辽宁省2025年中考真题数学试题
1．（2025·辽宁）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·辽宁）十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待4超1900万人次．数据19000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·辽宁）数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·辽宁）下列计算正确的是（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2025·辽宁）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·辽宁）如图，点C在的边上，，垂足为D，，若，则 的度数为（ ）
A．50° B．120° C．130° D．140°
7．（2025·辽宁）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（ ）
A．1 B．5 C．2 D．
8．（2025·辽宁）在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为（3，0），点的坐标为（2，-2），将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为（3，5），则点的对应点的坐标为（ ）
A．（7，-2） B．（2，3） C．（2，-7） D．（-3，-2）
9．（2025·辽宁）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．2
10．（2025·辽宁）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
11．（2025·辽宁）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ．
12．（2025·辽宁）在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为 ．
13．（2025·辽宁）甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：cm）的平均数和方差如下表：
运动员 平均数 方差
甲 601 95.4
乙 601 243.4
则这两名运动员测试成绩更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
14．（2025·辽宁）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）．
15．（2025·辽宁）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为 ．
16．（2025·辽宁）
（1）计算：；
（2）计算：．
17．（2025·辽宁） 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元．
（1）求种文创产品每件的进价；
（2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？
18．（2025·辽宁）种下绿色希望，建设美丽辽宁．某学校学生积极参与春季义务植树活动，在活动结束后，该学校为了解八年级学生植树棵数的情况，随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每人的植树棵数，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表
棵数/棵 1 2 3 4 5
人数/人 4 10 6
抽取的八年级学生植树棵数的人数扇形统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求的值；
（2）求被抽取的八年级学生植树棵数的中位数；
（3）本次植树活动中，植树不少于4棵的学生将被学校评为“绿动先锋”，该学校八年级有40名学生参加了此次植树活动，请你估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数．
19．（2025·辽宁）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为 ；3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为（0，2），设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
20．（2025·辽宁） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接．
（1）求证：
（2）设点的坐标为（0，），当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值.
21．（2025·辽宁）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
（1）如图1，连接，求的度数；
（2）如图2，若点为的中点，且，求的长．
22．（2025·辽宁）如图
（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
23．（2025·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．
（1）求点的坐标及的值．
（2）直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时，
①求证：；
②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值．
（3）二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解： 的主视图为三角形，故A符合；
的主视图为矩形，故B不符合；
的主视图为圆，故C不符合；
的主视图为正方形，故D不符合，
故答案为：A.
【分析】根据主视图的意义，分别得出四个几何体的主视图，再作出判断.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：19000000=1.9×10000000=1.9×107，
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的一般形式求解.科学记数法的一般形式为a×10n，其是1≤a<10，n为正整数.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：不是轴对称图形，它是中心对称图形，故A不符合；
既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合；
是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合，
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的意义，分别对四个图形作出分析，再作出判断即可.
4．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，分别计算，再作出判断.
5．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，列表如下：
红 黄
红 （红，红） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，黄）
共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种，
∴两次摸出的都是红球的概率为，
故答案为：C.
【分析】先根据题意列出表格，再分别根据表格求出等可能结果的总数与符合条件的数量，然后利用概率公式求解.
6．【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，若，
∴∠O=∠EDB=40°，
∵，
∴∠CDO=90°，
∴∠ACD=∠CDO+∠O=90°+40°=130°，
故答案为：C.
【分析】先根据两直线平行同位角相等求得∠O=∠EDB=40°，再根据垂直的意义得出∠CDO=90°，然后利用三角形外角的性质求得.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AE=4，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3，
∴，
∴BC=BE=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出BE的长，再得到BC的长，推出AD的长，接着利用线段差求得DE的长，再利用勾股定理求得CE.
8．【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（2，-2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标为（3，5），
∴点A向上平移5个单位得到点C，
∴点B向上平移5个单位得到点D，
∴点D的坐标为（2，-2+5），即（2，3），
故答案为：B.
【分析】先根据平移的性质，得出点A平移后的对应点C的坐标确定平移方向与距离，再应用于点B即可得到点D的坐标．
9．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个矩形的宽为步，则长为步，
根据题意可列方程为：
故答案为：A.
【分析】设这个矩形的宽为步，先表示出长，再根据“一块矩形田地的面积为864平方步”可列方程.
