第13章 勾股定理评价卷
时间:120分钟 满分:150分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.下列几组数中,是勾股数的是(B)
A.0.3,0.4,0.5 B.15,8,17
C.13,14,15 D.,,1
2.已知△ABC的∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)
A.∠A与∠B互余 B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.a=6,b=8,c=12 D.a2=c2-b2
3.用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时,我们可以先假设(D)
A.有三个内角是直角 B.有四个内角是直角
C.至少有四个内角是直角 D.至少有五个内角是直角
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,CD⊥AB于点D,则CD的长是(C)
A.5 B.7 C. D.
5.如图所示,数轴上的点A所表示的数为x,则x的值为(C)
A. B.+1 C.-1 D.1-
6.如图所示,在直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是81和225,则字母B所代表的正方形的边长是(A)
A.12 B.13 C.144 D.306
7.如图所示,AB=BC=CD=DE=2,且BC⊥AB,CD⊥AC,DE⊥AD,则线段AE的长为(C)
A. B. C.4 D.3
8.如图所示,下列四个三角形均为正方形网格图中的格点三角形,其中不是直角三角形的是(B)
A B C D
9.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部相交于点P,画射线AP与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E.则下列结论错误的是(C)
A.∠CAD=∠BAD B.CD=DE
C.AD=5 D.CD∶BD=3∶5
10.已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形,把两个较小的正方形放置在最大正方形内,如图所示,设三个正方形无重叠部分的面积为S1,均重叠部分的面积为S2,则(C)
A.S1>S2 B.S1C.S1=S2 D.S1,S2的大小无法确定
11.如图所示图形是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为(D)
A.35 B.43 C.89 D.97
12.如图所示,已知在△ABC中,∠ACB=90°,四边形ABDE,ACFG,BCHI均为正方形,HI与AE相交于点J,点D在HI的延长线上.若△AHJ,
△DEJ的面积分别为2和6,则直角边AC的长为(D)
A. B.
C. D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.在如图所示网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则∠AOB的度数为 45° .
14.a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式|a-b|+=0,则
△ABC的形状为 等腰直角三角形 .
15.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3 cm,AC=5 cm,将△ABC折叠,使点C与A重合,得折痕DE,则△ABE的周长等于 7 cm.
16.已知直角三角形的三边长分别为6,8,x,则边长为x的正方形的面积为 100或28 .
17.如图所示,在一块长为2米,宽为1米的长方形草地上,堆放着一根长方体的木块,它的最长棱和场地宽AD平行,且棱长>AD,木块从正面看是边长为0.2米的正方形,一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是 2.6 米.
18.如图所示,在△ABC中, AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是 .
三、解答题(共78分)
19.(8分)已知:如图所示,AB∥GH,CF交AB于点D.求证:CF与GH相交.(用反证法证明)
证明:假设CF与GH不相交,则CF∥GH.
∵AB∥GH,CF∥GH,
∴AB∥CF.
这与已知CF与AB相交相矛盾.
∴假设不成立.
∴CF与GH相交.
20 (10分)如图所示,在△ABC中,D为边BC上的点,已知AB=13,AD=12,
AC=15,BD=5.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求△ACD的面积.
(1)证明:在△ABD中,∵AB=13,AD=12,BD=5,
∴BD2+AD2=AB2.
∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,即AD⊥BC.
(2)解:∵AD=12,AC=15,AD⊥BC,
∴CD===9.
∴S△ACD=CD·AD=×9×12=54.
21.(10分)如图所示的是一个密封的圆柱形油罐,其底面的周长是10 m,高是15 m,一只壁虎在距底面3 m的点A处,油罐上底面与点A相对的点C处有食物,壁虎沿油罐的外侧面爬行到点C处捕食,它爬行的最短路程为多少米
解:如图所示,将圆柱的侧面沿A所在的母线剪开,过点A作AD垂直过C的母线CD于点D,则AC的长即为它爬行的最短路程.
由题意,得AD=×10=5(m),CD=15-3=12(m).
则AC==13(m).
答:它爬行的最短路程为13 m.
