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2.立方根
1.立方根的相关概念
如果一个数的 等于a,那么这个数叫做a的立方根.数a的立方根,记作 ,读作“ ”.其中,a是 ,3是
.
立方
三次根号a
被开方数
根指数
2.立方根的性质
任何数都有一个立方根,正数的立方根是 ,负数的立方根是 ,
0的立方根是 .
3.开立方
求一个数的 的运算,叫做开立方.
正数
负数
0
立方根
精讲练 新知探究
重点必记
(2)如果被开方数是小数,那么要注意小数点的位置或化成分数;如果被开方数是带分数,那么要将带分数化成假分数.
巩固训练
4
0.3
2.84
-2.60
例3 已知2a-1的算术平方根为3,3a+b-1的平方根为±4,求a+2b的立方根(结果精确到0.1).
巩固训练
2.用计算器求下列各数的立方根(结果精确到0.001):
(1)456; (2)-3 000.
3.已知3a+21的立方根是3,4a-b-1的算术平方根是2,c的平方根是它本身.
(1)求a,b,c的值;
(2)求3a+10b+c的平方根.
解:(1)根据题意,得
3a+21=27,4a-b-1=4,c=0,
解得a=2,b=3.
(2)3a+10b+c=3×2+10×3+0=36.
∵36的平方根为±6,
∴3a+10b+c的平方根为±6.
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过教材 要点概览
10.1 平方根和立方根
1.平方根
1.平方根的概念
如果一个数的 等于a,那么这个数叫做a的 .
2.平方根的性质
一个正数的平方根有两个,它们互为 ;0的平方根是 ;负数
平方根.
第10章 数的开方
平方
平方根
相反数
0
没有
正
根号a
平方根
精讲练 新知探究
解:(1)∵(±8)2=64,∴64的平方根是±8.
(3)0.000 4; (4)(-6)2.
解:(3)∵(±0.02)2=0.000 4,
∴0.000 4的平方根是±0.02.
(4)∵(±6)2=(-6)2,
∴(-6)2的平方根是±6.
(1)求一个非负数的平方根的常用方法是运用平方运算.
方法点拨
(2)求小数的平方根时,要注意小数点的位置,也可以先将它化成分数再求平方根.
(3)求带分数的平方根时,应先将带分数化为假分数.
巩固训练
D
解:(1)∵(±11)2=121,
∴121的平方根是±11.
1.4的平方根是( )
A.2 B.-2 C.16 D.±2
2.求下列各数的平方根:
(1)121; (2)0.01;
(2)∵(±0.1)2=0.01,
∴0.01的平方根是±0.1.
3.一个正数的两个平方根是2a-1和-a+2,求a的值及这个正数.
解:∵一个正数的两个平方根是2a-1和-a+2,
∴(2a-1)+(-a+2)=0,
解这个方程,得a=-1.
∴2a-1=-3,
∴这个正数为(-3)2=9.
探究点二 算术平方根的概念及开平方运算
例2 完成下列表格:
被开方数 225 (-1.2)2
算术平方根
开平方
解:
巩固训练
D
7
±7
2
±2
8
±1.4
3
探究点三 用计算器求算术平方根
例3 我们可以利用计算器求一个正数a的算术平方根,其操作方法是按顺序按键输入: .小明按键输入 ,显示结果为4,则他按键输入 ,显示结果应为 .
40
巩固训练
C
“若几个非负数的和为0,则每个数均为0”,由此即可求其中的未知数的值,然后把未知数的值代入待求代数式,继而求出代数式的值.
方法点拨
巩固训练
2024
基础巩固练
10.1 平方根和立方根
1.平方根
知识点1 平方根的概念及性质
1.(2024内江)16的平方根是( )
A.2 B.-4 C.4 D.±4
第10章 数的开方
D
C
3.下列说法正确的是( )
A.任何数都有平方根
B.每一个数的平方根都有两个
C.-4是16的平方根
D.(-5)2没有平方根
C
解:(1)∵(±13)2=169,
∴169的平方根是±13.
(2)∵(±0.04)2=0.0 016,
∴0.001 6的平方根是±0.04.
(4)∵(-5)2=25,(±5)2=25,
∴(-5)2的平方根是±5.
知识点2 算术平方根的概念及开平方运算
5.(2024杭州期末)“9的算术平方根是3”,用数学式子表示为( )
B
C
4
8.(2024泉州期末)若一个正方形的面积为144,则它的边长为 .
12
40.51
11.利用计算器计算下列各数的算术平方根如表:
10
2.236
7.071
B
6
能力提升练
D
B
题组 已知平方根求字母的值
17.(1)某个正数的两个平方根分别是3-a和2a+3,则这个正数是 .
