贵州省毕节市2025年中考二模数学试题
1．（2025·毕节模拟），1，0，3四个数中，最小的数是（ ）
A． B．1 C．0 D．3
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：在，1，0，3这四个数中，，
则最小的数是，
故选：A．
【分析】
正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
2．（2025·毕节模拟）2025年贵州省篮球公开总决赛于3月23日至3月24日举行．下图是运动会的领奖台，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：它的俯视图是：
，
故选：B．
【分析】
简单几何体的三视图，从物体上面观察得到的图形是俯视图．
3．（2025·毕节模拟）2023年5月11日中国汽车工业协会发布数据显示，中国新能源汽车产量为2291000辆，同比增长，2291000这个数用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】
用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，n取这个数字整数部分数位个数与1的差．
4．（2025·毕节模拟）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等
【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴福大街与平安大街互相平行，
判断的依据是：内错角相等，两直线平行，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了平行线的判定，即“内错角相等，两直线平行”。由，而互为内错角，因此可得出福大街与平安大街互相平行。
5．（2025·毕节模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【分析】
A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；不是同类项不能合并；
B、积的乘方，先积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
C、同底数幂的乘法，底数不变，指数相乘；
D、同底数幂的加法，若指数相同，是合并同类项；若指数不同，则指数不能相加．
6．（2025·毕节模拟）在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】偶次方的非负性；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点位于第二象限．
故选：B
【分析】
由于，则，故点P在第二象限．
7．（2025·毕节模拟）小星购买了“二十四节气”邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小红．小星将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小红从中随机抽取一张，则小红抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，小红抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是；
故选：C．
【分析】
简单事件的概率，直接利用概率公式进行计算即可．
8．（2025·毕节模拟）如图，已知点在上，点为的中点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】\解：连接，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
由于点C是劣弧AB的中点，可连接，则，再由圆周角定理求解即可．
9．（2025·毕节模拟）不等式组中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①可得x＜1，
解不等式②得x≥-3，
则不等式组的解集为：-3≤x＜1，
由此可知用数轴表示为：
故选B.
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，再在同一数轴上表示即可．
10．（2025·毕节模拟）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故答案为：B．
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
11．（2025·毕节模拟）如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（ ）
A．y=x-2 B．y=2x-4 C．y=x-1 D．y=3x-6
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB交DE于点M
∵直线DE平分的面积
是OB中点
∵点B的坐标为（8，4），
∴M（4，2），
设直线DE的函数解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线DE的解析式为y=x-2．
故选：A．
【分析】
因为平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点，因此过平行四边形对角线交点的任意一条直线等分这个平行四边形面积，由于其一条对角线OB的两个端点的坐标已知，可利用中点坐标公式先求出对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．
12．（2025·毕节模拟）抛物线交轴于两点，交轴的负半轴于点，对称轴与抛物线交于点，已知点坐标为，点的横坐标为1，根据以上信息得出下列结论：①；②点的坐标为；③；④当时，．其中结论正确的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴与抛物线交于点，点的横坐标为1，
∴，即，故①错误；
∵对称轴为直线，点坐标为，
∴对称点点的坐标为，故②正确；
∵当时，函数值为正数，
∴，故③错误；
∵时，函数有最小值，
∴当，且时，，
∴，故④错误；
故选：D．
【分析】
因为抛物线的对称轴为直线，则，即；
由于抛物线上关于对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，则A（-1，0）关于直线的对称点B的坐标为B(3，0)；
由于抛物线的开口向上，且抛物线交x轴于两点A（-1，0）和B(3，0)，则当或时函数值为正，显然当时，；
由于二次函数的开口向上，则当时函数y取最大值，则对任意不为1的实数n都存在，即．
13．（2025·毕节模拟）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】m2-3m=m(m-3).
