1)根据k阶无穷递降函数的定义即可证明;
(2)记,取对数得,利用洛必达法则求出,然后可得的值;
(3)先证明f(t)是上的2阶无穷递降函数,可得,然后证明即可得证.
【解答】证明:(1)记,
因为,
所以在区间[0,3]不恒成立,
所以,f(x)=x3﹣3x不是区间[0,3]上的2阶无穷递降函数.
解:(2)记,则,
因为,
所以,所以.
证明:(3)因为,
所以,
所以,
即对任意,均有,
所以,
因为cosx=1,
所以,
所以,时,f(t)>1.
【点评】本题主要考查了洛必达法则的应用,考查了函数恒成立问题,属于中档题.
13.(2024春 辽源期末)已知函数f(x)=x﹣1.
(Ⅰ)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
【考点】变化的快慢与变化率;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】综合题;函数思想;转化法;导数的综合应用.
【答案】见试题解答内容
【分析】(Ⅰ)先求导,根据导数的几何意义即可求出,
(Ⅱ)先求导,再根据导数和函数极值的关系即可求出.
【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=x﹣1,得f′(x)=1
由函数f(x) 在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,得 f′(1)=10,解得a=e
(Ⅱ)f′(x)=1
①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在R上为增函数,f(x)无极值
②当a>0时,令f′(x)=0,解得x=lna,
∴x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0,x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在(﹣∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.
∴f(x)在x=lna处取得极小值,且极小值为f(lna)=lna,无极大值
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,f(x)在x=lna处取得极小值lna,无极大值.
【点评】本题考查了导数和函数的极值的关系,关键是分类讨论,属于中档题.
14.(2024春 黄浦区校级期中)已知车辆启动后的一段时间内,车轮旋转的角度和时间(单位:秒)的平方成正比,且车辆启动后车轮转动第一圈需要1秒.
(1)求车轮转动前2秒的平均角速度;
(2)求车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度.
【考点】变化的快慢与变化率;导数及其几何意义.
【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用;运算求解.
【答案】(1)4π;
(2)12π.
【分析】(1)设出未知数,得到y=kt2,待定系数法求出解析式,从而计算出车轮转动前2秒的平均角速度;
(2)求导,由导函数的意义得到答案.
【解答】解:(1)设车轮旋转的角度为y,车辆启动后车轮转动的时间为t秒,
则y=kt2,
由题意得t=1时,y=2π,
即2π=12k,解得k=2π,
故y=2πt2,车轮转动前2秒的平均角速度为,
(2)y=2πt2,y′=4πt,
由导函数的意义可得车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度为4π×3=12π.
【点评】本题主要考查导数的几何意义,属于基础题.
15.(2024春 韩城市期中)一小球做简谐振动,其运动方程为,其中x(单位:cm)是小球相对于平衡点的距离,t(单位:s)为运动时间.
(Ⅰ)求小球在时刻的速度;
(Ⅱ)从t=0s开始,最少经过多长时间该小球的瞬时速度达到最大?
【考点】变化的快慢与变化率.
【专题】整体思想;综合法;导数的概念及应用;运算求解.
【答案】(Ⅰ)30;
(Ⅱ).
【分析】(Ⅰ)由题意可知,瞬时速度为x'=20sin(3t) (3t)'=60sin(3t),再令t求解即可;
(Ⅱ)根据正弦函数的性质求解.
【解答】解:(Ⅰ)∵,
∴瞬时速度为x'=20sin(3t) (3t)'=60sin(3t),
∴小球在ts时刻的速度为;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知小球的瞬时速度为x'=60sin(3t),
∴小球的瞬时速度最大时sin(3t)=1,
解得,即,k∈Z,
∴最少经过该小球的瞬时速度达到最大.
【点评】本题主要考查了导数的实际意义,属于基础题.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)