广东省汕尾市2025年九年级数学中考二模试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·汕尾模拟）在，，0，这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2025·汕尾模拟）道路交通标志是用文字和图形符号对车辆或行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·汕尾模拟）汕尾市2025年中国中铁助力“百千万工程”项目集中开工，陆丰共有16个重点项目在此次仪式集中亮相，总投资1593000000元．数据1593000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·汕尾模拟）一副三角板按如图所示进行摆放，点C，B，D在同一直线上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·汕尾模拟）汕尾市是一个拥有丰富旅游资源的城市，热点有凤山祖庙旅游区、玄武山旅游区、红海湾景区、红宫红场引旧址、螺洞世外梅园等.2025年3月1日（乙巳年二月初二），首届海峡两岸民俗文体汇启动暨碣石古卫城进城仪式在玄武山盛大开启．若从上述五个景区中随机选一个作为文旅研学，则选中“玄武山旅游区”的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·汕尾模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·汕尾模拟）面积为8的正方形的边长为，则的大致范围是（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．大于4
8．（2025·汕尾模拟）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（ ）
A． B． C．3 D．9
9．（2025·汕尾模拟）已知点，，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·汕尾模拟）如图，在矩形中，点E在对角线上，分别以点B和点D为圆心，线段、的长为半径画圆弧，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·汕尾模拟）因式分解： .
12．（2025·汕尾模拟）若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为 ．
13．（2025·汕尾模拟）如图，是的内接正三角形，点D在弧上，则的值是 ．
14．（2025·汕尾模拟）2024年12月17日，农业农村部农产品质量安全中心公示了“2024年第三批全国名特优新农产品名录”，汕尾市4个农产品入选，分别是凤山红灯笼荔枝、华侨红杨桃、陆河油柑和陆丰莲藕．“凤山红灯笼”是汕尾的名优荔枝，是糯米糍与怀枝自然杂交的优良品种．现抽查出7个单果，质量（单位：克）分别为27，24，28，27，26，25，25．这些数据的中位数是 ．
15．（2025·汕尾模拟）如图，在四边形中，，若，，，则的长为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025·汕尾模拟）计算：．
17．（2025·汕尾模拟）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·汕尾模拟）如图，点E是矩形的边上的一点，且，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线，交于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，则______．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·汕尾模拟）开学第一课，汕尾交警精彩开讲——“交通安全进校园”系列活动．接着，某校组织了一场全校学生都参加的“交通安全知识”竞赛，并随机抽取了n名学生的考卷进行样本分析，发现考试成绩x（分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的两个统计图（如图）．请根据图表提供的信息，解答下列问题．
（1）填空：______，______．
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）已知E组的同学中有2名女同学，学校将从E组的同学中随机选出2名同学作为交通安全知识宣传员，求所选2名同学恰好是一男一女的概率．
20．（2025·汕尾模拟）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务．
背景问题 汕尾市陆河县是“中国青梅之乡”，陆河青梅外皮光滑、果大肉脆、肉多核小、含酸度高，还富含多种有机酸、维生素和微量元素，具有很高的营养价值．近年来，陆河县着力扩大话梅、蜜汁梅等成品生产．
素材1 某商场用7800元采购话梅，用6400元采购蜜汁梅．
素材2 话梅的件数是蜜汁梅件数的1.5倍，每件话梅的进价比每件蜜汁梅的进价少30元．
素材3 每件话梅的售价比每件蜜汁梅的售价少40元，全部售出后，商场获利不少于7400元．
问题解决：
任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出该商场话梅和蜜汁梅各自采购的件数．
任务2 探究限定售价 按素材要求确定每件话梅的售价至少为多少元？
21．（2025·汕尾模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点B．
（1）求a与k的值；
（2）由图象可知，当x______时，；
（3）若点M为x轴上的动点，当的周长最小时，求点M的坐标．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025·汕尾模拟）在中，，，点D为的中点．将绕点D逆时针旋转得到，旋转角为，过点作（以为直径）的切线，切点为F．
【知识技能】
（1）如图1，若旋转角，求证：；
【数学理解】
（2）如图2，若旋转角，求点到的距离；
【拓展探索】
（3）在旋转过程中，当直线时，求旋转角的度数．
23．（2025·汕尾模拟）【问题背景】
抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E．
【构建联系】
（1）填空：______，______，点E的坐标为______．
（2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标．
【深入探究】
（3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴这四个数中最小的数为，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据“正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小”，据此直接得到答案.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；据此逐项进行判断即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此直接得到答案.
