5.2导数的运算（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019）
文档属性
| 名称 | 5.2导数的运算（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册苏教版（2019） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 197.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-21 09:58:29 | ||
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文档简介
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预习衔接.夯实基础 导数的运算
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 明山区校级期末）已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为函数f（x）的导函数，当x∈[0，+∞）时，2sinxcosx﹣f′（x）＞0且 x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x＝1．则下列说法一定正确的是（ ）
A．f（）f（）
B．f（）f（）
C．f（）f（）
D．f（）f（）
2．（2024 江西一模）已知函数f（x）及其导函数f′（x）定义域均为R，记g（x）＝f′（x+1），且f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，g（3+x）为偶函数，则g′（7）+g（17）＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024春 肇庆校级期末）已知函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），求f′（2）＝（ ）
A．0 B．﹣12 C．﹣120 D．120
4．（2024秋 福州期末）下列求导数的运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．（3x）′＝x 3x﹣1
D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 镇海区校级期中）下列选项正确的是（ ）
A．， B．y＝2x，y′＝2xln2
C．y＝lnx， D．y＝cos2x，y′＝﹣sin2x
（多选）6．（2024秋 洮北区校级期中）以下函数求导正确的是（ ）
A．若f（x），则f′（x）
B．若f（x）＝e2x，则f′（x）＝e2x
C．若f（x），则f'（x）
D．设f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）
（多选）7．（2024春 简阳市校级期中）已知函数f（x）的导数为f'（x），若存在x0，使得f（x0）＝f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ）
A．f（x）＝x2 B． C．f（x）＝lnx D．f（x）＝tanx
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 闵行区期中）函数y＝x2+x在x＝1处的导数是 ．
9．（2024秋 普陀区校级期中）已知f（x）＝x4，则f′（1）＝ ．
10．（2024秋 红桥区期末）已知函数f（x）＝cosx，则f（x）的导函数f′（x）＝ ．
11．（2024 顺庆区校级模拟）已知函数f（x）＝3x2+4，则f′（1）＝ ．
四．解答题（共4小题）
12．（2024春 万载县校级期末）求下列函数的导函数．
（1）；
（2）；
（3）f（x）＝ln（3﹣2x）+cos2x．
13．（2024春 邢台期末）设函数f（x）的导函数为f'（x），f'（x）的导函数为f″（x），f″（x）的导函数为f″′（x）．若f″（x0）＝0且f″′（x0）≠0，则点（x0，f（x0））为曲线y＝f（x）的拐点．
（1）已知函数f（x）x5+x4，求曲线y＝f（x）的拐点；
（2）已知函数g（x）＝exx2，讨论曲线y＝g（x）的拐点个数．
14．（2024春 龙岩期末）已知函数f（x）的定义域为（1，+∞），其导函数为f′（x）．若存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）＝h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有优化特质M（a）．（参考数值：e2.35）
（1）设函数F（x）＝xblnx（x＞1），其中b为实数．
①证明：函数F（x）具有优化特质M（b）；
②若b＞0，对任意x∈（1，e），F（x）＜0都成立，求实数b的取值范围；
（2）已知函数g（x）具有优化特质M（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的实数α，β，且α＝λx1+（1﹣λ）x2，β＝（1﹣λ）x1+λx2，使得不等式|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数λ的取值范围．
15．（2024春 延庆区期末）求下列函数的导函数．
（Ⅰ）f（x）＝x2 ex；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）；
（Ⅳ）f（x）＝ln（1﹣2x）．
预习衔接.夯实基础 导数的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 明山区校级期末）已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为函数f（x）的导函数，当x∈[0，+∞）时，2sinxcosx﹣f′（x）＞0且 x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x＝1．则下列说法一定正确的是（ ）
A．f（）f（）
B．f（）f（）
C．f（）f（）
D．f（）f（）