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，CE⊥BD，设CE，BD交于点O，则：∠BOC=∠BOE=90°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
在△BOC和△BOE中，
，
∴△BOC≌△BOE（ASA），
∴OC=OE，BC=BE=12，
∴BD垂直平分CE，AE=AB-BE=4，
∴DE=CD，
∴△ADE的周长为AE+DE+AD=AE+AD+CD=AE+AC=14，
故答案为：B.
【分析】先证明△BOC≌△BOE，再根据全等三角形的性质得到OC=OE，BC=BE，进而求出AE的长，然后根据垂直平分的性质得到DE=CD，进而推出△DAE的周长等于AE+AC的长即可．
11．【答案】- 0.01
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，超出标准质量记作正数，低于标准质量记作负数，那么低于标准质量记作- 0.01．
故答案为：- 0.01.
【分析】先确定超出标准质量记作正数，低于标准质量记作负数，再以此为标准求解．
12．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为，
∵当时，，
∴，解得：，
∴，
故答案为：.
【分析】设电流I与电阻R之间的函数表达式为，根据“当时，”求出U即可.
13．【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵甲、乙两运动员的平均数成绩相等，甲的方差95.4＜乙的方差243.4，
∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲，
故答案为：甲.
【分析】根据方差越小，成绩越稳定，据此可得答案．
14．【答案】7.4
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，∠ACB=51°，
∴tan∠ACB=，
∵BC=6m，
∴tan51°=，
∴AB≈6×1.23=7.4（m），
故答案为：7.4．
【分析】在Rt△ABC中，由AB=BC×tan∠CAB即可求解．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取OE中点H，连接GH，
在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，
AC⊥BD，
∵AE=2，
∴OE=OA-AE=4-2=2，
∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，
∴GH是三角形EBO的中位线，
GH∥OB，
∴∠GHE=∠BOA=90°，
∵OF=1，
，
∴，
故答案为：.
【分析】由菱形对角线互相垂直且平分，可得出AC⊥BD，取OE中点H，连接GH，可得GH=OB，GH∥OB，再用勾股定理解Rt△GHF即可．
16．【答案】（1）解：原式=9-4-3+2
=4
（2）解：原式=
=
=
=
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算有理数的乘方，有理数的乘法，立方根，绝对值，再计算加减；
（2）先计算分式除法，再计算分式的减法.
17．【答案】（1）解：设B种文创产品每件的进价为x元，根据题意可得：
2（x+3）+3x=26，
解得：x=4，
答：B种文创产品每件的进价为4元；
（2）解：设小张购进m件A种文创产品，由（1）可知，A种文创产品每件的进价为4+3=7元，则：
7m+4（100-m）≤550，
解得：m≤50；
答：小张最多可以购进50件A种文创产品．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B种文创产品每件的进价为x元，根据A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可；
（2）设小张购进m件A种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可．
18．【答案】（1）解：10÷25% =40（人），
∴m=40×35%=14，n=40-4-10-14-6=6，
故答案为：14，6；
（2）解：将数据排序后，位于第20个和第21个数据均为3，
∴中位数为3；
（3）解：约为96(人)，
答：估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数为96人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先用植树棵数为2棵的人数除以所占的比例求出调查的人数，进而用总人数乘以植树棵数为3棵的人数所占的比例，求出m的值，再用总数减去其它组的数量求出n的值即可；
（2）根据中位数的确定方法进行求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
19．【答案】（1）解：∵AD=8，OA=OD=4，
∴A（-4，0），
设抛物线的表达式为，
∵抛物线过点A，
∴0=16a+2，
∴，
∴；
（2）解：∵OM1=OM2=3，
∴N1，N2关于y轴对称，
∵，
∴当x=3时，，
∴，
∵，
∴这根材料的长度够用．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）求出A点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出N1的坐标，进而求出M1N1的长，进行判断即可．
20．【答案】（1）证明：由条件可知A（0，4），B（4，0），
∴OA=4，OB=4，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°；
（2）解：∵点C的坐标为（0，m），
∴OC=m，AC=4-m，
由条件可知CE=AC=4-m，∠OAB=∠CED=45°，
∴OE=CE-OC=4-2m，
∵∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OF=OE=4-2m，
∵CD⊥OA，
∴∠OAB=∠CDA=45°，
∴CD=AC=4-m，
∴四边形COFD面积
∴当时，四边形COFD面积有最大值，最大值为.
