江苏省苏州市2025年中考数学真题
1．（2025·苏州）下列实数中，比2小的数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．-1
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：比2小的数为-1，
故答案为：D.
【分析】根据有理数的大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小，据此直接得到答案.
2．（2025·苏州）如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，
故答案为：A.
【分析】根据将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，据此得到答案.
3．（2025·苏州）据人民网消息，2025年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达63 252 000万元，其中，出口40 317 000万元，创历史同期新高，同比增长11.5%.数据40 317 000用科学记数法可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：40317000=4.0317×107，
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此得到答案.
4．（2025·苏州）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方、幂的乘方，逐项进行判断即可.
5．（2025·苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东 若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则 的度数应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到的度数.
6．（2025·苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 则红球的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设红球的个数为个，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
∴红球的个数为2个，
故答案为：B.
【分析】设红球的个数为个，根据”一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 ”可列出关于的分式方程，解分式方程即可求解.
7．（2025·苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如下表：
温度 0 10 30
声音传播的速度· 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v= at+b（a，b.为常数，且a≠0）.当温度t为15℃时，声音传播的速度 v为（ ）
A．333 m/s B．339 m/s C．341 m/s D．342 m/s
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：将，代入，得，
解得：，
∴，
当时，有，
故答案为：B.
【分析】先利用待定系数法求出满足的公式，然后求出当时的值，即可求解.
8．（2025·苏州）如图，在正方形 ABC'D中，E 为边AD 的中点，连接BE，将△ABE沿BE 翻折，得到△A'BE，连接A'C. A'D，则下列结论不正确的是（ ）
A．A'D ∥BE
B．
C．△A'CD 的面积=△A'DE的面积
D．四边形A'BED 的面积=△A'BC的面积
【答案】D
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：A、如图，连接交于，
∵将沿翻折，得到，为的中点，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故A正确；
B、如图，连接交于，连接，
∵折叠的性质，四边形是正方形，
∴，，，，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
，
∴，
∴，故B正确；
C、如图，连接，过点作于，过点作，交延长线于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴点是中点，
又∵点是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，，
∴的面积=的面积，故C正确；
D、如图，连接，过点作于，过点作，交延长线于点，过点作于，
∵，
∴，
∵点是中点，
∴，
∵折叠的性质，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积≠的面积，故D错误；
故答案为：D.
【分析】①连接交于，根据翻折的性质得，由等腰三角形“等边对等角“性质以及三角形内角和定理求出，从而根据平行线的判定得证，即可判断A正确；②连接交于，连接，根据折叠以及正方形的性质推出，，从而证明，由相似三角形对应边成比例得，进而得，即可判断B正确；③连接，过点作于，过点作，交延长线于点，利用“一线三垂直”全等模型证明，得，然后设，则，利用勾股定理得，从而得，进而由等腰三角形“三线合一”性质以及三角形中位线定理得，最后利用三角形面积公式，即可判断C正确；④连接，过点作于，过点作，交延长线于点，过点作于，利用勾股定理以及正方形的性质得，从而得，进而结合折叠的性质求出，于是得，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得，利用勾股定理得，最后利用三角形面积公式求出，即可判断D错误.
9．（2025·苏州）因式分解： = .
【答案】(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
故答案为(x+3)(x-3).
【分析】运用平方差公式因式分解.
10．（2025·苏州）某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：71，71，65，71，64，66.这组数据的众数为 .
【答案】71
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵这6场比赛的得分为：71，71，65，71，64，66，
∴这组数据的众数为71，
故答案为：71.
【分析】根据众数的定义直接得到答案.
11．（2025·苏州）若y=x+1，则代数式2y--2x+3的值为 .
【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：5.
【分析】利用整体代入的思想，将的值代入所求算式中进行计算即可.
12．（2025·苏州）过A，B两点画一次函数y=-x+2的图像，已知点A的坐标为（0，2），则点B的坐标可以为 .（填一个符合要求的点的坐标即可）
【答案】（1，1）（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵过两点画一次函数的图像，已知点的坐标为（0，2），
∴当时，有，
∴点的坐标可以为（1，1），
故答案为：（1，1）（答案不唯一）.