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【答案】B
【分析】令F（x）＝sin2x﹣f（x），可得F′（x）＝2sinxcosx﹣f′（x）＞0，x∈[0．+∞）时．可得F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．又 x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x＝1．可得f（﹣x）＝sin2x﹣2sin2x+f（x）＝﹣[sin2x﹣f（x）]，F（x）为奇函数．进而得出答案．
【解答】解：令F（x）＝sin2x﹣f（x），则F′（x）＝2sinxcosx﹣f′（x）＞0，x∈[0．+∞）时．
∴F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．又 x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x＝1．
∴f（﹣x）+f（x）＝2sin2x，
∴sin2（﹣x）﹣f（﹣x）＝sin2x﹣2sin2x+f（x）＝﹣[sin2x﹣f（x）]，
故F（x）为奇函数，
∴F（x）在R上单调递增，∴F．
即F，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性奇偶性、利用导数研究函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．（2024 江西一模）已知函数f（x）及其导函数f′（x）定义域均为R，记g（x）＝f′（x+1），且f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，g（3+x）为偶函数，则g′（7）+g（17）＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】对f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可．
【解答】解：因为g（3+x）为偶函数，g（x）＝f′（x+1），
所以f′（x+4）＝f′（﹣x+4），
对f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x两边同时求导，得f′（2+x）+f′（2﹣x）＝4，
所以有f′（4+x）+f′（﹣x）＝4 f′（4﹣x）+f′（﹣x）＝4 f′（4+x）+f′（x）＝4 f′（8+x）＝f′（x），所以函数f′（x）的周期为8，
在f′（2+x）+f′（2﹣x）＝4中，令x＝0，所以f′（2）＝2，
因此g（17）＝f′（18）＝f′（2）＝2，
因为g（3+x）为偶函数，
所以有g（3+x）＝g（3﹣x） g′（3+x）＝﹣g′（3﹣x） g′（7）＝﹣g′（﹣1）（1），
f′（8+x）＝f′（x） g（7+x）＝g（x﹣1） g′（7+x）＝g′（x﹣1） g′（7）＝g′（﹣1）（2），
由（1），（2）可得：g′（7）＝0，
所以g′（7）+g（17）＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于中档题．
3．（2024春 肇庆校级期末）已知函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），求f′（2）＝（ ）
A．0 B．﹣12 C．﹣120 D．120
【考点】简单复合函数的导数．
【专题】转化思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据导数的乘法公式，求解即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），
所以f′（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）
+x（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）
+x（x﹣1）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）
+x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣4）（x﹣5）
+x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣5）
+x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4），
所以f′（2）＝0+0+2×1×（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）+0+0+0＝﹣12．
故选：B．
【点评】本题考查了导数的乘法计算问题，是基础题．
4．（2024秋 福州期末）下列求导数的运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．（3x）′＝x 3x﹣1
D．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用导数的计算公式求解．
【解答】解：对于A，（log2x）′，故A错误；
对于B，（sinx+cos）′＝cosx，故B错误；
对于C，（3x）′＝3xln3，故C错误；
对于D，[ln（2x﹣1）]′2，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 镇海区校级期中）下列选项正确的是（ ）
A．， B．y＝2x，y′＝2xln2
C．y＝lnx， D．y＝cos2x，y′＝﹣sin2x
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
【解答】解：y，
则y'，故A正确；
y＝2x，
则y'＝2xln2，故B正确；
y＝lnx，
则y'，故C正确；
y＝cos2x，
则y'＝﹣2sin2x，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 洮北区校级期中）以下函数求导正确的是（ ）
A．若f（x），则f′（x）
B．若f（x）＝e2x，则f′（x）＝e2x
C．若f（x），则f'（x）