故答案是：m（m-3）
【分析】由题意提公因式m即可求解。
14．（2025·毕节模拟）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
对于一元二次方程有根的判别式，①当，方程有两个不相等的实数根，②当，方程有两个相等的实数根，③当，方程没有实数根．
15．（2025·毕节模拟）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ．
【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于，
故答案为：2．
【分析】
如图所示，延长交轴于点，由反比例函数值的几何意义得到，，则四边形的面积等于即可．
16．（2025·毕节模拟）在边长为的正方形中，点分别是上的动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长至，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，最小，即有最小值为长，
如图，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
【分析】
由于正方形ABCD的每个角都是直角且，则可延长DA至H，使DA=AH，再分别连接EH，CE，CH，则可利用SAS证明，所以，则CF+CE转化为CE+EH，显然当C、E、H三点共线时，EH+CE最小，即有最小为长，最后通过勾股定理求出的值即可．
17．（2025·毕节模拟）（1）在①，②，③，④中任选3个代数式求和；
（2）小星解分式方程的过程如下：
解：去分母，得………………………………第一步 移项、合并同类项，得………………………………第二步 系数化为1，得………………………………第三步 检验，当，………………………………第四步 ∴是原分式方程的解……………………………第五步
①从第 步开始出现错误；
②请写出解这个分式方程的正确过程．
【答案】解：（1）选择①②③：
原式
（2）①从第一步开始出现错误；
故答案为：一；
②解：
经检验，是原分式方程的解
【知识点】零指数幂；解分式方程；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】
（1）先选择，然后再根据实数的混合运算先分别求零指数幂，绝对值的性质和特殊角锐角三角函数，再进行加减运算即可；
（2）①去分母要等号两边都乘以最简公分母，而第一步显然给右边的-1漏乘了；
②先去分母，化为整式方程，再解出整式方程，再验根，最后写解即可．
18．（2025·毕节模拟）我市某校为了解学生身体健康状况，从全校名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理如图，并绘制出不完整的条形统计图如图．
（1）图1中 ， ， ；
（2）请补全图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了名“良好”和名“优秀”学生，再从这名学生中随机抽取人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
【答案】（1），，
（2）解：如图
人
即有该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为人.
（3）解：解：设名“良好”分别用、、表示，名“优秀”用表示，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有种等可能性的结果数，其中选取的名学生均为“良好”的结果数有种
∴选取的名学生均为“良好”的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：已知“优秀”的频数是，频率是，根据总数频数频率，可得抽取的学生总数为人．
因为“不及格”的频数是，总数是，所以．
又因为“及格”的频率是，总数是，所以．
“良好”的频数是，总数是，所以．
【分析】
(1)观察频数分布表和条形统计图，可通过“优秀”的频数和占比先求出样本容量，可先计算出“及格”的频数b，则、的值可求．
(2)先根据第问求出的值补全条形统计图，再利用样本中“良好”和“优秀”的频率之和乘以全校总人数，来估计全校“良好”和“优秀”的总人数．
(3)两步试验可通过画树状图或列表法求概率，注意画树状图要不重复不遗漏，注意列表格时对角线栏目是否填写数据．
（1）解：已知“优秀”的频数是，频率是，根据总数频数频率，可得抽取的学生总数为人．
因为“不及格”的频数是，总数是，所以．
又因为“及格”的频率是，总数是，所以．
“良好”的频数是，总数是，所以．
（2）解：如图
人
即有该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为人
（3）解：解：设名“良好”分别用、、表示，名“优秀”用表示，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有种等可能性的结果数，其中选取的名学生均为“良好”的结果数有种
∴选取的名学生均为“良好”的概率为．
19．（2025·毕节模拟）如图，在中，，是的一条角平分线，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的角平分线，，∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴在中，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
即，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）先由等腰三角形三线合一可得到，即；由于，则；由于，则，即四边形ADCE是矩形；
（2）由等腰三角形三线合一可得到、，再由勾股定理可求出，再由直角三角形ACE面积的两种不同表示方法建立等式即可求解．
（1）证明：∵是的角平分线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
即，
∴．
20．（2025·毕节模拟）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培．