【分析】任取时的一个值，代入一次函数解析式中，即可求出点坐标.
13．（2025·苏州）已知. 是关于 x 的一元二次方程 的两个实数根，其中 则 .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程 的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：-3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得的值，将的值代入即可求出的值.
14．（2025·苏州）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点 A 出发，10 min后到达点 B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即长度为 m.（结果保留π）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴该轿厢所经过的路径的长度为：，
故答案为：.
【分析】先根据题意求出的度数以及圆半径的长度，然后利用弧长公式进行求解.
15．（2025·苏州） 如图， 以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON 于 A，B 两点，再分别以A，B为圆心， 为半径画弧，两弧在. 内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则 . （结果保留根号）
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
由作图可知：平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点作于，由角平分线尺规作图可知平分，得，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出，然后根据正切的定义进行求解即可.
16．（2025·苏州）如图，在 中， ，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD 的右侧作等边三角形ADE，线段 DE 与线段AC交于点F，则线段CF 长度的最大值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当取得最小值时，取得最大值，
∴当取得最小值时，取得最小值，
∴当时，取得最小值，此时点与点重合，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为，
故答案为：.
【分析】过点作于，求出，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，然后根据等边三角形的性质得，于是推出，根据相似三角形对应边成比例的性质得，接下来推出当取得最小值时，取得最大值，当取得最小值时，取得最小值，当时，取得最小值，此时点与点重合，从而依次求出，的最小值，进而求出的最大值.
17．（2025·苏州）计算：
【答案】解：原式=5+9-4
=10.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据有理数的绝对值、乘方、算术平方根进行化简，然后进行加减运算即可.
18．（2025·苏州）解不等式组：
【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
19．（2025·苏州）先化简，再求值： 其中x=-2.
【答案】解：原式
，
当时，原式 .
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的分式进行通分化简，利用完全平方公式将分式的分子和分母展开，然后约分化简得到最简结果，接下来将的值代入进行计算即可.
20．（2025·苏州）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看.现有 A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看.
（1）甲同学选择 A 电影的概率为 ；
（2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率.（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
∴共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学选择不同电影的结果有6种，
∴甲、乙两位同学选择不同电影的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵有A，B，C共3部电影，
∴甲同学选择A电影的概率为，
故答案为：.
【分析】（1）直接利用概率公式进行求解；
（2）用”树状图“法得到所有的等可能结果数，从而得其中甲、乙两位同学选择不同电影的结果数，进而利用概率公式进行求解.
21．（2025·苏州）如图，C是线段AB 的中点，.
（1）求证：
（2） 连接HE，若 求 DE 的长.
【答案】（1）证明：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，是线段的中点，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根据线段中点定义以及平行线性质得，，根据全等三角形判定定理”“得证结论；
（2）先求出，根据全等三角形对应边相等得，于是证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到的长.
22．（2025·苏州）随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势.某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：min）进行了抽样调查.把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：
抽取的学生一周使用AI大模型
辅助学习时间频率分布表
组别 时间x（min） 频率
A 0.16
B 0.24
C 0.30
D 0.20
E 0.10
合计 1
抽取的学生一周使用 AI大模型
根据提供的信息回答问题：
（1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
（2）调查所得数据的中位数落在 组（填组别）；
（3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60 min的学生人数.
【答案】（1）解：根据题意，得抽取的学生总频数为5÷0.1=50（人），
∴D组别的学生频数为50-8-12-15-5=10（人），
∴补全的频数分布直方图如下图所示：
（2）C
（3）解：（人），
∴该校九年级学生一周使用 Al 大模型辅助学习的时间不少于 60 min的学生人数约为450人.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）由频数分布直方图可知，将50个数据按照从小到大进行排列，排在第25和26位的数据都落在C组别中，
∴调查所得数据的中位数落在C组，
故答案为：C.
