初中数学华东师大版九年级上册 22.3　实践与探索 教学设计（2课时）

22.3　实践与探索
第1课时　面积与数字问题
1.能列出关于面积、数字问题的一元二次方程.
2.体会一元二次方程在实际生活中的应用.
3.经历将实际问题转化为数学问题的过程,提高数学应用意识.
重点:列出一元二次方程解决关于面积、数字问题.
难点:实际问题转化为数学问题的过程.
1.回顾列一元一次方程解应用题的一般步骤.
2.回顾三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的面积公式.
知识点1　面积问题
学校生物小组有一块长32 m,宽20 m的矩形试验田,为了管理方便,准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540 m2,小道的宽应为多少
解:设小道的宽应为x m,
32×20-32x-20x+x2=540,
整理,得x2-52x+100=0,
解得x1=2,x2=50(不合题意,舍去).
答:小道的宽应是2 m.
想一想:还有其他方法吗 也可列方程:
(32-x)(20-x)=540依据是什么
[点拨] 我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改变”的性质,把纵、横两条小道移动一下,使列方程容易些(目的是求出结果,至于实际施工,仍可按原图的位置进行).
范例应用
例1　某驻村工作队决定在某村山脚下围一块面积为600 m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广.如图所示,茶园一面靠墙,墙长35 m,另外三面用69 m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽.
解:设茶园垂直于墙的一边长为x m,则平行于墙的一边长为(69+1-2x)m.
根据题意,得x(69+1-2x)=600,
整理,得x2-35x+300=0,
解得x1=15,x2=20.
当x=15时,70-2x=40>35,不符合题意,舍去;
当x=20时,70-2x=30<35,符合题意.
答:这个茶园的长和宽分别为30 m,20 m.
知识点2　数字问题
1.(1)连续三个奇数,若第一个为x,则后2个为　x+2,x+4　;
(2)连续的五个整数,若中间一个数为n,其余的为　n+2,n+1,n-1,n-2　;
(3)一个两位数,十位数字为a,个位数字为b,则这个两位数是　10a+b　.
2.一个两位数,十位数字与个位数字之和为5,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新数与原来的两位数之积为736,求这个两位数.
解:设原来的两位数个位数字为x,则十位数字为5-x.
由题意,得[10(5-x)+x](10x+5-x)=736,
整理,得x2-5x+6=0,
解得x1=2,x2=3.
答:这个两位数是23或32.
范例应用
例2　据题意列方程,算出周瑜去世时的年龄:
大江东去,浪淘尽,千古风流人物;
而立之年,督东吴,早逝英年两位数;
十位恰小个位三,个位平方与寿符;
哪位学子算得快,多少年华属周瑜
解:设周瑜年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.
根据题意,得10(x-3)+x=x2.
整理,得x2-11x+30=0.
解得x1=5,x2=6.
当x=5时,10(x-3)+x=10×(5-3)+5=25,
不合题意,舍去;
当x=6时,10(x-3)+x=10×(6-3)+6=36,符合题意.
答:周瑜去世时的年龄为36岁.
1.如图所示,某小区有一块长为30 m,宽为24 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为480 m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为　2　m.
2.已知两个数的差是8,积是209,这两个数分别是　11,19或-19,-11　.
3.三个连续整数,两两之积的和为587,求这三个数.
解:设这三个连续整数为x-1,x,x+1,
则(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587,
化简,得3x2-588=0,即x2-196=0,
解得x1=14,x2=-14.
所以x-1=13,x+1=15或x-1=-15,
x+1=-13.
答:这三个数为13,14,15或-13,-14,-15.
4.一块长方形铁板,长是宽的2倍,如果在4个角上截去边长为5 cm的小正方形,然后把四边折起来,做成一个没有盖的盒子,盒子的容积是3 000 cm3,求铁板的长和宽.
解:设铁板的宽为x cm,则长为2x cm.
依题意,得5(2x-10)(x-10)=3 000.
整理,得x2-15x-250=0.
解方程,得(x-25)(x+10)=0.
解得x1=25,x2=-10(舍去),所以2x=50.
答:铁板的长为50 cm,宽为25 cm.
列方程解应用题的一般步骤:
(1)审题;
(2)未知数;
(3)列方程;
(4)解方程;
(5)检验作答.
22.3　实践与探索
第1课时　面积与数字问题
1.面积问题.
2.数字问题.
3.注意检验,要符合实际问题.
　　本节难度不大,教学时让学生独立思考,尝试完成,再展示交流,教师不断追问,从而促进学生快速掌握理解,教学时注意方程的解要符合实际.
第2课时　变化率与利润问题
　　　　　 　　　　 　　　　
1.会根据题意找出利润、销售问题中蕴涵的基本等量关系,并能根据等量关系列出一元二次方程.
2.在用一元二次方程解决实际问题的过程中,进一步渗透方程的模型思想及利用方程解决问题的方法.
3.通过自主探索、合作交流,使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动,发展学生数学思维,激发学生学习热情.
重点:列方程解决变化率问题、利润问题.
