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函数的奇偶性重点考点 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
一、单选题
1.已知函数的定义域为,是奇函数,是偶函数,则( )
A. B. C. D.
2.已知函数是偶函数,当时,,则该函数在上的图像大致是( )
A. B.
C. D.
3.已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知奇函数在上单调递减,若,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知函数定义域为,且满足,,若的图象与的图象的交点分别为,,……,,则( )
A.0 B. C. D.
6.设是定义在上的函数,若是奇函数,是偶函数,则的值为( )
A. B. C. D.
7.函数与函数的图象的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知是定义域为的奇函数.若以点为圆心,半径为2的圆在轴上方的部分恰好是图像的一部分,则的解析式为( )
A. B.
C. D.
9.已知函数的定义域为,定义集合,在使得的所有中,下列成立的是( )
A.存在是偶函数 B.存在在处取最大值
C.存在是增函数 D.存在在处取到极小值
10.已知偶函数满足:,且,若,则( )
A.1 B. C. D.
二、多选题
11.已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则( )
A.当时,
B.函数有2个零点
C.函数在点处的切线方程为
D.,都有
12.已知定义域为的函数对任意实数x,y,都有成立,则下列说法正确的是( )
A.
B.一定不是奇函数
C.若是偶函数,则
D.若,则
三、填空题
13.函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和,则的最小值为 .
14.若是偶函数,则
15.已知是定义在上的奇函数,,若在上单调递增,则不等式的解集为 .
16.函数的定义域为,且为奇函数,为偶函数,则 .
四、解答题
17.已知幂函数的定义域不为.
(1)求的解析式;
(2)若不等式恒成立,求a的取值范围.
18.已知函数是奇函数.
(1)求的值.
(2)判断函数在上的单调性并说明理由,并求的最值;
(3)若函数满足不等式,求出的范围.
19.已知函数是定义在区间上的函数.
(1)判断的奇偶性;
(2)证明在区间上是增函数,并求不等式的解集.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D D A B D B C
题号 11 12
答案 ACD ABD
1.C
【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组,求出的解析式,代值计算可得的值.
【详解】因为函数为奇函数,即,
所以,可得①,
因为函数是偶函数,即,
所以,可得②,
联立①②可得,因此.
故选:C.
2.B
【分析】根据偶函数,指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当时,,所以在上递减,
是偶函数,所以在上递增.
注意到,
所以B选项符合.
故选:B
3.B
【分析】作出函数图象判断即可.
【详解】
对于A选项:如图,不符,
对于B选项:如图,符合,
对于C选项:如图,不符,
对于D选项:如图,不符,
故选:B.
4.D
【分析】根据奇函数的性质化简不等式,然后根据函数的单调递减解关于的不等式,求出的取值范围.
【详解】因为奇函数在上有定义,所以,
所以
所以,解得.
所以的取值范围为.
故选:D.
5.D
【分析】判断与图象的对称性,从而求得.
【详解】对于,,,
所以的图象关于点对称.因为
所以是奇函数,是奇函数,图象关于原点对称,
所以的图象关于点对称,
所以,的图象的交点关于对称,
所以.
故选:D
6.A
【分析】由题意得出,解出这个方程组可得出的值.
【详解】由于函数是奇函数,函数为偶函数,
所以,,即,化简得 ,
解得.
故选:A.
7.B
【分析】分析函数的性质,再按分段并结合导数及零点存在性定理推理判断.
【详解】令函数,,则定义域为,
,是奇函数,
当时,;
由为奇函数可得当时,,
而函数是偶函数,且当时,,
则函数与的图象在时无交点;
当时,令,求导得,
函数在上单调递增,又,
,因此在上只有一个零点,
所以函数与的图象交点只有一个.
故选:B
8.D
【分析】以点为圆心,半径为2的圆在轴上方的部分的方程为,由是定义域为的奇函数,根据奇函数的定义即可求出的解析式.
【详解】以点为圆心,半径为2的圆的方程为,
则该圆在轴上方的部分的方程为,
由是定义域为奇函数,得,
当时,,
故选:D
9.B
【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可;B选项找到合适函数即可;C选项由定义得到集合与已知条件矛盾;D选项由集合的定义找到矛盾.
【详解】对于A选项:时,,
当时,, 任意的,恒成立,
若时偶函数,此时矛盾,故A选项错误;
对于B选项:若函数图像如下:
当时,,时,,当,,
∴存在在处取最大值,故B选项正确;
对于C选项:在时,若函数严格递增,则集合的取值不会是,
而是全体定义域,故C选项错误;
对于D选项:若存在在处取到极小值,则在在左侧存在,,与集合定义矛盾,故D选项错误.
故选:B
10.C
【分析】用代换,可得,联立方程组,求得,结合函数为偶函数,且,得到,可则是周期为的函数,令,求得,结合,即可求解.
