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基础巩固练
11.4 整式的除法
1.单项式除以单项式
知识点1 单项式除以单项式
1.计算a4b3÷a3b3的结果是( )
A.a B.a3 C.ab D.a2b
2.若Ψ·(-ab3c2)=a2b4c3,则Ψ处应填( )
A.-a2bc B.-ab2c C.-abc2 D.-abc
A
D
3.20a7b6c÷(-4a3·b2)÷(ab)的值是( )
A.-5a5b2 B.-5a5b5
C.5a5b2 D.-5a3b3c
4.计算:
(1)6a7b6÷3a3b2= .
(2)(-3a2b)3÷a= .
(3)-2a3b4÷3a2b·ab3= .
D
2a4b4
-27a5b3
(2)原式=a6-3a6+9a6=7a6.
(3)原式=-2a3b3c3÷2a3b3c3=-1.
知识点2 单项式除以单项式的应用
6.若8x4ya÷(-2xby3)2=2y,则ab= .
49
6ab2
8.某花卉培育基地要在一块长1.2×105 cm,宽2.4×104 cm的试验基地上培育花卉新品种,已知一种新品种需边长为1.2×104 cm的正方形试验田,那么这块试验基地最多能培育 种花卉新品种.
20
9.某同学在计算A÷(-2a2b)时,由于粗心大意,把“÷”当做“×”进行计算,结果为16a5b5,求A÷(-2a2b)的值.
解:由题意,可得
A=16a5b5÷(-2a2b)=-8a3b4,
则A÷(-2a2b)=4ab3.
能力提升练
10.若(a+b-5)2+|ab-6|=0,则2a·2b-a10b8÷(-a8b6)的值为( )
A.18 B.66 C.68 D.88
11.新定义 若 表示3xyz, 表示-2abcd,则 ×
÷3mn2= .
C
-4m3n
素养培优练
12.如图所示,有一张长方形纸板,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,制成一个高为a的长方体形状的无盖纸盒.若纸盒的容积为4a2b,底面长方形的宽为b(b<4a),求这个长方形纸板的
面积.
解:设底面长方形的长为m,
根据题意,得abm=4a2b,解得m=4a,
则长方形纸板的长为4a+2a=6a,宽为2a+b,
则这个长方形纸板的面积是
6a(2a+b)=12a2+6ab.
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基础巩固练
2.两数和(差)的平方
知识点1 两数和(差)的平方公式的几何背景
1.(2024永州期中)如图所示,根据阴影部分面积和图形的面积关系可以得到的数学公式是( )
A.a(a+b)=a2+ab
B.a(a-b)=a2-ab
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.(a-b)2=a2-2ab+b2
D
2.(2024北京期末)如图所示,图中的四边形均为长方形或正方形,根据图形的面积关系,写出一个等式: .
(a+b)2=a2+2ab+b2
3.(2024大连期末)如图所示的图形是由一个长方形和两个正方形组成
的,其中长方形的长为a,宽为b,若a+b=6,ab=6,则图中两个正方形的面积和是 .
24
知识点2 利用两数和(差)的平方公式进行计算
4.计算(-2a+3b)2的结果是( )
A.2a2+12ab+3b2 B.2a2-12ab+3b2
C.4a2+12ab+9b2 D.4a2-12ab+9b2
5.(2025江门期中)若x2+ax+16=(x+4)2,则a的值为( )
A.-8 B.-4 C.8 D.4
D
C
9a2+6ab+b2
4x2+4xy+y2
7.计算:
(1)(x+y)2-2(x-y)(2x+y); (2)1 0012;
(3)(a+2b)2-2b(a-b).
解:(1)原式=x2+2xy+y2-2(2x2-xy-y2)=x2+2xy+y2-4x2+2xy+2y2
=-3x2+4xy+3y2.
(2)1 0012=(1 000+1)2
=1 0002+2×1 000×1+12
=1 000 000+2 000+1
=1 002 001.
(3)原式=a2+4ab+4b2-2ab+2b2=a2+2ab+6b2.
8.计算:
(1)(x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b+c)2;
(3)[(x+2)(x-2)]2.
解:(1)原式=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2
=x2-(4y2-12y+9)
=x2-4y2+12y-9.
(2)原式=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
(3)原式=(x2-4)2=x4-8x2+16.
9.已知x2+4x+y2-6y+13=0,求x+y的值.
能力提升练
题组 两数和(差)的平方公式的变形应用
D
11.(1)已知(a+b)2=49,a2+b2=25,则ab等于 .
(2)易错题 已知(a+b)2=60,ab=6,则a-b= .
(3)已知(x+2y)2=10,(x-2y)2=18,那么xy的值为 .
12
6或-6
-1
12.对完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行适当的变形,可以解决很多的数学问题.请尝试解决:
(1)若a+b=5,ab=2,求a2+b2的值;
(2)若a+b=10,a2+b2=502,求ab的值.
解:(1)∵a+b=5,ab=2,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×2=25-4=21.
(2)∵a+b=10,a2+b2=(a+b)2-2ab=502,
∴102-2ab=502,
∴2ab=100-2 500,∴2ab=-2 400,
∴ab=-1 200.
13.如图所示,已知C是线段AB上的动点,分别以AC,BC为边在边AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG,若AB=6,且两个正方形面积之和S1+S2=18,求图中阴影部分的面积.
素养培优练
14.综合与实践 实践操作:把一张长方形纸片进行两次连续对折后得到边长为a,b(a>b)的小长方形(如图①所示),再展开还原(如图②所示),沿着折痕(虚线部分)剪开,拼成一个大正方形(如图③所示).
(1)猜想:①图③中间小正方形的边长为 ;(用含a,b的式子表示)
②根据材料,直接写出式子ab,(a-b)2,(a+b)2之间的等量关系: .
解:(1)①a-b
① ② ③
②(a+b)2=(a-b)2+4ab
(2)应用:若x+y=7,xy=2,求(x-y)2的值.
(3)拓展:若(2m-5)2+(3-2m)2=8,求(2m-5)(3-2m)的值.
解:(2)由(1)②,可得(x+y)2=4xy+(x-y)2,
∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=72-4×2=49-8=41.
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第4课时 十字相乘法[拓展]
精讲练 新知探究
探究点 用“十字相乘法”分解形如ax2+bx+c的二次三项式
例题 我们知道因式分解与整式乘法是方向相反的变形.已知acx2+(ad+bc)x+
bd=(ax+b)(cx+d),用这个公式,我们可以将一些特殊的二次三项式进行因式分解.例如:对多项式2x2+11x+12分解因式,这个式子的二次项系数为2=1×2,常数项是12=3×4,一次项系数是11=1×3+2×4,用十字相乘的形式表示如图所示.于是,可以得到2x2+11x+12=(x+4)(2x+3).
把下列多项式分解因式:
(1)3x2-2x-8;
(2)5x2+7x-6;
(3)6x2-7xy-20y2.
解:(1)3x2-2x-8=(x-2)(3x+4).
(2)5x2+7x-6=(x+2)(5x-3).
(3)6x2-7xy-20y2=(2x-5y)(3x+4y).
巩固训练
-2
1.将多项式8x2+bx-3分解因式,二次项系数8和常数项-3的正确分解如图所示,则b的值为 .
2.把下列多项式分解因式:
(1)x2+5x+6;
(2)2x2-7xy+6y2;
解:(1)x2+5x+6=(x+2)(x+3).
(2)2x2-7xy+6y2=(x-2y)(2x-3y).
(3)8x4-7x2-1;
(4)-x2+10xy+24y2.
解:(3)8x4-7x2-1=(x2-1)(8x2+1)
=(x+1)(x-1)(8x2+1).
(4)-x2+10xy+24y2
=(-x+12y)(x+2y).
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3.积的乘方
1.积的乘方法则
积的乘方,把积的每一个因式分别 ,再把所得的幂 .
即(ab)n= (n为正整数).
推广:(abc)n=anbncn(n为正整数)
2.积的乘方法则的逆用
anbn=(ab)n(n为正整数).
乘方
相乘
anbn
精讲练 新知探究
探究点一 积的乘方
例1 计算:
(1)(2a)3;(2)(-5b)3;
(3)(-2xy3z2)4;
解:(1)(2a)3=23×a3=8a3.
(2)(-5b)3=(-5)3×b3=-125b3.
(3)(-2xy3z2)4
=(-2)4×x4·(y3)4·(z2)4
=16x4y12z8.
(4)(-3xy2)3+x3·(-2y3)2.
解:(4)(-3xy2)3+x3·(-2y3)2
=-27x3y6+x3×4×y6
=-27x3y6+4x3y6
=-23x3y6.
运用积的乘方法则的注意事项
(1)注意结果的符号;
易错警示
(2)注意积中的每一个因式都要进行乘方,不要漏因式.
巩固训练
1.下列运算中错误的是( )
A.x2·x3=x6 B.x2+x2=2x2
C.(x2)3=x6 D.(-3x)2=9x2
2.填空:
(1)(x2y3)4= ;
(2)(-3pq)2= ;
(3)(2×103)3= ;
A
x8y12
9p2q2
8×109
(2)原式=2×22 022×0.52 022
=2×(2×0.5)2 022
=2×12 022
=2.
积的乘方法则逆用的关键是各个幂的指数相同,如果指数不相同,可以先变形,再运用.
方法技巧
巩固训练
3.已知3x+1×2x+1=63x-5,则x的值是( )
A.1 B.3 C.5 D.7
B
1
基础巩固练
3.积的乘方
知识点1 积的乘方法则
1.计算(-5x3y)2的结果正确的是( )
A.25x5y2 B.25x6y2
C.-5x3y2 D.-10x6y2
2.下列运算正确的是( )
A.(-a2)3=-a5 B.a3·a5=a15
C.(-a8b3)2=a16b6 D.(a5b6c)5=a25b30c
B
C
16a2
5
5.计算:
(1)a·a3·a4+(-2a4)2+(a2)4;
(2)(-2xy2)6+(-3x2y4)3.
解:(1)a·a3·a4+(-2a4)2+(a2)4
=a8+4a8+a8
=6a8.
(2)(-2xy2)6+(-3x2y4)3
=64x6y12-27x6y12
=37x6y12.
知识点2 积的乘方法则的逆用
7.已知2n=a,3n=b,24n=c,那么a,b,c之间满足的等量关系是( )
A.c=3a+b B.c=a3+b C.c=3ab D.c=a3b
D
-3
能力提升练
11.已知2x+3×5x+3=100x+1,那么2 022x的值是( )
A.2 022 B.1
C.-2 022 D.
12.已知2n=a,5n=b,20n=c,则a,b,c之间的数量关系为 .
A
c=a2b
13.运用简便方法计算:
(1)-2100×0.5100×(-1)999;
解:(1)-2100×0.5100×(-1)999
=-(2×0.5)100×(-1)
=-1×(-1)
=1.
素养培优练
14.(1)已知(2an)3=64,求a6n的值;
解:(1)∵(2an)3=64,
∴8a3n=64,
∴a3n=8,
则a6n=(a3n)2=82=64.
(2)已知n为正整数,x2n=4,求(3x3n)2-4(x2)2n的值.
解:(2)∵x2n=4,
∴(3x3n)2-4(x2)2n
=9x6n-4x4n
=9(x2n)3-4(x2n)2
=9×43-4×42
=512.
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2.多项式除以单项式
1.多项式除以单项式法则
多项式除以单项式,先用这个多项式的每一项除以这个 ,再把所得的商 .
