浙江省浙里2025年中考考前对标适应性考试三模数学试题
1．（2025·浙里三模）有-2，0，，四个数，其中最小的数是（ ）
A．-2 B．0 C．π D．
2．（2025·浙里三模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙里三模）如图，由6个棱长均为1的立方体组成的几何体，它的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·浙里三模）2024年浙江省GDP总产值为90100亿元，数90100用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙里三模）如图，，若，则为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·浙里三模）如图所示网格中，线段AB是由线段CD位似放大而成，则位似中心是（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
7．（2025·浙里三模）某公司招聘技术人员，需对应聘者进行测试，测试项目包括基础知识、操作能力、创新能力，并规定上述三项成绩依次按30%，30%，40%的比例计入总成绩，某应聘者的测试成绩统计如下：
项目 基础知识 操作能力 创新能力
成绩 85 90 95
则此应聘者的总成绩是（ ）
A．90.5 B．90 C．89.5 D．88.5
8．（2025·浙里三模）端午节是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗，端午节期间，某商店对一款粽子推出优惠活动，决定每个粽子打八折，打折后120元买到的粽子数量比打折前多了6个，设粽子的原价为x（元/个），可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·浙里三模）如图，矩形ABCD的面积为，A点的坐标为（2，1），轴，轴，若反比例函数的图像过点B、D，则k的值为（ ）
A． B． C．5 D．
10．（2025·浙里三模）如图，在等腰Rt△ACB中，CA=CB，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，点E在BD上，连结CE，作AF⊥CE于点F，连结DF，则点E从点D向点B移动过程中（点E不与D、B重合），∠DFE角度的大小为（ ）
A．由小变大 B．由大变小 C．不变 D．不能确定
11．（2025·浙里三模）因式分解： .
12．（2025·浙里三模）一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为72°，让转盘自由转动，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是 .
13．（2025·浙里三模）若=2，则x= .
14．（2025·浙里三模）若扇形圆心角为60°，半径为2，则该扇形的面积为 .
15．（2025·浙里三模）如图，将左边矩形纸片ABCD沿虚线剪开并拼接成了右边正方形EFGH，则 .
16．（2025·浙里三模）如图，在矩形ABCD中，AE平分交BC于点E，交AC于点F，将沿EF折叠得到，EG交AC于点P，若，则 .
17．（2025·浙里三模）计算：.
18．（2025·浙里三模）解不等式组：
19．（2025·浙里三模）如图，在菱形ABCD中，，作，连结BD.
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求BD的长.
20．（2025·浙里三模）为了解某校初中学生的视力情况，随机抽取了该校50名初中生进行调查，并将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表，根据视力的不同水平，将视力分为正常视力、轻度近视、中度近视及重度近视四个等级分别记为“A”、“B”、“C”、“D”等级.
50名初中生视力情况人数分布表
等级 视力 人数
A 1.0及以上
B 0.9 8
0.8 10
C 0.7 6
0.6 m
D 0.5及以下 15
（1）请计算图表中a、m的值.
（2）请你估算本校4500名学生中视力正常的人数.
21．（2025·浙里三模）尺规作图问题：已知△ABC，过点A作直线AP，使得AP//BC.
如图是小聪同学的作法：
①作AB的垂直平分线，交AB于点Q，交直线BC于点G；
②以A为圆心，AG长为半径作弧，交直线QG于点P，连结AP，则AP//BC.
（1）请说明AP//BC的理由；
（2）小聪在作图时发现以A为圆心，AG长为半径的弧会过点C，若∠B=35°，求∠BAC
的度数.
22．（2025·浙里三模）某工厂员工生产一款零件，员工的日工资结算方案如下：
方案一：基本工资每天20元，每生产一个零件加计2元，
方案二：当生产数量不超过100个时，发基本工资每天100元，每超过一个加计4元.
如图所示是日工资y（元）关于生产数量х（个）的函数图象，
（1）求x>100时，方案二的日工资y（元）关于生产数量х（个）的函数表达式；
（2）甲员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，求甲员工生产的零件个数的范围；
（3）乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元，则乙员工生产了多少个零件？
23．（2025·浙里三模）已知二次函数.
（1）若二次函数经过点，
①求二次函数解析式；
②当时，求y的取值范围；
（2）若，点、、在二次函数图象上，请比较，，的大小.
24．（2025·浙里三模）已知四边形ABCD内接于，对角线AC与BD交于点E.