【分析】（1）先用E组别的学生频数除以其频率得到抽取的学生总频数，再用总频数减去A，B，C，E组别的学生频数得到D组别的学生频数，最后补全频数分布直方图即可；
（2）根据中位数的定义进行求解；
（3）用样本估计总体，将750乘以不少于 60 min的学生人数的频率即可.
23．（2025·苏州）如图，一次函数y=2x+4的图像与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数 （k≠0，x>0）的图像交于点C，过点 B作x轴的平行线与反比例函数 的图像交于点 D，连接CD.
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值.
【答案】（1）解：∵一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点，
∴令， 得，
解得：，
∴，
令， 得，
∴；
（2）解：如图2， 过点作于，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为4，
∴，
∴，
∴，
∵点在一次函数的图像上，
∴，
解得：.
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）令，即可求出坐标；
（2）过点作于，根据等腰三角形“三线合一”性质得，由点坐标得，从而得，代入一次函数解析式即可求出的值.
24．（2025·苏州）综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究.如图， 中， 中，
（1）【观察感知】
如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE 交于点 F，求 的度数和线段AD 的长.（结果保留根号）
（2）【探索发现】
在图①的基础上，保持 不动，把 绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点 A 落在边 DE 上（如图 ②）.
①求线段AD 的长；（结果保留根号）
②判断AB 与DE 的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：根据题意， 可得， ，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：①如图3， 过点作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②， 理由如下：
∵， ，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质求出的度数，解直角三角形得的长，最后求的长即可；
（2）①过点作于，求出，利用含30°的直角三角形的性质得，从而利用勾股定理得，，进而求的长即可；
②根据等腰直角三角形的性质得，从而得，即可得证.
25．（2025·苏州）如图，在四边形ABCD 中，. .以AB 为直径的⊙O经过点D，且与边CD 交于点 E，连接AE，BE.
（1）求证：BC为⊙O 的切线；
（2）若 求BE 的长.
【答案】（1）证明： ∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴， 即，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解： 如图， 过点作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定与性质；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先结合等腰三角形“等边对等角”性质得，根据直径所对的圆周角是直角得，从而求出，进而根据切线的判定得证结论；
（2）过点作于，根据圆周角定理得，从而解直角三角形求出，进而利用勾股定理得，然后推出，得，解直角三角形求出，根据等腰三角形“三线合一”性质得，接下来结合圆内接四边形对角互补推出，最后根据等腰三角形的判定求出.
26．（2025·苏州）两个智能机器人在如图所示的 区域工作， 直线 BD 为生产流水线，且BD 平分 的面积（即D为AC 中点）.机器人甲从点A 出发，沿A→B的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 P 表示，机器人乙从点 B 出发，沿B→C→D的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 Q 表示.两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到 BD 的距离（即垂线段 的长）为 点Q到 BD的距离（即垂线段（ 的长）为 .当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 与t的部分对应数值如下表
t（min） 0 5.5
0 16 16 0
（1）机器人乙运动的路线长为 m；
（2）求 的值；
（3）当机器人甲、乙到生产流水线 BD 的距离相等（即 时，求t 的值.
【答案】（1）55
（2）解：根据题意，得乙机器人到达终点所用的时间为5.5min，
∴，
∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，有，
∴，
解得：；
当点在上时，如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得： ，
∴；
（3）解：∵当时，有，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，由，得，
解得：；
当点在上时，由，得，
解得：；
综上所述，当时，的值为或.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∵机器人乙从点出发，沿的方向以 的速度匀速运动，
∴机器人乙运动的路线长为，
故答案为：55.
【分析】（1）先利用勾股定理得的长，从而得的长，进而求出的长即可；
（2）结合（1）求出的值，利用勾股定理得的长，从而由直角三角形斜边上的中线性质得的长，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得，求出正弦值，，然后进行分类讨论：当点在上时，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值；当点在上时，过点作于，解直角三角形得的值，求出正弦值，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值，最后作差即可；
（3）先解直角三角形得的值，从而得的值，进而求出的值，于是解直角三角形得的值，然后进行分类讨论：当点在或，分别得关于的方程，解方程即可求解.