2.符号表示
(ma+mb+mc)÷m=ma÷m+mb÷m+mc÷m=a+b+c.
单项式
相加
精讲练 新知探究
探究点一 多项式除以单项式
例1 计算:
(1)(8m3n2-2m2+7m)÷(-2m);
(2)(4x3y-6x2y2-xy3)÷(-2xy).
多项式除以单项式的注意事项
(1)多项式除以单项式所得的商仍然是多项式,并且商的项数和原多项式的项数相同;
重点必记
(2)注意确定商中每一项的符号,“同号得正,异号得负”,多项式中的每一项都包含它的符号;
(3)多项式除以单项式与单项式乘以多项式是互逆运算,因此可用单项式乘以多项式来验证多项式除以单项式的结果是否正确.
重点必记
巩固训练
C
3a-2b
3.计算:
(1)(24a2b-16ab2+8ab)÷4ab;
(2)(-5a4-15a2b3+20a3b)÷(-5a2).
解:(1)(24a2b-16ab2+8ab)÷4ab
=24a2b÷4ab-16ab2÷4ab+8ab÷4ab
=6a-4b+2.
(2)(-5a4-15a2b3+20a3b)÷(-5a2)
=-5a4÷(-5a2)+(-15a2b3)÷(-5a2)+20a3b÷(-5a2)
=a2+3b3-4ab.
探究点二 多项式除以单项式的应用
例2 如图①所示的瓶子盛满水,如果将这个瓶子中的水全部倒入若干个图如②所示的杯子中,那么你知道共需要多少个这样的杯子吗 (不考虑是否整除)
①
②
巩固训练
4.小明在做作业的时候,不小心把墨水滴到了作业本上:■■■×2ab=
4ab+2ab3.阴影部分即为被墨水弄污的部分,那么被墨水弄污的一项是
( )
A.(2+b2) B.(a+2b)
C.(3ab+2b2) D.(2ab+b2)
5.若A=2x,B是多项式,在计算B÷A时,小明把B÷A错看成了B+A,结果得2x3+2x2+2x,则B÷A= .
A
x2+x
(1)整式的混合运算顺序:先乘方,再乘除,后加减,有括号时先算括号里面的.
重点必记
(2)符合乘法公式的要应用公式去简化运算.
巩固训练
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2.单项式与多项式相乘
1.单项式与多项式相乘法则
单项式与多项式相乘,将单项式分别乘以多项式的 ,再将所得的积 .
2.单项式与多项式相乘,实际上是根据分配律,用单项式去乘以多项式的每一项,将其转化为单项式与单项式相乘.
每一项
相加
精讲练 新知探究
探究点一 单项式与多项式相乘
例1 计算:
(1)2ab(a+2b); (2)(-2x2y)(3xyz-2y2z+1);
(3)(-2a2b)3·(3b2-4a+6).
解:(1)原式=2ab·a+2ab·2b=2a2b+4ab2.
(2)原式=(-2x2y)·3xyz-(-2x2y)·2y2z+(-2x2y)
=-6x3y2z+4x2y3z-2x2y.
(3)原式=(-8a6b3)·3b2-(-8a6b3)·4a+(-8a6b3)·6
=-24a6b5+32a7b3-48a6b3.
例2 先化简,再求值:
3a(2a2-4a+1)-2a2(3a-4),其中a=-2.
解:3a(2a2-4a+1)-2a2(3a-4)
=6a3-12a2+3a-6a3+8a2
=-4a2+3a.
当a=-2时,
原式=-4×(-2)2+3×(-2)
=-4×4-6=-22.
单项式与多项式相乘的注意事项
1.乘积中每项的符号的确定
在确定积的每一项的符号时,既要看多项式中每一项的符号,又要看单项式的符号,这样才能确定积的每一项的符号.
重点必记
2.乘积的项数
非零单项式乘以多项式,乘积仍是多项式,积的项数与所乘多项式的项数相同.
3.整式的化简求值问题,一般先化简,再代入求值.
巩固训练
12a3+4a2
-3x3-6x2+3x
-3x2y+8x3y2
(3)3a(2a2-9a+3)-4a(2a-1).
解:(3)原式=3a·2a2-3a·9a+3a·3-(4a·2a-4a)
=6a3-27a2+9a-8a2+4a
=6a3-35a2+13a.
3.先化简,再求值:
2(a2b+ab2)-2(a2b-1)-ab2-2,其中a=-2,b=2.
解:2(a2b+ab2)-2(a2b-1)-ab2-2
=2a2b+2ab2-2a2b+2-ab2-2
=(2a2b-2a2b)+(2ab2-ab2)+(2-2)
=0+ab2+0=ab2.
当a=-2,b=2时,
原式=(-2)×22=-2×4=-8.
探究点二 单项式与多项式相乘的实际应用
例3 一个长方体的高是2a2 cm,底面积是(a2+2a+4)cm2,求这个长方体的体积.
解:根据题意,得
2a2·(a2+2a+4)
=2a2·a2+2a2·2a+2a2·4
=2a4+4a3+8a2.
答:这个长方体的体积为(2a4+4a3+8a2)cm3.
巩固训练
4.如图所示,一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦,求这块地的面积.
解:由题意,得
长方形地的长为[(3a+2b)+(2a-b)],宽为4a,
4a·[(3a+2b)+(2a-b)]
=4a·(5a+b)=20a2+4ab.
答:这块地的面积为20a2+4ab.
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第4课时 十字相乘法[拓展]
知识点 用“十字相乘法”分解形如ax2+bx+c的二次三项式
1.下列因式分解不正确的是( )
A.x2-4x-5=(x+1)(x-5)
B.x2-5x+6=(x-2)(x-3)
C.x2+5x+6=(x-1)(x-6)
D.m2-13m-30=(m+2)(m-15)
C
2.已知(x+p)(x-q)是x2+2x-15因式分解的结果,则pq的值为( )
A.-15 B.15 C.-30 D.30
3.已知长方形的面积为a2+6a-16,若其中一边长为a-2,则与它相邻的一边长为 .
4.如图所示是“十字相乘法的图示,将二次项系数与常数项的因数分成两列,再交叉相乘并求和,检验是否等于一次项系数,进而进行因式分解.则代数式3x2-14xy-24y2因式分解的结果为 .
B
a+8
(x-6y)(3x+4y)
5.把下列多项式分解因式.
(1)x2-3x-10;
(2)x2+5xy-24y2;
(3)-2x3+16x2-24x.
解:(1)x2-3x-10=(x+2)(x-5);
(2)x2+5xy-24y2=(x+8y)(x-3y);
(3)-2x3+16x2-24x
=-2x(x2-8x+12)
=-2x(x-2)(x-6).
能力提升练
6.因式分解x2+ax+b时,甲看错了a的值,得到的结果为(x+6)(x-2),乙看错了b的值,得到的结果为(x-8)(x+4),那么因式分解x2+ax+b的正确结果为( )
A.(x+2)(x+6) B.(x+4)(x-3)
C.(x+3)(x-4) D.(x+2)(x-6)
D
7.分解因式:(x+y)2-2(x+y)-3.
解:将“x+y”看成一个整体,
则原式=(x+y-3)(x+y+1).
整体思想是数学解题中常见的思想方法.
请将下面的多项式分解因式:
(x-y)2-5x+5y-36.
解:(x-y)2-5x+5y-36
=(x-y)2-5(x-y)-36
=(x-y-9)(x-y+4).
素养培优练
8.通过适当添项或拆项来改变多项式的结构特征,进而运用学过的方法进行因式分解,我们把这两种分解因式的方法分别叫做添项法和拆项法.比如:分解因式:x2-8x+12.
解:x2-8x+12
=x2-8x+16-16+12
=(x-4)2-4
=(x-4+2)(x-4-2)
=(x-2)(x-6).
也可以将12写成16-4,再进行因式分解.
试一试:把下面的多项式分解因式.
x2+2ax-3a2.
解:x2+2ax-3a2
=x2+2ax+a2-a2-3a2
=(x+a)2-4a2
=(x+a-2a)(x+a+2a)
=(x-a)(x+3a).
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过教材 要点概览
2.两数和(差)的平方
1.两数和的平方
(1)法则:两数和的平方,等于这两数的 加上它们的积的 ;
(2)符号表述:(a+b)2= .
2.两数差的平方
(1)法则:两数差的平方,等于这两数的 减去它们的积的 ;
(2)符号表述:(a-b)2= .
注:公式中的a,b既可以是单项式,也可以是多项式.
平方和
2倍
a2+2ab+b2
平方和
2倍
a2-2ab+b2
3.两数和(差)的平方公式的常见变形
(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
(2)(a+b)2=(a-b)2+4ab;
(3)(a-b)2=(a+b)2-4ab;
(4)2ab=(a+b)2-(a2+b2)=(a2+b2)-(a-b)2.
精讲练 新知探究
探究点一 两数和(差)的平方公式的几何背景
例1 如图①所示,将边长为a+b的正方形分成了图②中的四部分.
回答下列问题:
(1)图①中,大正方形的面积为 (不需要化简);
(2)图②中,分割成的四部分其面积之和为 ;
(3)利用上述图形的面积相等,写出一个正确的等式:
.
(a+b)2
a2+2ab+b2
(a+b)2= a2+2ab+b2
① ②
探究点二 利用两数和(差)的平方公式进行计算
例2 计算:
(1)(2x+7)2; (2)(a-3b)2;
解:(1)原式=4x2+28x+49.
(2)原式=a2-6ab+9b2.
(4)(-3x-2y)2
=9x2+12xy+4y2.
(1)两数和(差)的平方公式的口诀记忆:首平方,尾平方,乘积两倍在中央,符号看前方.
方法点拨
(2)(-a+b)2,(-a-b)2在计算时容易出现符号错误,可进行如下变形:
(-a+b)2=(b-a)2,(-a-b)2=(a+b)2.
巩固训练
1.如图所示,将图①中阴影部分拼成图②,根据两个图形中阴影部分的面积关系,可以验证等式: .
(a-b)2=a2-2ab+b2
①
②
2.计算:
(1)(4a-3b)2;
(2)(-3a-5b)2;
(3)(a+1)2-a(1+a).
解:(1)原式=16a2-24ab+9b2.
(2)原式=9a2+30ab+25b2.
(3)原式=a2+2a+1-a-a2=a+1.
探究点三 两数和(差)的平方公式的灵活运用
例3 用简便方法计算:
(1)1012;
(2)992.
解:(1)1012=(100+1)2=1002+2×100×1+12=10 201.
(2)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=9 801.
例4 计算:
(1)(a+b+c)2; (2)(a+b+c)(a+b-c).
解:(1)(a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)·c+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
(2)(a+b+c)(a+b-c)
=[(a+b)+c][(a+b)-c]
=(a+b)2-c2
=a2+2ab+b2-c2.
例5 已知a+b=-4,ab=3.求:
(1)a2+b2的值;
(2)(a-b)2的值.
解:(1)∵a+b=-4,ab=3,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=(-4)2-2×3=16-6=10.
(2)∵a2+b2=10,ab=3,
∴(a-b)2=a2+b2-2ab
=10-2×3=4.
运算中含有多个数和的平方或乘积时,要结合题目特征,适当添加括号构造整体,再利用完全平方公式或平方差公式进行计算.
方法点拨
巩固训练
3.计算:
(1)1952= ;
(2)1992-202×198= .
4.若m+n=7,mn=12,则m2-mn+n2的值是 .
38 025
-395
13
5.计算:
(1)(2a+b+3)2; (2)(a+b+c)(a-b-c).
