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2.定义、定理与证明
1.定义:我们已经学过线段、角、平行线等许多名词,我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义,像这样的语句叫做这些名词的定义.
2.基本事实
数学中,有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,是公认
的 ,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这
样的真命题叫做 .
真命题
基本事实
3.定理
从 或其他 出发,用 的方法判断某些命题是正确的,并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
4.根据 、 以及基本事实、 等,经过 ,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做 .
基本事实
真命题
逻辑推理
条件
定义
定理
演绎推理
证明
精讲练 新知探究
探究点一 基本事实、定理
例1 下列语句属于定义的是( )
A.两点之间线段最短
B.由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形
C.同位角相等,两直线平行
D.正数的平方根有两个
B
例2 有下列命题:
①对顶角相等;
②两点之间线段最短;
③同位角相等,两直线平行;
④锐角都相等.
其中,是基本事实的是 ,是定理的是 .(填序号)
②③
①
基本事实、定理都是真命题,都可以作为进一步判断其他命题真假的依据,只不过基本事实是原始依据.
重点必记
巩固训练
1.“同角或等角的补角相等”是( )
A.定义 B.基本事实
C.定理 D.假命题
2.下列命题中能作为推理依据的是( )
A.相等的角是对顶角
B.两直线被第三条直线所截,内错角相等
C.若m2=n2,则m=n
D.等角的余角相等
C
D
3.有下列命题:①两点确定一条直线;②同旁内角互补,两直线平行;③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;④三角形的内角和为
180°.其中是基本事实的是 ,是定理的是 .(填序号)
①③
②④
探究点二 简单的推理证明
例3 将下面的推理过程补充完整.
已知:如图所示,EF∥AD,∠1=∠2.
求证:∠B+∠BDG=180°.
证明:∵EF∥AD(已知),
∴∠2= ( ).
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠1= (等量代换).
∴AB∥DG( ).
∴∠B+∠BDG=180°( ).
∠3
两直线平行,同位角相等
∠3
内错角相等,两直线平行
两直线平行,同旁内角互补
巩固训练
4.如图所示,已知BC,DE相交于点O,给出以下三个论断:①AB∥DE;②BC∥EF;③∠B=∠E.请你以其中两个论断作为条件,另外一个论断作为结论,写出一个真命题,并进行证明.
解:(答案不唯一)
真命题:若AB∥DE,BC∥EF,则∠B=∠E.
证明如下:
∵AB∥DE(已知),
∴∠B=∠DOC(两直线平行,同位角相等).
∵BC∥EF(已知),
∴∠DOC=∠E(两直线平行,同位角相等).
∴∠B=∠E(等量代换).
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1.等腰三角形的判定
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形;
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.
2.等边三角形的判定
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)三个角都 的三角形是等边三角形;
(3)有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形.
2.等腰三角形的判定
相等
60°
精讲练 新知探究
探究点一 等腰三角形的判定
例1 如图所示,锐角三角形ABC的两条高BD,CE相交于点O,且BD=CE.
求证:△ABC是等腰三角形.
证明:∵BD,CE是△ABC的两条高,∴∠BDC=∠CEB=90°.
在Rt△BDC和Rt△CEB中,∵BC=CB,BD=CE,
∴Rt△BDC≌Rt△CEB(HL),∴∠BCD=∠CBE,
即∠ACB=∠ABC,∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
例2 (2024自贡)如图所示,在△ABC中,DE∥BC,∠EDF=∠C.
(1)求证:∠BDF=∠A;
(1)证明:∵DE∥BC,
∴∠AED=∠C.
∵∠EDF=∠C,
∴∠EDF=∠AED,
∴DF∥AC,
∴∠BDF=∠A.
(2)若∠A=45°,DF平分∠BDE,请写出△ABC的形状.
(2)解:由(1),得∠BDF=∠A=45°.
∵DF平分∠BDE,
∴∠BDE=2∠BDF=90°.
∵DE∥BC,
∴∠B=180°-∠BDE=90°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=45°=∠A,
∴△ABC是等腰直角三角形.
巩固训练
1.在下列△ABC中,是等腰三角形的是( )
A.∠A=50°,∠B=60°
B.∠A=30°,∠B=75°
C.∠A=20°,∠B=100°
D.AB=3,BC=6,周长为14
B
2.(2024重庆改编)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.
(1)图中的等腰三角形的个数为 ;
(2)若BC=2,则AD的长为 .
3
2
3.如图所示,△ABC的边AB的延长线上有一点D,过点D作DF⊥AC于点F,交BC于点E,且BD=BE.
求证:AB=BC.
证明:∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠EFC=90°.
∴∠A+∠D=90°,∠C+∠CEF=90°.
∵BD=BE,∴∠BED=∠D.
∵∠BED=∠CEF,
∴∠D=∠CEF.∴∠A=∠C.
∴AB=BC.
探究点二 等边三角形的判定
例3 如图所示,在△ABC中,点D是AB上的一点,且 AD=DC=DB,∠B=30°.
求证:△ADC是等边三角形.
证明:∵DC=DB,∴∠DCB=∠B=30°.
∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.
又∵AD=DC,∴△ADC是等边三角形.
例4 如图所示,在等边三角形ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ.
求证:△APQ是等边三角形.
证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.
在△ABP与△ACQ中,
∵AB=AC,∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,∴△ABP≌△ACQ(SAS).
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°.
∴△APQ是等边三角形.
巩固训练
4.在△ABC中,有下列结论:
①若AB=BC=CA,则△ABC是等边三角形;
②若△ABC是轴对称图形,且有一个角为60°,则△ABC是等边三角形;
③有三条对称轴的三角形是等边三角形;
④有两个角是60°的三角形是等边三角形.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
5.如图所示,在△ABC中,∠A=60°,AB=BC=8 cm,将△ABC沿BC平移3 cm得到△DEF,AC与DE相交于点G,则GE的长为 cm.
5
6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=120°,CD平分∠ACB,AE∥DC,交BC的延长线于点E.求证:△ACE是等边三角形.
证明:∵∠ACB=120°,CD平分∠ACB,
∴∠BCD=∠ACD=60°.∵∠ACB+∠ACE=180°,
∴∠ACE=180°-∠ACB=60°.∵AE∥DC,
∴∠E=∠BCD=60°,∠CAE=∠ACD=60°,
∴∠ACE=∠CAE=∠E=60°,∴△ACE是等边三角形.
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12.2 三角形全等的判定
1.全等三角形的判定条件
1.全等三角形的定义及性质
能够 的两个三角形是全等三角形,全等三角形的对应边
,对应角 .
2.全等三角形的判定条件
(1)两个三角形的三条边与三个角都分别相等,这两个三角形一定
.
完全重合
相等
相等
全等
(2)两个三角形的三条边、两个角分别相等,这两个三角形仍然 .
(3)两个三角形只有一组元素相等:①一组对应边相等, 判定这两个三角形全等;②一组对应角相等, 判定这两个三角形全等.
(4)两个三角形有两组元素相等:①两个角对应相等, 判定这两个三角形全等;②两条边对应相等, 判定这两个三角形全等;③一个角及其邻边对应相等, 判定这两个三角形全等;④一个角及其对边对应相等, 判定这两个三角形全等.
(5)两个三角形三组元素分别相等,情况分为:①两边一角;②两角一
边;③三个角;④ .
全等
不能
不能
不能
不能
不能
不能
三条边
精讲练 新知探究
探究点一 全等三角形的定义及性质
例1 如图所示,已知△EFG≌△NMH.
(1)写出边FG的对应边,∠EGF的对应角;
解:(1)∵△EFG≌△NMH,
∴边FG的对应边是MH,∠EGF的对应角是∠NHM.
(2)若EF=2.1 cm,FH=1.1 cm,HM=3.3 cm,求MN和HG的长度.
解:(2)∵△EFG≌△NMH,
∴MN=EF=2.1 cm,
FG=HM=3.3 cm.
∵FH=1.1 cm,
∴HG=3.3-1.1=2.2(cm).
巩固训练
1.如图所示,△ABC≌△AEF,则下列结论中不正确的是( )
A.∠E与∠B是对应角
B.BC与EF是对应边
C.∠BAC与∠CAF是对应角
D.∠F与∠ACB是对应角
C
2.如图所示,△ABC≌△ADE,EF=CF.
(1)若BC=15,EF=8,求BF的长;
(2)若∠BAC=107°,∠CAE=77°,求∠CAD的度数.
解:(1)∵△ABC≌△ADE,EF=CF=8,
∴BF=BC-CF=7.
(2)∵△ABC≌△ADE,
∴∠BAC=∠DAE=107°.
又∵∠CAE=77°,
∴∠CAD=∠DAE-∠CAE=107°-77°=30°.
探究点二 全等三角形的判定条件
例2 下列说法中正确的有( )
①如果两个三角形的一组边对应相等,那么这两个三角形全等;
②如果两个三角形的三个角对应相等,那么这两个三角形全等;
③如果两个三角形的三个角对应相等,三条边也对应相等,那么这两个三角形全等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
A
例3 将△ABC沿直线BC平移,得到△DEF(如图所示).
(1)线段BE和CF有什么数量关系 为什么
(2)若∠A=50°,∠B=60°,求∠ACB,∠D,∠DEF,∠F的度数.
解:(1)BE=CF.理由如下:
∵△ABC沿直线BC平移后得到△DEF,
∴△ABC≌△DEF.∴BC=EF.
∴BC-EC=EF-EC,即BE=CF.
(2)∠ACB=180°-∠A-∠B=70°.
由△ABC≌△DEF,得∠D=∠A=50°,
∠DEF=∠B=60°,∠F=∠ACB=70°.
经过平移、旋转、轴对称所得的图形只是位置发生了变化,可据此寻找全等三角形,并依据变换特征确定对应边、对应角.
重点必记
巩固训练
3.具备下列条件的两个三角形一定全等的是( )
A.有一组角对应相等
B.有两组边对应相等
C.经过平移能够重合
D.有一组边对应相等的两个直角三角形
C
4.如图所示,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ADE,若∠CAE=
65°,且AD⊥BC于点F,则∠B= °.