4．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
故答案为：D.
【分析】此题考查了角的计算，直接根据三角板中角的度数得，然后利用平角求出的度数.
5．【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵从凤山祖庙旅游区、玄武山旅游区、红海湾景区、红宫红场引旧址、螺洞世外梅园五个景区中随机选一个作为文旅研学，
∴选中“玄武山旅游区”的概率是，
故答案为：A.
【分析】直接利用概率公式进行求解即可.
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂乘除法、幂的乘方、合并同类项法则，逐项进行计算判断即可.
7．【答案】B
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵面积为8的正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴a的值在2和3之间，
故选：B．
【分析】
由于正方形的面积介于两个连续自然数2和3的平方之间，则正方形的边长a介于2和3之间．
8．【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的分式方程的解为，
∴，
解得：，
检验：当时，，
∴m的值为3，
故答案为：D．
【分析】将代入关于x的分式方程，得关于m的分式方程，解方程即可求解.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】直接将三个点的坐标代入反比例函数解析式中，求出的值，再比较大小即可.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面为：，
故答案为：A．
【分析】先求出的值，根据矩形的性质得，然后利用勾股定理求出的值，最后再根据阴影部分的面积为矩形面积减去两个扇形面积求解即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2-12=3(a2-4)=3(a+2)(a-2).
故答案为：3（a+2）（a-2）.
【分析】观察多项式可知：每一项含有公因式3，提公因式3后，括号内的因式符合平方差公式特征，于是再用平方差公式分解因式即可.
12．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正多边形的一个内角为，
正多边形的一个外角为，
多边形的外角和为，
该多边形的边数为．
故答案为：8．
【分析】根据题意先求出正多边形的一个外角为，再根据多边形的外角和为计算求解即可.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵是的内接正三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由圆周角定理得到，最后利用特殊角的三角函数值进行求解即可.
14．【答案】26
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵将这组数据按从小到大进行排列为：24，25，25，26，27，27，28，
∴这组数据的中位数为26，
故答案为：26．
【分析】根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此即可求解.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】延长交于点，过点作于点，根据三角形外角的性质结合条件得，从而由等腰三角形的判定得到，根据等腰三角形“三线合一”的性质得，然后推出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得，利用勾股定理得，进而得，接下来证明，根据相似三角形对应边成比例性质得，于是结合勾股定理得的值，最后求的值即可.
16．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查了实数的运算，先由有理数的绝对值、二次根式、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行化简，最后进行加减乘运算即可.
17．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】最简二次根式；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内的分式进行通分化简，然后结合平方差公式将分式的分子分母进行因式分解，将除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求.
（2）5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（2）如图，连接，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）连接，根据矩形的性质得，，，利用勾股定理求出，从而得，然后根据角平分线的定义得，进而推出，得，接下来设，则，利用勾股定理得关于的方程，解方程即可求解.
（1）如图，即为所求，
（2）连接
∵点E是矩形的边上的一点，
∴，，
∴，
∴
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴，
设
则
∵
∴，
解得，
即
故答案为：
19．【答案】（1）50 ，32
（2）解：根据题意，得A组频数为：，C组频数为：，
∴补全频数分布直方图如下图所示：
（3）解：画树状图如下：
∴共有20种等可能的结果，其中抽取到的恰好是一男一女结果有12种，
∴所选2名同学恰好是一男一女的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得抽取的学生总人数为（名），
∴，
∵在E组中有5名学生，
∴，
∴，
∴，
故答案为：50，32．
【分析】（1）先用B组的人数除以其所占百分比得抽取的学生总人数的值，从而求出E组人数所占百分比，进而用1减去其他组的人数所占百分比可得C组的人数所占百分比，即可求出的值；
（2）先求出A、C组的频数，然后补全频数直方图即可；
（3）先画出树状图得到所有的等可能结果数，从而得所选2名同学恰好是一男一女的结果数，进而利用概率公式进行求解.