解:(1)(2a+b+3)2
=[(2a+b)+3]2
=(2a+b)2+2×(2a+b)×3+32
=4a2+4ab+b2+12a+6b+9.
(2)(a+b+c)(a-b-c).
=[a+(b+c)][a-(b+c)]
=a2-(b+c)2
=a2-b2-2bc-c2.
6.如图①所示是一个长为4a,宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形,然后用这四个小长方形拼成一个“回”形正方形(如图②所示).
① ②
(1)根据上述过程,写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系: .
.
(a-b)2=
(a+b)2-4ab
7
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基础巩固练
第3课时 用两数和(差)的平方公式分解因式
知识点1 用两数和(差)的平方公式分解因式
1.下列各式中,能用两数和(差)的平方公式因式分解的是( )
A.16x2+1 B.x2-2x-1
C.x2-1 D.x2-2x+1
D
2.若x2+(m-3)x+4能用公式法进行因式分解,则常数m的值为( )
A.1或5 B.7或-1 C.5 D.1
3.将多项式4x2+1加上一项,使它能化成(a+b)2的形式,以下是四位学生所加的项,其中错误的是( )
A.4x B.-4x C.4x4 D.2x
4.在对多项式进行因式分解时,我们经常用到“整体思想”,(x2+y2)
(x2+y2-8)+16因式分解的结果是( )
A.(x2+y2-4)2 B.(x-y)4
C.(x2-y2-4)2 D.(x2+y2+4)2
B
D
A
5.因式分解:
(1)x2+36y2-12xy;
(2)16x2-24x+9;
(3)-x2+4xy-4y2;
解:(1)x2+36y2-12xy
=x2-12xy+36y2
=(x-6y)2.
(2)16x2-24x+9=(4x-3)2.
(3)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.
(4)y+(y-4)(y-1).
解:(4)y+(y-4)(y-1)
=y+y2-y-4y+4
=y2-4y+4=(y-2)2.
6.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行分解因式的过程.
解:设x2-4x=y,则
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2.(第四步)
(1)该同学第三步运用了 法分解因式.
解:(1)公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底 (填“彻底”或“不彻底”);若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果: .
(3)请你模仿以上方法尝试对下面的多项式进行因式分解:(x2-2x)(x2-2x+2)+1.
解:(2)不彻底 (x-2)4
(3)设x2-2x=y,
则原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2
=(x2-2x+1)2
=[(x-1)2]2
=(x-1)4.
知识点2 综合运用公式法和提公因式法分解因式
7.多项式3x-9,x2-9与x2-6x+9的公因式为( )
A.x-3 B.(x+3)2
C.x+3 D.x2+9
8.(2025洛阳期中)下列因式分解正确的是( )
A.4x3-8x2y+4xy2=4x(x2-2xy+y2)
B.-x2+4xy-4y2=-(x-2y)2
C.x2+2x+1=x(x+2)+1
D.x2-25x=(x+5x)(x-5)
A
B
9.把下列多项式分解因式:
(1)-3x2+6xy-3y2;
(2)x4-2x2y2+y4;
(3)(a+b)(a-b)+4(b-1).
解:(1)原式=-3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2.
(2)原式=(x2-y2)2=(x+y)2(x-y)2.
(3)原式=a2-b2+4b-4
=a2-(b2-4b+4)
=a2-(b-2)2
=(a+b-2)(a-b+2).
能力提升练
10.把多项式ax2-□ax+16a分解因式的结果为a(x-4)2,则“□”中的数为( )
A.-4 B.-8
C.8 D.16
C
75
1
13.已知a2-12a+36+|b-19|=0,将多项式x2y-(b-a-3)xy+(a+b)y分解因式.
解:∵a2-12a+36+|b-19|=0,
∴(a-6)2+|b-19|=0,
∴a=6,b=19,
∴x2y-(b-a-3)xy+(a+b)y
=x2y-10xy+25y
=y(x2-10x+25)
=y(x-5)2.
素养培优练
14.材料阅读:有些多项式不能直接用公式法进行因式分解,可以适当的进行增减项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,而且还能解决一些与非负数有关的问题.
例如:分解因式:x2-4xy-5y2.
解:原式=x2-4xy+4y2-4y2-5y2
=(x2-4xy+4y2)-9y2
=(x-2y)2-9y2
=(x-2y+3y)(x-2y-3y)
=(x+y)(x-5y).
用上述方法解决下列问题:
(1)分解因式x2+2xy-3y2;
解:(1)原式=x2+2xy+y2-4y2
=(x+y)2-(2y)2
=(x+y+2y)(x+y-2y)
=(x+3y)(x-y).
用配方法分解因式的技巧
对于不能直接运用提公因式法和公式法分解因式的式子,可以先添加一些项,使式子中出现能运用公式法分解的式子,再减去这个项,使整个式子的值不变.
解题策略
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过教材 要点概览
4.同底数幂的除法
1.同底数幂的除法法则
同底数幂相除,底数 ,指数 .
即am÷an= (m,n为正整数,m>n,a≠0).
推广:am÷an÷…÷ap=am-n-…-p(m,n,…,p为正整数,且m>n+…+p,a≠0).
2.同底数幂的除法法则的逆用
am-n=am÷an(m,n为正整数,m>n,a≠0).
不变
相减
am-n
精讲练 新知探究
探究点一 同底数幂的除法法则
例1 计算:
(1)a8÷a3;
(2)(-a)10÷(-a)3;
(3)x8÷x4÷x.
解:(1)a8÷a3=a8-3=a5.
(2)(-a)10÷(-a)3=(-a)10-3=-a7.
(3)x8÷x4÷x=x8-4-1=x3.
例2 计算:
(1)(-m2)7÷m2;(2)a6÷a2·a3;
(3)x9÷x2÷(x2)2.
(2)a6÷a2·a3=a6-2+3=a7.
(1)同底数幂相除时,底数不能为零,否则无意义.
重点必记
(2)运用该法则的前提是底数相同,若底数不同,则先化为同底数幂,再进行运算.
(3)注意指数为“1”的情况,如a3÷a=a3-1,a的指数是1,不是0.
巩固训练
1.下列计算正确的是( )
A.(-a)5÷(-a)2=-a3
B.x6÷x2=x6÷2=x3
C.(-a)7÷a5=a2
D.(-x)8÷(-x)6=-x2
A
2.计算:
(1)(xy)38÷(-xy)12; (2)(x-y)5÷(y-x)2;
(3)(x-y)10÷(y-x)5÷(x-y); (4)(am)n×(a3m)3n÷(amn)5.
解:(1)原式=(xy)38÷(xy)12=(xy)38-12=(xy)26=x26y26.
(2)原式=(x-y)5÷(x-y)2=(x-y)3.
(3)原式=-(x-y)10-5-1=-(x-y)4.
(4)原式=amn×a9mn÷a5mn
=amn+9mn-5mn=a5mn.
探究点二 同底数幂的除法法则的逆用
例3 已知am=27,an=3,求a2m-n的值.
解:∵am=27,an=3,
∴a2m-n=(am)2÷an=272÷3=243.
在逆用幂的运算法则时,遇到指数的加法要考虑用同底数幂的乘法,遇到指数的减法要考虑用同底数幂的除法,遇到指数的乘法要考虑用幂的乘方.
方法点拨
巩固训练
3.(1)若am=36,an=4,则am-n= ;
(2)若m8=6,m7=3,则m= ;
(3)若xm=5,xn=0.25,则x2m-n= .
4.若am=8,an=2,求a2m-3n的值.
9
2
100
解:∵am=8,an=2,
∴a2m-3n=(am)2÷(an)3
=82÷23=64÷8=8.
基础巩固练
4.同底数幂的除法
知识点1 同底数幂的除法法则
1.计算228÷220÷26的结果是( )
A.4 B.8 C.16 D.64
2.下列计算正确的是( )
A.x10÷(x7÷x2)=x5 B.(xy)8÷(xy)4=(xy)2
C.x4n÷x2n·x2n=1 D.x2(m+1)÷xm+1=x2
A
A
3.填空:
(1)x5÷(-x)2= ;
(2)m7÷m3÷m= ;
(3)(x-y)2·(y-x)3÷(x-y)4= .
4.有下列运算:
①(-3pq)2=-6p2q2;②a3·a2=a6;
③a6÷a2=a;④am·a=am+1;
⑤(-bc)4÷(bc)2=-b2c2.
其中错误的是 .(填写序号)
x3
m3
y-x
①②③⑤
5.计算:
(1)(-xy)13÷(-xy)8;(2)a2m+4÷am-2;
解:(1)(-xy)13÷(-xy)8
=(-xy)13-8
=(-xy)5
=-x5y5.
(2)a2m+4÷am-2
=a(2m+4)-(m-2)
=a2m+4-m+2
=am+6.
(3)(x-2y)3÷(2y-x)2; (4)(-a2)3÷a4÷a.
解:(3)(x-2y)3÷(2y-x)2
=(x-2y)3÷(x-2y)2
=(x-2y)3-2
=x-2y.
(4)(-a2)3÷a4÷a
=-a6÷a4÷a
=-a6-4-1
=-a.
D
8.若3m=a,9n=b,求32m-4n+1的值.
能力提升练
9.(1)若3x-5y-1=0,则103x÷105y等于 ;
(2)已知2a=3,2b=6,2c=12,则a+c-2b= .[提示:m0=1(m≠0)]
10.已知x-2y-6=0,求2x÷4y×8的值.
10
0
解:∵x-2y-6=0,∴x-2y=6,
∴2x÷4y×8
=2x÷22y×23
=2x-2y+3
=26+3
=512.
11.计算:
(1)(-2x2y)9÷(-2x2y)5÷(-2x2y)2; (2)a3·a+(-a2)3÷a2.
解:(1)(-2x2y)9÷(-2x2y)5÷(-2x2y)2
=(-2x2y)9-5-2
=(-2x2y)2
=4x4y2.
(2)a3·a+(-a2)3÷a2
=a4-a6÷a2
=a4-a4
=0.
素养培优练
12.已知5m=2,5n=4,5k=800.
(1)求53m+2n-k的值;
(2)求k-3m-n的值.
(2)∵5m=2,5n=4,5k=800,
∴5k-3m-n=5k÷53m÷5n=5k÷(5m)3÷5n=800÷23÷4=25=52,
∴k-3m-n=2.
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基础巩固练
2.单项式与多项式相乘
知识点1 单项式与多项式相乘
1.计算:2a(a2+2b)等于( )
A.a3+4ab B.2a3+2ab
C.2a+4ab D.2a3+4ab
2.(2024兰州)计算:2a(a-1)-2a2=( )
A.a B.-a
C.2a D.-2a
D
D
C
-6x3y+4x2y-2x
-3x2y+8x3y2
(2)(-3x2)2·(-x2+2x-1)
=9x4·(-x2+2x-1)
=-9x6+18x5-9x4.
知识点2 单项式与多项式相乘的应用
7.某天数学课上,老师讲了单项式乘以多项式,放学回到家,小明拿出课堂笔记复习,发现一道题:-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+ . 的地方被墨水弄污了,你认为 内应填写( )
A.3xy B.-3xy C.-1 D.1
8.新定义 现规定一种新运算:a*b=a(a-b),其中a,b为有理数.则a*b-b*
(a-b)= .
A
a2-2b2
9.通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式(一定成立的等式).如图所示,请根据该图形写出一个代数恒等式: .
2a(a+b)=2a2+2ab
10.代数推理 若n为自然数,试说明n(2n+1)-2n(n-1)的值一定是3的
倍数.