25
5.如图所示,将长方形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF,若AB=1,BC=2,则△ABE和△BC′F的周长之和为 .
6
6.如图所示,△ABF与△DCE关于直线l对称,点A,B,F关于直线l的对称点分别为点D,C,E,且点B,E,F,C在同一直线上.
(1)若BE=2 cm,求CF的长;
解:(1)由轴对称,可得△ABF≌△DCE.
∴BF=CE.
∴BF-EF=CE-EF,即BE=CF.
∵BE=2 cm,
∴CF=2 cm.
(2)若∠A=65°,∠B=80°,求∠DEC的度数.
解:(2)在△ABF中,∠AFB=180°-∠A-∠B=180°-65°-80°=35°.
∵△ABF≌△DCE,
∴∠DEC=∠AFB=35°.
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3.角边角
全等三角形的判定条件—— 两角一边
(1)两角及其夹边分别相等的两个三角形 ,简写成“ ”或“ASA”.
(2)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 ,简写成“ ”或“AAS”.
全等
角边角
全等
角角边
精讲练 新知探究
探究点一 已知两个角和一条线段,用尺规作三角形
例1 如图所示,已知:∠α,∠β,线段c.试作:△ABC,使∠A=∠α,
∠ABC=∠β,AB=2c.(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图所示,△ABC即为所求作.
巩固训练
1.用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
一个缺角的三角形残片如图所示,请你作一个和原三角形全等的三角形,并说出作图依据.
解:如图所示,△CDE即为所求作.
作图依据是ASA.
探究点二 利用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
例2 如图所示,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.
求证:△ABC≌△DEF.
证明:∵AC∥DF,∴∠CAB=∠FDE.
∵BC∥EF,∴∠CBA=∠FED.
在△ABC和△DEF中,
∵∠CAB=∠FDE,AB=DE,
∠CBA=∠FED,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
例3 (营口中考)如图所示,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求证:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
(1)证明:在△ACE和△BDF中,
∵∠ACE=∠BDF,∠A=∠B,AE=BF,
∴△ACE≌△BDF(AAS).
(2)解:∵△ACE≌△BDF,AC=2,
∴BD=AC=2.
∵AB=8,∴CD=AB-AC-BD=4.
巩固训练
2.如图所示,AB=DB,∠1=∠2,要使△ABC≌△DBE,还需添加一个条件是
.(只需写出一种情况)
∠A=∠D(答案不唯一)
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,D是BC上一点,DF⊥BC交AC于点H,且DF=BC,FG⊥AC交AC于点G,交BC于点E.求证:AB=DE.
4.如图所示,在△ABC中,D是AC上一点,E是BC的中点,作BF∥AC,交DE的延长线于点F.求证:CD=BF.
探究点三 角边角和角角边的应用
例4 如图所示,把一架长为 10 m 的梯子AB斜靠在墙上,测得BM=6 m,梯子沿墙下滑到CD位置,测得DM=8 m,若∠ABM=∠DCM,求梯子下滑的距离.
解:在△ABM与△DCM中,
∵∠AMB=∠DMC,∠ABM=∠DCM,AB=DC,
∴△ABM≌△DCM(AAS),
∴CM=BM=6 m,AM=DM=8 m,
∴AC=AM-CM=2 m,
即梯子下滑的距离是2 m.
巩固训练
5.如图所示,王老师要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,他在池塘外AB的垂线BF上取两点C,D,使BC=CD,再作出BF的垂线DE,使点E与点A,C在一条直线上,则量出的DE的长就是点A,B的距离,他判定三角形全等的直接依据是 .
ASA
6.如图所示,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AN是过点A且经过△ABC内部的一条直线,作BD⊥AN于点D,CE⊥AN于点E.
求证:DE=BD-CE.
证明:∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵CE⊥AN,∴∠AEC=90°,
∴∠EAC+∠ACE=90°.
∴∠BAD=∠ACE.
∵BD⊥AN,∴∠BDA=∠AEC=90°.
在△BDA和△AEC中,
∵∠BDA=∠AEC,∠BAD=∠ACE,
BA=AC,
∴△BDA≌△AEC(AAS).
∴AD=CE,BD=AE.
∴DE=AE-AD=BD-CE.
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1.等边三角形的概念
的三角形叫做等边三角形.
2.等边三角形的性质
等边三角形的各个角都 ,并且每一个角都等于 .
3.等边三角形是轴对称图形,它有 条对称轴.
第2课时 等边三角形的性质
三条边都相等
相等
60°
三
精讲练 新知探究
探究点 等边三角形的概念及性质
例1 如图所示,已知在等边三角形ABC中,D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,连结BE,AD交于点F.求证:∠AFE=60°.
证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°.
在△ABD和△BCE中,
∵AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°,BD=CE,
∴△ABD≌△BCE(SAS),∴∠BAD=∠CBE.
∵∠AFE=∠BAD+∠ABE,∴∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°.
例2 如图所示,在等边三角形ABC中,点D为边BC的中点,以AD为边作等边三角形ADE,连结BE.求∠AEB的度数.
解:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.
又∵点D为边BC的中点,
∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,
∴∠ADB=90°,∠CAD=∠BAD=30°.
∵△ADE为等边三角形,
∴AD=AE,∠DAE=60°,
∴∠BAE=∠DAE-∠BAD=30°,
∴∠BAD=∠BAE.
方法点拨
等边三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的所有性质.利用等边三角形的性质证明线段相等、角相等是常用方法,注意等边三角形的三条边相等、三个内角相等、“三线合一”是隐含条件,要灵活运用.
巩固训练
1.下列关于等边三角形的说法不正确的是( )
A.等边三角形的三条边都相等
B.等边三角形的三个内角都相等且都等于60°
C.等边三角形是轴对称图形,有1条对称轴
D.等边三角形具有等腰三角形的所有性质
2.如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,∠ECD=40°,则∠ABE等于 .
C
20°
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,分别以AB,AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE.
(1)求∠DBC的度数;
(2)试说明:BD=CE.
解:(2)∵△ABD和△ACE都为等边三角形,
∴AB=BD,AC=CE.
又∵AB=AC,
∴BD=CE.
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基础巩固练
4.边边边
知识点1 已知三条线段,用尺规作三角形
1.利用基本作图法,不能作出唯一三角形的是( )
A.已知两边及其夹角
B.已知两角及其中一角的对边
C.已知三边
D.已知三角
D
2.如图所示,已知线段a,b.用无刻度的直尺和圆规作△ABC,使得AC=2a,
BC=3a,AB=b.
解:如图所示,△ABC即为所求.
知识点2 利用“SSS”判定三角形全等
3.如图所示,在正方形网格中,网格线的交点称为格点,点A,B,C,D,E,F,G都在格点上,下列三角形不与△ABC全等的是( )
A.△AGE B.△GAD
C.△EFG D.△DFG
C
4.如图所示的是一个三角形测平架,已知AB=AC,在BC的中点D处挂一个重锤,自然下垂.调整架身,使点A恰好在重锤线上,则AD和BC的位置关系为
.
AD⊥BC
5.如图所示,AB=AC,D,E分别为AB,AC上的点,且BD=CE,若CD=BE,∠A=
55°,∠C=30°,则∠AEB= .
95°
6.(2024内江)如图所示,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=
EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
(2)解:由(1),可知△ABC≌△DEF,
又∵∠A=55°,∴∠A=∠FDE=55°,
又∵∠E=45°,∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.
知识点3 三角形全等判定方法的选用
7.在△ABC中,∠B=∠C=50°,将△ABC沿虚线剪开,剪下的两个三角形不一定全等的是( )
D
A B C D
8.开放性题 如图所示,AB∥CD,点E,F在BC上且BF=CE.请你只添加一个条件,使得△AEB≌△DFC.
(1)你添加的条件是 ;(要求:不再添加辅助线,填一个答案即可)
(2)依据所添条件,判定△AEB与△DFC全等的理由是 .
.
AB=DC(答案不唯一)
SAS[答案不唯一,
与(1)中填加的条件对应]
9.如图所示,已知AB⊥AC,AB=AC,AD=AE,BD=CE.求证:AD⊥AE.
能力提升练
C
11.如图所示,已知AD=AE,BD=CE,AF⊥BC于点F,且点F是BC的中点.求证:
∠D=∠E.
证明:如图所示,连结AB,AC.
∵AF⊥BC,∴∠AFB=∠AFC=90°.
在△AFB和△AFC中,
∵AF=AF,∠AFB=∠AFC,BF=CF,
∴△AFB≌△AFC(SAS),∴AB=AC.
在△ADB和△AEC中,
∵AD=AE,BD=CE,AB=AC,
∴△ADB≌△AEC(SSS),
∴∠D=∠E.
素养培优练
12.综合与探究 如图所示,在梯形ABCD中,AB=DC=12 cm,BC=15 cm,∠B=
∠C,点E为边AB上一点,且AE=5 cm.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动,点Q是线段CD上一点.设点P运动时间为t s,请回答下列问题:
(1)线段BP的长为 cm,CP的长为 cm;(用含t的代数式表示)
解:(1)3t (15-3t)
(2)要使以点C,Q,P为顶点的三角形与△BPE全等,求满足条件的t的值和线段BP的长.
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基础巩固练
2.等腰三角形的判定
知识点1 等腰三角形的判定
1.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.a=3,b=3,c=4
B.a∶b∶c=2∶3∶4
C.∠B=50°,∠C=80°
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
B
2.如图所示,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,DE∥BC,则图中等腰三角形的个数为( )
A.1 B.3
C.4 D.5
3.如图所示,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到Rt△A′B′C,连结AA′,如果∠1=25°,那么∠BAA′的度数是 .
D
65°
4.如图所示,在△ABC中,BC=5 cm,BP,CP分别是∠ABC与∠ACB的平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长为 cm.
5
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC边上的点,并且MN∥BC.
(1)求证:△AMN是等腰三角形.
证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C,
∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,
∴△AMN是等腰三角形.