【知识点】轴对称的性质；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先求得A（0，4），B（4，0），得到OA=4，OB=4，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立；
（2）由题意得OC=m，AC=4-m，根据折叠的性质得CE=AC=4-m，OE=CE-OC=4-2m，利用等腰直角三角形的判定和性质求得OF=OE=4-2m，CD=AC=4-m，再利用梯形的面积公式求得四边形COFD面积关于m的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
21．【答案】（1）解：连接OD，
在△OAC和△OBC中，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OA=OD=OE，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED，
设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y，
在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360°
∴x+x+y+y+90°=360°，
∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=x+y=135°；
（2）解：连接OD，
∵∠AOC=90°，D为AC中点，
∴OD=OA=AD=3，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=90°-60°=30°，
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OD，先证明△OAC≌△OBC（SSS），得到∠AOC=∠BOC=90°，由等腰三角形性质得到∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED，设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y，在四边形OADE中，由四边形内角和等于360°计算即可；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质先证明△ADO为等边三角形，则可求∠DOE度数，再由弧长公式即可求解．
22．【答案】（1）证明：∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，即∠DBC=∠ACB，
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（AAS）.
（2）解：由（1）知：△ABC≌△DCB，即△ABC≌△D'C'B，
∴∠BAC=∠C'D'B，AB=D'C'=2，AC=BD'，
作AE⊥BC于点E，如图2，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴
∴CE=BC-BE=2，
∵∠BAC=∠C'D'B，
∴AM∥C'D'，
∴△BAM∽△BD'C'，
；
（3）解：作CF⊥BN于点F，如图3，设∠BC'C=α，
由旋转的性质得BC'=BC，则∠BC'C=∠BCC'=α，
∵∠ABC=∠D'C'B=60°，∠NBC+∠BCN+∠BNC=180°，∠BC'C+∠BC'D'+∠D'C'N=180°，
∴∠BNC=120°-α，∠D'C'N=120°-α，
∴∠BNC=∠D'C'N=120°-α，
∵AM∥C'D'，
∴∠ANC=∠ACN，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCF=30°，
∵BC=3，
∴AM：CM=4：3，
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用等边对等角求得∠DBC=∠ACB，再利用AAS证明△ABC≌△DCB即可；
（2）由题意得△ABC≌△D'C'B，得到∠BAC=∠C'D'B，AB=D'C'=2，AC=BD'，作AE⊥BC于点E，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得BE与BD'，再证明AM∥C'D'，推出△BAM∽△BD'C'，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）设∠BC'C=α，由旋转的性质得BC'=BC，则∠BC'C=∠BCC'=α，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得∠BNC=120°-α，∠D'C'N=120°-α，推出∠BNC=∠D'C'N=120°-α，求得AN，再求得S△ACN，然后求得AM：CM=4：3，据此求解即可．
23．【答案】（1）解：，
当y=0时，，
解得x1=-1，x2=3，
∴A（3，0），
当时，，
∵A、B在抛物线上，
，解得：，
答：点A的坐标为（3，0），a，c的值分别为，．
（2）解：①证明：如图，
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（3，0），
∴，解得：，
∴，
设点E的坐标为，
∵，
∴，
∴，，
∴，
，
∴DE=2CE；
②如图：
当AC∥DB时，△ACE∽△BDE，
，解得：，
当AD∥BC时，△BCE∽△ADE，
，解得：，
∴或；
（3）解：，
∴当时，y随x的增大而增大；
当1＜x＜3时，y随x的增大而减小；
当x≥3时，y随x的增大而增大．当时，y3取得最小值．
当时，函数y3的最小值为，最 大值为，
∴当时，y3取得最小值为，即，
解得：，
当时，函数y3的最大值为，
∴当x=1时，函数y3的最大值为，即=1，
解得：；
当y2=1时，，解得：(负值舍去），
∴，
∵，
∴，解得.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出A、B的坐标，再分别代入抛物线解析式中求出待定系数即可；
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A、B的坐标，再分别代入求出待定系数，设点E的坐标，求出y2的解析式，再设出D、C的坐标，可用m表示出CE，进而表示出DE即可；
②当AC∥DB时，△ACE∽△BDE，当AD∥BC时，△BCE∽△ADE，再分类讨论，即可解答；
（3）先得出y3的解析式，再分别求出y3的最大值与最小值，然后得到关于n的不等式组求解即可.
