3.1 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证与应用 课件 (共31张PPT) 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册
文档属性
| 名称 | 3.1 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证与应用 课件 (共31张PPT) 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-18 08:13:50 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
第三章 勾股定理
1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证与应用
1.理解并掌握验证勾股定理的多种方法。
2.通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系。
3.掌握运用勾股定理解决一些实际问题的方法。
学习目标
2002年世界数学家大会在我国北京召开,投影显示本届世界数学家大会的会标:会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,它既标志着中国古代的数学成就,又像一只转动的风车,欢迎来自世界各地的数学家们!今天我们就来一同探索勾股定理的图形验证.
[任务一 探究拼图的方法验证勾股定理]
活动1：你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流。
问题1 将图3-5、图3-6中所有三角形和正方形的面积用含a.b、c的式了表示出来.
为了方便计算图中大正方形的面积，对其进行适当割补：
图3-5、3-6中，三角形面积ab，正方形面积分别为.
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c2=a2+b2
问题2 图3-5、3-6中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
c2=a2+b2
C
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
所以c2=a2+b2
问题3 你能分别利用图3-5、图3-6验证勾股定理吗？
因为（a+b）2=a2+2ab+b2
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
所以c2=a2+b2
C
因为（b-a）2=b2-2ab+a2
典例精析
例1我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
A
1.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
即时测评
C
2.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为 .
4
典例精析
例2.我方侦察员小王在距离东西向公路 400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶. 他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距 400 m，10 s 后，汽车与他相距 500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？
解：其中点A表示王叔叔所直位置、点C、点B分别表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路400m，因此∠C是直角.
由勾股定理，可得到
AB2 = BC2 + AC2，
也就是5002 = BC2 + 4002，
所以BC = 300.
蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m，那么它 1 s 行驶的距离为 300÷10 = 30 (m)，即蓝方汽车这10s的平均速度为30m/s.
400 m
500 m
C
B
公路
A
1．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（ ）
A．7m B．8m C．9m D．10m
2．如图，湖的两岸有A、C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A、C两点间的距离为 米．
即时测评
B
9
3．某同学想运用所学知识测量一棵大树的高度AB，如图，他在地面上点C的正上方放置一个测距仪，测距仪位于点D处时，测得测距仪到树干的水平距离DE＝7米，测距仪到大树顶端A的距离AD＝25米，已知DE⊥AB于点E，CD＝BE＝1.6米，请你求出这棵大树的高度AB．
解：由勾股定理得：
AE===24，
∴大树的高度AB＝AE+BE＝24+1.6＝25.6（米）．
活动2：如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？
说说你的判断和理由，并与同伴进行交流.
b
a
c
b
a
c
[任务三 探究非直角三角形的三边关系]
①在钝角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 < c2；
b
a
c
b
a
c
②在锐角三角形中，
三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 > c2.
S = 9
S = 25
S = 10
S = 9
S = 10
S = 13
1.在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c）构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以
A
2. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为（ ）
A. 600米 B. 800米 C. 1000米 D 不能确定
C
3.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是_______.
200m2
4.如图，笔直的公路上 A，B 两点相距 25 km，C，D 为两村庄，DA ⊥ AB 于点 A，CB⊥ AB 于点 B，已知 DA ＝ 15 km，
CB ＝ 10 km，现在要在公路的 AB 段上建一个土特产品收购
站 E，使得 C，D 两村到收购站 E 的距离相等，则收购站 E 应建在离 A 点多远处？
解：因为DA⊥AB 于点 A，CB⊥AB 于点 B，所以∠A=∠B=90°，所以 AE2+AD2=DE2 ，BE2+BC2=EC2 .
由题意可知 DE=EC，所以 AE2 +AD2=BE2+BC2 .
设 AE=x km，则 BE=AB－AE=(25－x) km.
因为 DA=15 km，CB=10 km，
所以 x2 +152=(25－x)2+102 ，
解得 x=10，所以 AE=10 km.
所以收购站 E 应建在离 A 点 10 km 处.