27．（2025·苏州）如图，二次函数 的图像与x轴交于A，B两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C，作直线 BC， 为二次函数 图像上两点.
（1）求直线 BC 对应函数的表达式；
（2）试判断是否存在实数m使得 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
（3）已知 P 是二次函数 图像上一点（不与点 M，N重合），且点 P 的横坐标为 作 若直线 BC 与线段 MN，MP 分别交于点 D，E，且 与 的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m 的值.
【答案】（1）解：∵二次函数 的图像与轴交于点，
∴令，有，
∴，
∵二次函数 的图像与轴交于两点，且点在点的左侧，
∴令，有，
解得：，
∴，
设直线的函数表达式为，
将，代入表达式，得，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：不存在实数使得，理由如下：
∵为二次函数 图像上两点，
∴，，
∴，
∵，
∴当 时， 有最大值为 ，
∵，
∴不存在实数使得；
（3）解：如图，过点作轴， 交轴于点， 交于点，过点作于，过点作轴，交于点，
∴，
∵点的横坐标为，
∴当时，有，
∴，
由（1）（2）得，直线的函数表达式为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵与 的面积的比为1：4，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
整理得：，
解得： ， ，
∴的值为或.
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先求出点的坐标，然后利用待定系数法进行求解；
（2）先求出的值，然后利用配方法以及二次函数的最值知识得到的最大值，再进行判断即可；
（3）过点作轴， 交轴于点， 交于点，过点作于，过点作轴，交于点，则有，然后求出点的坐标，结合（1）（2）得点的坐标，从而得的值，进而得，于是推出，根据相似三角形的判定得，由相似三角形的性质求出，接下来证明，结合相似三角形的性质求出，最后由点坐标得坐标，则有关于的方程，解方程即可求出的值.
1 / 1江苏省苏州市2025年中考数学真题
1．（2025·苏州）下列实数中，比2小的数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．-1
2．（2025·苏州）如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·苏州）据人民网消息，2025年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达63 252 000万元，其中，出口40 317 000万元，创历史同期新高，同比增长11.5%.数据40 317 000用科学记数法可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·苏州）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·苏州）如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东 若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则 的度数应为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 则红球的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025·苏州）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v（m/s）与温度t（℃）部分对应数值如下表：
温度 0 10 30
声音传播的速度· 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v= at+b（a，b.为常数，且a≠0）.当温度t为15℃时，声音传播的速度 v为（ ）
A．333 m/s B．339 m/s C．341 m/s D．342 m/s
8．（2025·苏州）如图，在正方形 ABC'D中，E 为边AD 的中点，连接BE，将△ABE沿BE 翻折，得到△A'BE，连接A'C. A'D，则下列结论不正确的是（ ）
A．A'D ∥BE
B．
C．△A'CD 的面积=△A'DE的面积
D．四边形A'BED 的面积=△A'BC的面积
9．（2025·苏州）因式分解： = .
10．（2025·苏州）某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：71，71，65，71，64，66.这组数据的众数为 .
11．（2025·苏州）若y=x+1，则代数式2y--2x+3的值为 .
12．（2025·苏州）过A，B两点画一次函数y=-x+2的图像，已知点A的坐标为（0，2），则点B的坐标可以为 .（填一个符合要求的点的坐标即可）
13．（2025·苏州）已知. 是关于 x 的一元二次方程 的两个实数根，其中 则 .
14．（2025·苏州）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点 A 出发，10 min后到达点 B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即长度为 m.（结果保留π）
15．（2025·苏州） 如图， 以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON 于 A，B 两点，再分别以A，B为圆心， 为半径画弧，两弧在. 内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则 . （结果保留根号）
16．（2025·苏州）如图，在 中， ，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD 的右侧作等边三角形ADE，线段 DE 与线段AC交于点F，则线段CF 长度的最大值为 .
17．（2025·苏州）计算：
18．（2025·苏州）解不等式组：
19．（2025·苏州）先化简，再求值： 其中x=-2.