1 / 1辽宁省2025年中考真题数学试题
1．（2025·辽宁）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解： 的主视图为三角形，故A符合；
的主视图为矩形，故B不符合；
的主视图为圆，故C不符合；
的主视图为正方形，故D不符合，
故答案为：A.
【分析】根据主视图的意义，分别得出四个几何体的主视图，再作出判断.
2．（2025·辽宁）十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待4超1900万人次．数据19000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：19000000=1.9×10000000=1.9×107，
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的一般形式求解.科学记数法的一般形式为a×10n，其是1≤a<10，n为正整数.
3．（2025·辽宁）数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：不是轴对称图形，它是中心对称图形，故A不符合；
既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合；
是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合，
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的意义，分别对四个图形作出分析，再作出判断即可.
4．（2025·辽宁）下列计算正确的是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，分别计算，再作出判断.
5．（2025·辽宁）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，列表如下：
红 黄
红 （红，红） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，黄）
共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种，
∴两次摸出的都是红球的概率为，
故答案为：C.
【分析】先根据题意列出表格，再分别根据表格求出等可能结果的总数与符合条件的数量，然后利用概率公式求解.
6．（2025·辽宁）如图，点C在的边上，，垂足为D，，若，则 的度数为（ ）
A．50° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，若，
∴∠O=∠EDB=40°，
∵，
∴∠CDO=90°，
∴∠ACD=∠CDO+∠O=90°+40°=130°，
故答案为：C.
【分析】先根据两直线平行同位角相等求得∠O=∠EDB=40°，再根据垂直的意义得出∠CDO=90°，然后利用三角形外角的性质求得.
7．（2025·辽宁）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（ ）
A．1 B．5 C．2 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AE=4，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3，
∴，
∴BC=BE=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出BE的长，再得到BC的长，推出AD的长，接着利用线段差求得DE的长，再利用勾股定理求得CE.
8．（2025·辽宁）在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为（3，0），点的坐标为（2，-2），将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为（3，5），则点的对应点的坐标为（ ）
A．（7，-2） B．（2，3） C．（2，-7） D．（-3，-2）
【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（2，-2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标为（3，5），
∴点A向上平移5个单位得到点C，
∴点B向上平移5个单位得到点D，
∴点D的坐标为（2，-2+5），即（2，3），
故答案为：B.
【分析】先根据平移的性质，得出点A平移后的对应点C的坐标确定平移方向与距离，再应用于点B即可得到点D的坐标．
9．（2025·辽宁）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个矩形的宽为步，则长为步，
根据题意可列方程为：
故答案为：A.
【分析】设这个矩形的宽为步，先表示出长，再根据“一块矩形田地的面积为864平方步”可列方程.
10．（2025·辽宁）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，CE⊥BD，设CE，BD交于点O，则：∠BOC=∠BOE=90°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
在△BOC和△BOE中，
，
∴△BOC≌△BOE（ASA），
∴OC=OE，BC=BE=12，
∴BD垂直平分CE，AE=AB-BE=4，
∴DE=CD，
∴△ADE的周长为AE+DE+AD=AE+AD+CD=AE+AC=14，
故答案为：B.
【分析】先证明△BOC≌△BOE，再根据全等三角形的性质得到OC=OE，BC=BE，进而求出AE的长，然后根据垂直平分的性质得到DE=CD，进而推出△DAE的周长等于AE+AC的长即可．
11．（2025·辽宁）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ．
【答案】- 0.01
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，超出标准质量记作正数，低于标准质量记作负数，那么低于标准质量记作- 0.01．
故答案为：- 0.01.
【分析】先确定超出标准质量记作正数，低于标准质量记作负数，再以此为标准求解．
12．（2025·辽宁）在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为，
∵当时，，
∴，解得：，
∴，
故答案为：.
【分析】设电流I与电阻R之间的函数表达式为，根据“当时，”求出U即可.
13．（2025·辽宁）甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：cm）的平均数和方差如下表：
运动员 平均数 方差
甲 601 95.4
乙 601 243.4
则这两名运动员测试成绩更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵甲、乙两运动员的平均数成绩相等，甲的方差95.4＜乙的方差243.4，
∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲，
故答案为：甲.