(2)点P是MN上的一点,并且BP平分∠ABC,求证:△BPM是等腰三角形.
证明:(2)∵BP平分∠ABC,∴∠MBP=∠CBP.
∵MN∥BC,∴∠MPB=∠CBP,
∴∠MBP=∠MPB,∴MB=MP,
∴△BPM是等腰三角形.
知识点2 等边三角形的判定
6.下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是( )
A.∠A=∠B=∠C
B.AB=BC,AC=BC
C.AB=BC,∠B=60°
D.AB=BC,∠A=∠C
D
7.如图所示,已知等腰三角形ABC的顶角∠BAC=120°,过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于点E,交BA的延长线于点F,则△AEF是( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰但非等边三角形
A
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEA=∠DFC=90°.
∵D为AC的中点,∴DA=DC.
∵在Rt△ADE与Rt△CDF中,DA=DC,DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形.
能力提升练
9.易错题 如图所示,已知点P是射线ON上一动点(即点P在射线ON上运
动),∠AON=45°,当∠A= 时,△AOP为等腰三角形.
45°或67.5°或90°
10.如图所示,等边三角形ABC的边长为10,P是边AB的中点,Q为BC的延长线上一点,CQ∶BC=1∶2,过点P作PE⊥AC于点E,连结PQ交边AC于点D,求DE的长.
素养培优练
11.(2025 深圳二模)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为AC上一点,连结BD,过点A作AE⊥BD于点E,过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F,若AE=3,CF=2,则BF的长度为 .(提示:在线段BF上截取BH=CF)
8
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基础巩固练
12.2 三角形全等的判定
1.全等三角形的判定条件
1.有下列说法:①形状相同的三角形是全等三角形;②面积相等的三角形是全等三角形;③全等三角形的周长相等;④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是全等三角形.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
2.如图所示,已知△ABC≌△CDE,其中AB=CD,那么下列结论中,不正确的是( )
A.AC=CE
B.∠BAC=∠DCE
C.∠ACB=∠ECD
D.∠B=∠D
C
3.如图所示,点D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,△ADE绕点E旋转后可与△CFE重合,有下列结论:①AD=CF;②AB∥CF;③AC⊥DF;④点E是AC的中点.其中不一定正确的是 .(填写序号)
③
4.如图所示,把一张平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,使点C落在点E处,BE与AD相交于点O.若∠DBC=20°,求∠BOD的度数.
解:∵△BCD沿BD折叠得到△BED,
∴△BCD≌△BED,∴∠DBC=∠DBE.
∵∠DBC=20°,
∴∠CBE=∠DBC+∠DBE=40°.
∵AD∥BC,∴∠BOD+∠CBE=180°,
∴∠BOD=180°-∠CBE=140°.
能力提升练
5.如图所示,△ABC≌△DEC,点A和点D是对应顶点,点B和点E是对应顶点,过点A作AF⊥CD,垂足为F,若∠BCE=65°,则∠CAF的度数为( )
A.30° B.25°
C.35° D.65°
B
6.如图所示,将△ABC沿直线DE折叠,使点A与点C重合,已知AB=7,BC=6,则△BCD的周长为 .
13
素养培优练
7.如图所示,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.
(1)求证:BD=DE+CE;
(1)证明:∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE,
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE,
即BD=DE+CE.
(2)请你猜想△ABD满足什么条件时,BD∥CE,并说明理由.
(2)解:△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE.
理由如下:∵△BAD≌△ACE,∠ADB=90°,
∴∠E=∠ADB=90°.
∵A,D,E三点在同一直线上,∠ADB=90°,
∴∠BDE=180°-∠ADB=180°-90°=90°,
∴∠BDE=∠E,∴BD∥CE.
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1.“斜边直角边”定理
斜边和一条 边分别相等的两个直角三角形全等.简写成
“ ”或“HL”.
2.符号语言
如图所示,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,
∵AB= ,BC= ,
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
5.斜边直角边
直角
斜边直角边
A′B′
B′C′
精讲练 新知探究
探究点一 已知直角边和斜边,用尺规作直角三角形
例1 如图所示,下列是用尺规作△ABC,使BC=a,AB=b,∠ACB=90°的步
骤,其中作图步骤顺序正确的是( )
①在CD上截取CB=a; ②过点C作CD⊥EF;③以点B为圆心,b的长为半径作弧交EF于点A;④作直线EF,并确定点C在直线EF上;⑤连结AB,则△ABC即为所求作.
A.①②③④⑤ B.④①②③⑤
C.②④①③⑤ D.④②①③⑤
D
巩固训练
1.如图所示,已知线段a,b.
尺规作图:求作一个等腰三角形,使它的腰长为b,底边上的高为a.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
解:如图所示,△ABC即为所求作.
探究点二 利用“HL”判定直角三角形全等
例2 如图所示,BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别为E,D,BE=CD.
求证:∠ECB=∠DBC.
证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,
∴∠CEB=∠BDC=90°.
在Rt△CBE与Rt△BCD中,
∵BC=CB,BE=CD,
∴Rt△CBE≌Rt△BCD(HL).
∴∠ECB=∠DBC.
例3 如图所示,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且BE=CF,求证:AD平分∠BAC.
证明:∵D是BC的中点,∴BD=CD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE,△CDF,△ADE和△ADF都是直角三角形.
在Rt△BDE与Rt△CDF中,∵BD=CD,BE=CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中,∵AD=AD,DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴∠EAD=∠FAD.∴AD平分∠BAC.
易错警示
“HL”只适用于判定两个直角三角形全等,不适用于一般三角形.在运用“HL”判定两个直角三角形全等时,一定要先确定直角,再确定斜边和一直角边对应相等.
巩固训练
2.如图所示,在Rt△ABC和Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,若利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD,则需要添加的条件为 .
AC=AD(答案不唯一)
3.如图所示,已知AD,AF分别是△ABC和△ABE的高,AD=AF,AC=AE.
求证:BC=BE.
证明:∵AD,AF分别是△ABC和△ABE的高,∴∠D=∠F=90°.
在Rt△ADC和Rt△AFE中,∵AC=AE,AD=AF,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD=EF.
在Rt△ABD和Rt△ABF中,
∵AB=AB,AD=AF,∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF,即BC=BE.
探究点三 直角三角形全等判定方法的灵活运用
例4 (南通中考)如图所示,点D,E分别在AB,AC上,∠ADC=∠AEB=90°,
BE,CD相交于点O,OB=OC.
求证:∠1=∠2.
证明:∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=90°.
在△DOB和△EOC中,
∵∠BDO=∠CEO,∠DOB=∠EOC,
OB=OC,∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE.
在Rt△ADO和Rt△AEO中,
∵OA=OA,OD=OE,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.
巩固训练
4.如图所示,DE⊥AC,BF⊥AC,AD=CB,DE=BF.
求证:AB∥CD.
证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AED=∠CFB=90°,∠AFB=∠CED=90°.
在Rt△ADE和Rt△CBF中,∵AD=BC,DE=BF,
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL).∴AE=CF.
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
在△AFB和△CED中,∵AF=CE,∠AFB=∠CED,BF=DE,
∴△AFB≌△CED(SAS).∴∠BAC=∠ACD.∴AB∥CD.
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基础巩固练
2.边角边
知识点1 已知两条线段和一个角,用尺规作三角形
1.用尺规作三角形(保留作图痕迹,不写作法和理由).
已知:如图所示,线段a和∠α.
求作:△ABC,使AB=AC=2a,∠A=∠α.
解:如图所示.
知识点2 利用“SAS”判定三角形全等
2.如图所示,a,b,c分别表示△ABC的三边长,则与△ABC一定全等的三角形是( )
B
3.如图所示,AC=BD,∠CAB=∠DBA,∠ABC=20°,则∠AOB的度数为 .
4.如图所示,已知A,E,F,D在同一条直线上,AB∥CD,AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有 对.
140°
3
5.(2023宜宾)已知:如图所示,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:∠B=∠E.
证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D.
∵AF=DC,∴AF+CF=DC+CF,
∴AC=DF.
在△ABC与△DEF中,
∵AC=DF,∠A=∠D,AB=DE,
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠B=∠E.
知识点3 “SAS”在实际问题中的应用
6.如图所示,为了测量水池两边A,B间的距离,可以先过点A作射线AE,再过点B作BD⊥AE于点D,在AD延长线上截取DC=AD,经测量BC的长度为10 m,
AC的长度为12 m,则水池AB的长度为( )
A.6 m B.8 m
C.10 m D.12 m
C
7.如图所示的是工人师傅用同一种材料制成的金属框架,已知∠B=∠E,
AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24 cm,CF=3 cm,则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为( )
A.45 cm B.48 cm
C.51 cm D.54 cm
A
8.如图所示是风筝的骨架图,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=30°,求∠D的度数.
能力提升练
9.(2024北京海淀期中)如图所示,AD是△ABC的中线,点E,F分别在线段AD和线段AD的延长线上,且DE=DF,连接BF,CE,则下列说法错误的是( )
A.△BDF≌△CDE
B.△ABD和△ACD周长相等
C.BF∥CE
D.△ABD和△ACD面积相等
B
10.(2025南充月考)如图所示,AB=AC,AD=AE,点B,D,E在一条直线上,
∠BAC=∠DAE,∠1=35°,∠2=60°,则∠3的度数为( )
A.60° B.50°
C.35° D.25°
D
11.如图所示,在3×3的正方形网格中,每个小正方形方格的边长为1,则∠1+∠2= °.
180
12.如图所示,在△ACD和△GDE中,∠ADC=∠EDG=90°,CD=AD,GD=ED.
求证:AE=CG,AE⊥CG.
证明:∵∠ADC=∠EDG=90°,
∴∠ADC+∠ADG=∠EDG+∠ADG,∴∠CDG=∠ADE.
在△CDG和△ADE中,
∵CD=AD,∠CDG=∠ADE,GD=ED,
∴△CDG≌△ADE(SAS),∴CG=AE,∠CGD=∠AED.
∵∠AED+∠DPE=90°,∠DPE=∠QPG,
∴∠CGD+∠QPG=90°,
∴∠CQE=90°,∴AE⊥CG.