22.(10分)如图所示是某品牌婴儿车的简化结构示意图.现测得AB=
CD=8 dm,BC=4 dm,AD=12 dm,其中AB与BD之间由一个固定角为90°的零件连接(即∠ABD=90°).根据安全标准需满足BC⊥CD,请你通过计算说明该车是否符合安全标准.
解:∵∠ABD=90°,
∴在Rt△ABD中,由勾股定理,得AB2+BD2=AD2,
∴82+BD2=122,∴BD2=80.
∵BC2=42=16,CD2=82=64,∴BC2+CD2=80,
∴BC2+CD2=BD2,
∴∠BCD=90°,即BC⊥CD,
∴该车符合安全标准.
23.(12分)如图所示,在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有A处需要爆破.已知点A与公路上的停靠站B,C的距离分别为400 m和300 m,且AC⊥AB.为了安全起见,爆破点A周围半径250 m的区域内不能有车辆和行人,那么在进行爆破时,公路BC段是否需要暂时封闭 为什么
解:需要暂时封闭.理由如下:
如图所示,过点A作AD⊥CB于点D.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC2=AB2+AC2=4002+3002=250 000,
∴BC=500 m.
由S△ABC=AB·AC=BC·AD,得500×AD=300×400,
解得AD=240 m.
∵240<250,
∴在进行爆破时,公路BC段有危险,需要暂时封闭.
24.(13分)如图所示,在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船,河岸上一男子拽着绳子的另一端向右走,绳端从点C移动到点E,同时小船从点A移动到点B,绳子始终绷紧且绳长保持不变,且∠AFC=90°,CF=7米,
AF=24米,AB=18米.
(1)求该男子向右移动的距离;(结果保留根号)
(2)此男子以0.5米/秒的速度收绳,请通过计算来判断该男子能否在30秒内使船从点A处移动到岸边点F的位置.
解:(1)∵∠AFC=90°,AF=24米,CF=7米,
∴AC==25(米).
∵BF=AF-AB=24-18=6(米),
∴BC===(米),
∴CE=AC-BC=(25-)米.
答:该男子向右移动的距离为(25-)米.
(2)∵需收绳的长度为AC-CF=25-7=18(米),
又此人以0.5米/秒的速度收绳,
∴收绳时间为=36(秒),36秒>30秒.
答:该男子不能在30秒内将船从点A处移动到岸边点F的位置.
25.(15分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm.若点P从点A出发,以每秒2 cm的速度沿折线A-C-B-A运动(不与点A重合),设运动时间为t s(t>0).
(1)当点P在AB上,且满足PA=PB时,求出此时t的值;
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上,求t的值.
解:(1)在Rt△ABC中,
AC===4(cm).
当点P在AB上,且PA=PB时,点P为AB的中点,
∴PA=PB= cm.
由题意,得2t=4+3+,
解得t=.
(2)如图所示,过点P作PE⊥AB于点E.
根据题意,得PC=(2t-4)cm,PB=BC-PC=3-(2t-4)=(7-2t)cm.
∵AP平分∠BAC,PE⊥AB,PC⊥AC,
∴PE=PC=(2t-4)cm.
∵∠PAC=∠PAE,∠C=∠PEA,PC=PE,
∴△PAC≌△PAE(AAS).
∴AE=AC=4 cm.
∴BE=AB-AE=5-4=1(cm).
在Rt△BEP中,PE2+BE2=BP2,
∴(2t-4)2+12=(7-2t)2.
解得t=.第13章 勾股定理评价卷
时间:120分钟 满分:150分
班级: 学号: 姓名: 成绩:
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.下列几组数中,是勾股数的是( )
A.0.3,0.4,0.5 B.15,8,17
C.13,14,15 D.,,1
2.已知△ABC的∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A.∠A与∠B互余 B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.a=6,b=8,c=12 D.a2=c2-b2
3.用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时,我们可以先假设( )
A.有三个内角是直角 B.有四个内角是直角
C.至少有四个内角是直角 D.至少有五个内角是直角
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,CD⊥AB于点D,则CD的长是( )
A.5 B.7 C. D.