（1）如图1，若AC为直径，点B是中点，，.
①求证：；
②求DC的长；
（2）如图2，若，，且AC、BD不过点O，P、Q分别为AB、CD的中点，连结PE、EQ、QO、OP，试猜想四边形PEQO的形状，并证明你的猜想.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵-2＜0＜＜π，
∴最小的数为-2.
故答案为：A.
【分析】根据实数大小的比较法则"1.正实数都大于0，负实数都小于0；2.正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小；3.在数轴上，右边的数要比左边的大"并结合题意即可判断求解.
2．【答案】D
【知识点】同类项的概念；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵2a2-a2=a2≠2，
∴此选项不符合题意；
B、∵a2与a3不是同类项，不能合并，
∴此选项不符合题意；
C、∵（）3=a3≠a3，
∴此选项不符合题意；
D、∵（a2）3=a6，
∴此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知a2和a3不是同类项，所以不能合并；
C、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，左侧有3个小正方体，右侧有1个小正方体，
∴它的左视图为：.
故答案为：D.
【分析】根据左视图是从左面看所得到的图形可判断求解.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：90100=9.01×104.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合各选项即可求解.
5．【答案】D
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵，
∴，
∴=.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"可得比例式并结合比例的性质即可求解.
6．【答案】B
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图，连接CA、DB，并延长，交点即为它们的位似中心，
∴它们的位似中心是P2.
故答案为：B.
【分析】连接CA、DB，并延长，交点即为它们的位似中心，结合图形即可求解.
7．【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：应聘者的总成绩为：85×30%+90×30%+95×40%=90.5.
故答案为：A.
【分析】根据加权平均数的计算方法可求解.
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设粽子的原价为x（元/个），
由题意得：.
故答案为：A.
【分析】设粽子的原价为x元/个，根据题中的相等关系“ 打折后120元买到的粽子数量=打折前120元买到的粽子数量+6”可列方程.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（2，1），AB∥x轴，AD∥y轴，
∴点B的纵坐标为1，点D的横坐标为2，
∵B、D在反比例函数y=上，
∴B（k，1），D（2，），
∴AB =k-2，AD =-1，
∴矩形ABCD的面积为：AB×AD=（k-2）(-1)=，
解得：k=5或k=-1（舍去，不符合题意）
∴k=5.
故答案为：C.
【分析】由题意可得点B的纵坐标为1，点D的横坐标为2，于是可设B（k，1），D（2，），结合题意将AB、AD用含k的代数式表示出来，根据矩形的面积=长×宽=可得关于k的方程，解方程并结合反比例函数的图象在第一象限可求解.
10．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，
∵在等腰Rt△ACB中，CA=CB，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，
∴CD=AD=BD，CD⊥AB，∠ACD=∠DCB=∠DAC=∠DBC=45°，
∴∠ADC=90°，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC=90°，
∴A、C、F、D四点共圆，
∴∠DFE=∠CAD=45°.
故答案为：C.
【分析】连接CD，由等腰三角形的三线合一可得CD=AD=BD，CD⊥AB，结合AF⊥CE可得A、C、F、D四点共圆，然后根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可得∠DFE=∠CAD=45°，即可得：点E从点D向点B移动过程中（点E不与D、B重合），∠DFE角度的大小不变.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a ( a 2 )
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式，即可解答。
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵ 红色扇形的圆心角为72°，
∴ 指针落在红色区域的概率为：=.
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算可求解.
13．【答案】2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：x=2(2x-3)，
去括号得：x=4x-6，
解得：x=2，
经检验：x=2是原方程的解，
∴原方程的解为：x=2.
故答案为：2.
【分析】根据分式方程的解题步骤“去分母、解整式方程、检验”可求解.
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ 扇形圆心角为60°，半径为2，
∴扇形的面积为：=.
故答案为：π.
【分析】根据扇形的面积公式S=计算即可求解.
15．【答案】5
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图得：AP=PQ=2AB，AB=CD=DQ，
∴AD=5AB，
∴=5.
故答案为：5.
【分析】观察图象可得，AP=PQ=2AB，AB=CD=DQ，结合线段的构成AD=AP+PQ+DQ可将AD用含AB的代数式表示出来，然后代入所求代数式计算即可求解.