素养培优练
13.综合与探究 【数学方法】中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓“倍长中线法”就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而解决问题.
【实际应用】
如图所示,在△ABC中,D是BC的中点,若AB=6,AC=4,求AD的取值范围.
解:如图所示,延长AD到点E,使ED=AD,连结BE.
∵D是BC的中点,∴BD=CD.
在△BDE与△CDA中,BD=CD,∠BDE=∠CDA,ED=AD,
∴△BDE≌△CDA(SAS),
∴EB=AC.
∵AC=4,∴EB=AC=4.
∵在△ABE中,AB-BE
∴2∵AE=AD+ED=2AD,
∴2<2AD<10,∴1“倍长中线法”构造全等三角形
在解决三角形的有关问题时,当条件中出现“中点”“中线”等条件时,可考虑延长中线,使所延长的部分与中线相等,构造全等三角形,把分散的已知条件和问题集中到一个三角形中,进而解决问题.
解题策略
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1.互逆命题
在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的 ,而第一个命题的结论是第二个命题的 ,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题就叫做它的 .
2.如果一个定理的 也是定理,那么这两个定理叫做互逆定
理,其中的一个定理叫做另一个定理的 .
12.4 逆命题和逆定理
1.互逆命题和互逆定理
结论
条件
逆命题
逆命题
逆定理
精讲练 新知探究
探究点一 互逆命题
例1 写出下列各命题的逆命题,并判断逆命题的真假.
(1)在平面内,垂直于同一条直线的两直线平行;
(2)相等的角是内错角;
(3)有一个角是60°的三角形是等边三角形.
解:(1)在平面内,如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一条直线,是真命题.
(2)内错角相等,是假命题.
(3)等边三角形有一个角是60°,是真命题.
巩固训练
1.指出下列命题的条件和结论,并写出它们的逆命题.
(1)平行四边形的对角线互相平分;
(2)等边三角形的每个角都等于60°.
解:(1)条件:一个四边形是平行四边形;
结论:这个四边形的对角线互相平分.
逆命题:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(2)条件:一个三角形是等边三角形;
结论:这个三角形的每个角都等于60°.
逆命题:如果一个三角形的每个角都等于60°,那么这个三角形
是等边三角形.
探究点二 互逆定理
例2 判断下面两个定理是否有逆定理,若有,请写出它的逆定理;若没
有,请说明理由.
(1)在一个三角形中,等边对等角;
(2)三角形的外角和等于360°.
解:(1)有逆定理.
逆定理:在一个三角形中,等角对等边.
(2)没有逆定理.
理由如下:它的逆命题是外角和等于360°的多边形是三角形,
该逆命题是假命题.
巩固训练
2.我们已经学习了一些定理,例如:
①对顶角相等;
②全等三角形的对应角相等;
③直角三角形两锐角互余;
④等腰三角形的两个底角相等.
上述定理中存在逆定理的是 (填序号).
③④
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1.线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 .
2.线段垂直平分线的判定定理
到线段两端距离 的点在线段的垂直平分线上.
2.线段垂直平分线
相等
相等
精讲练 新知探究
探究点一 线段垂直平分线的性质
例1 如图所示,CD垂直平分线段AB,AE垂直平分线段BC.
求证:AB=BC.
证明:如图所示,连结AC.
∵CD垂直平分线段AB,
∴BC=AC.
∵AE垂直平分线段BC,
∴AB=AC.∴AB=BC.
重点必记
根据线段垂直平分线的定义,可以得到线段的相等关系和垂直关系;根据线段垂直平分线的性质可以得到线段相等,经常作的辅助线是连结线段垂直平分线上的一个点与线段的两端点.
例2 如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,∠CAD=20°,∠ACB的补角是110°.求证:
BE=AC.
证明:如图所示,连结AE.
∵∠ACB的补角是110°,
∴∠ACB=180°-110°=70°.
∵∠DAC=20°,∴∠DAC+∠ACD=90°,∴∠ADC=90°,
∴AD⊥EC.又∵DE=DC,∴AE=AC.
∵EF垂直平分AB,∴EA=EB,∴BE=AC.
巩固训练
1.如图所示,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是( )
A.AB=AD B.△BEC≌△DEC
C.CA平分∠BCD D.AB=BD
D
2.如图所示,在△ABC中,已知BC=7,AC=16,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E.求△BEC的周长.
解:∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE.
∵AC=16,∴AE+CE=16,
∴BE+CE=16.
又∵BC=7,∴△BEC的周长=BE+CE+BC=16+7=23.
探究点二 线段垂直平分线的判定
例3 如图所示,在△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB于点E.求证:直线AD是CE的垂直平分线.
证明:∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD.
∵AC⊥BC,DE⊥AB,∴∠AED=∠ACD=90°.
在△ADE和△ADC中,
∵∠EAD=∠CAD,∠AED=∠ACD,AD=AD,
∴△ADE≌△ADC(AAS),∴AE=AC,DE=DC,
∴直线AD是CE的垂直平分线.
例4 如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的延长线上一点,EH是BD的垂直平分线,DE交AC于点F.求证:点E在线段AF的垂直平分线上.
证明:∵EH垂直平分BD,
∴BE=DE,∠EHB=90°,∴∠BEH=∠DEH.
∵∠ACB=∠EHB=90°,∴EH∥AC,
∴∠BEH=∠BAC,∠DEH=∠AFE,
∴∠EAF=∠AFE,∴AE=EF,
∴点E在线段AF的垂直平分线上.
重点必记
(1)利用线段垂直平分线的判定定理可判定点在某条线段的垂直平分
线上.
(2)三角形三边的垂直平分线相交于一点,该点到三角形三个顶点的距离相等.
巩固训练
3.如图所示,某市的三个城镇中心A,B,C构成△ABC,该市政府打算修建一个大型体育中心P,使得该体育中心到三个城镇中心A,B,C的距离相等,则体育中心P应建设在△ABC( )
A.三条边的垂直平分线的交点处
B.三条高的交点处
C.三条角平分线的交点处
D.三条中线的交点处
A
4.教材题变式 如图所示,要在公路上建一个运输站P,使它到铁路上的A,B两点距离相等.这个运输站P应建在何处 (尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
解:如图所示,点P即为所求.
5.如图所示,已知∠ACB=∠BDA=90°,BC与AD交于点E,AC=BD.
求证:点E在线段AB的垂直平分线上.
证明:在△ACE和△BDE中,
∵∠AEC=∠BED,∠ACE=∠BDE=90°,AC=BD,
∴△ACE≌△BDE(AAS).∴EA=EB.
∴点E在线段AB的垂直平分线上.
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基础巩固练
12.1 命题、定义、定理与证明
1.命题
1.下列语句中不是命题的是( )
A.如果a>b,那么a2>b2
B.内错角相等
C.两点之间线段最短
D.作PO⊥AB于点O
第12章 全等三角形
D
2.下列命题是假命题的是( )
A.互补的两个角不能都是锐角
B.两直线平行,同位角相等
C.若a∥b,a∥c,则b∥c
D.在同一平面内,若a⊥b,a⊥c,则b⊥c
3.对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,说明它是假命题的反例可以是( )
A.∠1=50°,∠2=40° B.∠1=60°,∠2=30°
C.∠1=70°,∠2=20° D.∠1=∠2=45°
D
D
4.命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是 .
,结论是 ,它是 (选填“真”或“假”)命题.
5.有下列四个命题:①对顶角相等;②内错角相等;③在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线互相平行;④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等.其中是真命题的是 .(填序号)
两个数的绝对值
相等
这两个数互为相反数
假
①③
6.把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.
(1)和是180°的两个角互补;
(2)等角的余角相等.
解:(1)如果两个角的和是180°,那么这两个角互补.
(2)如果两个角分别是两个相等角的余角,那么这两个角相等.
能力提升练
7.说明命题“如果a,b,c是△ABC的三边长,那么长为a-1,b-1,c-1的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是( )
A.a=3,b=4,c=5
B.a=2,b=2,c=2
C.a=1,b=3,c=4
D.a=2,b=2,c=3
D
8.指出下列命题的条件和结论,并判断它们是真命题还是假命题.如果是假命题,举出一个反例.
(1)同角的补角相等;
(2)若a解:(1)条件:两个角是同一个角的补角;
结论:这两个角相等.
这个命题是真命题.
(2)条件:a这个命题是假命题.
反例:a=-5,b=1,a2=25,b2=1,此时ab2.
素养培优练
9.开放性题 已知命题:“如图所示,点B,F,C,E在同一条直线上,若AC∥DF,则AB∥DE.”判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请说明理由;如果是假命题,在不添加辅助线的情况下,请添加一个适当的条件使它成为真命题,并说明理由.
解:这个命题是假命题.(以下内容不唯一)
添加条件:∠B=∠E.
理由如下:∵∠B=∠E,∴AB∥DE.
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基础巩固练
2.线段垂直平分线
知识点1 线段垂直平分线的性质
1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,点D,P分别是图中所作直线和射线与AB,CD的交点.根据图中尺规作图痕迹推断,以下结论错误的是
( )
A.AD=CD B.∠ABP=∠CBP
C.∠BPC=115° D.∠PBC=∠A
D
2.如图所示,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上一点.
(1)若线段PA=5,AD=4,则△ABP的周长为 .
(2)若∠CBA=60°,则∠ACP= .
3.如图所示,AB比AC长2,DE垂直平分BC,△ACD周长为14,那么AB2-AC2=
.
18
30°
28
4.在△ABC中,AB=AC.
(1)尺规作图:求作AB的垂直平分线DE,分别交AB,BC于点D,E;(保留作图痕迹,不写作法)
解:(1)垂直平分线DE如图所示.
(2)在(1)的条件下,连结AE,若AC=EC,求∠C的度数.
解:(2)连结AE,如图所示.
∵AB=AC,∴∠C=∠B.∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,∴∠B=∠BAE.
∵AC=EC,∴∠CAE=∠CEA.
∵∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B=2∠C,
∴∠CAE=2∠C.