（1）解：在B组中由条形统计图可知有 8名，由扇形统计图可知占，
∴抽取了学生总数为名，
在E组中有 5名，
∴．
∴；
故答案为：50；32．
（2）解：A组频数为：，
C组频数为：，
补全频数分布直方图如图所示：
（3）∵E组5名同学中有2名女同学，学校将从E组的同学中随机选出2名同学作为交通安全知识宣传员，画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中抽取到的恰好是一男一女结果数为12，
所以概率为．
20．【答案】解：任务1，设该商场采购蜜汁梅的件数为件，则采购话梅的件数为件，
依据题意，得，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴，
∴该商场采购蜜汁梅的件数为40件，则采购话梅的件数为60件；
任务2，设每件话梅的售价为m元，
由（1）得蜜汁梅的进价为（元），
∴话梅的进价为（元），
根据题意，得，
解得：．
∴每件话梅的售价至少为200元．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设该商场采购蜜汁梅的件数为件，则采购话梅的件数为件，根据“ 用7800元采购话梅，用6400元采购蜜汁梅，且每件话梅的进价比每件蜜汁梅的进价少30元”列出关于的分式方程，解方程并检验即可求解；
任务2：设每件话梅的售价为m元，结合（1）的结论求出蜜汁梅和话梅的进价，然后根据“商场获利不少于7400元”列出关于的不等式，解不等式即可求解．
21．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，
∴，
∴，
∴；
（2）
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，
∴，
∴的周长为，其中为定值，
∴当三点共线时，的周长最小，
∵一次函数与轴交于点，
∴当时，有，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把代入解析式，得，
∴直线的解析式为，
∴当时，有，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（2）由图象可知：当时，，
故答案为：.
【分析】（1）先将点的坐标代入一次函数解析式求出的值，得点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出的值；
（2）结合函数图象，可知要使，则一次函数的图象要在反比例函数图象的上方，据此即可求出不等式的解集；
（3）作点关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质得，从而得的周长为，进而得当三点共线时，的周长最小，然后求出，得，利用待定系数法求出直线的解析式，最后令，即可求出的坐标.
（1）解：把代入，得：；
∴，
∴；
（2）由图象可知：当时，；
（3）∵，
∴当时，，
∴，
如图，作点关于轴的对称点，连接，则，；
∵的周长，其中为定值，
∴当在线段上时，的周长最小，
设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∴当时，，
∴．
22．【答案】（1）证明：当旋转角时，此时点与点重合，
∴，即，
∴；
（2）解：当旋转角时，此时与在同一直线上，如图，过点作于点，连接，
∵，，点为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点到的距离为；
（3）解：①当在的左侧时，如图3，设交于点，连接，
∵，，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
由（2）得，即圆的直径为4，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴；
②当在的右侧时，如图4，设交于点，连接，
同理求得，
∴，
∴；
综上所述，当直线时，旋转角的度数为150°或330°．
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；求特殊角的三角函数值；旋转的性质；求余弦值
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出，即，根据平行线的判定即可得证结论；
（2）过点作于点，连接，根据等腰三角形“三线合一”性质得，，利用勾股定理得出，从而求出，进而利用“面积法”求出的值即可；
（3）分两种情况讨论：①当在的左侧时，设交于点，连接，先证明四边形是正方形，结合（2）的结论以及旋转的旋转得，，然后在中，得，根据特殊角的三角函数值得，最后求的度数即可；②当在的右侧时，设交于点，连接，同理求得，从而得，最后求的度数即可．
23．【答案】解：（1）-3，3，（2，-5）；
（2）如图，过点作轴，交于点，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得：，
当时，，此时点在轴上，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，
∴；
（3）如图，过作轴于点，过作轴于点，
∴，
∵抛物线与轴交于点，，
∴令，有，
解得：，，
∴，
∵，抛物线顶点为，
∴，
∴，，
∵点沿的方向平移个单位长度，得到点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
设直线解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线解析式，
又∵直线解析式为，
∴，
∴线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移，
∴，
设且，则，
当时，有，
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，有，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，，
∴；
当时，有，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，，
∴；
综上所述，的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平移的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】解：（1）将代入，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴，
联立方程组，
解得：或（舍去），
∴，
故答案为：-3，3，（2，-5）.
【分析】（1）将点坐标分别代入一次函数和抛物线的解析式中求出的值，从而得一次函数和抛物线的解析式，进而联立两函数解析式得方程组，解方程组即可求出点E的坐标；
（2）过点作轴，交于点，设，则，得，然后利用三角形面积公式得关于的方程，解方程即可求解；
（3）过作轴于点，过作轴于点，先求出，，，利用坐标系中两点距离公式得，根据平移的性质得，，从而得，进而证明，得，，于是得，然后利用待定系数法求出直线解析式，则，故线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移，根据平移的性质得，接下来设且，则，分三种情况讨论：或或三种情况讨论，利用坐标系中两点间距离公式构建关于x的方程求解即可．
1 / 1广东省汕尾市2025年九年级数学中考二模试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·汕尾模拟）在，，0，这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴这四个数中最小的数为，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据“正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小”，据此直接得到答案.