16．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∵AB∥EF，
∴∠FEC=∠B=90°，∠FEA=∠EAB，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAP=∠EAB，
∴∠EAP=∠AEF，
∴AF=EF，
由折叠可得：AF=GF，
∴EF=GF；
如图，过点P作PK∥BC，交EF于H，交AE于K，
∴∠PHF=∠FEC=90°，
∴由折叠可得：PK=2PH，AE=GE，
∵PK∥BC，
∴△PFH∽△CFE，△APK∽△ACE，
∴，，
∵PF=PC，
∴，
∴，
∴PH=CE，
∴PK=2PH=CE，
∴，
∴AP=CP，
∵AD∥BC，
∴∠GAP=∠PCE，
在△APG和△CPE中，
∴△APG≌△CPE（ASA）
∴PG=PE，
∵EF=GF，
∴FP垂直平分EG，
∴AG=AE，
∵AE=GE，
∴AG=CE=AE，
∴∠EAG=∠AEG=∠AGE=60°，
∴∠EAP=∠PAG=∠ACB=30°，
∴tan∠ACB=tan30°=.
故答案为：.
【分析】根据角平分线的定义并结合平行线的性质和折叠的性质可得EF=FG；如图，过点P作PK∥BC，交EF于H，交AE于K，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△PFH∽△CFE，△APK∽△ACE，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式，，结合已知可得PH=CE，由折叠可得PK=2PH=CE，结合比例式可得AP=CP，用角边角可得△APG≌△CPE，由全等三角形的对应边相等可得PG=PE，根据等腰三角形的三线合一可得FP垂直平分EG，根据线段的垂直平分线的性质可得AE=AG=EG，由等边三角形的三个角等于60°可得∠EAG=∠AEG=∠AGE=60°，结合已知可得∠EAP=∠PAG=∠ACB=30°，再根据特殊角的三角函数值即可求解.
17．【答案】解：.
=3-1-1=1
【知识点】零指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由特殊角的三角函数值可得sin30°=，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（2025）0=1，由算术平方根的定义可得=3，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解.
18．【答案】解：
由①得2x≤8
x≤4
由②得x-1>2
x>3
不等式组的解为3＜x≤4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意，分别求出每一个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求得不等式组的解集．
19．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=10，
∵DH⊥AB，sin∠A=
∴，
∴DH=×10=8，
∴S菱形ABCD=AB×DH=10×8=80；
（2）解：由（1）得：DH=8，∠AHD=90°，
∴AH==6，
∴BH=AB-AH=10-6=4，
∴BD==.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）由菱形的四条边相等可得AD=AB，根据锐角三角函数sin∠A=可得关于DH的方程，解方程求出DH的值，然后根据菱形的面积=底×高可求解；
（2）在Rt△ADH中，用勾股定理求得AH的值，根据线段的和差BH=AB-AH求出BH的值，在Rt△BDH中，用勾股定理可求解.
20．【答案】（1）解：
，
（2）解：“A”等级有 5 人
名初中生中视力正常的人数为 450 人
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据圆心角=百分比×360°可求得a的值；根据百分比=频数÷样本容量并结合圆心角=百分比×360°可求得C组的频数，然后用C组的频数减去6即可求得m的值；
（2）用样本估计总体可求解.
21．【答案】（1）解：∵PG为AB中垂线
∴
∴
由作图可得
又
∴
∴
∴
（2）解：据题意
∴
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）由线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得GA=GB，由等边对等角可得∠1=∠2，由作图可得AQ平分∠GAP，即∠3=∠2，由等量代换可得∠1=∠3，然后根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可判断求解；
（2）由作图可得：AG=AC，由等边对等角并结合三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得∠AGC=∠C=2∠1，在三角形ABC中，用三角形的内角和等于180°可求解.
22．【答案】（1）解：设函数表达式为y=kx+b，k≠0
∵每超过一个加计4元，
∴k=4
把（100，100）代入y=4x+b
解得b＝-300
函数表达式为y=4x-300
（2）解：方案一的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式为y=2x+20，
100=2x+20，解得x=40
4x-300＝2x+20，解得x=160
由图象可得40（3）解：100-20=2x+20，解得x=30；
4x-300-20=2x+20，解得x=170；
∴这位员工生产了30或170个零件.
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；一次函数的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设函数表达式为y=kx+b，k≠0，由题意易得k=4，由图可知，直线经过点（100，100），用待定系数法可求解；
（2）由题意可得：方案一的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式为y=2x+20，由题意把y=100代入方案一的解析式求出x的值；再把方案二的解析式代入方案一的解析式可得关于x的方程，解方程求出x的值，于是结合图象可得方案一的工资比选择方案二的工资多的x的取值范围；
（3）根据题意“ 乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元”可得关于x的一元一次方程，解之即可求解.