【分析】根据方差越小，成绩越稳定，据此可得答案．
14．（2025·辽宁）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）．
【答案】7.4
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，∠ACB=51°，
∴tan∠ACB=，
∵BC=6m，
∴tan51°=，
∴AB≈6×1.23=7.4（m），
故答案为：7.4．
【分析】在Rt△ABC中，由AB=BC×tan∠CAB即可求解．
15．（2025·辽宁）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取OE中点H，连接GH，
在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，
AC⊥BD，
∵AE=2，
∴OE=OA-AE=4-2=2，
∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，
∴GH是三角形EBO的中位线，
GH∥OB，
∴∠GHE=∠BOA=90°，
∵OF=1，
，
∴，
故答案为：.
【分析】由菱形对角线互相垂直且平分，可得出AC⊥BD，取OE中点H，连接GH，可得GH=OB，GH∥OB，再用勾股定理解Rt△GHF即可．
16．（2025·辽宁）
（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）解：原式=9-4-3+2
=4
（2）解：原式=
=
=
=
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算有理数的乘方，有理数的乘法，立方根，绝对值，再计算加减；
（2）先计算分式除法，再计算分式的减法.
17．（2025·辽宁） 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元．
（1）求种文创产品每件的进价；
（2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？
【答案】（1）解：设B种文创产品每件的进价为x元，根据题意可得：
2（x+3）+3x=26，
解得：x=4，
答：B种文创产品每件的进价为4元；
（2）解：设小张购进m件A种文创产品，由（1）可知，A种文创产品每件的进价为4+3=7元，则：
7m+4（100-m）≤550，
解得：m≤50；
答：小张最多可以购进50件A种文创产品．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B种文创产品每件的进价为x元，根据A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可；
（2）设小张购进m件A种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可．
18．（2025·辽宁）种下绿色希望，建设美丽辽宁．某学校学生积极参与春季义务植树活动，在活动结束后，该学校为了解八年级学生植树棵数的情况，随机抽取若干名八年级参加植树的学生，统计每人的植树棵数，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
抽取的八年级学生植树棵数的人数统计表
棵数/棵 1 2 3 4 5
人数/人 4 10 6
抽取的八年级学生植树棵数的人数扇形统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求的值；
（2）求被抽取的八年级学生植树棵数的中位数；
（3）本次植树活动中，植树不少于4棵的学生将被学校评为“绿动先锋”，该学校八年级有40名学生参加了此次植树活动，请你估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数．
【答案】（1）解：10÷25% =40（人），
∴m=40×35%=14，n=40-4-10-14-6=6，
故答案为：14，6；
（2）解：将数据排序后，位于第20个和第21个数据均为3，
∴中位数为3；
（3）解：约为96(人)，
答：估计这些学生中被评为“绿动先锋”的人数为96人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先用植树棵数为2棵的人数除以所占的比例求出调查的人数，进而用总人数乘以植树棵数为3棵的人数所占的比例，求出m的值，再用总数减去其它组的数量求出n的值即可；
（2）根据中位数的确定方法进行求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
19．（2025·辽宁）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为 ；3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为（0，2），设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
【答案】（1）解：∵AD=8，OA=OD=4，
∴A（-4，0），
设抛物线的表达式为，
∵抛物线过点A，
∴0=16a+2，
∴，
∴；
（2）解：∵OM1=OM2=3，
∴N1，N2关于y轴对称，
∵，
∴当x=3时，，
∴，
∵，
∴这根材料的长度够用．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）求出A点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出N1的坐标，进而求出M1N1的长，进行判断即可．
20．（2025·辽宁） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接．
（1）求证：
（2）设点的坐标为（0，），当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）证明：由条件可知A（0，4），B（4，0），
∴OA=4，OB=4，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°；
（2）解：∵点C的坐标为（0，m），
∴OC=m，AC=4-m，
由条件可知CE=AC=4-m，∠OAB=∠CED=45°，
∴OE=CE-OC=4-2m，
∵∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OF=OE=4-2m，
∵CD⊥OA，
∴∠OAB=∠CDA=45°，
∴CD=AC=4-m，
∴四边形COFD面积
∴当时，四边形COFD面积有最大值，最大值为.