2．（2025·汕尾模拟）道路交通标志是用文字和图形符号对车辆或行人传递指示、指路、警告、禁令等信号的标志．下列交通标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；据此逐项进行判断即可.
3．（2025·汕尾模拟）汕尾市2025年中国中铁助力“百千万工程”项目集中开工，陆丰共有16个重点项目在此次仪式集中亮相，总投资1593000000元．数据1593000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此直接得到答案.
4．（2025·汕尾模拟）一副三角板按如图所示进行摆放，点C，B，D在同一直线上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
故答案为：D.
【分析】此题考查了角的计算，直接根据三角板中角的度数得，然后利用平角求出的度数.
5．（2025·汕尾模拟）汕尾市是一个拥有丰富旅游资源的城市，热点有凤山祖庙旅游区、玄武山旅游区、红海湾景区、红宫红场引旧址、螺洞世外梅园等.2025年3月1日（乙巳年二月初二），首届海峡两岸民俗文体汇启动暨碣石古卫城进城仪式在玄武山盛大开启．若从上述五个景区中随机选一个作为文旅研学，则选中“玄武山旅游区”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵从凤山祖庙旅游区、玄武山旅游区、红海湾景区、红宫红场引旧址、螺洞世外梅园五个景区中随机选一个作为文旅研学，
∴选中“玄武山旅游区”的概率是，
故答案为：A.
【分析】直接利用概率公式进行求解即可.
6．（2025·汕尾模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂乘除法、幂的乘方、合并同类项法则，逐项进行计算判断即可.
7．（2025·汕尾模拟）面积为8的正方形的边长为，则的大致范围是（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．大于4
【答案】B
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵面积为8的正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴a的值在2和3之间，
故选：B．
【分析】
由于正方形的面积介于两个连续自然数2和3的平方之间，则正方形的边长a介于2和3之间．
8．（2025·汕尾模拟）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的分式方程的解为，
∴，
解得：，
检验：当时，，
∴m的值为3，
故答案为：D．
【分析】将代入关于x的分式方程，得关于m的分式方程，解方程即可求解.
9．（2025·汕尾模拟）已知点，，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】直接将三个点的坐标代入反比例函数解析式中，求出的值，再比较大小即可.
10．（2025·汕尾模拟）如图，在矩形中，点E在对角线上，分别以点B和点D为圆心，线段、的长为半径画圆弧，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面为：，
故答案为：A．
【分析】先求出的值，根据矩形的性质得，然后利用勾股定理求出的值，最后再根据阴影部分的面积为矩形面积减去两个扇形面积求解即可.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·汕尾模拟）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2-12=3(a2-4)=3(a+2)(a-2).
故答案为：3（a+2）（a-2）.
【分析】观察多项式可知：每一项含有公因式3，提公因式3后，括号内的因式符合平方差公式特征，于是再用平方差公式分解因式即可.
12．（2025·汕尾模拟）若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为 ．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正多边形的一个内角为，
正多边形的一个外角为，
多边形的外角和为，
该多边形的边数为．
故答案为：8．
【分析】根据题意先求出正多边形的一个外角为，再根据多边形的外角和为计算求解即可.
13．（2025·汕尾模拟）如图，是的内接正三角形，点D在弧上，则的值是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵是的内接正三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由圆周角定理得到，最后利用特殊角的三角函数值进行求解即可.
14．（2025·汕尾模拟）2024年12月17日，农业农村部农产品质量安全中心公示了“2024年第三批全国名特优新农产品名录”，汕尾市4个农产品入选，分别是凤山红灯笼荔枝、华侨红杨桃、陆河油柑和陆丰莲藕．“凤山红灯笼”是汕尾的名优荔枝，是糯米糍与怀枝自然杂交的优良品种．现抽查出7个单果，质量（单位：克）分别为27，24，28，27，26，25，25．这些数据的中位数是 ．
【答案】26
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵将这组数据按从小到大进行排列为：24，25，25，26，27，27，28，
∴这组数据的中位数为26，
故答案为：26．
【分析】根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此即可求解.