解:因为n(2n+1)-2n(n-1)=2n2+n-2n2+2n=3n,n为自然数,
所以3n是3的倍数,
所以n(2n+1)-2n(n-1)的值一定是3的倍数.
能力提升练
11.(2024南充三模)已知m-2n=1,则2n(m+1)-m(1+2n)+3的值为( )
A.4 B.2 C.-4 D.-2
B
A
13.代数式3a(a2+ab)-6a3b+5a2+3ab(2a2-a)的值( )
A.与a,b都有关
B.只与a有关
C.只与b有关
D.与a,b都无关
14.若x(x2-a)+3x-2b=x3+5x-6对于任意x都成立,则a+b= .
B
1
素养培优练
16.小李家住房的结构如图所示,小李打算把卧室和客厅铺上木地板,则他至少需买多少平方米的木地板 如果他选用的木地板的价格是(-a+
ab2)元/m2,那么购买这些木地板需要多少钱
解:∵客厅的面积为4b·2a=8ab(m2),
卧室的面积为(4a-2a)·2b=4ab(m2),
∴需买木地板:8ab+4ab=12ab(m2),
∴需要的钱数为
(-a+ab2)·12ab=(-12a2b+12a2b3)(元).
答:小李至少需买12ab m2的木地板,他购买这些木地板需要(-12a2b+
12a2b3)元.
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基础巩固练
第2课时 用平方差公式分解因式
知识点1 用平方差公式分解因式
1.有下列多项式:①-x2-y2;②4x2+16y2;③(-m)2-(-n)2;④a2-4b2;⑤-144x2+169y2.其中能用平方差公式分解因式的有( )
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
C
3.计算:762-242= .
4.实数a,b满足4a2-9b2=2 024,2a-3b=2,则2a+3b的值是 .
D
5 200
1 012
5.把下列多项式分解因式:
(1)a2-25b2; (2)(2a+1)2-a2;
(3)16(a-b)2-9(a+b)2.
解:(1)a2-25b2=(a+5b)(a-5b);
(2)(2a+1)2-a2=(2a+1+a)(2a+1-a)
=(3a+1)(a+1);
(3)16(a-b)2-9(a+b)2
=(4a-4b)2-(3a+3b)2
=(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b)
=(7a-b)(a-7b).
知识点2 综合运用提公因式法和平方差公式分解因式
6.把多项式2x3-8x分解因式的结果是( )
A.2(x3-4x) B.2x(x2-4)
C.2x(x-2)2 D.2x(x+2)(x-2)
7.分解因式:
(1)2x2-8= ;
(2)16x3-9xy2= ;
(3)x4-4x2= ;
(4)m3n-mn3= .
D
2(x-2)(x+2)
x(4x-3y)(4x+3y)
x2(x+2)(x-2)
mn(m+n)(m-n)
8.把下列各式分解因式:
(1)m3-2m2-4m+8.
(2)a2(a-b)+9b2(b-a).
(3)x2(x-1)-(x-x2).
解:(1)原式=m2(m-2)-4(m-2)=(m-2)(m2-4)=(m-2)2(m+2).
(2)原式=a2(a-b)-9b2(a-b)=(a-b)(a2-9b2)=(a-b)(a+3b)(a-3b).
(3)原式=x2(x-1)-x(1-x)=x2(x-1)+x(x-1)=x(x-1)(x+1).
(4)x2+ax+ay-y2.
解:(4)x2+ax+ay-y2
=x2-y2+ax+ay
=(x+y)(x-y)+a(x+y)
=(x+y)(x-y+a).
9.已知△ABC的三边长a,b,c满足关系a2+ac-b2-bc=0,请判断△ABC的形状,并说明理由.
解:△ABC是等腰三角形.
理由如下:
∵a2+ac-b2-bc=0,∴(a+b)(a-b)+c(a-b)=0,
∴(a-b)(a+b+c)=0.
∵a,b,c是△ABC的三边长,
∴a+b+c>0,∴a-b=0,
∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形.
能力提升练
10.(1)一个三角形的三边长a,b,c满足(a2-c2)+b2(a2-c2)=0,则这个三角形的形状一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
(2)若a,b,c为一个三角形的三边,则(a-c)2-b2的值( )
A.一定为正数
B.一定为负数
C.可能为正数,也可能为负数
D.可能为零
A
B
11.已知224-1能被正整数a整除,若60
12.(2024成都期末)若m-n=-100,则m2-n2+200n= .
13.(2024河北期末)已知k为任意整数,设a=2k+3,b比a小3.
(1)b= ;(用含k的代数式表示)
解:(1)2k
65或63
10 000
(2)试说明:a2-b2总能被3整除.
解:(2)a2-b2
=(a+b)(a-b)
=(2k+3+2k)(2k+3-2k)
=3(4k+3).
∵k为任意整数,
∴3(4k+3)总能被3整除,
∴a2-b2总能被3整除.
素养培优练
14.阅读材料:
把多项式a2-b2-c2+2bc分解因式,可以先把它分组,再分解因式:
a2-b2-c2+2bc
=a2-(b2+c2-2bc)(分成两组)
=a2-(b-c)2(用平方差公式)
=(a+b-c)(a-b+c).
这种因式分解的方法叫做分组分解法.
请根据上述解法把下列各式分解因式:
(1)x2-xy+4x-4y; (2)m3-2m2-4m+8.
解:(1)x2-xy+4x-4y
=(x2-xy)+(4x-4y)
=x(x-y)+4(x-y)
=(x-y)(x+4).
(2)m3-2m2-4m+8=m2(m-2)-4(m-2)
=(m-2)(m2-4)
=(m-2)(m-2)(m+2)
=(m-2)2(m+2).
用分组分解法进行因式分解
分组分解法一般是针对项数较多且无法直接进行因式分解的多项式.我们可以把这个多项式重新分成若干组,再利用提公因式法和公式法分解因式.解答此类问题的关键在于恰当分组,要保证分组后每组有公因式,能继续分解.
解题策略
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基础巩固练
2.多项式除以单项式
知识点1 多项式除以单项式
1.计算(4a2-8a)÷2a的结果为( )
A.2a-2 B.2a-4
C.a-4 D.以上答案都不对
B
C
B
4.计算:
(1)(6ab+8b)÷2b;
(2)(28a3b3-14a2b2)÷(-7a2b).
解:(1)原式=6ab÷2b+8b÷2b
=3a+4.
(2)原式=28a3b3÷(-7a2b)-14a2b2÷(-7a2b)=-4ab2+2b.
知识点2 多项式除以单项式的应用
5.已知一个长方形的面积为a2b-a,长为a,则它的宽为 .
6.晓晓在做一道多项式的除法题时,由于粗心,把3x加上一个多项式做成了乘法,得到的答案是6x3-3x2+3x,请你帮她算一下这道题的正确答案.
ab-1
解:由题意可知,这个多项式为
(6x3-3x2+3x)÷3x=2x2-x+1,
正确的算式是
2x2-x+1+3x=2x2+2x+1.
因此正确的答案是2x2+2x+1.
知识点3 整式的四则运算
7.一个多项式除以2x-1,所得的商是x2+1,余式是5x,则这个多项式是
( )
A.2x3-x2+7x-1 B.2x3-x2+2x-1
C.7x3-x2+7x-1 D.2x3+9x2-3x-1
8.下列计算正确的是( )
A.(12a4-3a2)÷3a2=4a2
B.(-3a+b)(b-a)=-2ab-3a2+b2
C.(a-b)2=a2-b2
D.(b+2a)(2a-b)=-b2+4a2
A
D
9.计算:
(1)[4(a+b)(a-2b)-(2a+b)2]÷(-2b);
能力提升练
12.已知(xn+a+xn+b)÷xn+1=x2+x3,其中n是正整数,那么a+b的值是( )
A.3 B.5 C.7 D.9
13.按下面的程序计算,若开始输入x的值为x=1,则最后输出的结果为
.
C
181
14.赵老师给学生出了一道题:
求[2x(x2y-xy2)+xy(2xy-x2)]÷x2y的值,其中x=2 023,y=2 023.
题目出完后,小明说:“老师给的条件y=2 023 是多余的.”王辉说:“不给这个条件,就不能求出结果,所以不是多余的.”他们俩谁说的话有道理 请说明理由.
解:小明说的话有道理.理由如下:
[2x(x2y-xy2)+xy(2xy-x2)]÷x2y
=(2x3y-2x2y2+2x2y2-x3y)÷x2y
=x3y÷x2y=x.
∵化简后的结果不存在含字母y的项,
∴化简后的结果与y的值无关,
∴y=2 023是多余的,∴小明说的话有道理.
素养培优练
15.阅读材料:
因为(x+3)(x-2)=x2+x-6,所以(x2+x-6)÷(x-2)=x+3,这说明多项式x2+x-6能被x-2整除,同时也说明多项式x2+x-6有一个因式是x-2.
知识应用:
已知x2+kx-14能被x-2整除,利用上面的信息求出k的值.
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基础巩固练
11.2 整式的乘法
1.单项式与单项式相乘
知识点1 单项式与单项式相乘
1.计算2a5·5a3的结果是( )
A.10a15 B.10a8
C.7a15 D.7a8
B
2.下列计算错误的是( )
A.(a2)3·(-a3)2=a12
B.(-ab2)2·(-a2b3)=a4b7
C.(2xyn)·(-3xny)2=18x2n+1yn+2
D.(-xy2)(-yz2)(-zx2)=-x3y3z3
3.设(xm-1yn+2)·(x5my2)=x5y3,则nm的值为( )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
B
B
-21a3b
-4a5b3c
45ax5y2
-75a5
6.先化简,再求值:
2x2y·(-2xy2)3+(2xy)3·(-xy2)2,其中x=2,y=1.
解:2x2y·(-2xy2)3+(2xy)3·(-xy2)2
=2x2y·(-8x3y6)+8x3y3·x2y4
=-16x5y7+8x5y7
=-8x5y7.
当x=2,y=1时,
原式=-8×25×17=-256.
知识点2 单项式乘法的实际应用
7.长方形的长为3x2y,宽为2xy3,则它的面积为( )
C
8.教材题变式 (1)如果a·a可看作边长是a的正方形的面积,那么:①
a·bc可看作高为a、底面积为bc的长方体的 ;②3a·5a可看作是长、宽分别为 和 的长方形的 .
(2)如图所示是一个长方形场地,长为 ,宽为 ,面积为 .
体积
5a
3a
面积
6a
3b
18ab
9.某卫星绕地球的运行速度(第一宇宙速度)v为每秒7.9×103米,一天大约是8.6×104秒,求该卫星绕地球运行一天后所经过的路程S(用科学记数法表示).
解:S=vt=7.9×103×8.6×104=7.9×8.6×107=6.794×108(米).
答:该卫星绕地球运行一天后所经过的路程为6.794×108米.
能力提升练
11.已知-2xmy2与4x2yn-1的积与-x4y3是同类项,则mn的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.若(-2x2y3)m·(xy)n=ax7y9,则常数a的值为( )
A.8 B.-8 C.4 D.-4
C
C
C
14.某工厂将一个长为4(2a3b)2c4分米,宽为4a2(bc)3分米,高为8abc2分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化,这些废水恰好能装满一个正方体贮水池.请求出正方体贮水池的棱长.
解:由题意,得长方体废水池的体积为
4(2a3b)2c4·4a2(bc)3·8abc2
=512a9b6c9(立方分米).
∵512a9b6c9=(8a3b2c3)3,
∴正方体贮水池的棱长为8a3b2c3分米.