5.如图所示,数轴上的点A所表示的数为x,则x的值为( )
A. B.+1 C.-1 D.1-
6.如图所示,在直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是81和225,则字母B所代表的正方形的边长是( )
A.12 B.13 C.144 D.306
7.如图所示,AB=BC=CD=DE=2,且BC⊥AB,CD⊥AC,DE⊥AD,则线段AE的长为( )
A. B. C.4 D.3
8.如图所示,下列四个三角形均为正方形网格图中的格点三角形,其中不是直角三角形的是( )
A B C D
9.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部相交于点P,画射线AP与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E.则下列结论错误的是( )
A.∠CAD=∠BAD B.CD=DE
C.AD=5 D.CD∶BD=3∶5
10.已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形,把两个较小的正方形放置在最大正方形内,如图所示,设三个正方形无重叠部分的面积为S1,均重叠部分的面积为S2,则( )
A.S1>S2 B.S1C.S1=S2 D.S1,S2的大小无法确定
11.如图所示图形是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为( )
A.35 B.43 C.89 D.97
12.如图所示,已知在△ABC中,∠ACB=90°,四边形ABDE,ACFG,BCHI均为正方形,HI与AE相交于点J,点D在HI的延长线上.若△AHJ,
△DEJ的面积分别为2和6,则直角边AC的长为( )
A. B.
C. D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.在如图所示网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则∠AOB的度数为 .
14.a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式|a-b|+=0,则
△ABC的形状为 .
15.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3 cm,AC=5 cm,将△ABC折叠,使点C与A重合,得折痕DE,则△ABE的周长等于 cm.
16.已知直角三角形的三边长分别为6,8,x,则边长为x的正方形的面积为 .
17.如图所示,在一块长为2米,宽为1米的长方形草地上,堆放着一根长方体的木块,它的最长棱和场地宽AD平行,且棱长>AD,木块从正面看是边长为0.2米的正方形,一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是 米.
18.如图所示,在△ABC中, AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是 .
三、解答题(共78分)
19.(8分)已知:如图所示,AB∥GH,CF交AB于点D.求证:CF与GH相交.(用反证法证明)
20 (10分)如图所示,在△ABC中,D为边BC上的点,已知AB=13,AD=12,
AC=15,BD=5.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求△ACD的面积.
21.(10分)如图所示的是一个密封的圆柱形油罐,其底面的周长是10 m,高是15 m,一只壁虎在距底面3 m的点A处,油罐上底面与点A相对的点C处有食物,壁虎沿油罐的外侧面爬行到点C处捕食,它爬行的最短路程为多少米
22.(10分)如图所示是某品牌婴儿车的简化结构示意图.现测得AB=
CD=8 dm,BC=4 dm,AD=12 dm,其中AB与BD之间由一个固定角为90°的零件连接(即∠ABD=90°).根据安全标准需满足BC⊥CD,请你通过计算说明该车是否符合安全标准.
23.(12分)如图所示,在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有A处需要爆破.已知点A与公路上的停靠站B,C的距离分别为400 m和300 m,且AC⊥AB.为了安全起见,爆破点A周围半径250 m的区域内不能有车辆和行人,那么在进行爆破时,公路BC段是否需要暂时封闭 为什么
24.(13分)如图所示,在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船,河岸上一男子拽着绳子的另一端向右走,绳端从点C移动到点E,同时小船从点A移动到点B,绳子始终绷紧且绳长保持不变,且∠AFC=90°,CF=7米,
AF=24米,AB=18米.
(1)求该男子向右移动的距离;(结果保留根号)
(2)此男子以0.5米/秒的速度收绳,请通过计算来判断该男子能否在30秒内使船从点A处移动到岸边点F的位置.
25.(15分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm.若点P从点A出发,以每秒2 cm的速度沿折线A-C-B-A运动(不与点A重合),设运动时间为t s(t>0).
(1)当点P在AB上,且满足PA=PB时,求出此时t的值;
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上,求t的值.