D．设f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；定义法；导数的概念及应用；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】利用基本初等函数的求导公式、复合函数的求导公式以及四则运算的导数公式，依次判断四个选项即可．
【解答】解：对于A，因为f（x），则f'（x），故选项A正确；
对于B，因为f（x）＝e2x，则f'（x）＝e2x （2x）′＝2e2x，故选项B错误；
对于C，因为f（x），则f'（x），故选项C正确；
对于D，因为f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f'（x）＝2x+3f'（2），所以f'（2）＝4+3f'（2），解得f'（2），故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了基本初等函数的求导公式、复合函数的求导公式以及四则运算的导数公式，考查了化简运算能力，属于基础题．
（多选）7．（2024春 简阳市校级期中）已知函数f（x）的导数为f'（x），若存在x0，使得f（x0）＝f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ）
A．f（x）＝x2 B． C．f（x）＝lnx D．f（x）＝tanx
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】求出函数的导数，使f（x）＝f′（x），如果有解，则存在“巧值点”．
【解答】解：对于A，对f（x）＝x2求导可得，f'（x）＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；
对于B，对求导可得，，令，得x＝﹣1，有“巧值点”；
对于C，对f（x）＝lnx求导可得，，令，
作出函数y＝lnx，的图象如下，由图象可知，方程有解，有“巧值点”；
对于D，对f（x）＝tanx求导可得，，令，即，得sin2x＝2，无解，无“巧值点”．
故选：ABC．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查导数的应用，突出等价转化思想与数形结合思想的考查，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 闵行区期中）函数y＝x2+x在x＝1处的导数是 3 ．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】利用求导公式以及求导法则，求得导函数，代入数值，可得答案．
【解答】解：由题意可知，y′＝2x+1，
当x＝1时，y′＝2×1+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
9．（2024秋 普陀区校级期中）已知f（x）＝x4，则f′（1）＝ 4 ．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】4．
【分析】求导代值即可．
【解答】解：f′（x）＝4x3，∴f′（1）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了幂函数的求导公式，是基础题．
10．（2024秋 红桥区期末）已知函数f（x）＝cosx，则f（x）的导函数f′（x）＝ ﹣sinx ．
【考点】基本初等函数的导数．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用导数运算法则即可得出答案．
【解答】解：由导数的运算法则可知f′（x）＝﹣sinx．
故答案为：﹣sinx．
【点评】本题主要考查了导数的运算，学生应熟练掌握特殊函数的导数，是送分的题．
11．（2024 顺庆区校级模拟）已知函数f（x）＝3x2+4，则f′（1）＝ 6 ．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】6．
【分析】先对函数求导，再求值．
【解答】解：f′（x）＝6x，f′（1）＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024春 万载县校级期末）求下列函数的导函数．
（1）；
（2）；
（3）f（x）＝ln（3﹣2x）+cos2x．
【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】利用导函数求导法则和复合函数求导法则进行计算．
【解答】解：（1）
；
（2）；
（3）．
【点评】本题主要考查导函数求导法则和复合函数求导法则，属于基础题．
13．（2024春 邢台期末）设函数f（x）的导函数为f'（x），f'（x）的导函数为f″（x），f″（x）的导函数为f″′（x）．若f″（x0）＝0且f″′（x0）≠0，则点（x0，f（x0））为曲线y＝f（x）的拐点．
（1）已知函数f（x）x5+x4，求曲线y＝f（x）的拐点；
（2）已知函数g（x）＝exx2，讨论曲线y＝g（x）的拐点个数．
【考点】简单复合函数的导数．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑思维．
【答案】（1）（﹣1，）．
（2）当a≤0时，g（x）有1个拐点，
当0＜a＜1或a＞1时，g（x）有2个拐点，
当a＝1时，g（x）无拐点．
【分析】（1）由拐点的定义，即可得出答案．
（2）令g″（x）＝0，得ex﹣ax﹣1＝0，分情况：①当a＝0时，②当a＜0时，③当a＞0时，讨论g（x）的拐点，即可得出答案．
【解答】解：（1）f′（x）＝3x4+4x3，f″（x）＝12x3+12x2，f′′′（x）＝36x2+24x，
令f″（x）＝0，得x＝0或x＝﹣1，
令f′′′（x）＝0，得x＝0或x，
又f（﹣2）（﹣1）5+（﹣1）4，
由拐点的定义可得，曲线f（x）的拐点为（﹣1，）．
（2）g′（x）＝exax2﹣x，g″（x）＝ex﹣ax﹣1，g′′′（x）＝ex﹣a，
令g″（x）＝0，得ex﹣ax﹣1＝0，
①当a＝0时，ex﹣1＝0，则x＝0
即g″（0）＝0，
此时g′′′（0）＝e0﹣0＝1≠0，
所以（0，g（0）），即（0，1）是g（x）的拐点，g（x）有1个拐点，
②当a＜0时，ex﹣1＝ax，
