3.1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 课件 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册
文档属性
| 名称 | 3.1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 课件 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-18 08:13:17 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
第三章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
学习目标
1.体验勾股定理的探索过程,由特例猜想勾股定理,再由特例验证勾股定理.
2.会利用勾股定理解释生活中的简单现象.
如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长钢索？
课堂导入
创设情境引入新课
如图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索
在直角三角形中,任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定吗 三边之间存在着一个特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在着一个特殊的关系.
让我们一起去探索吧!
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
活动1：在纸上作出若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有什么样的关系 与同伴交流.
[任务 探究勾股定理]
活动2：观察图3-2直角三角形直三边的平方分别是多少 它们满足上面猜想的数量关系吗？(图中每个小方格代表1个单位面积)
——————————————
小方格数 A的面积 小方格数 B的面积 小方格数 C的面积
（1）
（2）
9
9
9
9
18
4
4
4
4
8
18
8
直角边长的平方等于正方形的面积.
问题1：你发现A、B、C的面积之间有什么关系？
问题2：正方形的面积与直角边长的平方有什么关系？
活动3：图3-3中的直角三角形是否也具有这样的关系？你又是如何计算的？
A
B
C
A
B
C
小方格数 A的面积 小方格数 B的面积 小方格数 C的面积
（1）
（2）
16
16
9
9
25
25
1
1
9
9
10
10
（1）
（2）
你发现A、B、C的面积之间有什么关系？
发现+=.
如果直角三角形的两直角边长分别为1.6个单位和2.4个单位长度，那么上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.
成立
活动4：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么 .
即 .
数学表达式：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝c，AC＝b，BC＝a，则 .
总结：
a2+b2=c2
a2+b2=c2
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我国称上面的结论为勾股定理.
在西方，又称毕达哥拉斯定理！
典例精讲
例1在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
(1)a=6,b=8,求c.
(2)b=40,c=41, 求a.
解：（1）因为=+=+=100,
所以c=10.
（2）因为+=，
所以=-=-=81，
所以a=9.
即时测评
1．如图是4×4方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，则斜边上的高为 ．
D
3.如图，在△ABC中，BC＝5，点D在BC上，且AD⊥BC，AD＝BD＝3，求AB，AC的长．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AD＝DB＝3，BC＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2，
∴AB==
AC=．
1．如果直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边的长是（ ）
A．7 B．5 C． D．5或
2．如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为 ．
D
24
3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 ．
18
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，若BC＝6，AB＝10．
（1）求AC的长；
解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC==
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，求DE的长
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，
∴DE＝CD，
设CD＝x，则DE＝x，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
∴×6×8=×6CD+×10DE，
即24＝3x+5x，
解得x＝3，
即DE＝3．
5．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值；
（2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值；
（3）请根据（1）（2）题中的信息，
写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
解：（1）∵AC⊥BD，
∴△ABO是直角三角形，
∴AB2＝AO2+BO2，
同理，可得：BC2＝BO2+CO2，
CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2，
∵AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，
∴AB2＝13，BC2＝25，CD2＝41，AD2＝29；
（2）由（1）得：
BC2+AD2＝（BO2+CO2）+（AO2+DO2）
＝（BO2+AO2）+（CO2+DO2）
＝AB2+CD2，
即：BC2+AD2＝AB2+CD2，
∵AB＝6，CD＝10，
∴BC2+AD2＝62+102＝136；
（3）结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等．
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a + b = c
课堂小结：
基础题:1.课后习题第 3题
提高题:2.请学有余力的同学做第4题，下节课在班内展示、交流。
课后作业
本节课到此结束，
谢谢大家！
第三章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
学习目标
1.体验勾股定理的探索过程,由特例猜想勾股定理,再由特例验证勾股定理.
2.会利用勾股定理解释生活中的简单现象.
如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长钢索？
课堂导入
创设情境引入新课
如图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索
在直角三角形中,任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定吗 三边之间存在着一个特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在着一个特殊的关系.
让我们一起去探索吧!
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
活动1：在纸上作出若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有什么样的关系 与同伴交流.
[任务 探究勾股定理]
活动2：观察图3-2直角三角形直三边的平方分别是多少 它们满足上面猜想的数量关系吗？(图中每个小方格代表1个单位面积)
——————————————
小方格数 A的面积 小方格数 B的面积 小方格数 C的面积
（1）
（2）
9
9
9
9
18
4
4
4
4
8
18
8
直角边长的平方等于正方形的面积.
问题1：你发现A、B、C的面积之间有什么关系？
问题2：正方形的面积与直角边长的平方有什么关系？
活动3：图3-3中的直角三角形是否也具有这样的关系？你又是如何计算的？
A
B
C
A
B
C
小方格数 A的面积 小方格数 B的面积 小方格数 C的面积
（1）
（2）
16
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（1）
（2）
你发现A、B、C的面积之间有什么关系？
发现+=.
如果直角三角形的两直角边长分别为1.6个单位和2.4个单位长度，那么上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.
成立
活动4：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么 .
即 .
数学表达式：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝c，AC＝b，BC＝a，则 .
总结：
a2+b2=c2
a2+b2=c2
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我国称上面的结论为勾股定理.
在西方，又称毕达哥拉斯定理！
典例精讲
例1在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
(1)a=6,b=8,求c.
(2)b=40,c=41, 求a.
解：（1）因为=+=+=100,
所以c=10.
（2）因为+=，
所以=-=-=81，
所以a=9.
即时测评
1．如图是4×4方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，则斜边上的高为 ．
D
3.如图，在△ABC中，BC＝5，点D在BC上，且AD⊥BC，AD＝BD＝3，求AB，AC的长．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AD＝DB＝3，BC＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2，
∴AB==
AC=．
1．如果直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边的长是（ ）
A．7 B．5 C． D．5或
2．如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为 ．
D
24
3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 ．
18
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，若BC＝6，AB＝10．
（1）求AC的长；
解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC==
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，求DE的长
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，
∴DE＝CD，
设CD＝x，则DE＝x，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
∴×6×8=×6CD+×10DE，
即24＝3x+5x，
解得x＝3，
即DE＝3．
5．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值；
（2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值；
（3）请根据（1）（2）题中的信息，
写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
解：（1）∵AC⊥BD，
∴△ABO是直角三角形，
∴AB2＝AO2+BO2，
同理，可得：BC2＝BO2+CO2，
CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2，
∵AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，
∴AB2＝13，BC2＝25，CD2＝41，AD2＝29；
（2）由（1）得：
BC2+AD2＝（BO2+CO2）+（AO2+DO2）
＝（BO2+AO2）+（CO2+DO2）
＝AB2+CD2，
即：BC2+AD2＝AB2+CD2，
∵AB＝6，CD＝10，
∴BC2+AD2＝62+102＝136；
（3）结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等．
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a + b = c
课堂小结：
基础题:1.课后习题第 3题
提高题:2.请学有余力的同学做第4题，下节课在班内展示、交流。
课后作业
本节课到此结束，
谢谢大家！