(共71张PPT)
第九章
静电场
●命题热点诠释
1．命题热度：本章属于热点内容，10年来，从命题频次上看，全国卷10年24考，地方卷90考。
2．考查热点：(1)电场强度的叠加。
(2)电场强度大小、电势高低与电势能大小的判断。
(3)带电粒子在电场中的加速和偏转。
(4)电容器的动态分析。
(5)带电粒子(带电体)在电场中的综合问题。
第43讲 电场力的性质
基础梳理·易错辨析
核心考点·重点突破
基础梳理·易错辨析
一、电荷守恒定律
1．两种电荷
毛皮摩擦过的橡胶棒带___电，丝绸摩擦过的玻璃棒带___电。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，带电的物体能吸引轻小物体。
2．元电荷
最小的电荷量，其值为e＝______________。
其他带电体的电荷量皆为元电荷的_____倍。
注意：元电荷不是带电体，也不是点电荷。
负
正
1.60×10－19C
整数
3．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体______到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移的过程中，电荷的总量__________。
(2)起电方式：__________、__________、感应起电。
(3)带电实质：物体带电的实质是__________。
转移
保持不变
摩擦起电
接触起电
得失电子
等量同种
中和
平均分配
二、库仑定律
1．点电荷
是一种理想化的物理模型，当带电体本身的______和______对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷。
形状
大小
2．库仑定律
三、电场强度及电场线
1．电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质；
(2)基本性质：对放入其中的电荷有__________。
力的作用
2．电场强度
(1)定义：放入电场中某点的电荷受到的_______与它的_______的比值。
(2)定义式：E＝____，单位：N/C或______。
(3)矢量性：规定_______在电场中某点所受静电力的方向为该点电场强度的方向。
3．点电荷的电场：真空中与场源电荷Q相距为r处的电场强度大小
为E＝______。
静电力
电荷量
V/m
正电荷
4．电场线
(1)电场线是为了形象地描述电场而引入的，是假想的、客观不存在的，它有以下特点：
①电场线从_______或无限远处出发，终止于无限远处或_______；
②电场线在电场中不相交；
③在同一电场里，电场线_____的地方电场强度越大；
④电场线上某点的切线方向表示该点的_____________；
⑤沿电场线方向电势逐渐_____；
⑥电场线和等势面在相交处_________。
正电荷
负电荷
越密
电场强度方向
降低
相互垂直
(2)几种典型电场的电场线
四、静电的防止与利用
1．静电平衡
(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场的电场强度在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加电场强度为零时，自由电荷不再发生__________，导体达到静电平衡状态。
(2)处于静电平衡状态的导体的特点
①导体内部的电场强度___________。
②导体是一个等势体，导体表面是等势面。
③导体表面处的电场强度方向与导体表面_____。
④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上。
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷。
定向移动
处处为零
垂直
2．尖端放电
导体尖端周围电场使空气_____，电离出的与导体尖端电荷符号相反的电荷与尖端的电荷中和，相当于导体从尖端失去电荷。
3．静电屏蔽
处于电场中的封闭金属壳，由于内部电场强度处处为___，从而外电场对壳内仪器不会产生影响。
电离
零
1．只有体积足够小的带电体才能看成点电荷，大的带电体不能看成点电荷。( )
2．任何带电体的带电荷量都是元电荷的整数倍。( )
3．任意两个带电体间的库仑力都可以用库仑定律计算。( )
4．电场中某点的电场强度与放在该点的电荷所受静电力成正比，与电荷的电荷量成反比。( )
5．当电场线是直线时，只受静电力的电荷的运动轨迹一定与电场线重合。( )
6．当电场线是曲线时，初速度为零且只受静电力的电荷的运动轨迹一定与电场线重合。( )
×
√
×
×
×
×
核心考点·重点突破
1
库仑定律与电荷守恒定律的理解
(基础考点·自主探究)
应用库仑定律的四点提醒
(1)库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。
(2)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
(3)不能根据公式错误地认为r→0时，静电力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
(4)库仑力的计算方法：将电荷量的绝对值代入公式计算出库仑力的大小，根据同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引来判断库仑力F是引力还是斥力。
【跟踪训练】
(库仑定律的适用条件)如图所示，将两个质量均为m、壳层的厚度和质量分布均匀的完全相同的金属球壳a和b，固定于绝缘支架上，两球壳球心间的距离l是半径r的3倍。若使它们带上等量异种电荷，使其电荷量的绝对值均为Q，那么关于a、b之间的万有引力F引和静电力F电的表达式正确的是( )
1
[答案] C
2
[答案] C
2
静电力作用下的平衡与加速问题
(能力考点·深度研析)
考向1 库仑力作用下的平衡问题
(2024·新课标卷)如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等，则( )
A．两绳中的张力大小一定相等
B．P的质量一定大于Q的质量
C．P的电荷量一定小于Q的电荷量
D．P的电荷量一定大于Q的电荷量
[答案] B
反思提升
解决库仑力作用下平衡问题的方法步骤
库仑力作用下平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多了静电力。具体步骤如下：
考向2 “三个自由点电荷平衡”的问题
1．平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置。
2.