即看作y＝ex﹣1与y＝ax交点即可，
由图：
可知只有交点（0，0），
即g″（0）＝0，
又g′′′（0）＝1﹣a＞0≠0，
所以（0，1）是g（x）的拐点，即g（x）有一个拐点，
③当a＞0时，ex﹣1＝ax，
令m（x）＝ex﹣1，n（x）＝ax，
设切点为（x0，y0），则m′（x）＝ex，n′（x）＝a，
则a，
又1＝ax0，
所以x0＝0，a＝1，
即y＝ex﹣1与y＝x相切，
a＝1时，y＝ex﹣1与y＝x相切于点（0，0），
g″（0）＝0，g′′′（0）＝1﹣a＝0，故g（x）没有拐点，
当0＜a＜1时，作出m（x）＝ex﹣1，n（x）＝ax图象：
可得m（x）＝ex﹣1与n（x）＝ax有两个交点，
所以g（x）有2个拐点，
当a＞1时，作出m（x）＝ex﹣1，n（x）＝ax图象：
可得m（x）＝ex﹣1与n（x）＝ax有两个交点，
所以g（x）有2个拐点，
综上所述，当a≤0时，g（x）有1个拐点，
当0＜a＜1或a＞1时，g（x）有2个拐点，
当a＝1时，g（x）无拐点．
【点评】本题考查函数的新定义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
14．（2024春 龙岩期末）已知函数f（x）的定义域为（1，+∞），其导函数为f′（x）．若存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）＝h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有优化特质M（a）．（参考数值：e2.35）
（1）设函数F（x）＝xblnx（x＞1），其中b为实数．
①证明：函数F（x）具有优化特质M（b）；
②若b＞0，对任意x∈（1，e），F（x）＜0都成立，求实数b的取值范围；
（2）已知函数g（x）具有优化特质M（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的实数α，β，且α＝λx1+（1﹣λ）x2，β＝（1﹣λ）x1+λx2，使得不等式|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数λ的取值范围．
【考点】基本初等函数的导数；利用导数研究函数的最值．
【专题】分类讨论；转化思想；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）①证明见解答；
②（e，+∞）；
（2）（0，1）．
【分析】（1）①先求出函数F（x）的导函数F′（x），然后说明h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，将其配凑成F′（x）＝h（x）（x2﹣bx+1）形式，即可证明函数F（x）具有性质M（b）；
②根据第一问令φ（x）＝x2﹣bx+1，讨论判别式Δ与0的大小，结合导数研究函数恒成立得解；
（2）先求函数g（x）的导数，再分0＜λ＜1，λ≤0，λ≥1进行讨论，结合函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）①证明：F′（x）＝1，
当x∈（1，+∞）时，恒有，
使得F′（x）＝h（x）（x2﹣bx+1），
根据定义可得函数F（x）具有优化特质M（b）．
②，
令F'（x）＝0，则x2﹣bx+1＝0，Δ＝b2﹣4，
当Δ≤0时，0＜b≤2，此时F'（x）≥0，函数F（x）在（1，e）上单调递增，
又F（1）＝0，所以F（x）＜0不成立，舍去；
当Δ＞0时，b＞2，设φ（x）＝x2﹣bx+1，其对称轴大于1，φ（1）＝2﹣b＜0，
若φ（e）＝e2﹣be+1≤0，即，则函数F（x）在（1，e）上单调递减，
又F（1）＝0，所以F（x）＜0恒成立，符合题意；
若φ（e）＝e2﹣be+1＞0，即，
则φ（x）＝0在（1，e）上存在唯一零点x0，函数F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，e）上单调递增，
又F（1）＝0，则只需满足F（e）≤0，所以b≥e，从而得，
综上，实数b的取值范围为（e，+∞）．
（2）由函数g（x）具有优化特质M（2）可得g′（x）＝h（x）（x2﹣2x+1）＝h（x）（x﹣1）2，
则函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
当0＜λ＜1时，α＝λx1+（1﹣λ）x2＞λx1+（1﹣λ）x1＝x1，
α＝λx1+（1﹣λ）x2＜λx2+（1﹣λ）x2＝x2，
即x1＜α＜x2，同理：x1＜β＜x2，
由函数g（x）单调性可知：g（x1）＜g（α）＜g（x2），g（x1）＜g（β）＜g（x2），
从而不等式|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立；
当λ≤0时，α＝λx1+（1﹣λ）x2≥λx2+（1﹣λ）x2＝x2，
β＝（1﹣λ）x1+λx2≤λx1+（1﹣λ）x1＝x1，即β≤x1＜x2≤α，
由函数g（x）单调性可知：g（β）≤g（x1）＜g（x2）≤g（α），
得|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，与题设不符；
当λ≥1时，同理可得α≤x1＜x2≤β，
由函数g（x）单调性可知：g（α）≤g（x1）＜g（x2）≤g（β），
得|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，与题设不符；
综上，实数λ的取值范围是（0，1）．
【点评】本题主要考查新定义的应用，考查函数的概念、性质及导数的应用等知识，属于中档题．
15．（2024春 延庆区期末）求下列函数的导函数．
（Ⅰ）f（x）＝x2 ex；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）；
（Ⅳ）f（x）＝ln（1﹣2x）．
【考点】简单复合函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）（2x+x2）ex；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）；
（Ⅳ）．
【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可依次求解．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x2 ex；
