6.4 一次函数的应用 第3课时 借助两个一次函数（图象）解决实际问题（共34张PPT） 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册

(共34张PPT)
4　一次函数的应用
第3课时　借助两个一次函数（图象）解决实际问题
1．进一步训练学生的识图能力。
2．能利用函数图象解决简单的实际问题。
学习目标
一起走进我们今天的学习.
在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间的关系如图所示．已知y甲＝﹣15x+30．请根据所提供的信息解答下列问题：
（1）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样（不考虑都燃尽时的情况）？
（2）甲蜡烛燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差2cm？
你会解答上面的问题吗？
相信学完本节课你会很快作出解答.
如图，某公司生产了一批奥运物品，l1反映了该奥运物品的销售收入与销售量之间的关系，l2反映了该奥运物品的销售成本与销售量之间的关系，根据图象填空：
1 2 3 4 5 6 7 8
y/元
O
6000
5000
4000
3000
2000
1000
x/吨
l1
1 2 3 4 5 6 7 8
y/元
O
6000
5000
4000
3000
2000
1000
x/吨
l2
销售量
销售量
收入
成本
[任务 探究双函数图象问题]
1 2 3 4 5 6 7 8
y/元
O
6000
5000
4000
3000
2000
1000
x/吨
1 2 3 4 5 6 7 8
6000
5000
4000
3000
2000
1000
y/元
O
x/吨
6000
5000
2000
3000
l1
l2
(1)当销售量为2吨时，销售收入= 元，销售成本= 元；
(2)当销售量为6吨时，销售收入= 元，销售成本= 元；
销售量
销售量
收入
成本
1 2 3 4 5 6 7 8
y/元
O
6000
5000
4000
3000
2000
1000
x/吨
l2
l1
(3)当销售量等于 时，销售收入等于销售成本；
4t
收入
成本
不赔不赚
交点的实际意义：
不赔不赚
y/元
O
6000
5000
4000
3000
2000
1000
x/吨
l2
l1
(4)当销售量 时，该公司赢利；
当销售量 时，该公司亏损；
大于4吨
小于4吨
收入
成本
1 2 3 4 5 6 7 8
赔
赚
y/元
O
6000
5000
4000
3000
2000
1000
x/吨
l2
l1
（5）当销售量_________时，该公司赢利（收入减成本）1000元；
6t
收入
成本
1 2 3 4 5 6 7 8
赚1000元
收入
1 2 3 4 5 6 7 8
y/元
O
6000
5000
4000
3000
2000
1000
x/吨
l1
1 2 3 4 5 6 7 8
y/元
O
6000
5000
4000
3000
2000
1000
x/吨
l2
(6) l1对应的函数表达式是 ，
l2对应的函数表达式是 。
y = 1000x
y = 500x + 2000
销售量
销售量
成本
（7）你能借助（6）的结论求（5）吗？
根据题意，当l1－l2＝1000时，
即1000x－（500x+2000）＝1000，
解得：x=6，
当销售量6t时，该公司赢利
（收入减成本）1000元。
设l1对应的一次函数为y=k1x+b1，k1和b1的实际意义各是什么？设l2对应的一次函数为y=k2+b2，k2和b2的实际意义各是什么？与同伴进行交流.
1 2 3 4 5 6 7 8
y/元
O
6000
5000
4000
3000
2000
1000
x/吨
l2
销售量
成本
思考
1 2 3 4 5 6 7 8
y/元
O
6000
5000
4000
3000
2000
1000
x/吨
l1
销售量
收入
k1表示每销售1吨产品的销售收入1000元
b1表示销售量为0吨时销售收入为0元
k2表示每销售1吨产品的销售成本是500元
b2表示销售量为0吨时的销售成本为2000元
例 如图是某景区游览路线示意图，甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙，图中l1，l2分别表示甲，乙两人到观景台1的路程S（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系.
典例精讲
假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：
（1）哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？
当t=0时，甲到观景台1的路程为0m.即s=0.故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。
（2）甲和乙哪个人的速度快？
t从0增加到20时，l1上点的纵坐标增加了1000，l2上点的纵坐标加了600.即20min内、甲行走了1000m.乙行走了600m、所以甲的速度快。
（3)30 min内甲能否追上乙
如图、延长l1，l2，可以看出，当t=30时，l1上的对应点在l2上对应点的下方，这表明，30min时甲尚不追上乙.
（4）到达观景台3后道路分岔、甲能否在到达观景台3前追上乙
在图中，l1与l2交点P的纵坐标为小于800+1300=2100，这说明甲能在到达观景台3前追上乙。
（5）设与对应的两个一次函数分别为s=k1t+b1，与s=k2t+b2，k1,k2实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？
k1表示甲的速度，k2表示乙的速度，甲的速度是50m/min，乙的速度是30m/min.
（3)30 min内甲能否追上乙
如图、延长l1，l2，可以看出，当t=30时，l1上的对应点在l2上对应点的下方，这表明，30min时甲尚不追上乙.