素养培优练
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11.4 整式的除法
1.单项式除以单项式
1.单项式除以单项式法则
单项式相除,把 、 分别相除作为商的 ,对于只在被除式中出现的字母,则连同它的 一起作为商的一个
.
2.一般步骤
(1) ,作为商的系数;
系数
同底数幂
因式
指数
因式
系数相除
(2)同底数幂相除,作为商的因式;
(3)对于只在被除式里出现的字母,则 一起作为商的一个因式.
连同它的指数
精讲练 新知探究
探究点一 单项式除以单项式
例1 计算:
(1)28x4y2÷4x3y;
(2)(-3x2y)2÷3x3y;
解:(1)原式=(28÷4)(x4÷x3)(y2÷y)
=7xy.
(2)原式=9x4y2÷3x3y
=(9÷3)(x4÷x3)(y2÷y)
=3xy.
(4)原式=-6(a-b)4·3(a-b)2
=-18(a-b)6.
应用单项式除以单项式法则的注意事项
(1)单项式相除的结果仍是单项式;两个相同的单项式相除等于1,如b2÷b2=1.
易错警示
(2)单个字母的指数是1,而不是0.
(3)切勿遗漏只在被除式里出现的字母.
(4)当幂的底数是多项式时,需要把这个多项式看作一个整体;当几个幂的底数互为相反数时,要先化为同底数幂再乘除.
巩固训练
C
2.计算:
(1)(-2a3b2)3÷8a2b6;
(2)(3x2y)2÷(-9x4y);
解:(1)原式=-8a9b6÷8a2b6
=(-8÷8)(a9÷a2)(b6÷b6)
=-a7.
(2)原式=9x4y2÷(-9x4y)
=[9÷(-9)](x4÷x4)(y2÷y)
=-y.
(3)(3a2b3)·(-2ab4)÷6a2b3;
(4)5(m-n)7÷(n-m)2·3(n-m)3.
解:(3)原式=-6a3b7÷6a2b3
=-ab4.
(4)原式=5(m-n)7÷(m-n)2·[-3(m-n)3]
=5(m-n)5·[-3(m-n)3]
=-15(m-n)8.
巩固训练
3.一个长方形的面积为8a5b4,长为4a2b,则这个长方形的宽为 .
4.某学校图书馆藏书约有3.6×104册,学校现有师生1.8×103人,每个教师或学生平均最多可以同时借阅 册图书.
2a3b3
20
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第3课时 用两数和(差)的平方公式分解因式
逆用两数和(差)的平方公式
a2±2ab+b2= .
注:应用两数和(差)的平方公式分解因式时,先按公式的形式改写这个三项式,确定公式中的a,b,再分解因式.要特别注意结果中各项的符号.
(a±b)2
精讲练 新知探究
探究点一 用两数和(差)的平方公式分解因式
例1 把下列多项式分解因式:
(1)9x2-6xy+y2;
(2)(x-y)2-6(x-y)+9;
解:(1)9x2-6xy+y2=(3x-y)2.
(2)(x-y)2-6(x-y)+9
=(x-y-3)2.
(3)-x2+6xy-9y2;
(4)x4-18x2+81.
解:(3)-x2+6xy-9y2=-(x-3y)2.
(4)x4-18x2+81=(x2-9)2
=[(x-3)(x+3)]2
=(x-3)2(x+3)2.
(2)2022+202×196+982
=2022+2×202×98+982
=(202+98)2=3002=90 000.
能用两数和(差)的平方公式进行因式分解的多项式的特点:
①多项式是三项式;
解透重点
②有两项同号,且分别能写成一个整式(可以是单项式,也可以是多项
式)的平方的形式;
③第三项的绝对值是这两项平方式的底数的积的2倍.
巩固训练
D
16
3.因式分解:
(1)m2-10m+25;
(2)4a2-12ab+9b2;
(3)16x4-8x2y2+y4.
解:(1)m2-10m+25=(m-5)2.
(2)4a2-12ab+9b2
=(2a)2-12ab+(3b)2
=(2a-3b)2.
(3)16x4-8x2y2+y4=(4x2-y2)2
=(2x+y)2(2x-y)2.
4.利用简便方法计算:
(1)1 0012-2 002+1;
(2)472+94×53+532.
解:(1)1 0012-2 002+1
=(1 001-1)2=1 0002
=1 000 000.
(2)472+94×53+532
=472+2×47×53+532
=(47+53)2=1002=10 000.
解:(1)a4-4a3b+4a2b2=a2(a2-4ab+4b2)=a2(a-2b)2.
巩固训练
5.将下列多项式分解因式:
(1)3x2y-6xy+3y;
(2)4x3y-4x2y2+xy3.
解:(1)原式=3y(x2-2x+1)
=3y(x-1)2.
(2)原式=xy(4x2-4xy+y2)
=xy(2x-y)2.
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2.幂的乘方
1.幂的乘方法则
幂的乘方,底数 ,指数 .
即(am)n= (m,n为正整数).
推广:[(am)n]p=amnp(m,n,p为正整数)
2.幂的乘方法则的逆用
amn=(am)n或amn=(an)m(m,n为正整数).
不变
相乘
amn
精讲练 新知探究
(5)x2·x3+(-x)5+=x5-x5+x6=x6.
(1)幂的乘方的符号法则:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,偶次幂是正数.
易错警示
(2)底数是多项式时,要将这个多项式看作整体,不要省略括号.
(3)要区分同底数幂的乘法和幂的乘方运算,避免混淆.
巩固训练
x6
a12
-a4m
(x-y)15
-(x+y)6
解:(1)原式=a3×8·a4×4=a24·a16=a24+16=a40.
(2)原式=a2m·a3m=a2m+3m=a5m.
(3)原式=m8+m2·m6=m8+m8=2m8.
(4)原式=(x-y)3·[(x-y)4]3=(x-y)3·(x-y)12=(x-y)15.
探究点二 幂的乘方法则的逆用
例2 已知10m=3,10n=2,求下列各式的值:
(1)103m;(2)102n;(3)103m+2n.
解:(1)103m=(10m)3=33=27.
(2)102n=(10n)2=22=4.
(3)103m+2n=103m×102n=27×4=108.
巩固训练
3.x12=( )6=( )4=( )3=( )2.
4.已知2a=m,22b=n,求23a+4b+1的值.
x2
x3
x4
解:∵2a=m,22b=n,
∴23a+4b+1=23a×24b×2=(2a)3×(22b)2×2=m3×n2×2=2m3n2.
x6
基础巩固练
2.幂的乘方
知识点1 幂的乘方法则
1.计算(b3)2,其结果为( )
A.b5 B.b6 C.b9 D.b18
2.下列运算正确的是( )
A.x3+x4=x7 B.x3·x4=x12
C.(x3)4=x7 D.(-a2)5=-a10
3.若(a2m-4)3=(am+2)2,则m的值为 .
B
D
4
4.计算下列各题:
(1)(m4)3·m2;
(2)(-a4)3·a5;
(3)(-a4)5+(-a10)2;
解:(1)原式=m12·m2=m14.
(2)原式=-a12·a5=-a17.
(3)原式=-a20+a20=0.
(4)3x7·x3-(-x5)2;
(5)(an-1)2·an·an-2;
(6)[(-a-b)2]3·[(a+b)3]2.
解:(4)原式=3x10-x10=2x10.
(5)原式=a2n-2+n+n-2=a4n-4.
(6)原式=(a+b)6·(a+b)6=(a+b)12.
知识点2 幂的乘方法则的逆用
5.已知10a=n,则102a的值是( )
A.n2 B.2n C.102 D.100n
6.(2024绵阳期末)若2x=3,4y=5,则2x+2y的值为( )
A.15 B.50 C.250 D.500
7.(2024杭州月考)已知xm=8,x2n+m=128,则xn的值是( )
A.±8 B.±4 C.4 D.8
8.已知3m+2n-3=0,则23m×4n的值是 .
9.若2×8n×16n=222,则n的值是 .
A
A
B
8
3
能力提升练
10.已知9m=a,27n=b,则32m+3n=( )
A.a+b B.3ab
C.ab D.ab
11.已知9x=a,3y=b,27z=ab,那么x,y,z满足的等量关系是( )
A.2x+y=z
B.xy=3z
C.2x+y=3z
D.2xy=z
C
C
12.(1)已知2x+5y-7=0,求4x·32y的值.
解:(1)∵2x+5y-7=0,
∴2x+5y=7.
∵4x·32y
=(22)x·(25)y
=22x·25y
=22x+5y,
∴原式=27=128.
(2)若x,y均为正整数,且2x+1·4y=128,求x+y的值.
素养培优练
13.阅读:
在底数、指数都是大于1的整数的前提下,当底数相同时,指数大的幂也大;当指数相同时,底数大的幂也大.
根据上述材料,回答下列问题:
(1)比较大小:520 420.(填“>”“<”或“=”)
解:(1)>
(2)比较下列各组数的大小(写出比较的具体过程).
①233与322;
解:(2)①233=(23)11=811,
322=(32)11=911.
∵811<911,
∴233<322.
②已知a=344,b=433,c=522,试比较a,b,c的大小.
解:②∵a=344=(34)11=8111,
b=433=(43)11=6411,
c=522=(52)11=2511,
81>64>25,
∴8111>6411>2511,
∴a>b>c.
比较幂的大小
在比较底数不同且指数也不同的幂的大小时,常逆用幂的乘方法则,将其转化为指数相同或底数相同的幂,再比较大小.
解题策略
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11.1 幂的运算
1.同底数幂的乘法
1.同底数幂的乘法法则
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
即am·an= (m,n为正整数).
推广:am·an·ap= (m,n,p为正整数).
2.同底数幂乘法法则的逆用
am+n= (m,n为正整数).
第11章 整式的乘除
am+n
am+n+p
am·an
精讲练 新知探究
解:(1)原式=x1+8=x9.
(3)原式=(-y)3+6=(-y)9=-y9.
(4)x3·x5·x7;
(5)(a-b)3·(-a+b).
解:(4)原式=x3+5+7=x15.
(5)原式=-(a-b)3·(a-b)
=-(a-b)4.
(1)单个数或字母应看作指数为1的幂,不要漏掉“1”,例如:a·a3=
a1+3=a4.
重点必记
(2)底数是多项式时,法则同样适用.例如:(x+y)2·(x+y)3=(x+y)5,将(x+y)当作底数.
(3)当底数不同时,若能化成相同底数,则先化成相同底数,再利用同底数幂的乘法法则进行计算.
巩固训练
1.计算:
(1)102·103= ;
(2)(-5)7×(-5)9= ;
(3)a·a2·a3= ;
(4)(x-3)2·(x-3)3= .
105
516
a6
(x-3)5
2.已知33x×3=81×27,求x的值.
解:∵33x×3=81×27,
∴33x+1=34×33=37,
∴3x+1=7,
∴x=2.
探究点二 同底数幂乘法法则的逆用
例2 (1)如果10x=m,10y=n,求10x+y的值.
(2)已知3x+y=81,求3x+y+2的值.
解:(1)∵10x=m,10y=n,
∴10x+y=10x·10y=mn.
(2)∵3x+y=81,
∴3x+y+2=3x+y×32
=81×9
=729.
巩固训练
3.(1)若am=16,an=2,则am+n的值为 .
(2)若xm=2,xm+n=6,则xn= .
(3)已知3m=a,3n=b,则3m+n+2的值为 .
4.已知ax=5,ax+y=30,求ax+ay的值.