则f'（x）＝2x ex+x2 ex＝（2x+x2）ex；
（Ⅱ）；
则；
（Ⅲ）；
则
；
（Ⅳ）f（x）＝ln（1﹣2x），
则．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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预习衔接.夯实基础 导数的运算
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 明山区校级期末）已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为函数f（x）的导函数，当x∈[0，+∞）时，2sinxcosx﹣f′（x）＞0且 x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x＝1．则下列说法一定正确的是（ ）
A．f（）f（）
B．f（）f（）
C．f（）f（）
D．f（）f（）
2．（2024 江西一模）已知函数f（x）及其导函数f′（x）定义域均为R，记g（x）＝f′（x+1），且f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，g（3+x）为偶函数，则g′（7）+g（17）＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024春 肇庆校级期末）已知函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），求f′（2）＝（ ）
A．0 B．﹣12 C．﹣120 D．120
4．（2024秋 福州期末）下列求导数的运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．（3x）′＝x 3x﹣1
D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 镇海区校级期中）下列选项正确的是（ ）
A．， B．y＝2x，y′＝2xln2
C．y＝lnx， D．y＝cos2x，y′＝﹣sin2x
（多选）6．（2024秋 洮北区校级期中）以下函数求导正确的是（ ）
A．若f（x），则f′（x）
B．若f（x）＝e2x，则f′（x）＝e2x
C．若f（x），则f'（x）
D．设f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）
（多选）7．（2024春 简阳市校级期中）已知函数f（x）的导数为f'（x），若存在x0，使得f（x0）＝f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ）
A．f（x）＝x2 B． C．f（x）＝lnx D．f（x）＝tanx
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 闵行区期中）函数y＝x2+x在x＝1处的导数是 ．
9．（2024秋 普陀区校级期中）已知f（x）＝x4，则f′（1）＝ ．
10．（2024秋 红桥区期末）已知函数f（x）＝cosx，则f（x）的导函数f′（x）＝ ．
11．（2024 顺庆区校级模拟）已知函数f（x）＝3x2+4，则f′（1）＝ ．
四．解答题（共4小题）
12．（2024春 万载县校级期末）求下列函数的导函数．
（1）；
（2）；
（3）f（x）＝ln（3﹣2x）+cos2x．
13．（2024春 邢台期末）设函数f（x）的导函数为f'（x），f'（x）的导函数为f″（x），f″（x）的导函数为f″′（x）．若f″（x0）＝0且f″′（x0）≠0，则点（x0，f（x0））为曲线y＝f（x）的拐点．
（1）已知函数f（x）x5+x4，求曲线y＝f（x）的拐点；
（2）已知函数g（x）＝exx2，讨论曲线y＝g（x）的拐点个数．
14．（2024春 龙岩期末）已知函数f（x）的定义域为（1，+∞），其导函数为f′（x）．若存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）＝h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有优化特质M（a）．（参考数值：e2.35）
（1）设函数F（x）＝xblnx（x＞1），其中b为实数．
①证明：函数F（x）具有优化特质M（b）；
②若b＞0，对任意x∈（1，e），F（x）＜0都成立，求实数b的取值范围；
（2）已知函数g（x）具有优化特质M（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的实数α，β，且α＝λx1+（1﹣λ）x2，β＝（1﹣λ）x1+λx2，使得不等式|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数λ的取值范围．
15．（2024春 延庆区期末）求下列函数的导函数．
（Ⅰ）f（x）＝x2 ex；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）；
（Ⅳ）f（x）＝ln（1﹣2x）．
预习衔接.夯实基础 导数的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 明山区校级期末）已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为函数f（x）的导函数，当x∈[0，+∞）时，2sinxcosx﹣f′（x）＞0且 x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x＝1．则下列说法一定正确的是（ ）
A．f（）f（）
B．f（）f（）
C．f（）f（）
D．f（）f（）
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【答案】B
【分析】令F（x）＝sin2x﹣f（x），可得F′（x）＝2sinxcosx﹣f′（x）＞0，x∈[0．+∞）时．可得F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．又 x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x＝1．可得f（﹣x）＝sin2x﹣2sin2x+f（x）＝﹣[sin2x﹣f（x）]，F（x）为奇函数．进而得出答案．