（1）求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式；
（2）若，求电流的变化范围．
【答案】（1）解：设函数表达式为∵当时，，
∴，解得：，
∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为；
（2）解：∵中，，∴图象在第一象限，I随R的增大而减小，
∵，
∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，．
把电阻最大值代入，得到电流的最小值，．
∴电流I的变化范围是．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】
（1）设函数解析式为，利用待定系数法直接求解即可；
（2）由反比例函数图象上点的坐标特征把和代入求出的最大值和最小值即可．
（1）解：设函数表达式为
∵当时，，
∴，解得：，
∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为；
（2）解：∵中，，
∴图象在第一象限，I随R的增大而减小，
∵，
∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，．
把电阻最大值代入，得到电流的最小值，．
∴电流I的变化范围是．
21．（2025·毕节模拟）某班级准备到文化用品商店购买今年畅销的两种毕业纪念册，若购买本毕业纪念册和本毕业纪念册共需要元，购买本毕业纪念册和本毕业纪念册共需要元．
（1）求每本毕业纪念册的销售价格；
（2）该班准备用不多于元的金额购买这两种毕业纪念册本，问最多能买多少本毕业纪念册．
【答案】（1）解：设每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元，
根据题意得，，
解得，
答：每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元；
（2）解：设购买了本毕业纪念册，则购买了本毕业纪念册，
根据题意得，，
解得，
答：最多可以买本毕业纪念册．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元，根据等量关系“ 购买本毕业纪念册和本毕业纪念册共需要元，购买本毕业纪念册和本毕业纪念册共需要元 ”列出方程组并求解即可；
（）设购买了本毕业纪念册，则购买了本毕业纪念册，根据不等关系“ 用不多于元的金额购买这两种毕业纪念册本 ”列出不等式并求解即可．
（1）解：设每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元，
根据题意得，，
解得，
答：每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元；
（2）解：设购买了本毕业纪念册，则购买了本毕业纪念册，
根据题意得，，
解得，
答：最多可以买本毕业纪念册．
22．（2025·毕节模拟）如图，为了测量河对岸两点间的距离，数学兴趣小组在河岸北侧选定观测点，测得点点均在点的南偏西方向上，沿正西方向行走200米至观测点，测得点在点的正南方向，点在点的南偏东方向上．
（1）求的度数；
（2）求两点间的距离．参考数据：，，．，，
【答案】（1）解：根据题意得A，B，C三点共线，∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知∴，
在中，，米，，
∴（米），
在中，，米，，
∴（米），
答：A，B两点间的距离约米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）由两直线平行内错角相等可得，再直接应用三角形外角的性质即可；
（2）先解求出BD，再解即可．
（1）解：根据题意得A，B，C三点共线，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知
∴，
在中，，米，，
∴（米），
在中，，米，，
∴（米），
答：A，B两点间的距离约米．
23．（2025·毕节模拟）如图，是上的四点，，交于点，，．
（1）写出一个与相等的角 ；
（2）求的长；
（3）所对的圆心角为，若，求的半径．
【答案】（1）或
（2）解：由（1）得：，又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作直径，连接，
∴，
∵所对圆心角为，
∴，
在中，∵，
即
∴，
∴，
∴半径．
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴；
故答案为：或
【分析】
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）由于是公共角且，则，由相似比可得AB是AE和AD的比例中项，由于AE、ED已知则AD可求，则AB也可求得；
（3）由于所对的圆心角为且，可由圆周角定理作直径AF，再连接DF可构造中，即，再解即可．
（1）解：∵，
∴，，
∴；
故答案为：或
（2）解：由（1）得：，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作直径，连接，
∴，
∵所对圆心角为，
∴，
在中，∵，
即
∴，
∴，
∴半径．
24．（2025·毕节模拟）如图①是我市某葡萄基地种植棚，它一定意义上带动了我市的经济发展，其截面为图②所示的轴对称图形，点A、B在以O顶点的抛物线上，，，，点G在直线上，点E在直线上，，当以O为原点建立如图③所示的平面坐标系时，抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若O点到地面的距离为5米，记，当m最大时，求棚的跨度长；
（3）在（2）的条件下，E点的纵坐标，，为了使棚更加牢固安全，需要把直线，向下平移到与抛物线相切的位置处焊接，求向下平移的距离．
【答案】（1）解：设抛物线解析式为
∵抛物线过点，
∴，解得，
抛物线解析式为；
（2）解：设米，则A点横坐标为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，m取得最大值14，