20．（2025·苏州）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看.现有 A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看.
（1）甲同学选择 A 电影的概率为 ；
（2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率.（请用画树状图或列表等方法说明理由）
21．（2025·苏州）如图，C是线段AB 的中点，.
（1）求证：
（2） 连接HE，若 求 DE 的长.
22．（2025·苏州）随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势.某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：min）进行了抽样调查.把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：
抽取的学生一周使用AI大模型
辅助学习时间频率分布表
组别 时间x（min） 频率
A 0.16
B 0.24
C 0.30
D 0.20
E 0.10
合计 1
抽取的学生一周使用 AI大模型
根据提供的信息回答问题：
（1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
（2）调查所得数据的中位数落在 组（填组别）；
（3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60 min的学生人数.
23．（2025·苏州）如图，一次函数y=2x+4的图像与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数 （k≠0，x>0）的图像交于点C，过点 B作x轴的平行线与反比例函数 的图像交于点 D，连接CD.
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值.
24．（2025·苏州）综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究.如图， 中， 中，
（1）【观察感知】
如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE 交于点 F，求 的度数和线段AD 的长.（结果保留根号）
（2）【探索发现】
在图①的基础上，保持 不动，把 绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点 A 落在边 DE 上（如图 ②）.
①求线段AD 的长；（结果保留根号）
②判断AB 与DE 的位置关系，并说明理由.
25．（2025·苏州）如图，在四边形ABCD 中，. .以AB 为直径的⊙O经过点D，且与边CD 交于点 E，连接AE，BE.
（1）求证：BC为⊙O 的切线；
（2）若 求BE 的长.
26．（2025·苏州）两个智能机器人在如图所示的 区域工作， 直线 BD 为生产流水线，且BD 平分 的面积（即D为AC 中点）.机器人甲从点A 出发，沿A→B的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 P 表示，机器人乙从点 B 出发，沿B→C→D的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 Q 表示.两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到 BD 的距离（即垂线段 的长）为 点Q到 BD的距离（即垂线段（ 的长）为 .当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 与t的部分对应数值如下表
t（min） 0 5.5
0 16 16 0
（1）机器人乙运动的路线长为 m；
（2）求 的值；
（3）当机器人甲、乙到生产流水线 BD 的距离相等（即 时，求t 的值.
27．（2025·苏州）如图，二次函数 的图像与x轴交于A，B两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C，作直线 BC， 为二次函数 图像上两点.
（1）求直线 BC 对应函数的表达式；
（2）试判断是否存在实数m使得 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
（3）已知 P 是二次函数 图像上一点（不与点 M，N重合），且点 P 的横坐标为 作 若直线 BC 与线段 MN，MP 分别交于点 D，E，且 与 的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：比2小的数为-1，
故答案为：D.
【分析】根据有理数的大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小，据此直接得到答案.
2．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，
故答案为：A.
【分析】根据将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，据此得到答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：40317000=4.0317×107，
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此得到答案.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方、幂的乘方，逐项进行判断即可.
5．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到的度数.
6．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设红球的个数为个，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
∴红球的个数为2个，
故答案为：B.
【分析】设红球的个数为个，根据”一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 ”可列出关于的分式方程，解分式方程即可求解.
7．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：将，代入，得，
解得：，
∴，
当时，有，
故答案为：B.
【分析】先利用待定系数法求出满足的公式，然后求出当时的值，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：A、如图，连接交于，
∵将沿翻折，得到，为的中点，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故A正确；
B、如图，连接交于，连接，
∵折叠的性质，四边形是正方形，
∴，，，，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
，
∴，
∴，故B正确；
C、如图，连接，过点作于，过点作，交延长线于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴点是中点，
又∵点是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，，
∴的面积=的面积，故C正确；
D、如图，连接，过点作于，过点作，交延长线于点，过点作于，
∵，
∴，
∵点是中点，
∴，
∵折叠的性质，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积≠的面积，故D错误；
故答案为：D.