【知识点】轴对称的性质；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先求得A（0，4），B（4，0），得到OA=4，OB=4，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立；
（2）由题意得OC=m，AC=4-m，根据折叠的性质得CE=AC=4-m，OE=CE-OC=4-2m，利用等腰直角三角形的判定和性质求得OF=OE=4-2m，CD=AC=4-m，再利用梯形的面积公式求得四边形COFD面积关于m的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
21．（2025·辽宁）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
（1）如图1，连接，求的度数；
（2）如图2，若点为的中点，且，求的长．
【答案】（1）解：连接OD，
在△OAC和△OBC中，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OA=OD=OE，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED，
设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y，
在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360°
∴x+x+y+y+90°=360°，
∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=x+y=135°；
（2）解：连接OD，
∵∠AOC=90°，D为AC中点，
∴OD=OA=AD=3，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=90°-60°=30°，
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OD，先证明△OAC≌△OBC（SSS），得到∠AOC=∠BOC=90°，由等腰三角形性质得到∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED，设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y，在四边形OADE中，由四边形内角和等于360°计算即可；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质先证明△ADO为等边三角形，则可求∠DOE度数，再由弧长公式即可求解．
22．（2025·辽宁）如图
（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
【答案】（1）证明：∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，即∠DBC=∠ACB，
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（AAS）.
（2）解：由（1）知：△ABC≌△DCB，即△ABC≌△D'C'B，
∴∠BAC=∠C'D'B，AB=D'C'=2，AC=BD'，
作AE⊥BC于点E，如图2，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴
∴CE=BC-BE=2，
∵∠BAC=∠C'D'B，
∴AM∥C'D'，
∴△BAM∽△BD'C'，
；
（3）解：作CF⊥BN于点F，如图3，设∠BC'C=α，
由旋转的性质得BC'=BC，则∠BC'C=∠BCC'=α，
∵∠ABC=∠D'C'B=60°，∠NBC+∠BCN+∠BNC=180°，∠BC'C+∠BC'D'+∠D'C'N=180°，
∴∠BNC=120°-α，∠D'C'N=120°-α，
∴∠BNC=∠D'C'N=120°-α，
∵AM∥C'D'，
∴∠ANC=∠ACN，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCF=30°，
∵BC=3，
∴AM：CM=4：3，
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用等边对等角求得∠DBC=∠ACB，再利用AAS证明△ABC≌△DCB即可；
（2）由题意得△ABC≌△D'C'B，得到∠BAC=∠C'D'B，AB=D'C'=2，AC=BD'，作AE⊥BC于点E，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得BE与BD'，再证明AM∥C'D'，推出△BAM∽△BD'C'，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）设∠BC'C=α，由旋转的性质得BC'=BC，则∠BC'C=∠BCC'=α，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得∠BNC=120°-α，∠D'C'N=120°-α，推出∠BNC=∠D'C'N=120°-α，求得AN，再求得S△ACN，然后求得AM：CM=4：3，据此求解即可．
23．（2025·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．
（1）求点的坐标及的值．
（2）直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时，
①求证：；
②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值．
（3）二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
【答案】（1）解：，
当y=0时，，
解得x1=-1，x2=3，
∴A（3，0），
当时，，
∵A、B在抛物线上，
，解得：，
答：点A的坐标为（3，0），a，c的值分别为，．
（2）解：①证明：如图，
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（3，0），
∴，解得：，
∴，
设点E的坐标为，
∵，
∴，
∴，，
∴，
，
∴DE=2CE；
②如图：
当AC∥DB时，△ACE∽△BDE，
，解得：，
当AD∥BC时，△BCE∽△ADE，
，解得：，
∴或；
（3）解：，
∴当时，y随x的增大而增大；
当1＜x＜3时，y随x的增大而减小；
当x≥3时，y随x的增大而增大．当时，y3取得最小值．
当时，函数y3的最小值为，最 大值为，
∴当时，y3取得最小值为，即，
解得：，
当时，函数y3的最大值为，
∴当x=1时，函数y3的最大值为，即=1，
解得：；
当y2=1时，，解得：(负值舍去），
∴，
∵，
∴，解得.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出A、B的坐标，再分别代入抛物线解析式中求出待定系数即可；
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A、B的坐标，再分别代入求出待定系数，设点E的坐标，求出y2的解析式，再设出D、C的坐标，可用m表示出CE，进而表示出DE即可；
②当AC∥DB时，△ACE∽△BDE，当AD∥BC时，△BCE∽△ADE，再分类讨论，即可解答；
（3）先得出y3的解析式，再分别求出y3的最大值与最小值，然后得到关于n的不等式组求解即可.
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