如图所示，同一直线上的三个点电荷q1、q2、q3，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍。下列说法错误的是( )
A．若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷
B．若q1、q3为负电荷，则q2为正电荷
C．q1∶q2∶q3＝9∶4∶36
D．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
[答案] C
考向3 库仑力作用下的加速问题
如图所示，光滑绝缘水平面上有质量分别为m和2m的小球A、B，两小球带异种电荷。将方向水平向右、大小为F的力作用在B上，当A、B间的距离为L时，两小球可保持相对静止。若改用方向水平向左的力作用在A上，欲使两小球间的距离保持为2L并相对静止，则外力的大小应为( )
[答案] B
【跟踪训练】
(多选)(2024·云南曲靖市模拟)如图所示，绝缘的斜面体ABC静止于水平面上，∠B＝37°，∠C＝53°，两个可视为质点的带电物体P和Q分别在AB和AC面上静止不动，且P、Q连线水平。AB面和AC面光滑，设斜面体和P、Q的质量分别为M、m1、m2，重力加速度为g，sin 37°＝0.6。下列判断正确的是( )
A．P、Q一定带异种电荷，且Q的电荷量一定等于P的电荷量
3
[答案] BD
(能力考点·深度研析)
1．电场强度的理解
(1)电场强度反映电场本身的性质，由场源和位置决定，与试探电荷无关。
3
电场强度的理解、电场的叠加
2．场强公式的比较
3．电场的叠加
(1)电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和。
(2)运算法则：平行四边形定则。
考向1 点电荷电场的叠加问题
[解析] (1)因为M点电场强度竖直向下，则C为正电荷，根据场强的叠加原理，可知A、B两点的电荷在M点的电场强度大小相等，方向相反，则B点电荷电荷量为q，电性与A相同，又N点电场强度竖直向上，可得A处电荷在N点的场强垂直BC沿AN连线向右上，如图所示
可知A处电荷为正电荷，所以A、B、C均为正电荷。
(2)如图所示
由几何关系EA′＝EBC′·tan 30°
电场叠加问题的分析思路
电场中某点的实际场强等于几个场源电荷单独存在时产生的电场强度的矢量和。同一直线上的场强的叠加可简化为代数运算；不在同一直线上的两个场强的叠加，用平行四边形定则求合场强。分析电场叠加问题的一般步骤是：
(1)确定研究点的空间位置；
(2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向。
(3)依次利用平行四边形定则求出电场强度的矢量和。
反思提升
[答案] D
考向3 利用补偿法和等效法求场强
(1)补偿法：题给条件建立的模型A不是一个完整的标准模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，由这些补充条件建立另一个容易求解的模型B，并且模型A与模型B恰好组成一个完整的标准模型。这样求解模型A的问题就变为求解一个完整的标准模型与模型B的差值问题。
(2)等效法：一个均匀带电球体或球壳在球外某点产生的电场强度可以等效于位于球心点电荷产生的电场强度。
(2025·山东烟台高三期中)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且PC＝DQ＝R。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为( )
[答案] A
考向4 利用微元法求解电场强度
微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而化曲为直，将变量、难以确定的量转化为常量、容易求得的量。
如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面内，金属圆环均匀带电，带电荷量为Q，一长为L＝2R的绝缘细线一端固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电荷量为q(未知)的金属小球(可视为质点)。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P′(图中未画出)是点P关于圆心O对称的点。已知静电力常量为k，重力加速度为g，若取无穷远处为零势面，下列说法正确的是( )
A．O点的场强一定为零
[答案] C
求解电场强度的几种方法的选用技巧
(1)点电荷电场与匀强电场电场强度叠加一般应用合成法。
(2)均匀带电体与点电荷电场强度叠加一般应用对称法。
(3)计算均匀带电体某点产生的电场强度一般应用补偿法或微元法。
反思提升
【跟踪训练】
(2025·湖南省永州一中开学考)真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m，如图甲所示。在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图乙中直线a、b所示。忽略A、B间的作用力。下列说法正确的是( )
A．B点的电场强度大小为0.25 N/C
B．A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C．点电荷Q的位置坐标为0.3 m
D．点电荷Q是正电荷
4
[答案] C
5
[答案] D
(基础考点·自主探究)
1．电场线的应用
4
电场线的理解和应用
2．等量同种和等量异种电荷的电场强度空间分布的比较
比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线 分布图
连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零
比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷
连线上的场强大小(从左到右) 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小 O点最大，向外逐渐减小 O点为零，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′、B与B′、C与C′的场强 等大同向 等大反向
3．电场线、带电粒子运动轨迹判断
(1)判断速度方向：带电粒子轨迹的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断电场力(或场强)的方向：带电粒子所受电场力方向(仅受电场力作用)指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正、负判断场强的方向。
(3)判断电场力做功的正、负及电势能的增、减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
【跟踪训练】
(电场线的应用)如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图，带电荷量大小分别为q和2q，两点电荷间的距离为2r，P、Q两点关于两电荷连线对称，静电力常量为k。由图可知( )
A．P、Q两点的电场强度相同
B．M点的电场强度小于N点的电场强度
C．右边的小球带电荷量为－2q
6
[答案] D
(等量异种点电荷电场的电场线的应用)(多选)如图所示，P、Q为等量异种点电荷，连线中点为O，正方形ABCD的几何中心与O点重合，其中AD边平行PQ连线，E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD边的中点。关于P、Q点电荷形成的电场，下列说法正确的是( )
A．E、G两点电场强度相同
B．E、G两点电场强度不相同
C．F、H两点电场强度相同
D．F、H两点电场强度不相同
[答案] AC
7
[解析] 等量异种点电荷的电场线分布如图所示，结合对称性可知，E、G两点电场强度大小相等，方向相同，F、H两点电场强度大小相等，方向相同，故选项A、C正确。
(等量同种点电荷电场的电场线的应用)(多选)如图所示，两个带等量负电荷的小球A、B(可视为点电荷)被固定在光滑的绝缘水平面上，P、N是在小球A、B连线的中垂线上的两点，且PO＝ON。现将一个电荷量很小的带正电的小球C(可视为质点)从P点由静止释放，在小球C向N点运动的过程中，下列关于小球C的说法可能正确的是( )
A．速度先增大，再减小
B．速度一直增大
C．加速度先增大再减小，过O点后，加速度先减小
再增大
D．加速度先减小，再增大
8
[答案] AD
[解析] 在A、B连线的中垂线上，从无穷远处到O点，电场强度先变大后变小，到O点变为零，若P、N相距很远，则小球C沿A、B连线的中垂线运动时，小球C的加速度先变大后变小，速度不断增大，在O点时加速度变为零，速度达到最大；由O点到N点时，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性。如果P、N相距很近，则加速度先减小，再增大，故A、D正确，B、C错误。