则当m取得最大值时，棚的跨度为8米；
（3）解：设直线解析式为，
∵点E纵坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
则直线为，
设直线向下平移n米与抛物线相切，
∴，
根据题意知只有一组解，则有两个相等的实数根，
，解得，
∴直线向下平移距离是米.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)先设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可；
(2)设米，则A点横坐标为，由二次函数图象上点的坐标特征可得，则，即是关于的二次函数且二次项系数为负，由二次函数的性质可得当时，取得最大值14；
(3)设直线解析式为，由于点E在垂直于x轴的直线AD上，则，此时可利用待定系数法求得直线EF的解析式为，设直线向下平移n米与抛物线相切，则可联立直线与抛物线的解析式得关于x的一元二次方程，因为直线与抛物线相切即方程有两个相等的实数根，可利用一元一次方程根的判别式等于0进行计算即可求出平移的距离n．
（1）解：设抛物线解析式为
∵抛物线过点，
∴，解得，
抛物线解析式为；
（2）解：设米，则A点横坐标为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，m取得最大值14，
则当m取得最大值时，棚的跨度为8米；
（3）解：设直线解析式为，
∵点E纵坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
则直线为，
设直线向下平移n米与抛物线相切，
∴，
根据题意知只有一组解，则有两个相等的实数根，
，解得，
∴直线向下平移距离是米
25．（2025·毕节模拟）【问题情境】
在活动课上，数学老师出了一道题：
如图，在等腰直角中，，D为上一点，连接．
（1）【思考操作】
在上作出一点E，使得（请用尺规作图并保留痕迹，不写作法）；
（2）【问题解决】
若交于点F， ，求的长；
（3）【实践探究】
数学活动小组对上述问题进行探究后发现，连接，当时，线段与线段存在着数量关系，请进行探究，并说明理由．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵在等腰直角中，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：过B点作交的延长线于G点，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵，
∴，
又，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据作一个角等于已知角的的作法作交AC于点E，再连接BE即可；
（2）由于等腰直角三角形两底角相等，即再结合（1）中，则可证明，由相似比即可求得CE值；
（3）由于，则由三角形外角的性质得，过B点作交AF的延长线于G点，则，此时由等腰直角三角形的性质可得CA=AB，由结合同角的余角相等可得，又，则，再由全等的性质得，即CF=2AF．
（1）解：如图所示：
（2）解：∵在等腰直角中，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
过B点作交的延长线于G点，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵，
∴，
又，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1贵州省毕节市2025年中考二模数学试题
1．（2025·毕节模拟），1，0，3四个数中，最小的数是（ ）
A． B．1 C．0 D．3
2．（2025·毕节模拟）2025年贵州省篮球公开总决赛于3月23日至3月24日举行．下图是运动会的领奖台，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·毕节模拟）2023年5月11日中国汽车工业协会发布数据显示，中国新能源汽车产量为2291000辆，同比增长，2291000这个数用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·毕节模拟）如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等
5．（2025·毕节模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·毕节模拟）在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·毕节模拟）小星购买了“二十四节气”邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小红．小星将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小红从中随机抽取一张，则小红抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·毕节模拟）如图，已知点在上，点为的中点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·毕节模拟）不等式组中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·毕节模拟）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·毕节模拟）如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（ ）
A．y=x-2 B．y=2x-4 C．y=x-1 D．y=3x-6
12．（2025·毕节模拟）抛物线交轴于两点，交轴的负半轴于点，对称轴与抛物线交于点，已知点坐标为，点的横坐标为1，根据以上信息得出下列结论：①；②点的坐标为；③；④当时，．其中结论正确的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．（2025·毕节模拟）因式分解： .