23．【答案】（1）解：①把（2，-1）代入y=ax2-(3a+1)x+3，解得a=1
∴二次函数解析式为y＝x2-4x+3＝(x-2)2-1
②x=2在“-1≤x≤3”范围内
∴当x＝2时，y最小=-1
当x＝-1时，y最大=8
∴-1≤y≤8
（2）解：当 时，
当时，
当时
当时
＜y3＜y1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①由题意，用待定系数法可求解；
②结合①的解析式，根据二次函数的性质并结合x的范围可得：当x＝2时，y有最小值；根据二次函数的性质“当二次项系数a＞0时，与对称轴距离越大，对应的函数值越大”可得当x＝-1时，y有最大值，代入解析式计算可求解；
（2）将三个点的横坐标代入二次函数的解析式计算可得y1、y2、y3的值，比较大小即可判断求解.
24．【答案】（1）解：①据题意∠1=∠2=45°
∠BCE=∠DCB
∴△BCE∽△DCB
②作，垂足为H
∴△ADH为等腰直角三角形
（2）解：四边形 PEQO 为菱形，证明如下：
∴
即
又
P、Q 分别为 AB、CD 的中点
，
∴PE=QE
易证△DCB≌△ABC
∴∠1=∠DBC
又∵AC⊥BD
∠1=45°
∴∠AOB=2∠1=90°
OP=AB
同理OQ=CD
∴PE =QE=OQ=OP
∴四边形PEQO为菱形
【知识点】菱形的判定；圆的综合题；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）①由同弧所对的圆周角相等可得∠1=∠2，结合图形，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
②作AH⊥DB于点H，根据“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等”可得∠3=×90°=45°，于是可得三角形ADH是等腰直角三角形，用勾股定理可求得AH=DH的值，由线段的和差BH=BD-DH求得BH的值，然后根据锐角三角函数tan∠4=tan∠5=可得关于DC的方程，解方程可求解；
（2）四边形 PEQO 为菱形，证明如下：根据“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等”和弧的和差可得：，则DC=AB，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PE=AB，QE=DC，则PE=QE，由题意可得△DCB≌△ABC，由全等三角形的对应角相等可得∠1=∠DBC，根据圆周角定理可得∠AOB=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP=AB，同理可得OQ=CD，于是可得PE=QE=OQ=OP，然后根据四边都相等的四边形是菱形可判断求解.
1 / 1浙江省浙里2025年中考考前对标适应性考试三模数学试题
1．（2025·浙里三模）有-2，0，，四个数，其中最小的数是（ ）
A．-2 B．0 C．π D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵-2＜0＜＜π，
∴最小的数为-2.
故答案为：A.
【分析】根据实数大小的比较法则"1.正实数都大于0，负实数都小于0；2.正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小；3.在数轴上，右边的数要比左边的大"并结合题意即可判断求解.
2．（2025·浙里三模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同类项的概念；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵2a2-a2=a2≠2，
∴此选项不符合题意；
B、∵a2与a3不是同类项，不能合并，
∴此选项不符合题意；
C、∵（）3=a3≠a3，
∴此选项不符合题意；
D、∵（a2）3=a6，
∴此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知a2和a3不是同类项，所以不能合并；
C、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
3．（2025·浙里三模）如图，由6个棱长均为1的立方体组成的几何体，它的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，左侧有3个小正方体，右侧有1个小正方体，
∴它的左视图为：.
故答案为：D.
【分析】根据左视图是从左面看所得到的图形可判断求解.
4．（2025·浙里三模）2024年浙江省GDP总产值为90100亿元，数90100用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：90100=9.01×104.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合各选项即可求解.
5．（2025·浙里三模）如图，，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵，
∴，
∴=.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"可得比例式并结合比例的性质即可求解.
6．（2025·浙里三模）如图所示网格中，线段AB是由线段CD位似放大而成，则位似中心是（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【答案】B
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图，连接CA、DB，并延长，交点即为它们的位似中心，
∴它们的位似中心是P2.
故答案为：B.
【分析】连接CA、DB，并延长，交点即为它们的位似中心，结合图形即可求解.