15．（2025·汕尾模拟）如图，在四边形中，，若，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】延长交于点，过点作于点，根据三角形外角的性质结合条件得，从而由等腰三角形的判定得到，根据等腰三角形“三线合一”的性质得，然后推出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得，利用勾股定理得，进而得，接下来证明，根据相似三角形对应边成比例性质得，于是结合勾股定理得的值，最后求的值即可.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025·汕尾模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求有理数的绝对值的方法；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查了实数的运算，先由有理数的绝对值、二次根式、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行化简，最后进行加减乘运算即可.
17．（2025·汕尾模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】最简二次根式；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内的分式进行通分化简，然后结合平方差公式将分式的分子分母进行因式分解，将除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
18．（2025·汕尾模拟）如图，点E是矩形的边上的一点，且，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线，交于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，则______．
【答案】（1）解：如图，即为所求.
（2）5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（2）如图，连接，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）连接，根据矩形的性质得，，，利用勾股定理求出，从而得，然后根据角平分线的定义得，进而推出，得，接下来设，则，利用勾股定理得关于的方程，解方程即可求解.
（1）如图，即为所求，
（2）连接
∵点E是矩形的边上的一点，
∴，，
∴，
∴
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴，
设
则
∵
∴，
解得，
即
故答案为：
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·汕尾模拟）开学第一课，汕尾交警精彩开讲——“交通安全进校园”系列活动．接着，某校组织了一场全校学生都参加的“交通安全知识”竞赛，并随机抽取了n名学生的考卷进行样本分析，发现考试成绩x（分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的两个统计图（如图）．请根据图表提供的信息，解答下列问题．
（1）填空：______，______．
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）已知E组的同学中有2名女同学，学校将从E组的同学中随机选出2名同学作为交通安全知识宣传员，求所选2名同学恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50 ，32
（2）解：根据题意，得A组频数为：，C组频数为：，
∴补全频数分布直方图如下图所示：
（3）解：画树状图如下：
∴共有20种等可能的结果，其中抽取到的恰好是一男一女结果有12种，
∴所选2名同学恰好是一男一女的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得抽取的学生总人数为（名），
∴，
∵在E组中有5名学生，
∴，
∴，
∴，
故答案为：50，32．
【分析】（1）先用B组的人数除以其所占百分比得抽取的学生总人数的值，从而求出E组人数所占百分比，进而用1减去其他组的人数所占百分比可得C组的人数所占百分比，即可求出的值；
（2）先求出A、C组的频数，然后补全频数直方图即可；
（3）先画出树状图得到所有的等可能结果数，从而得所选2名同学恰好是一男一女的结果数，进而利用概率公式进行求解.
（1）解：在B组中由条形统计图可知有 8名，由扇形统计图可知占，
∴抽取了学生总数为名，
在E组中有 5名，
∴．
∴；
故答案为：50；32．
（2）解：A组频数为：，
C组频数为：，
补全频数分布直方图如图所示：
（3）∵E组5名同学中有2名女同学，学校将从E组的同学中随机选出2名同学作为交通安全知识宣传员，画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中抽取到的恰好是一男一女结果数为12，
所以概率为．
20．（2025·汕尾模拟）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务．
背景问题 汕尾市陆河县是“中国青梅之乡”，陆河青梅外皮光滑、果大肉脆、肉多核小、含酸度高，还富含多种有机酸、维生素和微量元素，具有很高的营养价值．近年来，陆河县着力扩大话梅、蜜汁梅等成品生产．
素材1 某商场用7800元采购话梅，用6400元采购蜜汁梅．
素材2 话梅的件数是蜜汁梅件数的1.5倍，每件话梅的进价比每件蜜汁梅的进价少30元．
素材3 每件话梅的售价比每件蜜汁梅的售价少40元，全部售出后，商场获利不少于7400元．
问题解决：
任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出该商场话梅和蜜汁梅各自采购的件数．
任务2 探究限定售价 按素材要求确定每件话梅的售价至少为多少元？
【答案】解：任务1，设该商场采购蜜汁梅的件数为件，则采购话梅的件数为件，
依据题意，得，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴，
∴该商场采购蜜汁梅的件数为40件，则采购话梅的件数为60件；
任务2，设每件话梅的售价为m元，
由（1）得蜜汁梅的进价为（元），
∴话梅的进价为（元），
根据题意，得，
解得：．
∴每件话梅的售价至少为200元．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设该商场采购蜜汁梅的件数为件，则采购话梅的件数为件，根据“ 用7800元采购话梅，用6400元采购蜜汁梅，且每件话梅的进价比每件蜜汁梅的进价少30元”列出关于的分式方程，解方程并检验即可求解；
任务2：设每件话梅的售价为m元，结合（1）的结论求出蜜汁梅和话梅的进价，然后根据“商场获利不少于7400元”列出关于的不等式，解不等式即可求解．
21．（2025·汕尾模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点B．
（1）求a与k的值；
（2）由图象可知，当x______时，；
（3）若点M为x轴上的动点，当的周长最小时，求点M的坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，
∴，
∴，
∴；
（2）
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，
∴，
∴的周长为，其中为定值，
∴当三点共线时，的周长最小，
∵一次函数与轴交于点，
∴当时，有，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把代入解析式，得，
∴直线的解析式为，
∴当时，有，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（2）由图象可知：当时，，
故答案为：.