∵∠C+∠CAE+∠CEA=180°,
∴∠C+2∠C+2∠C=180°,∴∠C=36°.
知识点2 线段垂直平分线的判定
5.到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC( )
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条边的垂直平分线的交点
D.三条高的交点
C
6.如图所示,AC=AD,BC=BD,则下列判断正确的是( )
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
A
7.(2025武汉期中)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC上的一点,O是AD上一点,且OB=OC,若BC=4,则BD的长是 .
2
8.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,AM⊥BC于点M,交BE于点G,AD平分∠MAC,交BC于点D,交BE于点F.求证:点B在线段AD的垂直平分线上.
证明:∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠C=90°.
∵AM⊥BC,∴∠AMB=90°.
∴∠ABC+∠BAM=90°.∴∠C=∠BAM.
∵AD平分∠MAC,∴∠MAD=∠CAD.
∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.
∵∠ADB=∠C+∠CAD,∴∠BAD=∠ADB.
∴AB=BD.∴点B在线段AD的垂直平分线上.
能力提升练
9.如图所示,在△ABC中,DE垂直平分AC,交AC于点E,交BC于点D,连结AD.若AE=4 cm,则△ABC的周长与△ABD的周长之差为( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
D
10.如图所示,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线DF,EG交于点M,点F,G在
BC上.
(1)若∠GAF=46°,则∠M的度数为 .
(2)若BC的长为8 cm,则△AFG的周长为 cm.
67°
8
11.如图所示,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线交于点O,若∠BOC=80°,则∠A= .
40°
能力提升练
12.如图所示,在△ABC中,BA=BC=10,△ABC的面积是48,BH为高,点P,D分别是BH和AB上的动点,求PA+PD的最小值.
解题策略
最短路径问题
解决与最短路径有关的问题,往往是求线段和的最小值问题.用到的核心知识是“两点之间线段最短”“垂线段最短”“垂直平分线的性质”等.解题关键在于对称变换,将路径(线段和)转化为直线距离.
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基础巩固练
5.斜边直角边
知识点1 已知直角边和斜边,用尺规作直角三角形
1.如图所示,已知线段a,b.求作△ABC,使得∠ACB=90°,CB=a,CA=b.(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图所示,Rt△ABC即为所求.
知识点2 应用“HL”判定直角三角形全等
2.如图所示,在△ABC和△EDF中,∠B=∠D=90°,点B,F,C,D在同一条直线上,BF=CD,再添加下列条件,不能判定△ABC≌△EDF的是( )
A.AC=EF B.AB=DE
C.AC∥EF D.AB=EF
D
3.如图所示,在△ABC和△CDE中,若∠ACB=∠CED=90°,AB=CD,CE=AC,则下列结论中错误的是( )
A.△ABC≌△CDE
B.BC=DE
C.CD⊥AB
D.E为BC中点
D
4.用三角尺可以画角平分线:如图所示,在∠AOB的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再过点M画OA的垂线,过点N画OB的垂线,两垂线交于点P,画射线OP,可以得到△OMP≌△ONP,所以∠AOP=∠BOP,那么射线OP就是∠AOB的平分线.则△OMP≌△ONP的依据是 .
HL
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AE是经过点A的一条直线,点B,C在AE的两侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E,AD=CE,则∠BAC的度数是 .
90°
6.如图所示,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BD=CD,BE=CF.
求证:AD平分∠BAC.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE,△CDF,△ADE和△ADF都是直角三角形.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,∵BD=CD,BE=CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中,
∵AD=AD,DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴∠EAD=∠DAC.∴AD平分∠BAC.
能力提升练
7.如图所示,在四边形ABCD中,AD=CB,DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,且DE=
BF,则图中的全等三角形有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
8.如图所示,四边形ABDE是长方形,AC⊥DC于点C,交BD于点F,AE=AC,
∠ADE=62°,则∠BAF的度数为 .
C
34°
9.(2024北京海淀期末)如图所示,在四边形ABCD中,AB=AC,∠D=90°,
BE⊥AC于点F,交CD于点E,连结EA,EA平分∠DEF.
(1)求证:AF=AD;
(1)证明:∵∠D=90°,BE⊥AC,
∴∠AFE=∠D.
∵EA平分∠DEF,∴∠DEA=∠FEA.
在△ADE与△AFE中,
∵∠ADE=∠AFE,∠DEA=∠FEA,AE=AE,
∴△ADE≌△AFE(AAS),∴AF=AD.
(2)若BF=7,DE=3,求CE的长.
(2)解:在Rt△ABF和△Rt△ACD中,
∵AB=AC,AF=AD,
∴Rt△ABF≌Rt△ACD(HL),
∴CD=BF=7.
∵DE=3,
∴CE=CD-DE=7-3=4.
素养培优练
10.综合与探究 如图①所示,E,F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:MB=MD,ME=MF.
①
(1)证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AFB=∠CED=90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵AB=CD,AF=CE,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴BF=DE.
在△BFM和△DEM中,
∵∠BMF=∠DME,∠MFB=∠MED=90°,BF=DE,
∴△BFM≌△DEM(AAS),
∴MB=MD,ME=MF.
(2)当E,F两点移动至如图②所示的位置时,其余条件不变,上述结论是否仍然成立 请说明理由.
(2)解:结论仍然成立.理由如下:
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵AB=CD,AF=CE,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),∴BF=DE.
在△BFM和△DEM中,
∵∠BMF=∠DME,∠BFM=∠DEM=90°,BF=DE,
∴△BFM≌△DEM(AAS),∴MB=MD,ME=MF.
②
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1.等腰三角形的相关概念
(1)有两条边 的三角形叫做等腰三角形.
(2)等腰三角形中,相等的两边都叫做 ,另一边叫做 ,两腰的夹角叫做 ,腰和底边的夹角叫做 .
12.3 等腰三角形
1.等腰三角形的性质
第1课时 等腰三角形的性质
相等
腰
底边
顶角
底角
2.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的 相等.
简写成“ ”.
(2)等腰三角形底边上的高、 及顶角的平分线互相重合.简写成“ ”.
(3)等腰三角形是轴对称图形,它有 条对称轴.
两个底角
等边对等角
中线
等腰三角形的三线合一
一
精讲练 新知探究
探究点一 等腰三角形的相关概念
例1 用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形,使其一边的长度为
5 cm,求三角形另外两边的长度.
②若5 cm长的边为腰,则另一腰的长也为5 cm,则底边长为20-5-5=
10(cm).
∵5+5=10,不满足三角形三边之间的关系,∴此时不能构成三角形.
综上所述,另外两边的长度分别是7.5 cm,7.5 cm.
方法点拨
当等腰三角形涉及边的问题,且不确定已知的边是底边还是腰时,要按照“腰”和“底边”两种情况分类讨论,同时还应利用三角形三边关系来判断三角形是否存在,把不符合题意的情况舍去.
巩固训练
1.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长是 .
2.(1)若等腰三角形的周长为20,且有一边长为6,则它的腰长为 .
(2)等腰三角形的两边长分别为6 cm,10 cm,则它的周长为
.
5
6或7
22 cm或26 cm
探究点二 等腰三角形的性质
例2 如图所示,点B,C,D在同一直线上,AB=AD=CD,∠C=36°.则∠BAD的度数为 .
36°
例3 如图所示,在△ABC中,AB=AC,AE是△ABC的中线,∠ACB的平分线与AE相交于点D,∠ADC=125°.
求:(1)∠DCE的度数;
(2)∠BAC的度数.
解:(1)∵AB=AC,AE是△ABC的中线,
∴AE⊥BC,∴∠AEC=90°,
∴∠DCE=∠ADC-∠AEC=125°-90°=35°.
(2)∵CD平分∠ACB,∠DCE=35°,∴∠ACB=2∠DCE=70°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°.
方法点拨
等腰三角形的“三线合一”是证明角相等、线段相等和垂直关系的重要方法,要灵活运用.在今后的学习中,作等腰三角形“三线”中的“一线”,利用“三线合一”来解决相关问题是常用的方法.
巩固训练
3.(眉山中考)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为
( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是 .
C
20
5.如图所示,在△ABC中,D为BC的中点,AB=AC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:DE=DF.
证明:∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD为等腰三角形ABC底边BC上的中线,∴AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAF.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEA=∠DFA=90°.
在△ADE与△ADF中,
∵∠DEA=∠DFA,∠DAE=∠DAF,AD=AD,∴△ADE≌△ADF(AAS),
∴DE=DF.
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基础巩固练
12.4 逆命题和逆定理
1.互逆命题和互逆定理
知识点1 互逆命题
1.以下命题的逆命题为真命题的是( )
A.对顶角相等
B.如果a=0,b=0,那么ab=0
C.若a>b,则a2>b2
D.同旁内角互补,两直线平行
D
2.有下列命题:①若|a|>|b|,则a>b;②若a+b=0,则|a|=|b|;③等边三角形的三个内角都相等.其中,原命题与逆命题均为真命题的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
3.(2024乐山模拟)命题“等角的余角相等”的逆命题是 .
,这是一个 命题.
B
如果两个角的
余角相等,那么这两个角也相等
真
4.写出下列命题的逆命题,并判断逆命题是真命题还是假命题.
(1)等底等高的两个三角形面积相等;
(2)如果a+b>0,那么a>0,b>0;
(3)两个图形关于某条直线对称,则这两个图形一定全等.
解:(1)逆命题是“面积相等的两个三角形等底等高”,是假命题.
(2)逆命题是“如果a>0,b>0,那么a+b>0”,是真命题.
(3)逆命题是“若两个图形全等,则这两个图形关于某条直线对称”,是假命题.
知识点2 互逆定理
5.下列定理中,没有逆定理的是( )
A.等边三角形的三个内角都相等
B.全等三角形的对应边相等
C.全等三角形的对应角相等
D.若a2>b2,则|a|>|b|
6.(1)定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是 .
.
(2)请你再写出一个存在逆定理的定理: .
.