(电场线与带电粒子运动轨迹)(2023·全国甲卷)在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
9
[答案] A
[解析] 电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，A正确；
电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，B错误；
电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见C错误；
电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，对电子受力分析有
可见与电场力的受力特点相互矛盾，D错误。故选A。
(基础考点·自主探究)
(静电平衡状态导体特点)如图所示，在原来不带电的空心金属球壳外面放置一个正电荷。A、B、C三点分别位于球壳外部、球壳实体中和球壳空腔内。当球壳处于静电平衡状态时，下列说法正确的是( )
A．A点的电场强度小于B点的电场强度
B．B点的电场强度小于C点的电场强度
C．由于静电屏蔽，C点的电场强度等于0
D．由于静电感应，球壳内表面感应出电荷
5
静电的应用和防止
[答案] C
[解析] A点处于点电荷的电场中，所以A点的电场强度不等于零；金属空心导体放在点电荷的电场中，最终处于静电平衡状态，导体内部的场强处处为零，所以B、C两点的电场强度都为零，则EA>EB＝EC，故A、B错误，C正确；处于静电平衡的导体的电场强度处处为零，其内表面不带电，故D错误。
(尖端放电)如图所示，小明同学在坐飞机的时候发现机翼末端边缘有一条条针一样的装置，此装置作用是( )
A．防止闪电击中飞机，起到避雷针的作用
B．加强电磁通讯信号，起到天线的作用
C．通过尖端放电使云层中的电荷消失
D．释放飞机表面的静电
[答案] D
[解析] 飞机在飞行时与大气摩擦在表面产生静电，采用尖端放电的原理释放静电。故选D。(共52张PPT)
第九章
静电场
第44讲 电场能的性质
基础梳理·易错辨析
核心考点·重点突破
名师讲坛·素养提升
基础梳理·易错辨析
一、电势能 电势
1．电场力做功的特点
电场力做功与______无关，只与____________有关。
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。
(2)说明：电势能具有相对性，通常把___________或______的电势能规定为零。
路径
初、末位置
无穷远处
地面
(3)静电力做功与电势能变化的关系
①静电力做的功等于电荷电势能的_________，即WAB＝__________。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就______多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就_____多少。
②电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷的电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。
减少量
EpA－EpB
减少
增加
3．电势
(1)定义：试探电荷在电场中某点具有的__________与它的________的比值。
(2)定义式：φ＝______。
(3)矢标性：电势是_______，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比_________高(低)。
(4)相对性：电势具有_________，同一点的电势因选取___________的不同而不同。
电势能Ep
电荷量q
标量
零电势
相对性
零电势点
4．等势面
(1)定义：电场中___________的各点组成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与_________垂直。
②在_____________上移动电荷时电场力不做功。
③电场线方向总是从_________的等势面指向_________的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度_______，反之_______。
电势相等
电场线
同一等势面
电势高
电势低
越大
越小
(3)常见电场线与等势面
电场 等势面(实线)图样 重要特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
电场 等势面(实线)图样 重要特点
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
等量同种正点电荷的电场 在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高
二、电势差
1．定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，_____________与移动电荷的_________的比值。
2．定义式：UAB＝______。
3．电势差与电势的关系：UAB＝_________，UAB＝－UBA。
电场力做的功
电荷量
φA－φB
三、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．电势差与电场强度的关系式：U＝______，其中d为电场中两点间沿____________的距离。
2．电场强度的方向和大小：电场中，电场强度方向是指_________最快的方向。在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿____________单位距离上降低的_______。
注意：U＝Ed适用于匀强电场。
E·d
电场线方向
电势降低
电场线方向
电势
1．电场中电场强度为零的地方电势一定为零。( )
2．等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。( )
3．电场力做功与路径无关。( )
4．带电粒子仅受电场力作用时，一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。( )
5．由于静电力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关。( )
×
×
√
×
√
核心考点·重点突破
1
电场力做功 电势能和电势
(能力考点·深度研析)
1．电场力做功与电势差、电势能变化的关系
关系式WAB＝UABq＝EpA－EpB
(1)注意角标顺序：WAB表示电荷从A移到B电场力做的功；UAB表示φA－φB。
(2)应用的各量均代入正、负号。
(3)WAB＝UABq适用于任何电场。
2．电场力做功正负的判断方法
(1)根据电场力与速度的夹角判断：夹角是锐角，电场力做正功；夹角是钝角，电场力做负功。
(2)根据WAB＝qUAB判断：由q和UAB的正负，判断WAB的正负。
3．电势高低的判断
4．电势能大小的判断
判断方法 方法解读
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正电荷Ep的绝对值越大，电势能越大；负电荷Ep的绝对值越大，电势能越小
电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
判断方法 方法解读
做功法 电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加
能量 守恒法 在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
考向1 静电力做功的正负与电势高低、电势能大小的判断
(多选)(2024·广东卷)污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于底部，金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有( )
A．M点的电势比N点的低
B．N点的电场强度比P点的大
C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功
D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
[答案] AC
[解析] 沿着电场线方向电势降低―→φM<φN，A正确。
电场线密集处电场强度大―→EN[答案] B
【跟踪训练】
(多选)(2023·湖南卷)如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是( )