32
3
9ab
解:∵ax=5,ax+y=ax·ay=30,
∴ay=30÷5=6,
∴ax+ay=5+6=11.
基础巩固练
11.1 幂的运算
1.同底数幂的乘法
知识点1 同底数幂的乘法法则
1.计算m3·m2的结果正确的是( )
A.m2 B.m3
C.m5 D.m6
2.计算a·a2·a3的结果正确的是( )
A.a5 B.a6 C.a7 D.a8
第11章 整式的乘除
C
B
3.下列运算正确的是( )
A.2x3-x3=2 B.b5·b5=2b5
C.x3·x=x3 D.y3·y5=y8
4.计算:
(1)x3·(-x)5= ;
(2)(-a)6·(-a)3·(-a8)= ;
(3)(x-3y)2·(3y-x)3= .
D
-x8
a17
-(x-3y)5
5.计算:
(1)x·x5·x6;
(2)(-y)2·y4·(-y)3;
解:(1)x·x5·x6=x1+5+6=x12.
(2)(-y)2·y4·(-y)3
=y2·y4·(-y3)
=-y9.
(3)a4·a3+a·a2·a4+a6·a;
(4)(x-y)3·(y-x)4·(x-y)2.
解:(3)a4·a3+a·a2·a4+a6·a
=a7+a7+a7
=3a7.
(4)(x-y)3·(y-x)4·(x-y)2
=(x-y)3·(x-y)4·(x-y)2
=(x-y)3+4+2
=(x-y)9.
6.新定义 规定a*b=2a×2b.
(1)求1*2的值;
(2)若2*(x+1)=32,求x的值.
解:(1)由题意,得1*2=21×22=8.
(2)由题意,得
2*(x+1)=22×2x+1=22+x+1=32=25,
∴2+x+1=5,
∴3+x=5,
∴x=2.
知识点2 同底数幂乘法法则的逆用
7.(2024广安期中)已知am=2,an=8,则am+n的值是( )
A.16 B.18
C.36 D.72
8.(1)若4m+1=256,则4m= ;
(2)若am=3,am+n=9,则an= ;
(3)已知3n=a,3m=b,则3m+n+1= .
A
64
3
3ab
能力提升练
9.若a·am·a3m+1=a10,则m的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知2x=3,2y=6,2z=12,则下列给出的x,y,z之间的数量关系式中,错误的是( )
A.4x=z B.x+z=2y
C.y+1=z D.x+1=y
11.已知x+y-3=0,则3x·3y= .
12.若m,n是正整数(mB
A
27
4或6
13.(2024眉山期末)规定a,b两数之间的一种运算,记作(a,b):如果ac=b,那么(a,b)=c.
例如:∵23=8,∴(2,8)=3.
(1)根据上述规定填空:(3,9)= .
(2)令(2,6)=x,(2,7)=y,(2,42)=z,试说明:(2,6)+(2,7)=(2,42).
解:(1)2
(2)由题意,得2x=6,2y=7,2z=42,
∴2x·2y=2z,∴2x+y=2z,
∴x+y=z,
即(2,6)+(2,7)=(2,42).
素养培优练
14.推理能力 阅读材料:
求1+2+22+23+24 +…+ 22 021+22 022的值.
解:设S=1+2+22+23+24+…+22 021+22 022,①
等式两边同时乘以2,得
2S=2+22+23+24+25+…+22 022+22 023,②
②-①,得2S-S=22 023-1,
即S=22 023-1,
∴1+2+22+23+24+…+22 021+22 022=22 023-1.
请你仿照此法计算:
1+5+52+53+54+…+5n(其中n为正整数).
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11.5 因式分解
第1课时 用提公因式法分解因式
1.因式分解
把一个多项式化为几个整式的 的形式,叫做多项式的因式分解.
注:因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形,因式分解的结果可以用整式乘法来检验;整式的乘法是“积化和”,结果是和的形式,因式分解是“和化积”,结果是积的形式.
积
2.公因式
多项式的 都含有的 的因式叫做公因式.
注:确定公因式的步骤
(1)定系数:各项系数的最大公约数;(2)定字母:各项都含有的相同字母;
(3)定指数:相同字母的最低次数.
3.提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式,把 提出来,多项式就可以分解成两个因式 的形式,这种因式分解的方法,叫做提公因式法.
每一项
相同
公因式
乘积
精讲练 新知探究
探究点一 因式分解的概念
例1 判断下列各式哪些是整式的乘法,哪些是因式分解,哪些两者都不是.
(1)ax+bx+cx+m=(a+b+c)x+m; (2)my-2mx+m=m(y-2x+1);
(3)x(2x-y)=2x2-xy; (4)x2-4xy+4y2=(x-2y)2;
(5)(x-2)(x+2)=x2-4;
解:(2)(4)是因式分解,(3)(5)是整式的乘法,(1)(6)既不是因式分解,也不是整式的乘法.
因式分解的判断
(1)看形式:左边是多项式,右边是积的形式;
重点必记
(2)看结果:右边的结果与左边必须相等;
(3)看因式:分解后的因式必须是整式.
巩固训练
1.下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A.x2-x+1=x(x-1)+1
B.x(y+x)=xy+x2
C.(x+y)(x-y)=x2-y2
D.x2-2xy+y2=(x-y)2
D
2.对于①x2-5xy=x(x-5y),②(x+3)·(x-4)=x2-x-12从左到右的变形,表述正确的是( )
A.都是因式分解
B.都是整式的乘法
C.①是因式分解,②是整式的乘法
D.①是整式的乘法,②是因式分解
3.已知二次三项式x2-kx+12分解因式的结果是(x-4)(x-3),则k的值为
.
C
7
探究点二 用提公因式法分解因式
例2 把下列多项式分解因式:
(1)a2b-5ab; (2)-4m3-6m2;
(3)x(x-y)+y(y-x); (4)-2x3+4x2-6x.
解:(1)a2b-5ab=ab(a-5).
(2)-4m3-6m2=-2m2(2m+3).
(3)x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)2.
(4)-2x3+4x2-6x=-2x(x2-2x+3).
例3 已知ab=3,a-2b=5,求5a2b-10ab2的值.
解:∵ab=3,a-2b=5,
∴5a2b-10ab2
=5ab(a-2b)=5×3×5
=75.
提公因式的注意事项
(1)公因式可以是单项式,也可以是多项式;
重点必记
(2)若多项式的第一项的系数是负的,则提取公因式时将负号一起提出;
(3)当多项式的某一项与公因式相同时,提取公因式后应补上1;
(4)因式分解必须分解彻底,相同因式要写成幂的形式.
巩固训练
4.多项式9m3n-6m2n各项的公因式是 ,分解因式的结果是
.
5.计算:
(1)168×178-78×168= ;
(2)36×20.24+74×20.24-202.4= .
3m2n
3m2n(3m-2)
16 800
2 024
6.因式分解:
(1)ax2-2axy; (2)2m2n-4mn2+2n2;
(3)-8x2y2-4x2y+2xy; (4)18(x-y)2+24(y-x)3.
解:(1)ax2-2axy=ax(x-2y).
(2)2m2n-4mn2+2n2=2n(m2-2mn+n).
(3)-8x2y2-4x2y+2xy=-2xy(4xy+2x-1).
(4)18(x-y)2+24(y-x)3
=18(x-y)2-24(x-y)3
=6(x-y)2[3-4(x-y)]
=6(x-y)2(3-4x+4y).
7.一个长方形的长与宽分别为a,b,若该长方形的周长为14,面积为6,求3a2b+3ab2的值.
解:根据题意,得2(a+b)=14,ab=6,
∴a+b=7.
∴3a2b+3ab2=3ab(a+b)=3×6×7=126.
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3.多项式与多项式相乘
知识点1 多项式与多项式相乘
1.下列各式中,结果错误的是( )
A.(x+2)(x-3)=x2-x-6
B.(x-4)(x+4)=x2-16
C.(2x+3)(2x-6)=2x2-3x-18
D.(2x-1)(2x+2)=4x2+2x-2
C
2.在展开多项式(x2+x-3)(x2-2x+2a)时,常数项为-30,则a等于( )
A.3 B.4
C.5 D.6
C
A
4.计算:
(1)(x+7)(x+8)= ;
(2)(2a-3b)(a+5b)= ;
(3)(-2m-1)(3m-2)= ;
(4)(5m-1)(m2-2m+3)= .
5.如果(2x-a)(3x-4)=bx2-2x-8,那么a+b= .
x2+15x+56
2a2+7ab-15b2
-6m2+m+2
5m3-11m2+17m-3
4
6.计算:
(1)(-7x2-8y2)(-x2+3y2);
(2)(3x+2y)(9x2-6xy+4y2).
解:(1)(-7x2-8y2)(-x2+3y2)
=7x4-21x2y2+8x2y2-24y4
=7x4-13x2y2-24y4.
(2)(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)
=27x3-18x2y+12xy2+18x2y-12xy2+8y3
=27x3+8y3.
知识点2 整式的化简与求值
7.(2024衡阳月考)如果a+b=2,ab=-4,那么化简(a-2)(b-2)的结果是( )
A.4 B.-8
C.-4 D.8
C
8.(2024眉山期末)关于x的代数式(mx-2)·(2x+1)+x2+n化简后不含x2的项和常数项.
(1)求m,n的值;
(2)求m2 023n2 024的值.
9.先化简,再求值:(a+2b)(3a-b)-(a-b)·(a+b),其中a=-1,b=-1.
解:(a+2b)(3a-b)-(a-b)(a+b)
=(3a2-ab+6ab-2b2)-(a2+ab-ab-b2)
=3a2-ab+6ab-2b2-a2-ab+ab+b2
=2a2+5ab-b2.
当a=-1,b=-1时,
原式=2×(-1)2+5×(-1)×(-1)-(-1)2
=2+5-1
=6.
知识点3 多项式与多项式相乘的实际应用
10.(2024驻马店月考)一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物,它们的边长如图所示,则大矩形的面积表示错误的是( )
A.(x+y)(a+b)
B.a(x+y)+b(x+y)
C.(x+a)(y+b)
D.xa+ya+xb+yb
11.如果一个三角形的底为x+8(x>0),该底上的高为x+2,那么该三角
形的面积为 .
C
12.为了更好地开展劳动教育,某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造,如图所示,已知该地块是长为(a+4b)米,宽为(a+3b)米的长方形地块,学校准备在该地块内修一条平行四边形小路,小路的底边宽为a米,并计划将阴影部分改造为种植区.
(1)用含有a,b的式子分别表示出小路面积S1和种植区的总面积S2;(请将结果化为最简)
解:(1)S1=a(a+4b)=(a2+4ab)(平方米),
S2=(a+3b-a)(a+4b)=3b(a+4b)=(3ab+12b2)(平方米).
(2)若a=2,b=4,求出此时种植区的总面积S2.
解:(2)当a=2,b=4时,
S2=3×2×4+12×42=3×2×4+12×16=24+192=216(平方米).
答:此时种植区的总面积S2为216平方米.
能力提升练
(2)若多项式x2-(x+2a)(x-b)-4的值与x的取值无关,则a,b一定满足( )
A.a=0且b=0 B.a=2b
C.b=2a D.a+2b=0
A
C
14.(2024泉州期末)有一块长为a米,宽为b米(a>b>100)的长方形花园,若把这个花园的长增加10米,宽减少10米,则改变后的花园的面积( )
A.一定变小 B.一定变大
C.没有变化 D.无法确定
15.设A=(x-1)(x-5),B=(x-4)(x-2),则A,B的大小关系为( )
A.A>B B.AC.A=B D.无法确定
A
B
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16.在运算中,如果能总结规律,并加以归纳,得出数学公式,那么一定会提高解题的速度.在解答下列问题中,请探究其中的规律.
