4.2 平方根与立方根 第4课时 估算（共31张PPT） 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册

(共31张PPT)
2 平方根与立方根
第4课时 估算
第四章 实数
1.会估算一个无理数的大致范围；
2.会利用估算的方法比较两个无理数的大小；
3.会利用估算解决一些简单的实际问题。
学习目标
小丽：“我想在一块面积为500cm 的正方形纸片中，沿着边的方向裁出一块面积为300cm 的长方形的纸片，使它的长是宽的2倍，不知能否裁出？”
小明：“用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片，那肯定行.”
你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片呢？为什么？学习了下面的知识你就知道啦！
[任务一 探究估算的方法]
问题1：某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400 000 .
(1)公园的宽大约是多少 它有1 000 m吗
(2)如果要求误差小于10 m,它的宽大约是多少
(3)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800 ,你能估计它的半径吗 (误差小于1 m)
活动1：阅读课本并解答下列问题
思考1：大家能不能具体确定一下公园的宽是几位数呢
思考2：公园的宽大约是几百米
思考3：再继续估算,估计十位上的数字是几
因为100的平方是10 000,1 000的平方是1 000 000,而200 000大于 10 000 小于1 000 000,所以公园的宽比100大而比1 000小,是三位数.
因为400的平方为160 000,500的平方为250 000,所以公园的宽应比400大比500小,所以公园的宽应为400多.
因为440的平方为193 600,450的平方为202 500,所以公园的宽应比440大比450小,故十位上的数字为4.因为题目要求误差小于10米,不是精确到十位,所以我们估算出十位上数就行了,即公园的宽应为440或450米.
(1)公园的宽大约是多少？它有1 000米吗？
1000
2000
S=400000
2000×1000=2000000
>400000
公园的宽没有1 000米
(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？
x
2x
S=400000
x×2x=400000
2x2=400000
x2=200000
x=
怎样估算一个无理数的范围？
凭直觉，我们知道：
因为4002<20 0000<5002
所以 400< <500
所以 的百位数字是4
因为4402< 200000 <4502
所以440<<450
所以，的十位数字是4
因为 要求误差小于10米，
所以≈440或450
夹逼法
误差小于10 ，就是估算到什么位？
(3) 该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 m2，你能估计它的半径吗？(结果精确到 1 m)
解：设圆形花圃的半径为 r m，由题意，得
πr2 = 800.
当 π 取 3.14， r = 10 时，πr2 = 314＜800.
当 π 取 3.14， r = 20 时，πr2 = 1256＞800.
当 π 取 3.14， r = 15 时，πr2 = 706.5＜800.
当 π 取 3.14， r = 16 时，πr2 = 803.84＞800.
答：它的半径约为 16 m.
S=800
r
总结：估算的一般步骤
(1)估计是几位数.
(2)确定最高位上的数字(如百位).
(3)确定下一位上的数字(如十位).
(4)依次类推,直到确定出个位上的数,或者按要求精确到小数点后的某一位.
问题2：思考·交流：
(1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流.
√
×
×
方法一：两数同时乘方
(2) 你能估算 的大小吗？（结果精确到1）
解：因为9.53=857.375，
103=1000，
所以9.5 < < 10，
所以 ≈ 10.
当 x = 10 时，x2 = 100＞ 88.
当 x = 9 时，x2 =81 ＜ 88.
当 x = 9.5 时，x2 = 90.25 ＞ 88.
当 x = 9.3 时，x2 = 86.49 ＜88.
所以 x = ≈ 9.4.
答：估计草坪的边长为9.4m.
（3）校园里有一块面积是88正方形草坪，试估计草坪的边长（结果精确到0.1m）
当 x = 9.4 时，x2 = 88.36 ＞ 88.
生活经验表明，靠墙摆放梯子时，
若梯子底端离墙距离为梯子长度的
三分之一，则梯子比较稳定.现有一
长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放
时，他的顶端最多能到达5.6m高的
墙头吗 ？
典例精讲
解：设梯子稳定摆放时所能达到的的高度为x m，
此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的 ，根
据勾股定理，有
6
A
B
C
所以
因此，当梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6米的墙头。
即时测评
1．估计-2的值在（　　）
A．4到5之间 B．3到4之间 C．2到3之间 D．1到2之间
2．若一个正方形的面积是8，则估计它的边长大小在（　　）
A．2与2.5之间 B．2.5与3之间
C．3与3.5之间 D．3.5与4之间
3．m、n是连续的两个整数，若m＜＜n，则m+n的值为 　 　．
4．规定用[m]表示一个实数m的整数部分，例如[]＝0，[3.14]＝3．按此规定[-+1]的值为 　 　．
C
B
7
-4
（1）宽与长之比是的长方形称为“黄金矩形”，通过估算，通过估算，你能比较 与 的大小吗？你是怎样想的？与同伴进行交流.
（2）小明是这样想的： 与 的分母相同，只要比较它们的分子就可以了.因为 >2，所以 -1>1，因此 >.
你认为小明的想法正确吗
正确
[任务二 探究通过估算比较大小]
活动2：
比较两个无理数大小的常用方法：
1.估算法：估算出所给无理数的近似值，再比较.
2.作差法：若 ，则 ；若 ，
则 .
3.乘方法：把含根号的两个无理数同时乘方(一般平方或立方)，比较乘方后的数的大小，同时考虑符号确定大小即可.
4.放缩法：将其中一个数(或两个数)放大或缩小，再比较.
5.作商法、倒数法等.
总结
例2通过估算，你能比较与的大小吗？说说你的理由．
典例精讲
解：＜，理由如下：
因为1＜＜2，
所以-1＜1，
所以＜
1．下列各式比较大小正确的是（　　）
A．-＜- B．﹣＞﹣
C．﹣π＜﹣3.14 D．-＞-3
2．比较大小： ．
3．比较大小：6 　3．
即时测评
C
＜
＞
4．比较下列各组数的大小：
（1）与6；
（2）与﹣3；
（3）-1与．
解：因为1＜＜2，
所以＜
-1＜2，
所以 -1＞
解：（1）∵＜，
∴＜6；
（2）∵＞，
∴＞﹣3；
1. 的值在( )
A.1与 2 之间 B.2 与 3 之间
C.3 与 4 之间 D.5 与 6 之间
C
2.下列式子成立的是( )
A． ＞2.5 B. ＜
C. ＜ 3.85 D. －1＜
D
3．如果设4-的整数部分为a，则a的值为　 　．
4．比较大小 　 ．
5.已知＜a＜，且a是整数，则a的值是 　　．
2
＜
3
6.一个人每天平均要饮用大约0.001 5 m3的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大约为40m3.如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高 （结果精确到1m)
解：设容器的高大约为h m.
h3≈51，h≈ .
因为 ，所以这个容器的高大约为4m.
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1、 “误差小于1”与“精确到1” 意义不同。
2、学会了用“夹逼法”估算无理数的大小。
3、学会了怎样比较两个实数的大小。
基础题:1.课后习题第2题
提高题:2.请学有余力的同学做课后习题第4、5题，下节课在班内展示、交流。
课后作业
本节课到此结束，谢谢大家！