(2)已知a-1和5-2a都是非负数m的平方根,则m的值为 .
18.已知x-1的算术平方根为2,3x+y-1的平方根为±4.
(1)求x,y的值;
81
1或9
解:(2)∵3x+5y=15+10=25,
∴3x+5y的平方根为±5.
素养培优练
19.一个正数有两个平方根,它们互为相反数.
如:若x2=4,则x=±2.
(1)类比平方根的这条性质,解方程:
(x-1)2=36.
解:(1)(x-1)2=36,
x-1=±6,
∴x=7或x=-5.
(2)应用(1)中的方法解决下面的问题:
自由下落物体的高度h(m)与下落时间t(s)的关系是h=4.9t2.若有一个重物从122.5 m高的建筑物顶部自由落下,求这个重物到达地面的时间.
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第2课时 实数的大小比较及运算
1.实数的大小比较
(1)在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数 ;
(2)正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;
(3)两个正数,绝对值大的就大;两个负数,绝对值大的 .
(4)一些实数,可以通过取它们的近似值,根据近似值的大小关系确
定它们的大小关系.
大
反而小
2.估算无理数的方法
我们通常用逼近法来求无理数的近似值.
3.实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方的运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.
精讲练 新知探究
方法点拨
(2)比较实数的大小时,可以比较被开方数的大小,也可以比较它们的平方的大小,还可以根据题目特点选择作差法、估算法等方法.
(1)直接运用实数的大小比较法则比较两个实数的大小;
巩固训练
B
>
<
解:(1)原式=3+(-4)-2=-3.
巩固训练
2
基础巩固练
第2课时 实数的大小比较及运算
A
B
<
<
>
A
-3
能力提升练
B
-5
素养培优练
(1)求a,b的值;
(2)求(-a)3+(b+4)2的平方根.
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10.2 实数
第1课时 实数及其性质
1.无理数的概念
小数叫做无理数.
2.实数的概念及分类
和 统称为实数.
无限不循环
有理数
无理数
实
数
4.实数与数轴上的点的关系
数轴上的每一点必定表示一个 ;反过来,每一个 (有理数或无理数)都可以用数轴上的一个点来表示.换句话说,实数与数轴上的点
.
实数
实数
一一对应
5.当数从有理数扩充到实数以后,有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
实数a的相反数是 ;一个正实数的绝对值是 ,0的绝对值是 ,一个负实数的绝对值是 .
-a
它本身
0
它的相反数
精讲练 新知探究
(1)无理数集合:{ ,…}.
(2)正实数集合:{ ,…}.
(3)整数集合:{ ,…}.
③④
②⑤⑥⑦
①⑥⑦
重点必记
(2)任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数,反过来,任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
(1)将实数进行分类时,应先将某些数进行计算或化简,再根据最后结果分类,不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数.
巩固训练
C
2.有下列说法:①无限小数都是无理数;②不循环小数都是无理数;③无理数都是无限小数;④无理数也有负数;⑤实数按性质可分为正实数、零、负实数.其中正确的有( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
B
①②③④⑦
⑤⑥⑧⑨
①
巩固训练
4.与数轴上的点具有一一对应关系的是( )
A.整数 B.有理数
C.无理数 D.实数
D
C
2
方法点拨
(2)a+b的相反数是-a-b,a-b的相反数是b-a;
(1)在实数范围内,相反数、绝对值的意义和有理数范围内相反数、绝对值的意义完全一样;
巩固训练
B
C
解:∵a是绝对值最小的整数,b是最大的负整数,c和d互为相反数,
∴a=0,b=-1,c+d=0,
∴原式=0-|1-2025|+0×2 024
=-2 024.
基础巩固练
10.2 实数
第1课时 实数及其性质
A
C
3.(2024宜宾期中)下列说法中,正确的有( )
①0是最小的实数;
②无理数就是带根号的数;
③不带根号的数是有理数;
④无限小数不能化成分数;
⑤无限不循环小数就是无理数.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
B
C
B
7.(2024张家口期中)如图所示,面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上,且表示的数为-1,若点E在数轴上,点E在点A的右侧且AB=AE,则点E表示的数为( )
A
B
能力提升练
D
13.(2024石家庄期中)如图所示,半径为1个单位长度的圆上的点A与数轴上表示-1的点重合,若将该圆沿数轴向右滚动一周,圆上的点A恰好与数
轴上的点B重合,则点B表示的实数为( )
A.π-1 B.π+1
C.2π-1 D.2π+1
C
14.如图所示,数轴上A,B两点表示的实数分别是-π,1.若线段CB=2AB,则点C表示的实数是( )
A.π+1 B.-2π
C.-2π-1 D.-2π-2
C
-1
④
素养培优练
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