【解答】解：令F（x）＝sin2x﹣f（x），则F′（x）＝2sinxcosx﹣f′（x）＞0，x∈[0．+∞）时．
∴F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．又 x∈R，f（﹣x）+f（x）+cos2x＝1．
∴f（﹣x）+f（x）＝2sin2x，
∴sin2（﹣x）﹣f（﹣x）＝sin2x﹣2sin2x+f（x）＝﹣[sin2x﹣f（x）]，
故F（x）为奇函数，
∴F（x）在R上单调递增，∴F．
即F，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性奇偶性、利用导数研究函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．（2024 江西一模）已知函数f（x）及其导函数f′（x）定义域均为R，记g（x）＝f′（x+1），且f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，g（3+x）为偶函数，则g′（7）+g（17）＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】对f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可．
【解答】解：因为g（3+x）为偶函数，g（x）＝f′（x+1），
所以f′（x+4）＝f′（﹣x+4），
对f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x两边同时求导，得f′（2+x）+f′（2﹣x）＝4，
所以有f′（4+x）+f′（﹣x）＝4 f′（4﹣x）+f′（﹣x）＝4 f′（4+x）+f′（x）＝4 f′（8+x）＝f′（x），所以函数f′（x）的周期为8，
在f′（2+x）+f′（2﹣x）＝4中，令x＝0，所以f′（2）＝2，
因此g（17）＝f′（18）＝f′（2）＝2，
因为g（3+x）为偶函数，
所以有g（3+x）＝g（3﹣x） g′（3+x）＝﹣g′（3﹣x） g′（7）＝﹣g′（﹣1）（1），
f′（8+x）＝f′（x） g（7+x）＝g（x﹣1） g′（7+x）＝g′（x﹣1） g′（7）＝g′（﹣1）（2），
由（1），（2）可得：g′（7）＝0，
所以g′（7）+g（17）＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于中档题．
3．（2024春 肇庆校级期末）已知函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），求f′（2）＝（ ）
A．0 B．﹣12 C．﹣120 D．120
【考点】简单复合函数的导数．
【专题】转化思想；定义法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据导数的乘法公式，求解即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），
所以f′（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）
+x（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）
+x（x﹣1）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）
+x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣4）（x﹣5）
+x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣5）
+x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4），
所以f′（2）＝0+0+2×1×（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）+0+0+0＝﹣12．
故选：B．
【点评】本题考查了导数的乘法计算问题，是基础题．
4．（2024秋 福州期末）下列求导数的运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．（3x）′＝x 3x﹣1
D．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用导数的计算公式求解．
【解答】解：对于A，（log2x）′，故A错误；
对于B，（sinx+cos）′＝cosx，故B错误；
对于C，（3x）′＝3xln3，故C错误；
对于D，[ln（2x﹣1）]′2，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 镇海区校级期中）下列选项正确的是（ ）
A．， B．y＝2x，y′＝2xln2
C．y＝lnx， D．y＝cos2x，y′＝﹣sin2x
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
【解答】解：y，
则y'，故A正确；
y＝2x，
则y'＝2xln2，故B正确；
y＝lnx，
则y'，故C正确；
y＝cos2x，
则y'＝﹣2sin2x，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 洮北区校级期中）以下函数求导正确的是（ ）
A．若f（x），则f′（x）
B．若f（x）＝e2x，则f′（x）＝e2x
C．若f（x），则f'（x）
D．设f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；定义法；导数的概念及应用；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】利用基本初等函数的求导公式、复合函数的求导公式以及四则运算的导数公式，依次判断四个选项即可．
【解答】解：对于A，因为f（x），则f'（x），故选项A正确；