14．（2025·毕节模拟）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
15．（2025·毕节模拟）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ．
16．（2025·毕节模拟）在边长为的正方形中，点分别是上的动点，且，则的最小值为 ．
17．（2025·毕节模拟）（1）在①，②，③，④中任选3个代数式求和；
（2）小星解分式方程的过程如下：
解：去分母，得………………………………第一步 移项、合并同类项，得………………………………第二步 系数化为1，得………………………………第三步 检验，当，………………………………第四步 ∴是原分式方程的解……………………………第五步
①从第 步开始出现错误；
②请写出解这个分式方程的正确过程．
18．（2025·毕节模拟）我市某校为了解学生身体健康状况，从全校名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理如图，并绘制出不完整的条形统计图如图．
（1）图1中 ， ， ；
（2）请补全图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了名“良好”和名“优秀”学生，再从这名学生中随机抽取人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
19．（2025·毕节模拟）如图，在中，，是的一条角平分线，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
20．（2025·毕节模拟）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培．
（1）求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式；
（2）若，求电流的变化范围．
21．（2025·毕节模拟）某班级准备到文化用品商店购买今年畅销的两种毕业纪念册，若购买本毕业纪念册和本毕业纪念册共需要元，购买本毕业纪念册和本毕业纪念册共需要元．
（1）求每本毕业纪念册的销售价格；
（2）该班准备用不多于元的金额购买这两种毕业纪念册本，问最多能买多少本毕业纪念册．
22．（2025·毕节模拟）如图，为了测量河对岸两点间的距离，数学兴趣小组在河岸北侧选定观测点，测得点点均在点的南偏西方向上，沿正西方向行走200米至观测点，测得点在点的正南方向，点在点的南偏东方向上．
（1）求的度数；
（2）求两点间的距离．参考数据：，，．，，
23．（2025·毕节模拟）如图，是上的四点，，交于点，，．
（1）写出一个与相等的角 ；
（2）求的长；
（3）所对的圆心角为，若，求的半径．
24．（2025·毕节模拟）如图①是我市某葡萄基地种植棚，它一定意义上带动了我市的经济发展，其截面为图②所示的轴对称图形，点A、B在以O顶点的抛物线上，，，，点G在直线上，点E在直线上，，当以O为原点建立如图③所示的平面坐标系时，抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若O点到地面的距离为5米，记，当m最大时，求棚的跨度长；
（3）在（2）的条件下，E点的纵坐标，，为了使棚更加牢固安全，需要把直线，向下平移到与抛物线相切的位置处焊接，求向下平移的距离．
25．（2025·毕节模拟）【问题情境】
在活动课上，数学老师出了一道题：
如图，在等腰直角中，，D为上一点，连接．
（1）【思考操作】
在上作出一点E，使得（请用尺规作图并保留痕迹，不写作法）；
（2）【问题解决】
若交于点F， ，求的长；
（3）【实践探究】
数学活动小组对上述问题进行探究后发现，连接，当时，线段与线段存在着数量关系，请进行探究，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：在，1，0，3这四个数中，，
则最小的数是，
故选：A．
【分析】
正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：它的俯视图是：
，
故选：B．
【分析】
简单几何体的三视图，从物体上面观察得到的图形是俯视图．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】
用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，n取这个数字整数部分数位个数与1的差．
4．【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，
∴福大街与平安大街互相平行，
判断的依据是：内错角相等，两直线平行，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了平行线的判定，即“内错角相等，两直线平行”。由，而互为内错角，因此可得出福大街与平安大街互相平行。
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【分析】
A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；不是同类项不能合并；
B、积的乘方，先积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
C、同底数幂的乘法，底数不变，指数相乘；
D、同底数幂的加法，若指数相同，是合并同类项；若指数不同，则指数不能相加．
6．【答案】B
【知识点】偶次方的非负性；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点位于第二象限．
故选：B
【分析】
由于，则，故点P在第二象限．
7．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，小红抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是；
故选：C．
【分析】
简单事件的概率，直接利用概率公式进行计算即可．
8．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】\解：连接，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
由于点C是劣弧AB的中点，可连接，则，再由圆周角定理求解即可．
9．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①可得x＜1，
解不等式②得x≥-3，
则不等式组的解集为：-3≤x＜1，
由此可知用数轴表示为：
故选B.
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，再在同一数轴上表示即可．
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故答案为：B．
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
11．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB交DE于点M
∵直线DE平分的面积
是OB中点
∵点B的坐标为（8，4），
∴M（4，2），
设直线DE的函数解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线DE的解析式为y=x-2．
故选：A．
【分析】
因为平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点，因此过平行四边形对角线交点的任意一条直线等分这个平行四边形面积，由于其一条对角线OB的两个端点的坐标已知，可利用中点坐标公式先求出对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．
12．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴与抛物线交于点，点的横坐标为1，
∴，即，故①错误；
∵对称轴为直线，点坐标为，
∴对称点点的坐标为，故②正确；
∵当时，函数值为正数，
∴，故③错误；
∵时，函数有最小值，
∴当，且时，，
∴，故④错误；
故选：D．
【分析】
因为抛物线的对称轴为直线，则，即；
由于抛物线上关于对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，则A（-1，0）关于直线的对称点B的坐标为B(3，0)；
由于抛物线的开口向上，且抛物线交x轴于两点A（-1，0）和B(3，0)，则当或时函数值为正，显然当时，；
由于二次函数的开口向上，则当时函数y取最大值，则对任意不为1的实数n都存在，即．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】m2-3m=m(m-3).