C
有两个角相等
的三角形是等腰三角形
直角三角形的两个锐
角互余
能力提升练
7.有四个真命题如下:①全等三角形的面积相等;②全等三角形的周长相等;③等腰三角形两腰上的中线相等;④等边三角形的三个角都相等.其中逆命题不是真命题的为 .(填序号)
①②
8.开放性题 如图所示,已知点A,D,B,E在同一条直线上,且AD=BE,∠A=
∠FDE,则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题.如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,请添加一个适当的条件使它成为真命题,并加以证明.
解:这个命题为假命题.
答案不唯一,当添加条件AC=DF时,证明如下:
∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,∴AB=DE.
在△ABC和△DEF中,
AB=DE,∠A=∠FDE,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
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基础巩固练
第2课时 等边三角形的性质
知识点 等边三角形的概念及性质
1.下列关于等边三角形的说法错误的是( )
A.是等腰三角形 B.三个角都相等
C.三条边都相等 D.只有一条对称轴
D
2.如图所示,将一块等边三角形纸板与一块矩形纸板叠放在一起,且等边三角形纸板的一个顶点在矩形纸板的一边上,当∠2=81°时,∠1的度数为( )
A.40° B.39° C.41° D.60°
B
3.如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,AD,BE交于点F,则∠AFE的度数是 .
60°
4.如图所示,BD是等边三角形ABC的边AC上的中线,以点D为圆心,DB长为半径画弧交BC的延长线于点E,则∠CDE= .
30°
5.如图所示,在等边三角形ABC中,D,E分别为AC,AB上的点,且AD=BE,CE与BD交于点P,求∠BPC的度数.
解:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠A=∠ACB=60°.
∵AD=BE,∴AE=CD.
在△CAE和△BCD中,AC=CB,∠A=∠DCB,AE=CD,
∴△CAE≌△BCD(SAS),∴∠ACE=∠CBD,
∴∠BPE=∠CBD+∠BCP=∠ACE+∠BCP=∠ACB=60°,∴∠BPC=120°.
能力提升练
6.如图所示,点P是等边三角形ABC内一点,∠ACP=∠PBC,∠BPC= °.
120
7.如图所示,△ABC和△ADE都是等边三角形,AD是边BC上的中线.求证:
BE=BD.
素养培优练
8.如图所示,AH是等边三角形ABC中BC边上的高,在点A,C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH,CA向前匀速爬动.当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时,∠PBQ的度数为 .
30°
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1.角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离 .
2.角平分线的判定定理
角的内部到角两边距离 的点在角的平分线上.
3.角平分线
相等
相等
精讲练 新知探究
探究点一 角平分线的性质
例1 如图所示,在△ABC中,AD是它的角平分线.求证:
S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.
例2 如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,
DF⊥AC于点F.
求证:Rt△BDE≌Rt△CDF.
证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∵DE=DF,DB=DC,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
重点必记
(1)运用角平分线的性质定理时,必须写清两个条件:
①指明点在角的平分线上;
②两条线段必须是点到角两边的垂线段.
(2)角平分线的性质定理可以用来证明两条线段相等.
(3)应用角平分线的性质时常作的辅助线:过角平分线上的点向角的两边作垂线.
巩固训练
1.如图所示,点P是∠AOB平分线上一点,PD⊥OB,垂足为点D.若PD=2,则点P到边OA的距离是( )
B
2.(1)如图①所示,在△ACB中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D.若AB=
10,CD=3,则△ABD的面积为 .
(2)如图②所示,已知△ABC的周长是10,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,
OD⊥BC于点D,且OD=1,则△ABC的面积是 .
① ②
15
5
3.如图所示,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC,∠BAD+
∠C=180°.
求证:AD=CD.
证明:如图所示,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E,过点D作DF⊥BC于点F.
∵BD平分∠ABC,DE⊥BA,DF⊥BC,∴DE=DF,∠E=∠DFC=90°.
∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠DAE=180°,∴∠DAE=∠C.
在△DAE和△DCF中,
∵∠E=∠DFC,∠DAE=∠C,DE=DF,
∴△DAE≌△DCF(AAS),∴AD=CD.
探究点二 角平分线的判定
例3 如图所示,△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线相交于点P,连结AP.
求证:AP平分∠CAM.
证明:过点P作PT⊥BC于点T,PS⊥AC于点S,PQ⊥BA于点Q,如图所示.
∵∠ABC的平分线与∠ACN的平分线相交于点P,PT⊥BC,PS⊥AC,PQ⊥BA,
∴PQ=PT,PS=PT,∴PQ=PS.
又∵PQ⊥AM,PS⊥AC,∴AP平分∠CAM.
重点必记
1.证明角平分线的方法
(1)定义法:证明两角相等,根据角平分线的定义来判定;
(2)定理法:证明角的内部一点到角两边的距离相等,根据角平分线的判定定理来判定.
2.三角形的三条角平分线相交于一点,这一点到三角形三条边的距离
相等.
巩固训练
4.某地要在如图所示的三条公路a,b,c围成的一块空地上修建一个度假村,要使这个度假村到a,b两条公路的距离相等,且到B,C两地的距离相
等,度假村的位置描述正确的是( )
A.∠ACB的平分线与线段BC的垂直平分线的交点
B.∠CAB的平分线与线段AB的垂直平分线的交点
C.∠ACB和∠CAB的平分线的交点
D.线段BC和线段AC的垂直平分线的交点
A
5.如图所示,在△ABC中,∠A=70°,点O到AB,BC,AC的距离相等,连结BO,
CO,则∠BOC= °.
125
6.如图所示,在△ABC中,点E是BC的垂直平分线上一点,EP⊥AB于点P,
EQ⊥AC交AC的延长线于点Q,BP=CQ.
求证:AE平分∠BAC.
证明:连结BE,CE,如图所示.
∵点E是BC的垂直平分线上一点,∴BE=CE.
∵EP⊥AB,EQ⊥AC,∴∠BPE=∠CQE=90°.
在Rt△BPE和Rt△CQE中,∵BE=CE,BP=CQ,
∴Rt△BPE≌Rt△CQE(HL),
∴EP=EQ,∴AE平分∠BAC.
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基础巩固练
12.3 等腰三角形
1.等腰三角形的性质
第1课时 等腰三角形的性质
知识点1 等腰三角形的相关概念
1.已知a,b,c是△ABC的三边,且ab-ac+bc-c2=0,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.无法确定
A
2.等腰三角形的一个外角是80°,则顶角是( )
A.20° B.50°
C.100°或20° D.100°
D
题组 等腰三角形中三边关系的应用
3.(1)等腰三角形的两边分别为5 cm和12 cm,则它的周长是 .
(2)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若一个等腰三角形是“倍长三角形”,底边的长为6,则该三角形的腰长为 .
(3)(2025成都月考)已知等腰△ABC的周长为18 cm,BC=8 cm,若△ABC≌
△DEF,则△DEF的腰长等于 .
29 cm
12
8 cm或5 cm
知识点2 等腰三角形的性质——“等边对等角”
4.(1)在△ABC中,AB=AC,∠B=65°,则∠A的大小为( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
(2)等腰三角形的一个角为40°,则它的底角为( )
A.100° B.40° C.70° D.70°或40°
5.(2024济南一模)如图所示,已知EF∥CD,BC=DC,∠ABF=30°,则∠D的度数为 .
A
D
75°
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,BD⊥AC于点D,则∠DBC= .
40°
7.(2025南京期中)如图所示,在△ABC中,点D在边AC上,AB=BD=CD.若∠A=
50°,则∠C的度数为 .
25°
8.(2025绵阳期末)如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,过点D作DE∥BC交AC于点E,DE=DC.求证:AD=AB.
证明:∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE.
∵DE∥BC,∴∠DEC=∠BCE,
∴∠DCE=∠BCE.
∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠BAC.
又∵AC=AC,
∴△ADC≌△ABC(ASA),
∴AD=AB.
知识点3 等腰三角形的性质——“三线合一”
9.如图所示是等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是( )
A.∠DAB=∠DAC
B.∠ADB=∠ADC
C.BC=2AD
D.△ABD与△ACD的周长相等
C
10.在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,∠B=70°,BC=15 cm,则∠BAC=
,∠DAC= ,BD= cm.
11.如图所示是一个跷跷板的示意图,支点O是跷跷板的中点(即OA=OB),支柱OH垂直于地面,两人分别坐在跷跷板的A,B两端,当A端落地时,
∠AOH=71°,则AB上下可转动的最大角度∠AOM= .
40°
20°
7.5
38°
12.如图所示,在△ABC中,点E是边AB上一点,连结CE,且BE=CE,过点E作ED⊥BC于点D,若△ACE的周长为20,BD=3,求△ABC的周长.
解:∵BE=CE,ED⊥BC,
∴BD=CD=3.∴BC=2BD=6.
∵△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB=20.
∴△ABC的周长=AC+AB+BC=20+6=26.
能力提升练
13.下列关于等腰三角形的说法错误的是( )
A.等腰三角形的两底角相等
B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合
C.等腰三角形是轴对称图形
D.等腰三角形的对称轴是底边上的中线
D
题组 等腰三角形中分类讨论思想的应用
14.(1)已知等腰三角形的三边长分别为13,10-x,x+6,则该等腰三角形的底边长为 .
(2)等腰三角形一腰的中线把三角形的周长分成18 cm和12 cm两部分,则等腰三角形的底边长为 .
(3)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为 .
3或13
6 cm或14 cm
27°或63°
15.如图所示,在△ABC中,AC=18 cm,BC=20 cm,点M从点A出发以每秒2 cm的速度向点C运动,点N从点C出发以每秒1.6 cm的速度向点B运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,当△CMN是以MN为底的等腰三角形时,等腰三角形的腰长是 .
8 cm
素养培优练
16.“三等分任意角”是古希腊三大几何问题之一,借助如图①所示的三等分角仪可以三等分角.图②是其示意图,有公共端点P的两条线段PA,
PB,可以绕点P转动,点C固定,点D,E在槽中可以滑动,且CE=DE=CP.若∠DEB=87°,则∠APB的度数为 .