【分析】①连接交于，根据翻折的性质得，由等腰三角形“等边对等角“性质以及三角形内角和定理求出，从而根据平行线的判定得证，即可判断A正确；②连接交于，连接，根据折叠以及正方形的性质推出，，从而证明，由相似三角形对应边成比例得，进而得，即可判断B正确；③连接，过点作于，过点作，交延长线于点，利用“一线三垂直”全等模型证明，得，然后设，则，利用勾股定理得，从而得，进而由等腰三角形“三线合一”性质以及三角形中位线定理得，最后利用三角形面积公式，即可判断C正确；④连接，过点作于，过点作，交延长线于点，过点作于，利用勾股定理以及正方形的性质得，从而得，进而结合折叠的性质求出，于是得，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得，利用勾股定理得，最后利用三角形面积公式求出，即可判断D错误.
9．【答案】(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
故答案为(x+3)(x-3).
【分析】运用平方差公式因式分解.
10．【答案】71
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵这6场比赛的得分为：71，71，65，71，64，66，
∴这组数据的众数为71，
故答案为：71.
【分析】根据众数的定义直接得到答案.
11．【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：5.
【分析】利用整体代入的思想，将的值代入所求算式中进行计算即可.
12．【答案】（1，1）（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵过两点画一次函数的图像，已知点的坐标为（0，2），
∴当时，有，
∴点的坐标可以为（1，1），
故答案为：（1，1）（答案不唯一）.
【分析】任取时的一个值，代入一次函数解析式中，即可求出点坐标.
13．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程 的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：-3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得的值，将的值代入即可求出的值.
14．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴该轿厢所经过的路径的长度为：，
故答案为：.
【分析】先根据题意求出的度数以及圆半径的长度，然后利用弧长公式进行求解.
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
由作图可知：平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点作于，由角平分线尺规作图可知平分，得，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出，然后根据正切的定义进行求解即可.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当取得最小值时，取得最大值，
∴当取得最小值时，取得最小值，
∴当时，取得最小值，此时点与点重合，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为，
故答案为：.
【分析】过点作于，求出，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，然后根据等边三角形的性质得，于是推出，根据相似三角形对应边成比例的性质得，接下来推出当取得最小值时，取得最大值，当取得最小值时，取得最小值，当时，取得最小值，此时点与点重合，从而依次求出，的最小值，进而求出的最大值.
17．【答案】解：原式=5+9-4
=10.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据有理数的绝对值、乘方、算术平方根进行化简，然后进行加减运算即可.
18．【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
19．【答案】解：原式
，
当时，原式 .
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将括号里的分式进行通分化简，利用完全平方公式将分式的分子和分母展开，然后约分化简得到最简结果，接下来将的值代入进行计算即可.
20．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
∴共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学选择不同电影的结果有6种，
∴甲、乙两位同学选择不同电影的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵有A，B，C共3部电影，
∴甲同学选择A电影的概率为，
故答案为：.
【分析】（1）直接利用概率公式进行求解；
（2）用”树状图“法得到所有的等可能结果数，从而得其中甲、乙两位同学选择不同电影的结果数，进而利用概率公式进行求解.
21．【答案】（1）证明：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，是线段的中点，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先根据线段中点定义以及平行线性质得，，根据全等三角形判定定理”“得证结论；
（2）先求出，根据全等三角形对应边相等得，于是证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到的长.
22．【答案】（1）解：根据题意，得抽取的学生总频数为5÷0.1=50（人），
∴D组别的学生频数为50-8-12-15-5=10（人），
∴补全的频数分布直方图如下图所示：
（2）C
（3）解：（人），
∴该校九年级学生一周使用 Al 大模型辅助学习的时间不少于 60 min的学生人数约为450人.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）由频数分布直方图可知，将50个数据按照从小到大进行排列，排在第25和26位的数据都落在C组别中，
∴调查所得数据的中位数落在C组，
故答案为：C.
