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2 平方根与立方根
第2课时 平方根
第四章 实数
1.了解算术平方根和平方根、 开平方的概念.
2.明确算术平方根与平方根的区别和联系.
3. 进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.
上节课我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数x的平方等于a,即x2=a. 则x叫a的算术平方根,记作x= ,而且a也是非负数.
正数22=4,则2叫做4的算术平方根,4叫2的平方.
思考:若(-2)2=4,则-2叫4的什么呢?
[任务一 探究平方根定义]
(1) 9 的算术平方根是 ,也就是说, 的平方是 9.
还有其他的数,它的平方也是 9 吗?
3
3
(-3)2 = 9
(2) 平方等于 的数有几个?平方等于 0.64 的数呢?
和 两个数的平方等于 ;
0.8 和 -0.8 两个数的平方等于 0.64.
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做的平方根或二次方根.这就是说,如果= ,那么叫做的平方根.
例如:3和-3是9的平方根,
简记为±3是9的平方根.
平方根定义
±3表示+3和-3两个数.
总结
根据上面的研究过程填表:
类比
如果我们把 分别叫做1、16、36、49、 的平方根,你能类比算术平方根的说法,说出什么是平方根吗?
例1. 下列语句写成数学式子正确的是( )
A. 9是81的算术平方根:± =9
B. 5是(-5)2的算术平方根: =5
C. ±6是36的平方根:=±6
D. -2是4的负的平方根:=-2
B
典例精讲
1.的平方根是( )
A.2 B.4 C.±2 D.±4
2.9的平方根是±3,用数学符号表示,正确的是( )
A.=3 B.± =3 C.=±3 D.±=±3
3. 4的平方根是 ;4的算术平方根是 .
4.求下列各数的平方根:
(1)64
(2).
即时测评
C
D
±2
2
解:(1)±=±8;
(2)±=±=±.
问题1:平方根与算术平方根有哪些相同和不同之处?:
知识点 算术平方根 平方根
定义 如果一个正数x的平方等于a (即x 2=a ),那么这个数x就叫作a的算术平方根, 如果一个数x的平方等于a (即x2 =a ),那么这个数x就叫作a的平方根。
表示方法
个数 (1)正数和0都有一个算术平方根; (2)负数没有算术平方根 (1)一个正数有两个平方根;
(2)0的平方根只有一个;
(2)负数没有平方根.
±
(1)具有包含关系;
(2)0的平方根与算术平方根都是0;
(3)存在条件相同,被开方数为非负数.
联系:
[任务二 探究平方根的性质及开平方]
正数的平方根有两个,它们互为相反数;
0的平方根就是0 ;
负数没有平方根.
(1)一个正数有几个平方根?它们有何关系?
(2)0有几个平方根?
(3)负数呢?
问题2:
问题2:
平方根的表示方法:
例如:
3的平方根, ±
4的平方根,±= ±2.
读作“正、负根号 ”
追问:我们如何表示一个正数a的平方根?怎样读平方根?
求一个数的平方根的运算,叫做开平方.
定义
两图中的运算有什么关系呢?
填空:
平方
开平方
互逆运算
被开方数
例1 求下列各数的平方根:
解:(1)因为(±8)2=64,
所以64的平方根是±8.
即± ± 8.
(1)64 (2)
典例精讲:
(2)因为(±)2=,
所以的平方根是±.
即± ± .
(3)0.0004
(4)
(5)11
因为(±0.02)2=0.0004,所以0.0004的平方根是±0.02,
即± ±0.02
因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25,
即± ±=±25
11的平方根是±
典例精析
例3.求下列各式的值:
(1) ;(2)﹣;(3).
解:(1)==15;
(2)﹣=﹣=﹣;
(3)=8.
即时测评
1.下列说法:①的平方根是±5;②﹣一定没有平方根;③非负数a的平方根是非负数;④因为负数没有平方根,所以平方根不可能为负.其中,不正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如果实数m没有平方根,那么m可以是( )
A.﹣ B.|﹣3| C. D.﹣(﹣3)
3.若=3,求2x+5的平方根 .
4.已知一个正数的平方根是2x和x﹣6,这个数是 .
C
A
±
16
5.若一个正数a的两个平方根分别是3b﹣5和﹣2b+2.
(1)求a和b的值;
(2)求a+3b的平方根.
解:(1)由题可知,
∴3b﹣5+(﹣2b+2)=0,
∴b=3,
∴a===16;
(2)∵a=16,b=3,
∴a+3b=16+3×3=16+9=25,
∵25的平方根是±5,
∴a+3b的平方根为±5。
6.求下列各式中的x:
(1)3=6;
(2)4=9.
解:(1)原方程整理得:=2,
则x=±;
(2)原方程整理得:=,
则x﹣1=±,
解得:x=或x=﹣.
1. 下列说法中, 不正确的是( )
A. -11是121的一个平方根 B. 11是121的一个平方根
C. 121的平方根是11 D. 121的算术平方根是11
2.下列说法正确的是( )
A.9的平方根是3 B.﹣9的平方根是﹣3
C.没有平方根 D.2是4的一个平方根
3.下列有关平方根的叙述,正确的个数是 。
①如果a存在平方根,那么a>0;
②如果a有两个不相等的平方根,那么a>0;
③如果a没有平方根,那么a<0;
④如果a>0,那么a的平方根也大于0.
②③
4.如果a,b分别是2025的两个平方根,那么 .
5.已知2x﹣1的平方根为±3,3x+y﹣1的平方根为±4,求x+2y的平方根.
1
解:∵2x﹣1的平方根为±3,3x+y﹣1的平方根为±4,
∴2x﹣1=9,3x+y﹣1=16,
解得:x=5,y=2,
∴x+2y=5+4=9,
∴x+2y的平方根为±3.
6.求下列各式的值:
(1)±;(2)( ) 2;(3) ;
(4) - ;(5) .
解: ± =± =±=±.
( ) 2 =3.
解: = | - 3 | =3;
-= -=0.9-0.2= 0.7;
= = =5.
7.计算:
= ,= ,= ,= ,= .
(1)根据计算结果,回答:一定等于a吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语言描述出来.
(2)利用你总结的规律,计算:.
3
0.7
0
6
=∣a∣
解:原式=|3.14﹣π|=π﹣3.14.
课堂总结
平方根的性质
平方根的表示方法
正数a有两个平方根:“ ”(a的算术平方根)和“ ”.它们互为相反数,合起来可以记作“± ”,
读作“正、负根号a”.
一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,是0本身;负数没有平方根.
基础题:1.课后习题第 1题
提高题:2.请学有余力的同学采取合理的方式,搜集整理与本节课有关的“好题”,被选中的同学下节课为全班展示。
课后作业