对于B，因为f（x）＝e2x，则f'（x）＝e2x （2x）′＝2e2x，故选项B错误；
对于C，因为f（x），则f'（x），故选项C正确；
对于D，因为f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f'（x）＝2x+3f'（2），所以f'（2）＝4+3f'（2），解得f'（2），故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了基本初等函数的求导公式、复合函数的求导公式以及四则运算的导数公式，考查了化简运算能力，属于基础题．
（多选）7．（2024春 简阳市校级期中）已知函数f（x）的导数为f'（x），若存在x0，使得f（x0）＝f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ）
A．f（x）＝x2 B． C．f（x）＝lnx D．f（x）＝tanx
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】求出函数的导数，使f（x）＝f′（x），如果有解，则存在“巧值点”．
【解答】解：对于A，对f（x）＝x2求导可得，f'（x）＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；
对于B，对求导可得，，令，得x＝﹣1，有“巧值点”；
对于C，对f（x）＝lnx求导可得，，令，
作出函数y＝lnx，的图象如下，由图象可知，方程有解，有“巧值点”；
对于D，对f（x）＝tanx求导可得，，令，即，得sin2x＝2，无解，无“巧值点”．
故选：ABC．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查导数的应用，突出等价转化思想与数形结合思想的考查，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 闵行区期中）函数y＝x2+x在x＝1处的导数是 3 ．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】利用求导公式以及求导法则，求得导函数，代入数值，可得答案．
【解答】解：由题意可知，y′＝2x+1，
当x＝1时，y′＝2×1+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
9．（2024秋 普陀区校级期中）已知f（x）＝x4，则f′（1）＝ 4 ．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】4．
【分析】求导代值即可．
【解答】解：f′（x）＝4x3，∴f′（1）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了幂函数的求导公式，是基础题．
10．（2024秋 红桥区期末）已知函数f（x）＝cosx，则f（x）的导函数f′（x）＝ ﹣sinx ．
【考点】基本初等函数的导数．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用导数运算法则即可得出答案．
【解答】解：由导数的运算法则可知f′（x）＝﹣sinx．
故答案为：﹣sinx．
【点评】本题主要考查了导数的运算，学生应熟练掌握特殊函数的导数，是送分的题．
11．（2024 顺庆区校级模拟）已知函数f（x）＝3x2+4，则f′（1）＝ 6 ．
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】6．
【分析】先对函数求导，再求值．
【解答】解：f′（x）＝6x，f′（1）＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024春 万载县校级期末）求下列函数的导函数．
（1）；
（2）；
（3）f（x）＝ln（3﹣2x）+cos2x．
【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】利用导函数求导法则和复合函数求导法则进行计算．
【解答】解：（1）
；
（2）；
（3）．
【点评】本题主要考查导函数求导法则和复合函数求导法则，属于基础题．
13．（2024春 邢台期末）设函数f（x）的导函数为f'（x），f'（x）的导函数为f″（x），f″（x）的导函数为f″′（x）．若f″（x0）＝0且f″′（x0）≠0，则点（x0，f（x0））为曲线y＝f（x）的拐点．
（1）已知函数f（x）x5+x4，求曲线y＝f（x）的拐点；
（2）已知函数g（x）＝exx2，讨论曲线y＝g（x）的拐点个数．
【考点】简单复合函数的导数．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑思维．
【答案】（1）（﹣1，）．
（2）当a≤0时，g（x）有1个拐点，
当0＜a＜1或a＞1时，g（x）有2个拐点，
当a＝1时，g（x）无拐点．
【分析】（1）由拐点的定义，即可得出答案．
（2）令g″（x）＝0，得ex﹣ax﹣1＝0，分情况：①当a＝0时，②当a＜0时，③当a＞0时，讨论g（x）的拐点，即可得出答案．
【解答】解：（1）f′（x）＝3x4+4x3，f″（x）＝12x3+12x2，f′′′（x）＝36x2+24x，
令f″（x）＝0，得x＝0或x＝﹣1，
令f′′′（x）＝0，得x＝0或x，
又f（﹣2）（﹣1）5+（﹣1）4，
由拐点的定义可得，曲线f（x）的拐点为（﹣1，）．
（2）g′（x）＝exax2﹣x，g″（x）＝ex﹣ax﹣1，g′′′（x）＝ex﹣a，
令g″（x）＝0，得ex﹣ax﹣1＝0，
①当a＝0时，ex﹣1＝0，则x＝0
即g″（0）＝0，
此时g′′′（0）＝e0﹣0＝1≠0，
所以（0，g（0）），即（0，1）是g（x）的拐点，g（x）有1个拐点，
②当a＜0时，ex﹣1＝ax，
即看作y＝ex﹣1与y＝ax交点即可，
由图：
可知只有交点（0，0），
即g″（0）＝0，
又g′′′（0）＝1﹣a＞0≠0，
所以（0，1）是g（x）的拐点，即g（x）有一个拐点，
③当a＞0时，ex﹣1＝ax，
令m（x）＝ex﹣1，n（x）＝ax，
设切点为（x0，y0），则m′（x）＝ex，n′（x）＝a，
则a，
又1＝ax0，
所以x0＝0，a＝1，
即y＝ex﹣1与y＝x相切，