难点:正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.
创设情境
思考:2021年,一商场某商品销售额第一季度为 80万元,第二季度增长了10%,第三季度又增长了10%,问该商场第三季度的销售额是多少
解:80(1+10%)2=96.8(万元).
即该商场第三季度的销售额是96.8万元.
知识点1　变化率问题
1.某工厂一月份生产零件1 000个,二月份生产零件1 200个,那么二月份比一月份增产　200　个,增长率是　20%　.
2.某厂生产洗衣机,第一个月生产了5 000台,第二个月增产了50%,则第二个月比第一个月增加了　2 500　台,第二个月生产了　7 500　台.
3.某厂一月份产钢50 t,二、三月份的增长率都是x,则该厂三月份产钢　50(1+x)2　t.
[归纳] 若平均增长(或降低)率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“-”).
范例应用
例1　学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
解:设这两年的年平均增长率为x,
由题意,得5(1+x)2=7.2.
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).
答:这两年的年平均增长率为20%.
例2　某公司最近的各项经营中,一季度的营业额为200万元,一季度、二季度、三季度的营业额共计950万元,如果平均每季度营业额的增长率相同,求这个增长率.
解:设这个增长率为x.根据题意,得
200+200(1+x)+200(1+x)2=950,
解这个方程得x1=-3.5(舍去),x2=0.5.
答:这个增长率为50%.
[方法归纳] 列一元二次方程解应用题的步骤:
审、设、找、列、解、答.
最后要检验根是否符合实际意义.
知识点2　利润问题
某超市将进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖500个,已知该商品每涨价1元,其销售量就要减少10个,为了获得8 000元利润,售价应定为多少,这时应进货多少个
解:设每个商品涨价x元,则每个商品的销售价为(50+x)元,每个商品获得利润[(50+x)-40]元,销售量为(500-10x)个.
则(500-10x)·[(50+x)-40]=8 000.
整理,得x2-40x+300=0,
解得x1=10,x2=30都符合题意.
当x=10时,50+x=60,500-10x=400;
当x=30时,50+x=80,500-10x=200.
答:要想获得8 000元利润,售价为60元或 80元;若售价为60元,则应进货400个;若售价为80元,则应进货200个.
[归纳] 列一元二次方程解决利润问题的注意事项
(1)一个相等关系:单件利润×销售数量=总利润;
(2)两个变量:单件利润、销售数量是较难表示的两个量;
(3)三个检验:列方程后检验每项意义、检验方程根求解是否正确、作答前验根是否符合实际.
1.从2019年到2021年某市头盔销售额从1.8亿元增长到3.042亿元,则该市头盔从2019年到2021年平均增长率是(C)
A.10% B.20% C.30% D.40%
2.某种药品原价每盒60元,由于医疗政策改革,价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元,则平均每次下调的百分率为　10%　.
3.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为　2(1+x)+2(1+x)2=8　.
4.某服装店以每件30元的价格购进一批T恤,如果以每件40元出售,那么一个月内能售出300件,根据以往销售经验,销售单价每提高1元,销售量就会减少10件,服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3 360元,并且尽可能减少库存,问T恤的销售单价应提高多少元
解:设T恤的销售单价应提高x元.
由题意列方程,得(x+40-30)(300-10x)=3 360,
解得x1=2,x2=18.
因为要尽可能减少库存,
所以x2=18不合题意,故舍去.
所以T恤的销售单价应提高2元.
5.从社会效益和经济效益出发,某地制定了三年规划,投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,第一年投入资金800万元,第二年比第一年减少,第三年比第二年减少.第一年当地旅游业收入估计为400万元,要使三年内的投入资金与旅游业总收入持平,则三年内旅游业收入的年平均增长率应是多少 (参考数据:≈1.414,≈3.606,计算结果精确到百分位)
解:设三年内旅游业收入的年平均增长率为x.
根据题意,得400+400(1+x)+400(1+x)2=800+800×1-+800×1-×1-.
化简,得x2+3x-1=0,
解得x1=,x2=(不合题意,舍去).
所以x=≈=0.303≈30%.
故三年内旅游业收入的年平均增长率应约为30%.
变化率与利润问题
1.若平均增长(或降低)率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“-”).
2.列一元二次方程解“每每问题”的五个步骤
(1)设每件商品涨价(降价)x元(有时设新的定价为未知数);
(2)用含x的代数式表示每件商品的利润P;
(3)用含x的代数式表示涨价(降价)后商品的销售量Q;
(4)根据“每件商品的利润×销售量=销售利润”,得P·Q=总利润;
(5)解方程、取舍、作答.
第2课时　变化率与利润问题
1.变化率问题.
2.利润问题.
　　本节课的根本就是从实际问题中抽象出数学模型,利用一元二次方程知识解决实际生活中的增长率、利润问题,培养学生运用所学知识解决实际问题的能力.教学时直接让学生通过对变化率的分析归纳公式、对商品涨价与降价问题的分析找到两个变量间的关系列出利润与单价的函数关系式,从而将实际问题转化为数学模型解决.