(1)填空:
(x+2)(x+3)= ;
(x-1)(x+4)= ;
(x-3)(x-2)= .
解:(1)x2+5x+6 x2+3x-4 x2-5x+6
(2)归纳猜想后填空:
(x+a)(x+b)=x2+ x+ .
(3)运用(2)中得到的结论解决问题.
①若(x+a)(x+b)=x2-5x+4,则a+b的值为 .
②计算:(x-6)(x+5).
解:(2)(a+b) ab
(3)①-5
②(x-6)(x+5)
=x2+(-6+5)x-6×5
=x2-x-30.
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11.2 整式的乘法
1.单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘法则
单项式与单项式相乘,只要将它们的 、相同 的幂分别相乘,对于只在一个单项式中出现的字母,连同它的 一起作为 的一个因式.
系数
字母
指数
积
精讲练 新知探究
探究点一 单项式与单项式相乘
例1 计算:
(1)2a·6a2; (2)2m3n·(-mn2);
解:(1)2a·6a2=(2×6)·(a·a2)=12a3.
(2)2m3n·(-mn2)=[2×(-1)](m3·m)·(n·n2)=-2m4n3.
解:(1)原式=9a4b2·2ab2=18a5b4.
(2)原式=4x2y·(-x3y6)=-4x5y7.
单项式与单项式相乘的步骤
(1)系数相乘——先确定符号,再把绝对值相乘;
重点必记
(2)相同字母相乘——底数不变,指数相加;
(3)单独字母——连同指数作为积的一个因式.
巩固训练
1.计算(-3x)·(-2x3)的结果为( )
A.6x4 B.-6x4 C.6x3 D.-36x5
2.下列各式中,计算正确的是( )
A.2a2·3a3=5a6
B.-3a2·(-2a)=-6a3
C.(2a)3·5a2=40a5
D.(-a)2·(-a)3=a5
3.若(am+1bn)·(a2n-1b2n)=a5b3,则m-n的值为 .
A
C
2
解:(1)原式=[3×(-2)](x2·x)(y·y2)=-6x3y3.
(2)原式=2m3n·9m2n4=18m5n5.
探究点二 单项式与单项式相乘的实际应用
例3 随着人们环境保护意识的增强,太阳能这种无污染的绿色能源越来越受到人们的重视.已知在1 km2的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧约1.3×105 t煤产生的热量.9.6×106 km2的陆地一年内从太阳得到的能量相当于燃烧约多少吨煤所产生的热量
解:根据题意,得
(1.3×105)×(9.6×106)=(1.3×9.6)×(105×106)
=1.248×1012(t).
答:9.6×106 km2的陆地一年内从太阳得到的能量相当于燃烧约1.248×1012 t煤所产生的热量.
巩固训练
5.教材练习变式 小明的爸爸开垦了一块直角三角形形状的地,小明想测量一下这块地的面积.他用相同的步子量得两直角边长分别是4步、7步.若小明的步长是x m,则这块地的面积是多少
6.光在真空中的速度约是3×108 m/s,光在真空中穿行1年的距离称为1光年,则1光年约是多少千米 (1年按3×107 s计算)
解:1光年=(3×108)×(3×107)
=(3×3)×(108×107)
=9×1015(m).
9×1015m=9×1012 km.
答:1光年约是9×1012 km.
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基础巩固练
11.3 乘法公式
1.两数和乘以这两数的差
知识点1 平方差公式的几何背景
1.如图所示,在分割正方形拼接成长方形的方案中,可以验证公式( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.a2-ab=a(a-b)
C
2.如图所示,从边长为(a+4)cm(a>0)的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形,剩余部分沿虚线剪切并拼成一个长方形(不重叠、无缝隙),这个过程的逆过程用等式表示为(无需化简) .
;该长方形的面积为 cm2.
[(a+4)+(a+1)]·
[(a+4)-(a+1)]=(a+4)2-(a+1)2
(6a+15)
知识点2 运用平方差公式进行计算
3.下列不能用“两数和乘以这两数的差”直接计算的是( )
A.(-m+n)(m-n)
B.(-m-n)(-m+n)
C.(x+2)(x-2)
D.(-2x+y)(2x+y)
A
4.若(x+m)(x-m)=x2-16,则m等于( )
A.4 B.-4
C.±4 D.以上都不对
5.计算(m-2)(m+2)(m2+4)-(m4-16)的结果为( )
A.0 B.4m C.-4m D.2m4
6.(2024凉州期末)已知a-b=3,a2-b2=-12,则a+b的值为 .
C
A
-4
7.计算:
(1)(m-2n)(m+2n);
(2)(-x-y)(x-y);
解:(1)(m-2n)(m+2n)
=m2-(2n)2
=m2-4n2.
(2)(-x-y)(x-y)
=(-y)2-x2
=y2-x2.
(3)(x+1)(x2+1)(x-1).
解:(3)(x+1)(x2+1)(x-1)
=(x2-1)(x2+1)
=x4-1.
知识点3 平方差公式的运用
9.若( )(1-x)=x2-1,则 等于( )
A.x-1 B.x+1
C.-x-1 D.1-x
10.若(x+y+z)(x-y+z)=(A+B)(A-B),且B=y,则A= .
C
x+z
解:(1)原式=(100+2)×(100-2)=1002-22=9 996.
(2)原式=(50+0.2)×(50-0.2)=2 500-0.04=2 499.96.
12.(2025南阳期中)一个正方形,如果先把一组对边加长4 cm,再把另一组对边减少4 cm,这时得到的长方形面积与原正方形的边长减少2 cm后的正方形面积相等,求原正方形的面积.
解:设原正方形的边长为x cm,则长方形的长为(x+4)cm,宽为(x-4)cm,
由题意,得(x+4)(x-4)=(x-2)2,
解得x=5,即原正方形的边长为5 cm,
因此原正方形的面积为25 cm2.
能力提升练
13.若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,则称这个正整数为
“好数”.下列正整数中能称为“好数”的是( )
A.205 B.250 C.502 D.520
D
15.如图所示,在△ABC中,BC边上的高AD=BD,点E为边AD上的点,且DE=DC,若S△ABD-S△ECD=18,则图中阴影部分面积为 .
18
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16.综合与探究 某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形来验证平方差公式:
(1)【探究】以上四种方法中能够验证平方差公式的是 (填序号);
解:(1)①②③
① ② ③ ④
(2)【应用】利用平方差公式计算:
2 0242-2 023×2 025;
解:(2)原式=2 0242-(2 024-1)×(2 024+1)
=2 0242-(2 0242-1)
=1.
(3)【拓展】计算:(2+1)(22+1)(24+1)·(28+1)·…·(264+1).
解:(3)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)·(28+1)·…·(264+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(264+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)·…·(264+1)
=(28-1)(28+1)·…·(264+1)
=(216-1)·…·(264+1)
=(264-1)(264+1)
=2128-1.
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第2课时 用平方差公式分解因式
1.公式法
将乘法公式反过来用,对多项式进行 ,这种因式分解的方法称为公式法.
2.运用平方差公式分解因式
a2-b2=(a+b)(a-b).
因式分解
精讲练 新知探究
探究点一 用平方差公式分解因式
例1 把下列多项式分解因式:
(1)4a2-9;(2)16-x4;
(3)x2y2-z2.
解:(1)4a2-9=(2a+3)(2a-3).
(2)16-x4=(4+x2)(4-x2)
=(4+x2)(2+x)(2-x).
(3)x2y2-z2=(xy)2-z2
=(xy+z)(xy-z).
例2 把下列多项式分解因式:
(1)(x-y)2-9x2;
(2)(2a+b)2-(a-2b)2.
解:(1)(x-y)2-9x2=(x-y)2-(3x)2=(x-y+3x)(x-y-3x)
=(4x-y)(-2x-y)
=-(4x-y)(2x+y).
(2)(2a+b)2-(a-2b)2
=[(2a+b)+(a-2b)][(2a+b)-(a-2b)]
=(2a+b+a-2b)(2a+b-a+2b)
=(3a-b)(a+3b).
能用平方差公式进行因式分解的多项式的特点:①多项式是二项式;②两项是差的形式;③每一项都能写成一个整式(可以是单项式,也可以是多项式)的平方的形式.
重点必记
巩固训练
1.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+b2 B.-x2+16
C.4m2-16m D.-x2-y2
2.因式分解:
(1)-16x2+y2;
B
解:(1)-16x2+y2
=(-4x+y)(4x+y).
(2)4(x+y)2-9(x-y)2;
(3)a4-b4.
解:(2)4(x+y)2-9(x-y)2
=[2(x+y)+3(x-y)][2(x+y)-3(x-y)]
=(5x-y)(-x+5y).
(3)a4-b4=(a2+b2)(a2-b2)
=(a2+b2)(a+b)(a-b).
探究点二 综合运用提公因式法和平方差公式分解因式
例3 把下列多项式分解因式:
(1)8m2n-2n3; (2)a2(x-y)+b2(y-x).
解:(1)8m2n-2n3
=2n(4m2-n2)
=2n(2m+n)(2m-n).
(2)a2(x-y)+b2(y-x)
=a2(x-y)-b2(x-y)
=(x-y)(a2-b2)
=(x-y)(a+b)(a-b).
分解因式时,要注意综合运用所学的分解因式的方法,首先考虑提公因式法,再考虑公式法,同时要注意将每个因式分解到不能再分解为止.
技法点拨
巩固训练
3.将多项式4x-x3分解因式正确的是( )
A.x(4-x2) B.x(2+x)(2-x)
C.x(x+2)(x-2) D.x(x-2)2
4.把下列多项式分解因式:
(1)3a3-27ab2;
B
解:(1)3a3-27ab2
=3a(a2-9b2)
=3a(a+3b)(a-3b).
(2)(m-n)3+9(n-m).
解:(2)(m-n)3+9(n-m)
=(m-n)3-9(m-n)
=(m-n)[(m-n)2-9]
=(m-n)(m-n+3)(m-n-3).
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基础巩固练
11.5 因式分解
第1课时 用提公因式法分解因式
知识点1 因式分解的概念
1.(1)把一个多项式化为几个整式的 的形式,叫做多项式的因式分解.整式乘法与因式分解为互逆变形,它们都是整式恒等变形.
(2)下列从左到右的变形中, 是因式分解; 是整式乘法.(填写序号)
①ax+bx+cx+m=x(a+b+c)+m; ②2a(b+c)=2ab+2ac;
③mx2-2mx+m=m(x-1)2; ④(a-3)(a+3)=a2-9.
积
③
②④
2.下列等式从左到右的变形中,属于因式分解的是( )
A.m(n-5)=mn-5m
B.m2-4m=(m-2)2-4
C.x2-81x=x(x-81)
D.x2-y2-5=(x+y)(x-y)-5
C
知识点2 用提公因式法分解因式
3.用提公因式法将多项式8a2b-12a3b2c分解因式,其中的公因式是( )
A.8a2b B.12a3b2c
C.4ab D.4a2b
4.把(a-b)+m(b-a)提取公因式(a-b)后,另一个因式是( )
A.1-m B.1+m
C.m D.-m
D
A
5.已知一个多项式因式分解的结果为2m·(2-m),则这个多项式为
.
6.已知等式:x(y-1)+( )=(y-1)·(x+3).则括号内所填的式子为
.