A．M、N两点电场强度相同
B．M、N两点电势相同
C．负电荷在M点电势能比在O点时要小
D．负电荷在N点电势能比在O点时要大
[答案] BC
1
[解析] 根据场强叠加以及对称性可知，MN两点的场强大小相同，但是方向不同，选项A错误；因在A、B处的正电荷在M、N两点的合电势相等，在C点的负电荷在M、N两点的电势也相等，则M、N两点电势相等，选项B正确；负电荷从M到O，因A、B两电荷的合力对负电荷的库仑力从O指向M，则该力对负电荷做负功，C点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，则该负电荷的电势能增加，即负电荷在M点的电势能比在O点小；同理可知负电荷在N点的电势能比在O点小，选项C正确，D错误。故选BC。
(2023·湖北卷)在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点，其电势分别为φM、φN，电场强度大小分别为EM、EN。下列说法正确的是( )
A．若φM>φN，则M点到电荷Q的距离比N点的远
B．若EMC．若把带负电的试探电荷从M点移到N点，电场力做正功，则φM<φN
D．若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则EM>EN
[答案] C
2
[解析] 沿着电场线的方向电势降低，根据正点电荷产生的电场特点可知若φM>φN，则M点到电荷Q的距离比N点的近，故A错误；电场线的疏密程度表示电场强度的大小，根据正点电荷产生的电场特点可知若EM2
电场线、等势面与粒子运动轨迹
(能力考点·深度研析)
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
2．判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧且与电场线相切，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。
考向1 等势面的理解和应用
(2024·河北卷)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
[答案] C
[解析] 等差等势线越密的位置电场强度越大，由题图可知，c点等势线最密，则其电场强度最大，C正确。
考向2 等势面与粒子运动轨迹
(多选)(2024·甘肃卷)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点。下列说法正确的是( )
A．粒子带负电荷
B．M点的电场强度比N点的小
C．粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D．粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
[答案] BCD
[解析]
考向3 电场线与粒子运动轨迹
真空中某静电场电场线的分布如图所示，如图中P、Q两点关于点电荷q1水平对称。P、Q两点电场强度的大小分别为EP、EQ，电势分别为φP、φQ。一个带电粒子沿虚线轨迹从M移动至N。以下选项正确的是( )
A．φP<φQ
B．EQ>EP
C．此带电粒子带负电，它的电势能先变大后变小
D．此带电粒子带正电，它的电势能先变大后变小
[答案] C
[解析] 根据电场线的分布情况，可知φP>φQ，A错误；根据电场线的疏密比较电场强度的大小，可知P点电场线密，电场强度大，EP>EQ，B错误；根据电场线的特点，可知此电场是由不等量的异种电荷产生的，其中q1带负电，q2带正电，粒子从M点运动到N点，受到了向左的力，所以此带电粒子带负电，电势先降低后升高，所以负电荷的电势能先变大后变小，C正确，D错误。
3
电势差与电场强度的关系
(能力考点·深度研析)
1．匀强电场中电势差与电场强度关系的三个推论
(3)在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点间的电势差相等，如图乙所示， ABCD中，UAB＝UDC，UBC＝UAD。
考向1 匀强电场中电场强度和电势差的关系
(2024·黑龙江哈尔滨市第一二二中学模拟)如图，在匀强电场中有一虚线圆，ab和cd是圆的两条直径，其中ab与电场方向的夹角为60°，ab＝0.2 m，cd与电场方向平行，a、b两点间的电势差Uab＝20 V。则( )
A．电场强度的大小E＝100 V/m
B．b点的电势比d点的低5 V
C．将电子从c点移到d点，静电力做正功
D．电子在a点的电势能大于在c点的电势能
[答案] D
考向2 等分法求解电场强度
[答案] BD
反思提升
等分法确定电场线及电势高低的解题思路
考向3 非匀强电场中电场强度和电势差的关系
如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，电场线的方向如图所示，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是( )
A．O点电势与Q点电势相等
B．将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少
C．MO间的电势差等于ON间的电势差
D．在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
[答案] B
[解析] 过O点和Q点作电场的等势面，如图所示，由图可知，O、Q两点的电势不相等，故A项错误；将一正电荷由M点移到Q点，电场力对电荷做正功，故电荷的电势能减少，故B项正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且MO间的平均场强大于ON间的平均场强，因此由U＝Ed可推得，MO间的电势差大于ON间的电势差，故C项错误；在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿Q点电场线的切线方向斜向上，故D项错误。
【跟踪训练】
(多选)(2024·山西怀仁一中模拟)如图所示的直角三角形，ac＝2ab、bc＝20 cm，d点为bc边上的点，已知∠cad＝∠dab，空间存在一平行于abc面的匀强电场。b点的离子源能向各个方向发射一系列的电子，电子的初动能为Ekb＝2 000 eV，其中到达a、c两点的电子动能分别为2 100 eV、1 900 eV，忽略电子间的相互作用。则下列说法正确的是( )
A．a点的电势比b点的电势高100 V
3
[答案] AC
[解析] 由b到a由动能定理可得－eUba＝Eka－Ekb＝2 100 eV－2 000 eV，解得Uba＝－100 V，则a点的电势比b点的电势高100 V，A正确；由b到c由动能定理可得－eUbc＝Ekc－Ekb＝1 900 eV－2 000 eV，解得Ubc＝100 V，可知bc间的电势差为100 V，所以ac间的电势差
为Uac＝100 V－(－100 V)＝200 V，则b点与ac中点电势
相等，连接b点与ac中点即为等势线，如图所示，由几
何关系可知，电场线方向沿ad方向，电场强度大小为
名师讲坛·素养提升
立体空间中电场强度、电势和电荷电势能的比较
1．问题情境
将点电荷、等量的同种电荷、等量的异种电荷放在立体图形(如三棱锥、正四面体、正六棱柱等)的顶点。求解立体空间内电场的电场强度及电势的分布情况。
2．解题策略
(1)充分利用等量异种和等量同种电荷电场的特点。
(2)利用对称性可使问题简化。
(3)利用立体几何知识求解问题。
空间中A、B、C、D四点为正四面体的四个顶点，M、N两点分别是AB和CD的中点。在A、B两点分别固定等量正点电荷，正四面体对电场分布没有影响。下列说法正确的是( )
A．C、D两点的电场强度相同
B．M、N两点的电势相等
C．带正电的试探电荷从C点沿CD移动到D点，试
探电荷的电势能先增大后减小
D．带负电的试探电荷从C点沿CM移动到M点，试探电荷的电势能增大
[答案] C
[解析] C、D两点离两个点电荷的距离均相等，由对称性知，C、D两点电势相等，电场强度大小相等，但方向不同(易错点：电场强度是矢量)，A错误；根据等量同种正电荷的电场线分布及沿电场线方向电势逐渐降低知，离两个正点电荷的距离越远电势越低，由于N点离两个点电荷的距离大于M点离两个点电荷的距离，故M点的电势大于N点的电势，B错误；带正电的试探电荷从C点沿CD移动到D点，带正电的试探电荷离两个正点电荷的距离先减小后增大，电势先增大后减小，根据Ep＝qφ知，试探电荷的电势能先增大后减小，C正确；带负电的试探电荷从C点沿CM移动到M点，带负电的试探电荷离两个正点电荷的距离逐渐减小，电势增大，试探电荷的电势能减小，D错误。
【跟踪训练】
(多选)如图所示，真空中有一正方体ABCD－A1B1C1D1，在正方体的顶点A、C1处分别固定一个电荷量相等的正点电荷，则下列说法正确的是( )
A．B点和D1点的电势相等
B．B点和D1点的场强相同
C．若有一个质子以某一初速度射入该空间中，可