29°
① ②
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过教材 要点概览
12.1 命题、定义、定理与证明
1.命题
1.命题的定义
表示 的语句,叫做 .
2.命题的组成
命题由 和 两部分组成,通常可写成“ ,
”的形式.用“如果”开始的部分就是 ,
用“那么”开始的部分就是 .
第12章 全等三角形
判断
命题
条件
结论
如果……
那么……
条件
结论
3.真命题
如果条件成立,那么结论 ,像这样的命题叫做 .
4.假命题
当条件成立时,结论 ,像这样的命题叫做 .
一定成立
真命题
不成立
假命题
精讲练 新知探究
探究点一 命题的定义及组成
例1 下列句子是命题的是( )
A.画∠AOB=45°
B.小于直角的角是锐角吗
C.连结CD
D.相等的角是对顶角
D
例2 把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并分别写出它们的条件和结论:
(1)同角的补角相等;
(2)两个锐角互余.
解:(1)如果两个角是同一个角的补角,那么这两个角相等.
条件:两个角是同一个角的补角.
结论:这两个角相等.
(2)如果两个角都是锐角,那么这两个角互余.
条件:两个角都是锐角.
结论:这两个角互余.
(1)命题必须是陈述句,疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题.
重点必记
(2)判断一个命题的条件和结论,要先把它改写成“如果……,那么……”的形式,改写时可适当地添加一些语句,使之合理、通顺.
巩固训练
1.下列语句中,不是命题的是( )
A.内错角相等
B.如果a+b=0,那么a,b互为相反数
C.已知a2=4,求a的值
D.玫瑰花是红的
C
2.把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并写出它们的条件和结论:
(1)两点确定一条直线;
(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;
解:(1)如果有两个定点,那么过这两点有且只有一条直线.
条件:有两个定点.
结论:过这两点有且只有一条直线.
(2)如果在同一平面内,两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行.
条件:在同一平面内,两条直线垂直于同一条直线.
结论:这两条直线互相平行.
(3)同旁内角互补,两直线平行.
解:(3)如果两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补,那么这两条直线互相平行.
条件:两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补.
结论:这两条直线互相平行.
探究点二 命题的真假
例3 判断下列命题是真命题还是假命题.
(1)两个锐角的和是钝角;
(2)若点P到A,B两点的距离相等,则点P是线段AB的中点;
(3)相等的角是对顶角;
(4)若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,则∠1=∠3.
解:(1)(2)(3)是假命题,
(4)是真命题.
判定一个命题是真命题,必须进行推理论证;判定一个命题是假命题,举出符合条件,而结论不成立的反例即可.
重点必记
巩固训练
3.下列命题是真命题的是( )
A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角
B.互补的两个角一定是邻补角
C.如果a2=b2,那么a=b
D.如果两个角是同位角,那么这两个角一定相等
A
A
5.判断下列命题的真假,是假命题的举出反例.
(1)两个锐角的和是直角;
(2)一个角的补角大于这个角;
(3)三角形的内角和等于180°.
解:(1)假命题.
反例为30°角与40°角的和为70°角.
(2)假命题.
反例为120°角的补角为60°角.60°<120°.
(3)真命题.
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3.角平分线
知识点1 角平分线的性质
1.如图所示,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点.若PA=2,则PQ的值不可能是( )
A.4 B.3
C.2.5 D.1.5
D
2.(2024绵阳)如图所示,在△ABC中,AB=5,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥
AC,垂足为E,△ABD的面积为5,则DE的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.5
B
3.如图所示,在△ABC中,P,Q分别是BC,AC上的点,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,AQ=PQ,PR=PS.有下列结论:①AS=AR;②PQ∥AR;③△BRP≌△QSP.其中正确的结论是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
A
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥BC于点E.若BC=12,则△DEC的周长为 .
12
5.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC.求证:BD=DF.
证明:∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴DE=DC.
在△BED和△FCD中,
BE=FC,∠BED=∠C=90°,DE=DC,
∴△BED≌△FCD(SAS),∴BD=DF.
知识点2 角平分线的判定
6.如图所示,点F是△ABC的外角平分线的交点,下列说法正确的是( )
①BF=CF;②点F到AB,AC的距离相等;③点F到三边所在直线的距离相等;④点F在∠BAC的平分线上.
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.①②③④
B
7.如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E.若存在点P,使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的平分线
D.组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
D
8.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一个凉亭,要求凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭应建在 .
△ABC三条角平分线的交点处
9.如图所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证:点C在
∠DAB的平分线上.
能力提升练
10.如图所示,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,有下列结
论:①∠AED=90°;②∠ADE=∠CDE;③DE=BE;④AD=AB+CD.其中正确的结论是( )
A.①②④ B.①②③
C.②③④ D.①③
A
11.易错题 如图所示,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有
处.
4
12.如图所示,AD是∠BAC的平分线,∠B=∠EAC,ED⊥AD于
点D.求证:ED平分∠AEB.
证明:延长AD交BC于点F.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠DFE=∠B+∠BAD,
∠DAE=∠EAC+∠CAD,
∠B=∠EAC,
∴∠DFE=∠DAE,∴AE=FE.
∵ED⊥AD,∴ED平分∠AEB.
能力提升练
13.如图所示,已知△ABC的边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线AE交于点E,EF⊥AB,交AB的延长线于点F,EG⊥AC于点G.
(1)求证:BF=CG;
(1)证明:如图所示,连结BE,EC.
∵DE是BC的垂直平分线,∴BE=CE.
∵EF⊥AB,EG⊥AC,且AE平分∠FAG,
∴FE=EG.
在Rt△BFE和Rt△CGE中,BE=CE,EF=EG,
∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL).∴BF=CG.
(2)试探索AB,AC,AF之间的数量关系,并证明你的结论.
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2.定义、定理与证明
知识点1 基本事实与定义、定理的概念
1.下列说法错误的是( )
A.命题不一定是定理,定理一定是命题
B.定理不可能是假命题
C.真命题是定理
D.定理是经过推理证实的
C
2.下列语句中,属于定义的是( )
A.对顶角相等
B.作一条直线和已知直线垂直
C.在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
D.图形的平移不改变图形的形状和大小
3.下列命题中,不属于基本事实的是( )
A.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
B.对顶角相等
C.两点之间线段最短
D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C
B
知识点2 简单的推理证明
4.如图所示,已知一个命题的结论是a∥b,则下列条件:①∠1=∠2;②
∠1=∠4;③∠3=∠4中能使这个命题是真命题的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
C
5.如图所示,已知∠C+∠D=180°.
求证:∠AED=∠B.
根据题意完成下面的推理过程.
证明:∵∠C+∠D=180°(已知),
∴DF∥ ( ),
∴∠AED=∠B( ).
BC
同旁内角互补,两直线平行
两直线平行,同位角相等
6.如图所示,∠B=∠ADE,∠C=68°,求∠CED的度数.
解:∵∠B=∠ADE(已知),
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行),
∴∠C+∠CED=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵∠C=68°(已知),
∴∠CED=112°(等式的性质).
7.开放性题 如图所示,点D在AB上,直线DG交AF于点E,从①DG∥AC,②AF平分∠BAC,③∠DAE=∠DEA中任选两个作为条件,余下一个作为结论,构造一个真命题,并证明.
解:(答案不唯一)条件:①②.
结论:③.
证明:∵DG∥AC,
∴∠DEA=∠EAC.
∵AF平分∠BAC,
∴∠DAE=∠EAC.
∴∠DAE=∠DEA.
能力提升练
8.如图所示,从①∠1=∠2,②∠C=∠D,③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论所组成的命题中,正确命题的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
D
9.(福建中考)推理是数学的基本思维方式,若推理过程不严谨,则推理结果可能产生错误.例如,有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”,并证明如下:
设任意一个实数为x,令x=m,
等式两边都乘以x,得x2=mx.①
等式两边都减m2,得x2-m2=mx-m2.②
等式两边分别分解因式,得
(x+m)(x-m)=m(x-m).③
等式两边都除以x-m,得x+m=m.④
等式两边都减m,得x=0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是 .
④
10.如图所示,已知∠AED=∠C,∠DEF=∠B.求证:∠1=∠2.
根据题意,完成下面的推理过程:
证明:∵∠AED=∠C(已知),
∴DE∥ ( ),
∴∠B+∠BDE=180°( ).
∵∠DEF=∠B(已知),
∴∠DEF+ =180°( ),
∴AB∥EF( ),
∴∠1=∠2( ).
BC
同位角相等,两直线平行
两直线平行,同旁内角互补
∠BDE
等量代换
同旁内角互补,两直线平行
两直线平行,内错角相等
素养培优练
11.开放性题 (2024广元期末)如图所示,已知AB⊥BC,∠1+∠2=90°.现有3个条件:①∠2=∠3;②∠2+∠3=90°;③BE∥DF.
(1)请从上述3个条件中选择一个作为已知条件,选择一个作为结论组成一个真命题,你选择的条件是 ,结论是 ;(填序号)
解:(1)选择的条件是①,结论是③.
(或:选择的条件是③,结论是①)
(2)证明上述真命题(写出完整的证明过程).
解:(2)选择的条件是①,结论是③,则证明如下:
证明:∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠3+∠4=90°.
∵∠1+∠2=90°,且∠2=∠3,
∴∠1+∠3=90°.
∴∠1=∠4,
∴BE∥DF.
(或:选择的条件是③,结论是①,则证明如下:
证明:∵BE∥DF,
∴∠1=∠4.
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠3+∠4=90°.
∵∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3)
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3.角边角
知识点1 已知两个角和一条线段,用尺规作三角形
1.如图所示,已知线段a,∠1,求作△ABC,使BC=a,∠ABC=∠BCA=∠1.(尺规作图,不需要写作法)
解:△ABC如图所示.
知识点2 利用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
2.如图所示,在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A,B,E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则可以添加的一个条件是 .
(只填一个即可)
∠ABD=∠ABC(答案不唯一)
3.如图所示,在△ABC中,BF⊥AC于点F,AD⊥BC于点D,BF与AD相交于点E.若AD=BD,BC=8 cm,DC=3 cm,则AE= cm.