【分析】（1）先将点的坐标代入一次函数解析式求出的值，得点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出的值；
（2）结合函数图象，可知要使，则一次函数的图象要在反比例函数图象的上方，据此即可求出不等式的解集；
（3）作点关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质得，从而得的周长为，进而得当三点共线时，的周长最小，然后求出，得，利用待定系数法求出直线的解析式，最后令，即可求出的坐标.
（1）解：把代入，得：；
∴，
∴；
（2）由图象可知：当时，；
（3）∵，
∴当时，，
∴，
如图，作点关于轴的对称点，连接，则，；
∵的周长，其中为定值，
∴当在线段上时，的周长最小，
设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∴当时，，
∴．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025·汕尾模拟）在中，，，点D为的中点．将绕点D逆时针旋转得到，旋转角为，过点作（以为直径）的切线，切点为F．
【知识技能】
（1）如图1，若旋转角，求证：；
【数学理解】
（2）如图2，若旋转角，求点到的距离；
【拓展探索】
（3）在旋转过程中，当直线时，求旋转角的度数．
【答案】（1）证明：当旋转角时，此时点与点重合，
∴，即，
∴；
（2）解：当旋转角时，此时与在同一直线上，如图，过点作于点，连接，
∵，，点为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点到的距离为；
（3）解：①当在的左侧时，如图3，设交于点，连接，
∵，，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
由（2）得，即圆的直径为4，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴；
②当在的右侧时，如图4，设交于点，连接，
同理求得，
∴，
∴；
综上所述，当直线时，旋转角的度数为150°或330°．
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；求特殊角的三角函数值；旋转的性质；求余弦值
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出，即，根据平行线的判定即可得证结论；
（2）过点作于点，连接，根据等腰三角形“三线合一”性质得，，利用勾股定理得出，从而求出，进而利用“面积法”求出的值即可；
（3）分两种情况讨论：①当在的左侧时，设交于点，连接，先证明四边形是正方形，结合（2）的结论以及旋转的旋转得，，然后在中，得，根据特殊角的三角函数值得，最后求的度数即可；②当在的右侧时，设交于点，连接，同理求得，从而得，最后求的度数即可．
23．（2025·汕尾模拟）【问题背景】
抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E．
【构建联系】
（1）填空：______，______，点E的坐标为______．
（2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标．
【深入探究】
（3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）-3，3，（2，-5）；
（2）如图，过点作轴，交于点，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得：，
当时，，此时点在轴上，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，
∴；
（3）如图，过作轴于点，过作轴于点，
∴，
∵抛物线与轴交于点，，
∴令，有，
解得：，，
∴，
∵，抛物线顶点为，
∴，
∴，，
∵点沿的方向平移个单位长度，得到点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
设直线解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线解析式，
又∵直线解析式为，
∴，
∴线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移，
∴，
设且，则，
当时，有，
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，有，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，，
∴；
当时，有，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，，
∴；
综上所述，的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平移的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】解：（1）将代入，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴，
联立方程组，
解得：或（舍去），
∴，
故答案为：-3，3，（2，-5）.
【分析】（1）将点坐标分别代入一次函数和抛物线的解析式中求出的值，从而得一次函数和抛物线的解析式，进而联立两函数解析式得方程组，解方程组即可求出点E的坐标；
（2）过点作轴，交于点，设，则，得，然后利用三角形面积公式得关于的方程，解方程即可求解；
（3）过作轴于点，过作轴于点，先求出，，，利用坐标系中两点距离公式得，根据平移的性质得，，从而得，进而证明，得，，于是得，然后利用待定系数法求出直线解析式，则，故线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移，根据平移的性质得，接下来设且，则，分三种情况讨论：或或三种情况讨论，利用坐标系中两点间距离公式构建关于x的方程求解即可．
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