【详解】由,用代换,可得,
联立方程组,可得,即,
又由函数为偶函数,且,可得与同号,
所以,可得函数是周期为的函数,
因为,与同号,则,
令,可得,所以,
则.
故选:C.
11.ACD
【分析】对于A,由奇函数性质验算即可;对于B,由零点定义解方程即可;对于C,只需求出即可;对于D,只需算出函数的值域即可.
【详解】对于A,当时,则,,因为是定义在R上的奇函数,所以,故A对.
对于B,时,令,解得,由是定义在R上的奇函数,所以时,又;故函数有3个零点,故B不对.
对于C,对求导得,
所以,故所求切线为,即,所以C对.
对于D,当时,,,
当时,,函数在上单调递增,当时,,函数在上单调递减,
且当时,,时,所以
由是定义在R上的奇函数,故当时,,因此对,都有,故D对.
故选:ACD.
12.ABD
【分析】在中,令,求出,再令,,即可判断A;根据即可判断B;假设函数是偶函数,推出即可判断C;利用累加法得到,再表示出,利用放缩法即可证明D.
【详解】对于选项A:在中,
令,则,①
再令,,则,A正确;
对于选项B:由①得:,
故一定不是奇函数,B正确;
对于选项C:若是偶函数,则,
所以,
整理得:,故,C错误;
对于选项D:在中,
令,,
可得,
所以,又,
所以,
,
,
,
以上各式累加,得,
故
,D正确.
故选:ABD.
【点睛】关键点点睛:选项D的关键是通过对的适当赋值、对的放缩,裂项求和来求解.
13.
【分析】首先根据已知条件列出相关等式求出的表达式,然后根据基本不等式的性质和对数运算即可求得最小值.
【详解】由题意,①
则,②
所以两式相加得:,
则,
又,当且仅当时取等号,
所以.
故答案为:.
14.0或2
【分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求,再证明为奇函数,由此可得函数为奇函数,结合正弦函数性质可求,由此可得,再求结论即可.
【详解】因为是偶函数,所以它的定义域关于原点对称,
所以不等式的解集关于原点对称,
所以不等式的解集关于原点对称,
所以方程的根互为相反数,
所以,此时定义域为,
设,则函数的定义域为,定义域关于原点对称,
又,所以,
所以,所以函数为奇函数,又是偶函数,
所以恒成立,
所以是奇函数,于是,
此时,于是或.
故答案为:0或2
15.
【分析】根据给定条件,利用函数奇偶性定义及性质分段求解不等式.
【详解】由是定义在上的奇函数,得,
是上的偶函数,由,得,
则,由在上递增,得在上递减,
当时,,不等式成立,因此;
当时,,解得;
当时,,解得,
所以不等式的解集为.
故答案为:
16.
【分析】结合函数的对称性可得函数的周期性,再由奇函数的性质可得,即可得解.
【详解】由为奇函数,为偶函数,
则有,,
故,
即,
即有,
故函数周期为,故,
由,则有,即,
故.
故答案为:.
17.(1)
(2)
【分析】(1)由幂函数定义求得或,再结合幂函数定义域不为验证即可;
(2)结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解.
【详解】(1)由幂函数的定义可得,解得或,
若,则的定义域为,不符合题意,
若,则的定义域为,符合题意,
所以的解析式为.
(2)由(1)得,的定义域关于原点对称,且,
所以为奇函数,
由可得,
因为在上递减且恒负,在上递减且恒正,
所以或或,
解得或,
所以a的取值范围为.
18.(1)
(2)增函数,理由见解析,最大值为,最小值为
(3)
【分析】(1)根据奇函数的定义可求得的值;
(2)判断出函数是区间上的增函数,然后任取、且,作差,因式分解后判断差值的符号,结合函数单调性的定义可得出结论;
(3)由变形得出,结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围.
【详解】(1)因为在是奇函数,则,
即,可得,解得,故.
(2)是区间上的增函数,理由如下:
任取、且,
则
,
因为所以,,,
所以,即,
所以是区间上的增函数,
所以函数的最小值为,最大值为.
(3)因为是区间上的增函数,且是奇函数,
由可得,
所以,解得,故实数的取值范围是.
19.(1)函数为奇函数;
(2)
【分析】(1)通过证明来证得为奇函数.
(2)利用单调性的定义来证得在上为增函数,根据所奇函数及单调性解不等式即可.
【详解】(1)由已知,函数的定义域为.
,都有,
.
所以函数为奇函数.
(2)任取,且,则,
那么
因为 , 所以 ,,,
所以 ,
所以 ,
所以 在上是增函数.
因为,所以,且在上是增函数.
所以,所以,
所以不等式的解集
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