5．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）请利用图①证明：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为80，OB＝5，求该图形的面积．
5．（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，
S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵AB+BC＝80÷4＝20，
设AH＝BC＝x，则AB＝20﹣x，OH＝OB＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OH2+OG2＝GH2
即52+（5+x）2＝（20-x）2，
解得：x＝7，
∴S=×5×12×4＝120．
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a + b = c
课堂小结：
基础题:1.课后习题第 1题
提高题:2.请学有余力的同学做课后习题第 4题，下节课在班内展示。
课后作业
本节课到此结束，
谢谢大家！
第三章 勾股定理
1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证与应用
1.理解并掌握验证勾股定理的多种方法。
2.通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系。
3.掌握运用勾股定理解决一些实际问题的方法。
学习目标
2002年世界数学家大会在我国北京召开,投影显示本届世界数学家大会的会标:会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,它既标志着中国古代的数学成就,又像一只转动的风车,欢迎来自世界各地的数学家们!今天我们就来一同探索勾股定理的图形验证.
[任务一 探究拼图的方法验证勾股定理]
活动1：你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流。
问题1 将图3-5、图3-6中所有三角形和正方形的面积用含a.b、c的式了表示出来.
为了方便计算图中大正方形的面积，对其进行适当割补：
图3-5、3-6中，三角形面积ab，正方形面积分别为.
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c2=a2+b2
问题2 图3-5、3-6中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
c2=a2+b2
C
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
所以c2=a2+b2
问题3 你能分别利用图3-5、图3-6验证勾股定理吗？
因为（a+b）2=a2+2ab+b2
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
所以c2=a2+b2
C
因为（b-a）2=b2-2ab+a2
典例精析
例1我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
A
1.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
即时测评
C
2.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为 .
4
典例精析
例2.我方侦察员小王在距离东西向公路 400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶. 他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距 400 m，10 s 后，汽车与他相距 500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？
解：其中点A表示王叔叔所直位置、点C、点B分别表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路400m，因此∠C是直角.
由勾股定理，可得到
AB2 = BC2 + AC2，
也就是5002 = BC2 + 4002，
所以BC = 300.
蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m，那么它 1 s 行驶的距离为 300÷10 = 30 (m)，即蓝方汽车这10s的平均速度为30m/s.
400 m
500 m
C
B
公路
A
1．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（ ）
A．7m B．8m C．9m D．10m
2．如图，湖的两岸有A、C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A、C两点间的距离为 米．
即时测评
B
9
3．某同学想运用所学知识测量一棵大树的高度AB，如图，他在地面上点C的正上方放置一个测距仪，测距仪位于点D处时，测得测距仪到树干的水平距离DE＝7米，测距仪到大树顶端A的距离AD＝25米，已知DE⊥AB于点E，CD＝BE＝1.6米，请你求出这棵大树的高度AB．
解：由勾股定理得：
AE===24，
∴大树的高度AB＝AE+BE＝24+1.6＝25.6（米）．
活动2：如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？
说说你的判断和理由，并与同伴进行交流.
b
a
c
b
a
c
[任务三 探究非直角三角形的三边关系]
①在钝角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 < c2；
b
a
c
b
a
c
②在锐角三角形中，
三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 > c2.
S = 9
S = 25
S = 10
S = 9
S = 10
S = 13
1.在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c）构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以
A
2. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为（ ）
A. 600米 B. 800米 C. 1000米 D 不能确定
C
3.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是_______.
200m2
4.如图，笔直的公路上 A，B 两点相距 25 km，C，D 为两村庄，DA ⊥ AB 于点 A，CB⊥ AB 于点 B，已知 DA ＝ 15 km，
CB ＝ 10 km，现在要在公路的 AB 段上建一个土特产品收购
站 E，使得 C，D 两村到收购站 E 的距离相等，则收购站 E 应建在离 A 点多远处？
解：因为DA⊥AB 于点 A，CB⊥AB 于点 B，所以∠A=∠B=90°，所以 AE2+AD2=DE2 ，BE2+BC2=EC2 .
由题意可知 DE=EC，所以 AE2 +AD2=BE2+BC2 .
设 AE=x km，则 BE=AB－AE=(25－x) km.
因为 DA=15 km，CB=10 km，
所以 x2 +152=(25－x)2+102 ，
解得 x=10，所以 AE=10 km.
所以收购站 E 应建在离 A 点 10 km 处.
5．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．
（1）请利用图①证明：a2+b2＝c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为80，OB＝5，求该图形的面积．
5．（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，
S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）解：∵AB+BC＝80÷4＝20，
设AH＝BC＝x，则AB＝20﹣x，OH＝OB＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OH2+OG2＝GH2
即52+（5+x）2＝（20-x）2，
解得：x＝7，
∴S=×5×12×4＝120．
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a + b = c
课堂小结：
基础题:1.课后习题第 1题
提高题:2.请学有余力的同学做课后习题第 4题，下节课在班内展示。
课后作业
本节课到此结束，
谢谢大家！