故答案是：m（m-3）
【分析】由题意提公因式m即可求解。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
对于一元二次方程有根的判别式，①当，方程有两个不相等的实数根，②当，方程有两个相等的实数根，③当，方程没有实数根．
15．【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于，
故答案为：2．
【分析】
如图所示，延长交轴于点，由反比例函数值的几何意义得到，，则四边形的面积等于即可．
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长至，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，最小，即有最小值为长，
如图，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
【分析】
由于正方形ABCD的每个角都是直角且，则可延长DA至H，使DA=AH，再分别连接EH，CE，CH，则可利用SAS证明，所以，则CF+CE转化为CE+EH，显然当C、E、H三点共线时，EH+CE最小，即有最小为长，最后通过勾股定理求出的值即可．
17．【答案】解：（1）选择①②③：
原式
（2）①从第一步开始出现错误；
故答案为：一；
②解：
经检验，是原分式方程的解
【知识点】零指数幂；解分式方程；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】
（1）先选择，然后再根据实数的混合运算先分别求零指数幂，绝对值的性质和特殊角锐角三角函数，再进行加减运算即可；
（2）①去分母要等号两边都乘以最简公分母，而第一步显然给右边的-1漏乘了；
②先去分母，化为整式方程，再解出整式方程，再验根，最后写解即可．
18．【答案】（1），，
（2）解：如图
人
即有该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为人.
（3）解：解：设名“良好”分别用、、表示，名“优秀”用表示，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有种等可能性的结果数，其中选取的名学生均为“良好”的结果数有种
∴选取的名学生均为“良好”的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：已知“优秀”的频数是，频率是，根据总数频数频率，可得抽取的学生总数为人．
因为“不及格”的频数是，总数是，所以．
又因为“及格”的频率是，总数是，所以．
“良好”的频数是，总数是，所以．
【分析】
(1)观察频数分布表和条形统计图，可通过“优秀”的频数和占比先求出样本容量，可先计算出“及格”的频数b，则、的值可求．
(2)先根据第问求出的值补全条形统计图，再利用样本中“良好”和“优秀”的频率之和乘以全校总人数，来估计全校“良好”和“优秀”的总人数．
(3)两步试验可通过画树状图或列表法求概率，注意画树状图要不重复不遗漏，注意列表格时对角线栏目是否填写数据．
（1）解：已知“优秀”的频数是，频率是，根据总数频数频率，可得抽取的学生总数为人．
因为“不及格”的频数是，总数是，所以．
又因为“及格”的频率是，总数是，所以．
“良好”的频数是，总数是，所以．
（2）解：如图
人
即有该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为人
（3）解：解：设名“良好”分别用、、表示，名“优秀”用表示，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有种等可能性的结果数，其中选取的名学生均为“良好”的结果数有种
∴选取的名学生均为“良好”的概率为．
19．【答案】（1）证明：∵是的角平分线，，∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴在中，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
即，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）先由等腰三角形三线合一可得到，即；由于，则；由于，则，即四边形ADCE是矩形；
（2）由等腰三角形三线合一可得到、，再由勾股定理可求出，再由直角三角形ACE面积的两种不同表示方法建立等式即可求解．
（1）证明：∵是的角平分线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
即，
∴．
20．【答案】（1）解：设函数表达式为∵当时，，
∴，解得：，
∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为；
（2）解：∵中，，∴图象在第一象限，I随R的增大而减小，
∵，
∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，．
把电阻最大值代入，得到电流的最小值，．
∴电流I的变化范围是．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】
（1）设函数解析式为，利用待定系数法直接求解即可；
（2）由反比例函数图象上点的坐标特征把和代入求出的最大值和最小值即可．
（1）解：设函数表达式为
∵当时，，
∴，解得：，
∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为；
（2）解：∵中，，
∴图象在第一象限，I随R的增大而减小，
∵，
∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，．
把电阻最大值代入，得到电流的最小值，．
∴电流I的变化范围是．
21．【答案】（1）解：设每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元，
根据题意得，，
解得，
答：每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元；
（2）解：设购买了本毕业纪念册，则购买了本毕业纪念册，
根据题意得，，
解得，