能做匀速圆周运动
D．若有一个电子以某一初速度射入该空间中，可能做匀速圆周运动
4
[答案] AD
[解析] 电势为标量，电场强度为矢量，在等量同种电荷的电场中(关键点：利用等量同种电荷的电场线特点分析)，根据对称性知B、D1两点电势相等，场强大小相等，方向不同，A正确，B错误；两个等量正电荷形成的电场，不是匀强电场，若粒子在该电场中做匀速圆周运动，运动轨迹处的场强一定大小相等，根据对称性知，该轨迹一定在等量同种电荷的中垂面上，且圆心一定在两电荷连线的中点处，若有一个电子以某一初速度射入该处，两个正电荷对它的电场力的合力提供向心力，可以做匀速圆周运动，如果是正电荷，所受电场力的合力方向不指向圆心，故不可能做匀速圆周运动，C错误，D正确。(共39张PPT)
第九章
静电场
第45讲 专题强化十二 电场中功能关系及图像问题
核心考点·重点突破
1
电场中功能关系的综合问题
(能力考点·深度研析)
1．电场力做功的求解方法
由公式W＝Flcos α计算 只适用于匀强电场，可变形为W＝Eqlcos α
由WAB＝qUAB计算 适用于任何电场
由电势能的变化计算 WAB＝EpA－EpB
由动能定理计算 W电场力＋W其他力＝ΔEk
2．几种常见的功能关系
(1)合外力做功等于动能的变化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。
(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。
(3)静电力做功等于电势能的变化，即W电＝Ep电1－Ep电2＝－ΔEp电。
(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹＝Ep弹1－Ep弹2＝－ΔEp弹。
(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力＝E机2－E机1＝ΔE机。
3．电场中的能量守恒
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(多选)如图所示，倾角为37°的绝缘粗糙斜面固定在水平面上，斜面上方有平行斜面向上的匀强电场。一质量为m＝1 kg的带正电小物块(视为质点)自斜面底端以v0＝6 m/s的初速度沿斜面向上运动，加速度大小为3 m/s2，方向沿斜面向下，小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则在小物块沿斜面向上滑行到最大距离的过程中，小物块的( )
A．重力势能增加36 J B．电势能增加42 J
C．机械能增加18 J D．机械能减少24 J
[答案] AC
【跟踪训练】
(只有电场力做功)(多选)图中虚线A、B、C、D、E代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知一电子经过A平面时的动能为7 eV，电子在A平面时的电势能为－4 eV，电子从A到D的过程中克服静电力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
A．平面A上的电势为4 V
B．电场强度的方向由E指向A
C．该电子在电场内运动轨迹可能与平面E相切
1
[答案] AD
(重力和电场力做功)(多选)(2024·山东卷)如图所示，电荷量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、电荷量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为S，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是( )
2
[答案] AD
3
[答案] D
2
电场中的图像问题
(能力考点·深度研析)
考向1 v－t图像
(1)由v－t图像中图线的斜率变化分析带电粒子的加速度a的大小变化。
(3)根据v－t图像分析带电粒子做加速运动还是减速运动，结合带电粒子的电性分析电场强度的方向。
(4)由电场强度的大小和方向分析电场的其他性质，如电场线、等势面的分布及电势的变化等。
(2025·浙江五校联考)如图(a)所示，Q1、Q2为两个被固定的点电荷，其中Q1带负电，a、b、c三点在它们连线的延长线上。现有一带负电的粒子以一定的初速度沿直线从a点开始向远处运动经过b、c两点(粒子只受电场力作用)，粒子经过a、b、c三点时的速度分别为va、vb、vc，其v－t图像如图(b)所示。以下说法中正确的是( )
A．Q2一定带负电
B．Q2的电荷量一定大于Q1的电荷量
C．b点的电场强度最大
D．粒子由a点运动到c点过程中，粒子的电势能先增大后减小
[答案] D
考向2 E－x图像
(1)反映了电场强度随位移变化的规律。
(2)E>0表示场强沿正方向；E<0表示场强沿负方向。
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，“面积”的正负表示始末两点电势的高低。
某静电场中x轴上各点的电场强度方向均和x轴重合，以x轴正方向为电场强度的正方向，x轴上的电场强度随位置坐标的变化规律如图所示，其中x1～x3间的图线关于x2点中心对称，规定x2点为电势零点，已知x2＝2x1＝2d，将一带电荷量为＋q的粒子从坐标原点由静止释放不计粒子重力，关于粒子从原点O运动到x3点的过程，下列说法正确的是( )
A．释放后粒子的加速度先不变后减小
C．粒子经过的位置中O点电势一定最大
D．粒子在x1和x3处速度达到最大值
[答案] C
[解析] O～x1间，电场强度沿x轴正方向且大小不变，又粒子带正电，故粒子沿x轴正方向做匀加速直线运动；x1～x2间，电场强度沿x轴正方向，且大小逐渐减小，故粒子沿x轴正方向做加速度减小的加速运动；x2～x3间，电场强度沿x轴负方向，且大小逐渐增大，故粒子沿x轴正方向做加速度增大的减速运动，故A、D错误；x1～x3间的图线关于x2点中心对称，则x1～x2间电场力对粒子做的正功数值上等于x2～x3间电场力对粒子做的负功，故粒子到达x3时的动能等于粒子到达x1时的动能，即Ek＝qdE0，故B错误；粒子在电场中仅在电场力作用下运动，粒子的动能和电势能之和不变，若O点之后粒子速度一直大于零，则粒子经过的位置处的电势能一定小于O点的，又粒子带正电，则粒子经过的位置处的电势一定小于O点的，故C正确。故选C。
考向3 φ－x图像
(1)电场强度的大小等于φ－x图线切线的斜率大小，电场强度为0处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为0。
(2)在φ－x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
(3)在φ－x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
[答案] AD
考向4 Ek－x图像
(1)函数关系表达式：F合·Δx＝ΔEk。
(2)图像斜率物理含义：合外力(F合)。
(3)纵截距表示初动能。
(多选)(2024·河北保定月考)如图甲所示，A、B为电场中一直线上的两个点，带正电的粒子只受电场力的作用，从A点以某一初速度沿直线运动到B点，其动能Ek随位移x的变化关系如图乙所示，则该粒子从A运动到B的过程中，下列说法正确的是( )
A．粒子的电势能先减小后增大
B．在x轴上，电场强度的方向由A指向B
C．粒子所受电场力先减小后增大
D．在x轴上，从A到B各点的电势先升高后降低
[答案] AC
[解析] 由题图乙Ek－x图像可知，带正电粒子动能先增大后减小，故带正电粒子的电势能先减小后增大，故A正确；从A到B的过程中，带正电粒子的动能先增大后减小，即电场力先做正功后做负功，粒子速度方向不变，故电场力的方向发生改变，即场强方向发生改变，故B错误；根据动能Ek随位移x的变化关系可知，合外力做功等于带电粒子的动能变化，在Ek随位移x变化图像中，图线的切线斜率表示合外力，即带正电粒子所受的电场力，由题图可知，电场力先减小后增大，故C正确；正电荷在电势高的地方具有的电势能大，从A到B的过程中，带正电粒子的电势能先减小后增大，故从A到B各点的电势先降低后升高，故D错误。
考向5 Ep－x图像
(1)描述电势能随位移变化的规律。
(2)根据电势能的变化可以判断静电力做功的正负。
(3)根据W＝Fx＝Ep0－Ep，整理得Ep＝Ep0－Fx，图像Ep－x的斜率大小为静电力大小。
[答案] C
A．x＝1 m处的电场强度大小为20 V/m
B．滑块向右运动过程中，加速度先增大后减小
C．滑块运动至x＝3 m处时，速度大小为2 m/s
D．若滑块恰好到达x＝5 m处，则该处的电势为50 V
【跟踪训练】
(2024·湖南卷)真空中有电荷量为＋4q和－q的两个点电荷，分别固定在x轴上－1和0处。设无限远处电势为0，x正半轴上各点电势φ随x变化的图像正确的是( )
4
[答案] D