【分析】（1）先用E组别的学生频数除以其频率得到抽取的学生总频数，再用总频数减去A，B，C，E组别的学生频数得到D组别的学生频数，最后补全频数分布直方图即可；
（2）根据中位数的定义进行求解；
（3）用样本估计总体，将750乘以不少于 60 min的学生人数的频率即可.
23．【答案】（1）解：∵一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点，
∴令， 得，
解得：，
∴，
令， 得，
∴；
（2）解：如图2， 过点作于，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点的纵坐标为4，
∴，
∴，
∴，
∵点在一次函数的图像上，
∴，
解得：.
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）令，即可求出坐标；
（2）过点作于，根据等腰三角形“三线合一”性质得，由点坐标得，从而得，代入一次函数解析式即可求出的值.
24．【答案】（1）解：根据题意， 可得， ，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：①如图3， 过点作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②， 理由如下：
∵， ，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质求出的度数，解直角三角形得的长，最后求的长即可；
（2）①过点作于，求出，利用含30°的直角三角形的性质得，从而利用勾股定理得，，进而求的长即可；
②根据等腰直角三角形的性质得，从而得，即可得证.
25．【答案】（1）证明： ∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴， 即，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解： 如图， 过点作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定与性质；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先结合等腰三角形“等边对等角”性质得，根据直径所对的圆周角是直角得，从而求出，进而根据切线的判定得证结论；
（2）过点作于，根据圆周角定理得，从而解直角三角形求出，进而利用勾股定理得，然后推出，得，解直角三角形求出，根据等腰三角形“三线合一”性质得，接下来结合圆内接四边形对角互补推出，最后根据等腰三角形的判定求出.
26．【答案】（1）55
（2）解：根据题意，得乙机器人到达终点所用的时间为5.5min，
∴，
∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，有，
∴，
解得：；
当点在上时，如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得： ，
∴；
（3）解：∵当时，有，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，由，得，
解得：；
当点在上时，由，得，
解得：；
综上所述，当时，的值为或.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∵为中点，
∴，
∵机器人乙从点出发，沿的方向以 的速度匀速运动，
∴机器人乙运动的路线长为，
故答案为：55.
【分析】（1）先利用勾股定理得的长，从而得的长，进而求出的长即可；
（2）结合（1）求出的值，利用勾股定理得的长，从而由直角三角形斜边上的中线性质得的长，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质得，求出正弦值，，然后进行分类讨论：当点在上时，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值；当点在上时，过点作于，解直角三角形得的值，求出正弦值，解直角三角形得的值，于是有关于的方程，解方程即可求出的值，最后作差即可；
（3）先解直角三角形得的值，从而得的值，进而求出的值，于是解直角三角形得的值，然后进行分类讨论：当点在或，分别得关于的方程，解方程即可求解.
27．【答案】（1）解：∵二次函数 的图像与轴交于点，
∴令，有，
∴，
∵二次函数 的图像与轴交于两点，且点在点的左侧，
∴令，有，
解得：，
∴，
设直线的函数表达式为，
将，代入表达式，得，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：不存在实数使得，理由如下：
∵为二次函数 图像上两点，
∴，，
∴，
∵，
∴当 时， 有最大值为 ，
∵，
∴不存在实数使得；
（3）解：如图，过点作轴， 交轴于点， 交于点，过点作于，过点作轴，交于点，
∴，
∵点的横坐标为，
∴当时，有，
∴，
由（1）（2）得，直线的函数表达式为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵与 的面积的比为1：4，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
整理得：，
解得： ， ，
∴的值为或.
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先求出点的坐标，然后利用待定系数法进行求解；
（2）先求出的值，然后利用配方法以及二次函数的最值知识得到的最大值，再进行判断即可；
（3）过点作轴， 交轴于点， 交于点，过点作于，过点作轴，交于点，则有，然后求出点的坐标，结合（1）（2）得点的坐标，从而得的值，进而得，于是推出，根据相似三角形的判定得，由相似三角形的性质求出，接下来证明，结合相似三角形的性质求出，最后由点坐标得坐标，则有关于的方程，解方程即可求出的值.
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