答：最多可以买本毕业纪念册．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元，根据等量关系“ 购买本毕业纪念册和本毕业纪念册共需要元，购买本毕业纪念册和本毕业纪念册共需要元 ”列出方程组并求解即可；
（）设购买了本毕业纪念册，则购买了本毕业纪念册，根据不等关系“ 用不多于元的金额购买这两种毕业纪念册本 ”列出不等式并求解即可．
（1）解：设每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元，
根据题意得，，
解得，
答：每本毕业纪念册的售价为元，每本毕业纪念册的售价为元；
（2）解：设购买了本毕业纪念册，则购买了本毕业纪念册，
根据题意得，，
解得，
答：最多可以买本毕业纪念册．
22．【答案】（1）解：根据题意得A，B，C三点共线，∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知∴，
在中，，米，，
∴（米），
在中，，米，，
∴（米），
答：A，B两点间的距离约米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）由两直线平行内错角相等可得，再直接应用三角形外角的性质即可；
（2）先解求出BD，再解即可．
（1）解：根据题意得A，B，C三点共线，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知
∴，
在中，，米，，
∴（米），
在中，，米，，
∴（米），
答：A，B两点间的距离约米．
23．【答案】（1）或
（2）解：由（1）得：，又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作直径，连接，
∴，
∵所对圆心角为，
∴，
在中，∵，
即
∴，
∴，
∴半径．
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴；
故答案为：或
【分析】
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）由于是公共角且，则，由相似比可得AB是AE和AD的比例中项，由于AE、ED已知则AD可求，则AB也可求得；
（3）由于所对的圆心角为且，可由圆周角定理作直径AF，再连接DF可构造中，即，再解即可．
（1）解：∵，
∴，，
∴；
故答案为：或
（2）解：由（1）得：，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作直径，连接，
∴，
∵所对圆心角为，
∴，
在中，∵，
即
∴，
∴，
∴半径．
24．【答案】（1）解：设抛物线解析式为
∵抛物线过点，
∴，解得，
抛物线解析式为；
（2）解：设米，则A点横坐标为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，m取得最大值14，
则当m取得最大值时，棚的跨度为8米；
（3）解：设直线解析式为，
∵点E纵坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
则直线为，
设直线向下平移n米与抛物线相切，
∴，
根据题意知只有一组解，则有两个相等的实数根，
，解得，
∴直线向下平移距离是米.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)先设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可；
(2)设米，则A点横坐标为，由二次函数图象上点的坐标特征可得，则，即是关于的二次函数且二次项系数为负，由二次函数的性质可得当时，取得最大值14；
(3)设直线解析式为，由于点E在垂直于x轴的直线AD上，则，此时可利用待定系数法求得直线EF的解析式为，设直线向下平移n米与抛物线相切，则可联立直线与抛物线的解析式得关于x的一元二次方程，因为直线与抛物线相切即方程有两个相等的实数根，可利用一元一次方程根的判别式等于0进行计算即可求出平移的距离n．
（1）解：设抛物线解析式为
∵抛物线过点，
∴，解得，
抛物线解析式为；
（2）解：设米，则A点横坐标为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，m取得最大值14，
则当m取得最大值时，棚的跨度为8米；
（3）解：设直线解析式为，
∵点E纵坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
则直线为，
设直线向下平移n米与抛物线相切，
∴，
根据题意知只有一组解，则有两个相等的实数根，
，解得，
∴直线向下平移距离是米
25．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵在等腰直角中，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：过B点作交的延长线于G点，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵，
∴，
又，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作一个角等于已知角；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据作一个角等于已知角的的作法作交AC于点E，再连接BE即可；
（2）由于等腰直角三角形两底角相等，即再结合（1）中，则可证明，由相似比即可求得CE值；
（3）由于，则由三角形外角的性质得，过B点作交AF的延长线于G点，则，此时由等腰直角三角形的性质可得CA=AB，由结合同角的余角相等可得，又，则，再由全等的性质得，即CF=2AF．
（1）解：如图所示：
（2）解：∵在等腰直角中，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
过B点作交的延长线于G点，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵，
∴，
又，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
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