如图所示，O为竖直方向上固定的等量异种点电荷连线的中点，点M、N关于O点对称，无穷远处电势为0。一带负电荷的小球从M点由静止释放，在其运动至N点的过程中，小球的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和电势能Ep与时间t或位移x的关系图像正确的是( )
5
[答案] D(共56张PPT)
第九章
静电场
第46讲 电容器 带电粒子在电场中的运动
基础梳理·易错辨析
核心考点·重点突破
基础梳理·易错辨析
一、电容器 电容
1．电容器
(1)组成：由两个彼此______又相距很近的导体组成。
(2)带电荷量：一个极板所带电荷量的________。
(3)电容器的充、放电
①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的___________，电容器中储存________。
②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中________
转化为其他形式的能。
绝缘
绝对值
异种电荷
电场能
电场能
(3)单位：法拉(F)，1 F＝____ μF＝____pF。
(4)意义：表示电容器__________本领的高低。
(5)决定因素：由电容器本身物理条件(大小、形状、极板相对位置及电介质)决定，与电容器是否带电及电压_____。
106
1012
容纳电荷
无关
3．平行板电容器
(1)影响因素：平行板电容器的电容与两极板的__________成正比，与电介质的_______________成正比，与_______________成反比。
正对面积
相对介电常数
两极间的距离
二、带电粒子在电场中的运动
1．带电粒子在电场中的加速
(1)处理方法：利用动能定理qU＝______________。
(2)适用范围：_________。
2．带电粒子在匀强电场中的偏转
(1)研究条件：带电粒子_____于电场方向进入匀强电场。
(2)处理方法：类似于__________，应用运动的合成与分解的方法。
①沿初速度方向做_________运动，运动时间t＝____。
②沿电场方向，做初速度为零的___________运动。
任何电场
垂直
平抛运动
匀速直线
匀加速直线
1．电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的代数和。( )
2．电容器的电容与电容器所带电荷量成反比。( )
3．放电后的电容器电荷量为零，电容也为零。( )
4．带电粒子在匀强电场中只能做类平抛运动。( )
5．带电粒子在电场中，只受电场力时，也可以做匀速圆周运动。 ( )
×
×
×
×
√
6．示波管屏幕上的亮线是由于电子束高速撞击荧光屏而产生的。 ( )
7．带电粒子在电场中运动时重力一定可以忽略不计。( )
√
×
核心考点·重点突破
1
平行板电容器的动态分析
(能力考点·深度研析)
1．电容器两类问题的比较
分类 充电后与电池两极相连 充电后与电池两极断开
不变量 U Q
d变大 C变小→Q变小、E变小 C变小→U变大、E不变
S变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小
εr变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小
2．两类典型动态分析思路
(多选)(2025·河南高三阶段练习)如图所示，水平正对的金属板A、B与干电池连接，B板接地，静电计的电荷量、导线以及电池的内阻均不计。开关S闭合，一带负电的油滴静止于两板间的P点。下列说法正确的是( )
A．若仅将A板上移一些，则静电计指针的
张角减小
B．若仅将B板下移一些，则油滴向下运动
C．若断开S，且仅将B板下移一些，则油滴的电势能减小
D．若断开S，且仅在A、P间插入玻璃板，则油滴向上运动
[答案] BC
【跟踪训练】
(2024·黑吉辽卷)某种不导电溶液的相对介电常数εr与浓度cm的关系曲线如图(a)所示。将平行板电容器的两极板全部插入该溶液中，并与恒压电源、电流表等构成如图(b)所示的电路。闭合开关S后，若降低溶液浓度，则( )
A．电容器的电容减小
B．电容器所带的电荷量增大
C．电容器两极板之间的电势差增大
D．溶液浓度降低过程中电流方向为M→N
1
[答案] B
[解析]
如图所示水平放置平行板电容器的两极板M、N间，在O点有一电荷量大小为q的带电微粒(q远小于Q)恰好静止，图中二极管为理想二极管，以Q表示电容器储存的电荷量，U表示两极板间电压，E表示两极板间电场强度，Ep表示带电微粒在O点的电势能。若保持极板M不动，将极板N稍向下平移后，下列说法中正确的是( )
A．二极管中有从a到b的电流
B．U减小
C．E减小
D．Ep减小
2
[答案] D
误；由平衡条件知，带电微粒受到的电场力方向与电场方向相反，故带电微粒带负电，φO＝UON＝EdON，极板N稍向下平移，dON变大，电场强度E保持不变，故O点的电势φO增大，根据Ep＝qφ知，电势能Ep减小，D正确。
(能力考点·深度研析)
1．带电粒子(或带电体)在电场中运动时是否考虑重力的处理方法
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)。
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都要考虑重力。
2
带电粒子(或带电体)在电场中的直线运动
2．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动。
(2)粒子所受合外力F合≠0，且合外力与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做变速直线运动；若电场为匀强电场，则带电粒子做匀变速直线运动。
考向1 仅在电场力作用下的直线运动
多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为l的漂移管(无场区域)构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测
得离子从A到B的总飞行时间。设实验所
用离子的电荷量均为q，不计离子重力。
(1)求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间T1；
(2)反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
(3)已知质量为m0的离子总飞行时间为t0，待测离子的总飞行时间为t1，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量m1。
带电粒子(体)在电场中直线运动的分析方法
反思提升
考向2 带电体在静电力和重力作用下的直线运动
(2023·浙江卷)AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10 cm，电荷量为1.0×10－8 C、质量为3.0×10－4 kg的小球用长为5 cm的绝缘细线悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点(未标出)，则( )
[答案] B
[解析] 根据平衡条件和几何关系，对小球受力分析如图所示
(能力考点·深度研析)
1．带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。
3
带电粒子(或带电体)在电场中的偏转
考向1 仅在电场力作用下的偏转
[答案] C
考向2 在电场力和重力作用下的匀变速曲线运动
(多选)如图所示，一质量为m、带正电的液滴，在水平向右的匀强电场中运动，运动轨迹在竖直平面内，A、B为其运动轨迹上的两点，已知该液滴在A点的速度大小为v0，方向与竖直方向的夹角为30°，它运动到B点时速度大小仍为v0，方向与竖直方向的夹角为60°，则液滴从A运动到B的过程( )
A．液滴在水平方向和竖直方向的分位移相等
[答案] AD
考向3 示波管的原理
一束电子从静止开始经加速电压U1＝U0加速后，水平射入水平放置的两平行金属板中间，如图所示。金属板长为l，两板距离为d＝l，竖直放置的荧光屏距金属板右端为L＝2l，若在两金属板间加直流电压U2＝2U0时，光点偏离中线打在荧光屏上的P点，其中电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子之间的相互作用。求：(结果用e、m、l、U0表示)
(1)电子刚进入偏转电场时的速度大小；
(2)电子离开偏转电场时垂直于板面方向的位移大小；
(3)OP的长度和电子打到P点时的动能。
反思提升
确定最终偏移距离
思路一
思路二
【跟踪训练】
(2024·黑吉辽卷)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线；若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中( )
A．动能减小，电势能增大