7.把下列多项式分解因式:
(1)2x2-10;
(2)3a2-9ab;
4m-2m2
3y-3
解:(1)原式=2(x2-5);
(2)原式=3a(a-3b);
(3)-20x4y3+28x2y4z;
(4)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2;
(5)8a(x-y)2-4(y-x)3.
解:(3)原式=4x2y3(7yz-5x2);
(4)原式=x(x+y)(x-y-x-y)=
-2xy(x+y);
(5)原式=8a(x-y)2+4(x-y)3=4(x-y)2(2a+x-y).
能力提升练
9.计算(-2)2 023+(-2)2 024的值为( )
A.-2 B.2 C.-22 023 D.22 023
题组 因式分解中的整体思想
10.已知a+b=3,ab=1,则多项式a2b+ab2-a-b的值为( )
A.-1 B.0 C.3 D.6
11.如果x,y互为相反数,那么x3y5+x2y6的值为 .
12.若m+2n=1,则3m2+6mn+6n的值为 .
D
B
0
3
13.利用因式分解计算:
(1)9992+999;
(2)21×3.14+62×3.14+1.7×31.4.
解:(1)9992+999
=999×(999+1)
=999 000.
(2)21×3.14+62×3.14+1.7×31.4
=3.14×(21+62+17)
=3.14×100
=314.
14.已知三角形的三边长a,b,c满足a2b+b2c=c2b+a2c,说明:这个三角形是等腰三角形.
解:∵a2b+b2c=c2b+a2c,
∴a2b+b2c-c2b-a2c=0,
即a2(b-c)+bc(b-c)=0,
即(a2+bc)(b-c)=0,
∴b-c=0,即b=c,
∴这个三角形是等腰三角形.
素养培优练
15.阅读下列因式分解的过程:
1+x+x(1+x)+x(1+x)2
=(1+x)[1+x+x(1+x)]
=(1+x)[(1+x)+x(1+x)]
=(1+x)(1+x)(1+x)
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3.
解答下列问题:
(1)上述分解因式的方法是 法,共应用了 次;
(2)若分解因式1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)2 023,则需要应用上述方法 次,分解因式后的结果是 ;
解:(1)提公因式 2
(2)2 023 (1+x)2 024
(3)请用以上的方法分解因式:
1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)n(n为正整数,必须有解答过程).
解:(3)1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)n
=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-1]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-2]
…
=(1+x)n+1.
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3.多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘法则
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的 分别乘以另一个多项式的 ,再把所得的积 .即(m+n)(a+b)= .
每一项
每一项
相加
ma+mb+na+nb
精讲练 新知探究
探究点一 多项式与多项式相乘
例1 计算:
(1)(a+3)(a-4); (2)(2x+3y)(3x-4y);
解:(1)(a+3)(a-4)
=a2-4a+3a-12
=a2-a-12.
(2)(2x+3y)(3x-4y)
=6x2-8xy+9xy-12y2
=6x2+xy-12y2.
(3)(3a-2b)(a2+2ab+3b2);
(4)(2m2+3mn-n2)(m-2n).
解:(3)(3a-2b)(a2+2ab+3b2)
=3a3+6a2b+9ab2-2a2b-4ab2-6b3
=3a3+4a2b+5ab2-6b3.
(4)(2m2+3mn-n2)(m-2n)
=2m3-4m2n+3m2n-6mn2-mn2+2n3
=2m3-m2n-7mn2+2n3.
多项式与多项式相乘的注意事项
(1)按一定顺序相乘,防止漏乘;
易错警示
(2)计算时要注意确定积中各项的符号;
(3)结果中如有同类项,要合并同类项.
巩固训练
1.下列各式的计算结果为x2-5x-6的是( )
A.(x-2)(x-3) B.(x-6)(x+1)
C.(x-2)(x+3) D.(x-3)(x+2)
2.若(x-3)(2x+1)=2x2+ax-3,则a的值为( )
A.-7 B.-5 C.5 D.7
3.已知(x+a)(x+4)的结果中不含x的一次项,则a的值为( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
B
B
D
4.计算:
(1)(2x+1)(x-2);
(2)(2m-n)2;
解:(1)(2x+1)(x-2)
=2x2-4x+x-2
=2x2-3x-2.
(2)(2m-n)2
=(2m-n)(2m-n)
=4m2-2mn-2mn+n2
=4m2-4mn+n2.
(3)(2x-7y)(3x+4y-1);
(4)(a-b)(a2+ab+b2).
解:(3)(2x-7y)(3x+4y-1)
=6x2+8xy-2x-21xy-28y2+7y
=6x2-13xy-2x-28y2+7y.
(4)(a-b)(a2+ab+b2)
=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
=a3-b3.
探究点二 整式的化简与求值
例2 化简:
(1)(x+y)(3x-2y)-y(4x-2y);
(2)-x(x-1)+2x(x+1)-(3x-1)(2x-5).
解:(1)(x+y)(3x-2y)-y(4x-2y)
=3x2-2xy+3xy-2y2-4xy+2y2
=3x2-3xy.
(2)-x(x-1)+2x(x+1)-(3x-1)(2x-5)
=-x2+x+2x2+2x-(6x2-15x-2x+5)
=-x2+x+2x2+2x-6x2+17x-5=-5x2+20x-5.
例3 先化简,再求值:
x(x+4)-(x-6)(x+2)+(3x2-x)+x,其中x=-1.
解:x(x+4)-(x-6)(x+2)+(3x2-x)+x
=x2+4x-(x2-4x-12)+3x2-x+x
=x2+4x-x2+4x+12+3x2-x+x
=3x2+8x+12.
当x=-1时,
原式=3×(-1)2+8×(-1)+12
=3-8+12=7.
(1)进行整式的混合运算时,要统观全式,分清运算类型,确定运算顺
序,然后根据相关的法则依次计算.
重点必记
(2)化简求值问题,一般是先化简后求值,当直接代入比较困难时,要考虑用整体代入的方法求值.
巩固训练
5.若a+b=6,ab=7,则代数式(a-2)(b-2)的值为 .
-1
探究点三 多项式与多项式相乘的实际应用
例4 如图所示,在长为4a-1,宽为3b+2的长方形铁片上,剪去一个长为3a-2,宽为2b的小长方形铁片.
(1)计算阴影部分的面积S;
解:(1)根据题意,可得
S=(4a-1)(3b+2)-2b(3a-2)
=12ab+8a-3b-2-6ab+4b
=6ab+8a+b-2.
答:阴影部分的面积为6ab+8a+b-2.
(2)求出当a=4,b=3时阴影部分的面积.
解:(2)当a=4,b=3时,
6ab+8a+b-2
=6×4×3+8×4+3-2
=72+32+1=105.
答:当a=4,b=3时,阴影部分的面积为105.
巩固训练
7.用如图所示的正方形和长方形卡片若干张,拼成一个长为3a+2b,宽为a+b的长方形,需要B类卡片 张.
5
8.某学校生物小组有一块长为3a米,宽为2a米的长方形试验地,因实际需要,该学校将长方形试验田的长、宽都增加了2b米,则试验田的面积增加了多少平方米
解:根据题意,得
(3a+2b)(2a+2b)-3a·2a
=6a2+6ab+4ab+4b2-6a2
=10ab+4b2.
答:试验田的面积增加了(10ab+4b2)平方米.
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11.3 乘法公式
1.两数和乘以这两数的差
1.两数和与这两数差的乘法公式(平方差公式)
两数和与这两数差的积,等于这两数的 .
即(a+b)(a-b)= .
2.平方差公式的结构特征
①等号左边:两个二项式中有两个相同项和两个互为相反数的项;
②等号右边:相同项的平方减去互为相反数的项的平方.
注:公式中的a,b既可以是单项式,也可以是多项式.
平方差
a2-b2
精讲练 新知探究
探究点一 平方差公式的几何背景
例1 如图①所示,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,图②是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形.
(1)设图①中阴影部分的面积为S1,图②中阴影部分的面积为S2,则S1=
,S2= (请用含a,b的代数式表示,不必化简).
(2)以上结果可以验证的乘法公式是
.
a2-b2
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
① ②
巩固训练
1.如图所示,利用图①和图②的阴影面积相等,写出一个正确的等式:
.
(a+2)(a-2)=a2-4
①
②
探究点二 运用平方差公式进行计算
例2 用平方差公式计算:
(1)(x+6)(x-6);
(2)(3a+2b)(3a-2b);
(3)(-4-3m)(-4+3m).
解:(1)原式=x2-62=x2-36.
(2)原式=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2.
(3)原式=(-4)2-(3m)2
=16-9m2.
例3 用平方差公式计算:
(1)(2x+y)(-y+2x);
(2)(-2a-3b)(2a-3b);
解:(1)(2x+y)(-y+2x)
=(2x+y)(2x-y)
=4x2-y2.
(2)(-2a-3b)(2a-3b)
=(-3b-2a)(-3b+2a)
=9b2-4a2.
(3)(x-y)(x2+y2)(x+y).
解:(3)(x-y)(x2+y2)(x+y)
=(x-y)(x+y)(x2+y2)
=(x2-y2)(x2+y2)
=x4-y4.
有些多项式的乘法不能直接运用平方差公式,需要变形后才能运用.常见的变形有:(1)项的位置的变化;(2)项的符号的变化;(3)项的系数的变化.
易错警示
巩固训练
2.下列运算中正确的是( )
A.(a+3)(a-3)=a2-3
B.(3b+2)(3b-2)=3b2-4
C.(3m-2n)(-2n-3m)=4n2-9m2
D.(x+2)(x-2)(x2+4)=x2-16
C
解:(1)原式=(2a)2-b2=4a2-b2.
(3)原式=a2-9+4a-a2
=4a-9.
探究点三 运用平方差公式进行简便计算
例4 运用平方差公式进行简便计算:
(1)103×97; (2)2 0252-2 0242.
解:(1)103×97
=(100+3)(100-3)
=1002-32
=10 000-9=9 991.
(2)2 0252-2 0242
=(2 025+2 024)(2 025-2 024)
=4 049×1=4 049.
在实数的运算中,利用平方差公式进行计算,能使计算更简便,根据题目特征可以顺用公式,也可以逆用公式.
方法点拨
巩固训练
(2)1002-982
=(100+98)(100-98)=198×2=396.
(3)124×122-1232.
解:(3)124×122-1232
=(123+1)(123-1)-1232
=1232-1-1232=-1.
探究点四 应用平方差公式解决实际问题
例5 有一个边长为2a m(a>10)的正方形池塘,因实际需要,要将一边增加3 m,一边减少3 m,从而得到一个长方形池塘.
(1)求改造后的长方形池塘的面积;
(2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积大了还是小了
解:(1)改造后的长方形池塘的面积为
(2a-3)(2a+3)=(4a2-9)(m2).
(2)原来的面积为2a×2a=4a2(m2).
∵4a2-(4a2-9)=9,∴比原来的面积小了.
巩固训练
5.若长方形的长为(x+3y)m,宽为(x-3y)m,则该长方形的面积为 m2.
6.某中学为了响应“发展体育运动,增强人民体质”的号召,决定建一个长方体游泳池,已知游泳池的长为(a2+4b2)m,宽为(a+2b)m,深为(a-2b)m,请你计算一下这个游泳池的容积.
(x2-9y2)
解:(a2+4b2)(a+2b)(a-2b)
=(a2+4b2)(a2-4b2)
=a4-16b4.
答:这个游泳池的容积是(a4-16b4)m3.
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