7．（2025·浙里三模）某公司招聘技术人员，需对应聘者进行测试，测试项目包括基础知识、操作能力、创新能力，并规定上述三项成绩依次按30%，30%，40%的比例计入总成绩，某应聘者的测试成绩统计如下：
项目 基础知识 操作能力 创新能力
成绩 85 90 95
则此应聘者的总成绩是（ ）
A．90.5 B．90 C．89.5 D．88.5
【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：应聘者的总成绩为：85×30%+90×30%+95×40%=90.5.
故答案为：A.
【分析】根据加权平均数的计算方法可求解.
8．（2025·浙里三模）端午节是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗，端午节期间，某商店对一款粽子推出优惠活动，决定每个粽子打八折，打折后120元买到的粽子数量比打折前多了6个，设粽子的原价为x（元/个），可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设粽子的原价为x（元/个），
由题意得：.
故答案为：A.
【分析】设粽子的原价为x元/个，根据题中的相等关系“ 打折后120元买到的粽子数量=打折前120元买到的粽子数量+6”可列方程.
9．（2025·浙里三模）如图，矩形ABCD的面积为，A点的坐标为（2，1），轴，轴，若反比例函数的图像过点B、D，则k的值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（2，1），AB∥x轴，AD∥y轴，
∴点B的纵坐标为1，点D的横坐标为2，
∵B、D在反比例函数y=上，
∴B（k，1），D（2，），
∴AB =k-2，AD =-1，
∴矩形ABCD的面积为：AB×AD=（k-2）(-1)=，
解得：k=5或k=-1（舍去，不符合题意）
∴k=5.
故答案为：C.
【分析】由题意可得点B的纵坐标为1，点D的横坐标为2，于是可设B（k，1），D（2，），结合题意将AB、AD用含k的代数式表示出来，根据矩形的面积=长×宽=可得关于k的方程，解方程并结合反比例函数的图象在第一象限可求解.
10．（2025·浙里三模）如图，在等腰Rt△ACB中，CA=CB，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，点E在BD上，连结CE，作AF⊥CE于点F，连结DF，则点E从点D向点B移动过程中（点E不与D、B重合），∠DFE角度的大小为（ ）
A．由小变大 B．由大变小 C．不变 D．不能确定
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，
∵在等腰Rt△ACB中，CA=CB，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，
∴CD=AD=BD，CD⊥AB，∠ACD=∠DCB=∠DAC=∠DBC=45°，
∴∠ADC=90°，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC=90°，
∴A、C、F、D四点共圆，
∴∠DFE=∠CAD=45°.
故答案为：C.
【分析】连接CD，由等腰三角形的三线合一可得CD=AD=BD，CD⊥AB，结合AF⊥CE可得A、C、F、D四点共圆，然后根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可得∠DFE=∠CAD=45°，即可得：点E从点D向点B移动过程中（点E不与D、B重合），∠DFE角度的大小不变.
11．（2025·浙里三模）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a ( a 2 )
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式，即可解答。
12．（2025·浙里三模）一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为72°，让转盘自由转动，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是 .
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵ 红色扇形的圆心角为72°，
∴ 指针落在红色区域的概率为：=.
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算可求解.
13．（2025·浙里三模）若=2，则x= .
【答案】2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：x=2(2x-3)，
去括号得：x=4x-6，
解得：x=2，
经检验：x=2是原方程的解，
∴原方程的解为：x=2.
故答案为：2.
【分析】根据分式方程的解题步骤“去分母、解整式方程、检验”可求解.
14．（2025·浙里三模）若扇形圆心角为60°，半径为2，则该扇形的面积为 .
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ 扇形圆心角为60°，半径为2，
∴扇形的面积为：=.
故答案为：π.
【分析】根据扇形的面积公式S=计算即可求解.
15．（2025·浙里三模）如图，将左边矩形纸片ABCD沿虚线剪开并拼接成了右边正方形EFGH，则 .
【答案】5
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图得：AP=PQ=2AB，AB=CD=DQ，
∴AD=5AB，
∴=5.
故答案为：5.
【分析】观察图象可得，AP=PQ=2AB，AB=CD=DQ，结合线段的构成AD=AP+PQ+DQ可将AD用含AB的代数式表示出来，然后代入所求代数式计算即可求解.
16．（2025·浙里三模）如图，在矩形ABCD中，AE平分交BC于点E，交AC于点F，将沿EF折叠得到，EG交AC于点P，若，则 .