B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小
D．动能增大，电势能减小
3
[答案] D
[解析] 由题意可知，带电小球所受合力方向沿虚线斜向右下方，画出其受力分析图如图所示，带电小球的初速度方向垂直虚线向上，从O点出发运动到与O点等高处时，重力做功为零，电场力做正功，动能增大，电势能减小，A、B、C错误，D正确。
(2023·浙江卷)如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极YY′、水平方向偏转电极XX′和荧光屏组成。电极XX′的长度为l、间距为d、极板间电压为U，YY′极板间电压为零，电子枪加速电压为10U。电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿OO′方向进入偏转电极。已知电子电荷量为e，质量为m，则电子( )
4
[答案] D
如图所示，空间固定两平行板电容器甲、乙，甲电容器水平放置，乙电容器两极板与水平方向的夹角为53°，B极板的右端与C极板的下端彼此靠近且绝缘，忽略极板外的电场。一电子从靠近A板左端的位置，以水平向右的速度v0射入，飞离甲后垂直C从小孔进入乙，且恰好到达D。已知电子的质量为m，电荷量为e，甲、乙板间距离均为d，甲的板长为2d，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：
(1)电子离开甲电容器的速度大小；
(2)甲电容器的板间电压；
(3)乙电容器的板间电压；
(4)电子从开始至到达D极板所用时间。
5(共59张PPT)
第九章
静电场
第47讲 专题强化十三 带电粒子(或带电体)在电场中运动的综合问题
核心考点·重点突破
名师讲坛·素养提升
核心考点·重点突破
1
带电粒子在交变电场中的运动
(能力考点·深度研析)
1．带电粒子在交变电场中的直线运动
当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定了粒子的运动情况，粒子可以做周期性的直线运动。
2．带电粒子在交变电场中的偏转
当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性。
3．思维方法
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。
(2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。
4．解题技巧
(1)按周期性分段研究。
特别提醒：
对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场瞬间可认为是在匀强电场中运动。
考向1 带电粒子在交变电场中的直线运动
(2024·浙江温州模拟)如图甲所示为粒子直线加速器原理图，它由多个横截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交流电源相连，交流电源两极间的电势差的变化规律如图乙所示。在t＝0时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板(序号为0)的中央有一自由电
子由静止开始在各间隙中不断加速。若电子的
质量为m，电荷量为e，交流电源的电压为U，
周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，
忽略电子通过圆筒间隙的时间。下列说法正确
的是( )
D．保持加速器筒长不变，若要加速比荷更大的粒子，则要调大交变电压的周期
[答案] C
【跟踪训练】
如图甲所示，在两距离足够大的平行金属板中央有一个静止的质子(不计重力)，t＝0时刻，A板电势高于B板电势，当两板间加上如图乙所示的交变电压后，下列图像中能正确反映质子速度v、位移x、加速度a和动能Ek四个物理量随时间变化规律的是( )
1
[答案] C
2
[答案] BC
2
用等效法处理带电体在电场和重力场中的运动
2．等效最高点与等效最低点
小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”。
3．举例
考向1 电场线竖直时的等效重力法
(2024·河北卷)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)，质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)小球在A、B两点的速度大小。
考向2 电场线水平时的等效重力法
(多选)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量大小为q的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得一个与线垂直的初速度，小球能绕O点在与电场平行的竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
[题图剖析]
[答案] ABD
【跟踪训练】
(2024·四川省三模)如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H是竖直光滑绝缘圆轨道的八等分点，AE竖直，空间存在平行于圆轨道面的匀强电场，从A点静止释放一质量为m的带电小球，小球沿圆弧恰好能到达C点。若在A点给带电小球一个水平向右的冲量，让小球沿轨道做完整的圆周运动，则小球在运动过程中( )
A．E点的动能最小
B．B点的电势能最大
C．C点的机械能最大
D．F点的机械能最小
3
[答案] C
[解析] 从A点静止释放一质量为m的带电小球，小球沿圆弧恰好能到达C点，可知静电力和重力的合力方向沿FB方向斜向下，可知B点为“等效最低点”，F点为“等效最高点”，可知小球在F点速度最小，动量最小。由平衡条件可知，静电力水平向右，可知小球在G点电势能最大，在C点电势能最小，因小球的电势能与机械能之和守恒，可知在C点机械能最大，在G点机械能最小，故选C。
(能力考点·深度研析)
一、电场中的力、电综合问题的解题观点
1．动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受电场力和重力都是恒力，可用正交分解法。
(2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题。
3
应用力学三大观点解决力电综合问题
2．能量的观点
(1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。
(2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。
3．动量的观点
(1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。
(2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目中是否在某方向上动量守恒。
(1)弹簧压缩至A点时的弹性势能；
(2)小球经过O点时的速度大小；
(3)小球过O点后运动的轨迹方程。
(3)小球离开O点后的受力分析如图所示，根据力的合成法则可知重力与电场力的合力方向沿水平方向，大小F合＝mg，即小球离开O点后，在水平方向以大小为g的加速度做初速度为零的匀加速直线运动，有
考向2 利用能量观点和动量观点分析力、电综合问题
[答案] (1)0.6 m (2)10 m/s
【跟踪训练】
(2023·山东卷)电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与
高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火
弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与水平
面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高
度及空气阻力，取重力加速度大小g
＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。
4
(2023·河北卷)由点电荷组成的系统的电势能与它们的电荷量、相对位置有关。如图1，a、b、c、d四个质量均为m、带等量正电荷的小球，用长度相等、不可伸长的绝缘轻绳连接，静置在光滑绝缘水平面上，O点为正方形中心，设此时系统的电势能为E0。剪断a、d两小球间的轻绳后，某时刻小球d的速度大小为v，方向如图2，此时系统的电势能为( )
5
[答案] B
名师讲坛·素养提升
带电粒子在圆形电场中的运动规律
规律一 同种带电粒子以相同动能从同一点射入
在圆形区域内有平行纸面的匀强电场，同种带电粒子从圆周上同一点(图中A点)，以相同初动能沿不同方向射入电场，经电场后从圆周上某点(P点)射出的动能最大，则电场方向平行于过该点(P点)的直径，射出点为沿电场方向最远的点(正、负粒子分别对应为电势最低、最高点)。