2
4.如图所示,在△ABC中,E为边AC的中点,CN∥AB,过点E作直线交AB于点M,交CN于点N.若BM=6 cm,CN=5 cm,则AB= cm.
11
5.如图所示,在△ABC和△DEF中,A,D,B,E四点在同一条直线上,若AD=BE,
∠A=∠EDF,∠E+∠CBE=180°,求证:AC=DF.
6.图①为光伏发电的外部设备,图②为其支架示意图,在△ABC中,∠C=
90°,为加固支架,增加了PD,AP两条支架,其中PD⊥AB于点D,∠APC=
60°,∠PAD=30°.
(1)求证:△ACP≌△ADP.
(1)证明:∵PD⊥AB,∴∠ADP=90°.
∵∠APC=60°,∠C=90°,
∴∠PAC=90°-60°=30°,
∴∠PAC=∠PAD.
又∵∠C=∠ADP,AP=AP,
∴△ACP≌△ADP(AAS).
①
②
(2)求∠B的度数.
(2)解:∵∠PAC=∠PAD=30°,
∴∠BAC=60°,
∴∠B=90°-∠BAC=30°.
能力提升练
7.如图所示,点A,E,F,C在同一条直线上,AB∥CD,AD∥BC,DE∥BF,则图中的全等三角形共有( )
A.2对 B.3对
C.4对 D.5对
B
8.如图所示,直线l1∥l2∥l3,且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3,等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分别在直线l2,l1,l3上,∠ACB=90°,则△ABC的面积为 .
12.5
9.如图所示,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于点O.求证:
(1)△ABC≌△DEF;
证明:(1)∵AB∥ED,∴∠B=∠E.
∵AC∥FD,∴∠BCA=∠EFD.
∵FB=EC,
∴FB+CF=CE+CF,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∵∠B=∠E,BC=EF,∠BCA=∠EFD,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(2)OF=OC.
证明:(2)∵△ABC≌△DEF,∴AC=DF.
在△ACO和△DFO中,
∵∠AOC=∠DOF,∠ACO=∠DFO,AC=DF,
∴△ACO≌△DFO(AAS),∴OF=OC.
素养培优练
10.已知:点D,A,E都在直线m上,在直线m的同一侧作△ABC,使AB=AC,连结BD,CE.
(1)如图①所示,若∠BAC=90°,BD⊥m,CE⊥m,求证:△ABD≌△CAE;
①
(1)证明:∵D,A,E三点都在直线m上,∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵BD⊥m,CE⊥m,
∴∠ADB=∠CEA=90°.
∴∠BAD+∠ABD=90°.
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中,
∵∠ADB=∠CEA,∠ABD=∠CAE,
AB=CA,
∴△ABD≌△CAE(AAS).
(2)如图②所示,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,请判断BD,CE,DE三条线段之间的数量关系,并说明理由.
②
(2)解:DE=BD+CE.
理由如下:∵∠BDA=∠AEC=∠BAC,
∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=∠CAE+∠ACE.
∴∠ABD=∠CAE,∠BAD=∠ACE.
又AB=AC,
∴△ABD≌△CAE(ASA).
∴BD=AE,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.
“一线三等角”模型
当在一条线段上出现三个相等的角,且有一组边相等时,考虑“一线三等角”模型.解答这类题的关键是找准三个等角,再根据平角性质、三角形内角和定理进行等角代换,从而得到三角形全等,从而利用全等的性质解决问题,其中“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况.
解题策略
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1.全等三角形的判定条件——三条边
三边分别相等的两个三角形全等.简写成“ ”或“SSS”.
2.符号语言
如图所示,在△ABC和△A′B′C′中,
4.边边边
边边边
3.三角形全等的判定方法
三个基本事实,一个定理:
基本事实:SAS, , ;
定理: .
ASA
SSS
AAS
精讲练 新知探究
探究点一 已知三条线段,用尺规作三角形
例1 如图所示,已知线段a,b,c,试作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,下面作法的正确顺序为 (填序号).
①分别以点B,C为圆心,c,b为半径作弧,两弧交于点A;
②作射线BP,在射线BP上截取BC=a;
③连结AB,AC,△ABC即为所求作的三角形.
②①③
巩固训练
1.如图所示,已知△ABC,选择适当的方法,试作△DEF,使△DEF≌△ABC,并说出你的作图依据.(不写作法,保留作图痕迹)
解:(答案不唯一)如图所示,△DEF即为所求作的三角形,作图依据是SSS.
探究点二 利用“SSS”判定三角形全等
例2 (云南中考)如图所示,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.求证:△ABC≌
△EDC.
重点必记
(1)运用“SSS”证明两个三角形全等时,注意题目中隐含的条件(例如公共边、线段的中点等).
(2)要证明线段或角相等,常考虑证明它们所在的两个三角形全等,根据三角形全等可得对应边相等或对应角相等.
巩固训练
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可以直接判定( )
A.△ABD≌△ACD
B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE
D.以上选项都不对
B
3.如图所示,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是
.
127°
4.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=AD,CE=DE,猜想ED与AB的位置关
系,并证明你的猜想.
解:ED⊥AB.证明如下:如图所示,连结AE.
在△ACE和△ADE中,∵AC=AD,CE=DE,AE=AE,
∴△ACE≌△ADE(SSS),∴∠C=∠ADE.
∵∠C=90°,∴∠ADE=90°,∴ED⊥AB.
探究点三 三角形全等判定方法的综合应用
例3 已知:如图所示,点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,DE=CF,CE=DF.求证:AE=BF.
证明:在△DCE和△CDF中,
∵DE=CF,CE=DF,DC=CD,∴△DCE≌△CDF(SSS).
∴∠ACE=∠BDF.∵AD=BC,∴AD+CD=BC+CD,即AC=BD.
在△ACE和△BDF中,
∵AC=BD,∠ACE=∠BDF,CE=DF,∴△ACE≌△BDF(SAS).
∴AE=BF.
重点必记
判定两个三角形全等的思路
巩固训练
5.如图所示,在△ABC和△DEC中,AC=DC.若添加条件后使得△ABC≌
△DEC,则在下列条件中,添加不正确的是( )
A.BC=EC,∠BCE=∠DCA
B.BC=EC,AB=DE
C.∠B=∠E,∠A=∠D
D.AB=DE,∠B=∠E
D
6.如图所示,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且BD=CE,
BE=CD.求证:AB=AC.
证明:在△BCD与△CBE中,
∵BD=CE,BC=CB,CD=BE,
∴△BCD≌△CBE(SSS).
∴∠BDC=∠CEB.∴∠ADC=∠AEB.
在△AEB与△ADC中,
∵∠A=∠A,∠AEB=∠ADC,BE=CD,
∴△AEB≌△ADC(AAS).
∴AB=AC.
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2.边角边
1.全等三角形的判定条件——两边一角
(1)两边及其夹角分别相等的两个三角形 ,简写成“ ”或“SAS”.
(2)两边及其中一边的对角分别相等,这两个三角形 .
全等
边角边
不全等
2.符号语言
如图所示,在△ABC和△DEF中,
∵AB=DE,∠ =∠ ,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
A
D
精讲练 新知探究
探究点一 已知两条线段和一个角,用尺规作三角形
例1 如图所示,已知线段a,c和∠α,试作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=
∠α,根据作图填空:
(1)如图①所示,作∠MBN= ;
(2)如图②所示,在射线BM上截取 ,在射线BN上截取 ;
(3)如图③所示,连结AC, 就是所求作的三角形.
∠α
BC=a
BA=c
△ABC
① ② ③
巩固训练
1.如图所示,在△ABC中,D是AC上一点(CD>AD),按要求完成下列各小题.
(保留作图痕迹,不写作法,标明各顶点字母)
(1)连结BD,求作△DEF(点E在线段CD上;点F在线段AC的右侧),使得△DEF≌△DAB.
解:(1)如图所示.
解:(2)ED ∠ADB=∠EDF FD △EDF
(3)SAS
探究点二 利用“SAS”判定三角形全等
例2 如图所示,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE交于点G.求证:∠A=∠D.
证明:∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,
即BF=CE.
在△ABF和△DCE中,
∵AB=DC,∠B=∠C,BF=CE,
∴△ABF≌△DCE(SAS).
∴∠A=∠D.
巩固训练
2.如图所示,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD,若∠D=25°,则∠B的度数为 .
25°
3.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C=50°,BD=CF,BE=CD,则∠EDF= .
50°
4.(泸州中考)如图所示,点B在线段AC上,BD∥CE,AB=EC,DB=BC.
求证:AD=EB.
探究点三 “SAS”在实际问题中的应用
例3 如图所示,A,B,C,D是四个村庄,B,D,C三村在一条东西走向公路的沿线上,且 D村到B村、C村的距离相等,村庄A和C,A和D间也有公路相连,且公路AD是南北走向,只有村庄A,B之间由于间隔了一个小湖,所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥,测得 AC=3 km,AE=1.2 km,
BF=0.7 km.试求建造的斜拉桥至少有多少千米.
解:∵B,D,C三村在一条东西走向公路的沿线上,AD是南北走向,
∴∠BDA=∠CDA=90°.
由题意,知BD=CD.
在△ADB和△ADC中,
∵BD=CD,∠BDA=∠CDA,AD=AD,
∴△ADB≌△ADC(SAS).
∴AB=AC=3 km.
故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1(km).
巩固训练
5.如图所示,在河的北岸种植一排小树AB,点C在河的南岸,已知在△ABC中,D是BC边的中点,AD的长度和方向都已确定,现在想要过点C也种植一排与AB平行的小树,小明使用了如下方法:延长AD到点E,使DE=DA,连结EC,那么就能得到AB∥EC.请你说明这样做的理由.
解:理由如下:
由题意,得AD=DE,BD=DC.
在△ADB和△EDC中,
∵AD=DE,∠ADB=∠EDC,BD=DC,
∴△ADB≌△EDC(SAS).
∴∠B=∠DCE.
∴AB∥EC.
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