a＝1时，y＝ex﹣1与y＝x相切于点（0，0），
g″（0）＝0，g′′′（0）＝1﹣a＝0，故g（x）没有拐点，
当0＜a＜1时，作出m（x）＝ex﹣1，n（x）＝ax图象：
可得m（x）＝ex﹣1与n（x）＝ax有两个交点，
所以g（x）有2个拐点，
当a＞1时，作出m（x）＝ex﹣1，n（x）＝ax图象：
可得m（x）＝ex﹣1与n（x）＝ax有两个交点，
所以g（x）有2个拐点，
综上所述，当a≤0时，g（x）有1个拐点，
当0＜a＜1或a＞1时，g（x）有2个拐点，
当a＝1时，g（x）无拐点．
【点评】本题考查函数的新定义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
14．（2024春 龙岩期末）已知函数f（x）的定义域为（1，+∞），其导函数为f′（x）．若存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）＝h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有优化特质M（a）．（参考数值：e2.35）
（1）设函数F（x）＝xblnx（x＞1），其中b为实数．
①证明：函数F（x）具有优化特质M（b）；
②若b＞0，对任意x∈（1，e），F（x）＜0都成立，求实数b的取值范围；
（2）已知函数g（x）具有优化特质M（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的实数α，β，且α＝λx1+（1﹣λ）x2，β＝（1﹣λ）x1+λx2，使得不等式|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数λ的取值范围．
【考点】基本初等函数的导数；利用导数研究函数的最值．
【专题】分类讨论；转化思想；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）①证明见解答；
②（e，+∞）；
（2）（0，1）．
【分析】（1）①先求出函数F（x）的导函数F′（x），然后说明h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，将其配凑成F′（x）＝h（x）（x2﹣bx+1）形式，即可证明函数F（x）具有性质M（b）；
②根据第一问令φ（x）＝x2﹣bx+1，讨论判别式Δ与0的大小，结合导数研究函数恒成立得解；
（2）先求函数g（x）的导数，再分0＜λ＜1，λ≤0，λ≥1进行讨论，结合函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）①证明：F′（x）＝1，
当x∈（1，+∞）时，恒有，
使得F′（x）＝h（x）（x2﹣bx+1），
根据定义可得函数F（x）具有优化特质M（b）．
②，
令F'（x）＝0，则x2﹣bx+1＝0，Δ＝b2﹣4，
当Δ≤0时，0＜b≤2，此时F'（x）≥0，函数F（x）在（1，e）上单调递增，
又F（1）＝0，所以F（x）＜0不成立，舍去；
当Δ＞0时，b＞2，设φ（x）＝x2﹣bx+1，其对称轴大于1，φ（1）＝2﹣b＜0，
若φ（e）＝e2﹣be+1≤0，即，则函数F（x）在（1，e）上单调递减，
又F（1）＝0，所以F（x）＜0恒成立，符合题意；
若φ（e）＝e2﹣be+1＞0，即，
则φ（x）＝0在（1，e）上存在唯一零点x0，函数F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，e）上单调递增，
又F（1）＝0，则只需满足F（e）≤0，所以b≥e，从而得，
综上，实数b的取值范围为（e，+∞）．
（2）由函数g（x）具有优化特质M（2）可得g′（x）＝h（x）（x2﹣2x+1）＝h（x）（x﹣1）2，
则函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
当0＜λ＜1时，α＝λx1+（1﹣λ）x2＞λx1+（1﹣λ）x1＝x1，
α＝λx1+（1﹣λ）x2＜λx2+（1﹣λ）x2＝x2，
即x1＜α＜x2，同理：x1＜β＜x2，
由函数g（x）单调性可知：g（x1）＜g（α）＜g（x2），g（x1）＜g（β）＜g（x2），
从而不等式|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立；
当λ≤0时，α＝λx1+（1﹣λ）x2≥λx2+（1﹣λ）x2＝x2，
β＝（1﹣λ）x1+λx2≤λx1+（1﹣λ）x1＝x1，即β≤x1＜x2≤α，
由函数g（x）单调性可知：g（β）≤g（x1）＜g（x2）≤g（α），
得|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，与题设不符；
当λ≥1时，同理可得α≤x1＜x2≤β，
由函数g（x）单调性可知：g（α）≤g（x1）＜g（x2）≤g（β），
得|g（α）﹣g（β）|≥|g（x1）﹣g（x2）|，与题设不符；
综上，实数λ的取值范围是（0，1）．
【点评】本题主要考查新定义的应用，考查函数的概念、性质及导数的应用等知识，属于中档题．
15．（2024春 延庆区期末）求下列函数的导函数．
（Ⅰ）f（x）＝x2 ex；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）；
（Ⅳ）f（x）＝ln（1﹣2x）．
【考点】简单复合函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）（2x+x2）ex；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）；
（Ⅳ）．
【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可依次求解．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x2 ex；
则f'（x）＝2x ex+x2 ex＝（2x+x2）ex；
（Ⅱ）；
则；
（Ⅲ）；
则
；
（Ⅳ）f（x）＝ln（1﹣2x），
则．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
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