在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心、半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ＝60°。运动中粒子仅受电场力作用。
(1)求电场强度的大小。
(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子
进入电场时的速度应为多大？
[解析] (1)粒子初速度为零，由C点射出电场，故电场方向与AC平行，由A指向C。由几何关系和电场强度的定义知
lAC＝R①
F＝qE②
设粒子以速度v1进入电场时动能增量最大，在电场中运动的时间为t1。粒子在AC方向做加速度为a的匀加速运动，运动的距离等于lAP；在垂直于AC的方向上做匀速运动，运动的距离等于lDP。由牛顿第二定律和运动学公式有
F＝ma⑥
规律二 同种带电粒子以不同动能从不同点射入
在圆形区域内有平行纸面的匀强电场(如图所示)，同种带电粒子从圆周上不同点(图中A、B、C等)，垂直电场方向射入电场，若使粒子经过圆形电场区域，均获得最大动能增量，则带电粒子应从过圆心的电场线与圆的交点(P)射出，射出点(P)为沿电场方向最远的点(正、负粒子分别对应为电势最低、最高点)。
(2024·青岛模拟)如图所示，垂直x轴放置一长度为2R的电子源MN，可释放质量为m、电荷量为q、初速度为0的电子，忽略电子之间的相互作用。MN右侧的三角形区域Ⅰ内存在水平向左的匀强电场。半径为R的圆形区域Ⅱ内存在竖直向上的匀强电场，坐标轴y过圆形区域的圆心，坐标轴x与该圆形区域相切。两个区域内的电场强度大小均为E。
(1)设区域Ⅰ的顶角为θ，若有一个电子经过Ⅰ、Ⅱ电场后刚好从O点射出，速度方向与x轴正向成45°角，求该电子在
MN上的出发点的纵坐标y；
(2)若要使MN上释放的所有能够进入区域Ⅱ的
电子均能在该区域中能获得最大动能增量，求区域
Ⅰ顶角θ的正切值。(共27张PPT)
第九章
静电场
第48讲 实验十 观察电容器的充、放电现象
实验知识·自主回顾
核心考点·重点突破
实验知识·自主回顾
一、实验目的
1．知道电容器的构造。
2．根据电路图正确连接实物图，认真观察电容器充放电的实验现象。
二、实验原理
1．电容器的充电过程
当S接1时，电容器接通电源，电容器上极板的___________在电场力的作用下将经过电源移到与电源负极相接的下极板，正极板由于失去负电荷而带______，负极板由于获得负电荷而带____电，正、负极板所带电荷量大小______，符号相反，如图甲所示。电荷定向移动形成电流，由于同性电荷的排斥作用，所以开始电流最____，以后逐渐减____，在电荷移动过程中，电容器极板储存的电
荷不断_______，电容器两极板间电压
U等于电源电动势E时电荷停止移动，
电流I＝____。
自由电子
正电
负
相等
大
小
增加
0
2．电容器的放电过程
如图所示，当开关S接2时，相当于将电容器的两极板直接用导线连接起来，电容器正、负极板上电荷发生______，在电子移动过程中，形成电流。
放电开始电流较_____(填“大”或“小”)，随着两极板上的电荷量逐渐减小，电路中的电流逐渐_______(填“增大”或“减小”)，两极板间的电压也逐渐减小到零。
中和
大
减小
三、实验过程
1．实验步骤
(1)调节直流可调电源，输出为6 V，并用多用电表校准。
(2)关闭电源开关，正确连接实物图，电路图如图。
(3)打开电源，把单刀双掷开关S打到上面，使触点1和触点2连通，观察电容器的充电现象，并将结果记录在数据处理的表格中。
(4)把单刀双掷开关S打到下面，使触点3和触点2连通，观察电容器的放电现象，并将结果记录在数据处理的表格中。
(5)记录好实验结果，关闭电源。
2．数据处理
实验项目 实验现象 电容器 充电 灯泡 亮度由明到暗最后熄灭
电流表1 读数由大到小最后为零
电压表 读数由小到大最后为6 V
电容器 放电 灯泡 亮度由明到暗最后熄灭
电流表2 读数由大到小最后为零
电压表 读数由大到小最后为零
五、注意事项
1．电流表要选用小量程的灵敏电流表。
2．要选择大容量的电容器。
3．实验过程中要在干燥的环境中进行。
4．在做放电实验时，在电路中串联一个电阻，避免烧坏电流表。
核心考点·重点突破
1
教材原型实验
(基础考点·自主探究)
【跟踪训练】
(电容器充、放电现象的定性分析)(2024·甘肃卷)一平行板电容器充放电电路如图所示。开关S接1，电源E给电容器C充电；开关S接2，电容器C对电阻R放电。下列说法正确的是( )
A．充电过程中，电容器两极板间电势差增加，充电电流增大
B．充电过程中，电容器的上极板带正电荷，流过电阻R的电流由M点流向N点
C．放电过程中，电容器两极板间电势差减小，放电
电流减小
D．放电过程中，电容器的上极板带负电荷，流过电
阻R的电流由N点流向M点
1
[答案] C
[解析] 充电过程中，随着电容器所带电荷量的增加，电容器两极板间电势差增大，充电电流在减小，A错误；根据题图可知，充电过程中，电容器的上极板带正电荷，流过电阻R的电流由N→M，B错误；放电过程中，随着电容器所带电荷量的减小，电容器两极板间电势差减小，放电电流在减小，C正确；根据题图可知，放电过程中，电容器的上极板带正电荷，流过电阻R的电流由M→N，D错误。
(电容器所带电荷量和电容的计算)(2023·山东卷)电容储能已经在电动汽车，风、光发电，脉冲电源等方面得到广泛应用。某同学设计图甲所示电路，探究不同电压下电容器的充、放电过程，器材如下：
电容器C(额定电压10 V，电容标识不清)；
电源E(电动势12 V，内阻不计)；
电阻箱R1(阻值0～99 999.9 Ω)；
滑动变阻器R2(最大阻值20 Ω，额定电流2 A)；
电压表V(量程0～15 V，内阻很大)；
发光二极管D1、D2，开关S1、S2，电流传感器，计算机，导线若干。
2
回答以下问题：
(1)按照图甲连接电路，闭合开关S1，若要升高电容器充电电压，滑动变阻器滑片应向________端滑动(填“a”或“b”)。
(2)调节滑动变阻器滑片位置，电压表表盘如图乙所示，示数为____
V(保留1位小数)。
(3)继续调节滑动变阻器滑片位置，电压表示数为8.0 V时，开关S2掷向1，得到电容器充电过程的I－t图像，如图丙所示。借鉴“用油膜法估测油酸分子的大小”实验中估算油膜面积的方法，根据图像可估算出充电结束后，电容器存储的电荷量为________C(结果保留2位有效数字)。
(4)本电路中所使用电容器的电容约为________F(结果保留2位有效数字)。
(5)电容器充电后，将开关S2掷向2，发光二极管________(填“D1”或“D2”)闪光。
[答案] (1)b (2)6.5 (3)3.7×10－3 (4)4.6×10－4 (5)D1
[解析] (1)题图甲中滑动变阻器为分压式接法，滑动变阻器滑片左端的部分与电容器并联，要升高电容器两端的电压，滑动变阻器的滑片应向b端移动。
(2)电压表量程为15 V，分度值为0.5 V，则电压表示数为6.5 V。
反思提升
电容器充、放电现象中的三点注意事项
(1)电容器充电时电流流向正极板，电容器放电时电流从正极板流出，且充、放电电流均逐渐减小至零。
(2)电容器充、放电过程，电容器的电容不变，极板上所带电荷量和电压按正比关系变化。
(3)电容器充、放电过程，I－t图中曲线与坐标轴围成的面积表示电容器储存的电荷量。
(能力考点·深度研析)
实验仪器的改进和实验目的创新
(1)通过电流、电压传感器输出充电过程的电流、电压随时间t变化。
(2)计算电容器的电容与标称值进行对比。
2
创新实验提升
(2023·福建卷)某同学用图(a)所示的电路观察矩形波频率对电容器充放电的影响。所用器材有：电源、电压传感器、电解电容器C(4.7 μF,10 V)，定值电阻R(阻值2.0 kΩ)、开关S、导线若干。
(1)电解电容器有正、负电极的区别。根据图(a)，将图(b)中的实物连线补充完整；
(2)设置电源，让电源输出图(c)所示的矩形波，该矩形波的频率为________Hz；
(3)闭合开关S，一段时间后，通过电压传感器可观测到电容器两端的电压UC随时间周期性变化，结果如图(d)所示，A、B为实验图线上的两个点。在B点时，电容器处于________状态(选填“充电”或“放电”)在________点时(选填“A”或“B”)，通过电阻R的电流更大；
(4)保持矩形波的峰值电压不变，调节其频率，测得不同频率下电容器两端的电压随时间变化的情况，并在坐标纸上作出电容器上最大电压Um与频率f关系图像，如图(e)所示。当f＝45 Hz时电容器所带电荷量的最大值Qm＝________C(结果保留两位有效数字)；
(5)根据实验结果可知，电容器在充放电过程中，其所带的最大电荷量在频率较低时基本不变，而后随着频率的增大逐渐减小。
[答案] (1)见解析图 (2)40 (3)充电 B (4)1.8×10－5
[解析] (1)根据电路图连接实物图，如图所示。