思考 你能用其他方法解决（1）～（4）吗？
解：（1）因为甲追赶乙，所以甲到景观台1的距离更近，故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。
（2）甲的速度快。因为从图象看，l1的倾斜度大与l2，所以甲的速度快。
（3）根据一次函数的意义可知，甲的速度是1000÷20=50m/min，乙的速度是（1400-800）÷20=30m/min，所以在30分钟内，甲行驶的路程是50×30=1500m，乙行驶的路程是30×30=900m，因为1号观景台与2号观景台相距800m,而800+900=1700＞1500，所以30min时甲尚不追上乙。
思考 你能用其他方法解决（1）～（4）吗？
（4）根据题意，甲到达观景台3需要的时间（800+1300）÷50=42分钟，乙到达观景台时间是1300÷30=43分钟，这说明甲能在到达观景台3前追上乙。
我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶，图中l1、l2分别表示两船相对于海岸的距离s(海里)与追赶时间t(分)之间的关系.
O
2
4
6
8
10
2
4
6
8
t /分
s /海里
10
12
14
16
l1
l2
即时测评
A
B
P
追赶的时间
到海岸的距离
船B追上船A
（2）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查.照此速度， B能否在A逃入公海前将其拦截？
O
2
4
6
8
10
2
4
6
8
t /分
s /海里
10
12
14
16
l1
l2
A
B
P
（1）15分钟内B能否追上A？
追不上
这说明在A逃入公海前，我边防快艇 B能够追上船A.
O
2
4
6
8
10
2
4
6
8
t /分
s /海里
10
12
14
16
1
3
7
5
9
（3）l1与l2所对应的两个一次函数y=k1x+b1 与y=k2x+b2中，k1 ，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？
l1
l2
A
B
5
2
10
k1表示快艇B的速度
k2表示船A的速度
船A的速度：
快艇B的速度：
1.如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系；l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系．根据图象判断，该公司赢利时，销售量（　　）
A．小于12件
B．等于12件
C．大于12件
D．不低于12件
C
2.王教授和孙子小强经常一起进行晨练，主要活动是爬山，有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷，在图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y（米）与爬山所用时间x（分）（从小强开始爬山时计时）的关系，看图回答下列问题．
（1）小强让爷爷先上 米.
（2）山顶离山脚的距离有 米.
先爬上山顶？
（3）图中两条线段的交点表
示 .
80
400
小强
小强用了2分钟在距离山脚160米处追上了爷爷
3.A、B两地相距80千米，甲乙两人沿同一条路从A地到B地，DB，OC分别表示甲、乙两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的函数关系.
（1）乙出发 h后，甲才出发；
（2）大约在乙出发 h后，两人相遇，
这时他们离A地 km.
（3）甲的速度是 km/h,
乙的速度是 km/h.
1
1.5
20
甲
乙
4.A，B两地相距30千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地出发，他们都保持匀速行驶，同向而行．甲、乙两人各自到A地的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的关系分别用图中直线l1，l2在第一象限的部分表示．根据图象回答下列问题：
（1）两人出发时乙在甲前多少千米？
（2）甲、乙两人骑车的速度分别是多少？
（3）若设l2的表达式为s＝kt+b，则b与k的
实际意义是什么？
（4）当他们行驶3.5时，甲能否追上乙？说明理由．
4.解：（1）由图象得，两人出发时乙在甲前30千米；
（2）如图所示：甲的速度为：30÷1.5＝20（km/h），
乙的速度为：（40﹣30）÷1＝10（km/h）；
（3）若设l2的表达式为s＝kt+b，则k表示乙车的速度，
b表示A，B两地的距离；
（4）当他们行驶3.5时，甲能追上乙，理由如下：
设l1的关系式为：s1＝kt，则30＝k×1.5，解得：k＝20，故s1＝20t；
设s＝kt+b，将（0，30）代入，得b=30，
将（1，40）代入，得k+b=40，
解得k=10，
故l2的关系式为s＝10t+30；
20t＝10t+30，
t＝3，
∴经过3小时，甲能追上乙，
∴当他们行驶3.5时，甲能追上乙．
O
2
4
6
8
10
2
4
6
8
t /分
s /海里
10
12
14
16
l1
l2
P
1 2 3 4 5 6 7 8
y/元
O
6000
5000
4000
3000
2000
1000
x/吨
l2
l1
两个函数图像交点以及交点两侧图像的实际意义
一次函数关系式中k、b的实际意义
k表示自变量每增加一时，函数值变化了多少；
b表示自变量为零时的函数值
数形结合思想
课堂小结
基础题:1.课后习题第 1题
提高题:2.请学有余力的同学做课后习题第3题，并且下节课在班内展示、交流。
课后作业
人的一生就如同一个函数，一天24小时，一年365天，这些常量在勤奋者的世界里却是48小时、730天或者是72小时、1095天……让我们利用好碎片时间，在有限的时间里运用所学绘制出更精美的人生函数图象。