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∵AB∥EF，
∴∠FEC=∠B=90°，∠FEA=∠EAB，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAP=∠EAB，
∴∠EAP=∠AEF，
∴AF=EF，
由折叠可得：AF=GF，
∴EF=GF；
如图，过点P作PK∥BC，交EF于H，交AE于K，
∴∠PHF=∠FEC=90°，
∴由折叠可得：PK=2PH，AE=GE，
∵PK∥BC，
∴△PFH∽△CFE，△APK∽△ACE，
∴，，
∵PF=PC，
∴，
∴，
∴PH=CE，
∴PK=2PH=CE，
∴，
∴AP=CP，
∵AD∥BC，
∴∠GAP=∠PCE，
在△APG和△CPE中，
∴△APG≌△CPE（ASA）
∴PG=PE，
∵EF=GF，
∴FP垂直平分EG，
∴AG=AE，
∵AE=GE，
∴AG=CE=AE，
∴∠EAG=∠AEG=∠AGE=60°，
∴∠EAP=∠PAG=∠ACB=30°，
∴tan∠ACB=tan30°=.
故答案为：.
【分析】根据角平分线的定义并结合平行线的性质和折叠的性质可得EF=FG；如图，过点P作PK∥BC，交EF于H，交AE于K，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△PFH∽△CFE，△APK∽△ACE，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式，，结合已知可得PH=CE，由折叠可得PK=2PH=CE，结合比例式可得AP=CP，用角边角可得△APG≌△CPE，由全等三角形的对应边相等可得PG=PE，根据等腰三角形的三线合一可得FP垂直平分EG，根据线段的垂直平分线的性质可得AE=AG=EG，由等边三角形的三个角等于60°可得∠EAG=∠AEG=∠AGE=60°，结合已知可得∠EAP=∠PAG=∠ACB=30°，再根据特殊角的三角函数值即可求解.
17．（2025·浙里三模）计算：.
【答案】解：.
=3-1-1=1
【知识点】零指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由特殊角的三角函数值可得sin30°=，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（2025）0=1，由算术平方根的定义可得=3，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解.
18．（2025·浙里三模）解不等式组：
【答案】解：
由①得2x≤8
x≤4
由②得x-1>2
x>3
不等式组的解为3＜x≤4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意，分别求出每一个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求得不等式组的解集．
19．（2025·浙里三模）如图，在菱形ABCD中，，作，连结BD.
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求BD的长.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=10，
∵DH⊥AB，sin∠A=
∴，
∴DH=×10=8，
∴S菱形ABCD=AB×DH=10×8=80；
（2）解：由（1）得：DH=8，∠AHD=90°，
∴AH==6，
∴BH=AB-AH=10-6=4，
∴BD==.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）由菱形的四条边相等可得AD=AB，根据锐角三角函数sin∠A=可得关于DH的方程，解方程求出DH的值，然后根据菱形的面积=底×高可求解；
（2）在Rt△ADH中，用勾股定理求得AH的值，根据线段的和差BH=AB-AH求出BH的值，在Rt△BDH中，用勾股定理可求解.
20．（2025·浙里三模）为了解某校初中学生的视力情况，随机抽取了该校50名初中生进行调查，并将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表，根据视力的不同水平，将视力分为正常视力、轻度近视、中度近视及重度近视四个等级分别记为“A”、“B”、“C”、“D”等级.
50名初中生视力情况人数分布表
等级 视力 人数
A 1.0及以上
B 0.9 8
0.8 10
C 0.7 6
0.6 m
D 0.5及以下 15
（1）请计算图表中a、m的值.
（2）请你估算本校4500名学生中视力正常的人数.
【答案】（1）解：
，
（2）解：“A”等级有 5 人
名初中生中视力正常的人数为 450 人
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据圆心角=百分比×360°可求得a的值；根据百分比=频数÷样本容量并结合圆心角=百分比×360°可求得C组的频数，然后用C组的频数减去6即可求得m的值；
（2）用样本估计总体可求解.
21．（2025·浙里三模）尺规作图问题：已知△ABC，过点A作直线AP，使得AP//BC.
如图是小聪同学的作法：
①作AB的垂直平分线，交AB于点Q，交直线BC于点G；
②以A为圆心，AG长为半径作弧，交直线QG于点P，连结AP，则AP//BC.
（1）请说明AP//BC的理由；
（2）小聪在作图时发现以A为圆心，AG长为半径的弧会过点C，若∠B=35°，求∠BAC
的度数.
【答案】（1）解：∵PG为AB中垂线
∴
∴
由作图可得
又
∴
∴
∴
（2）解：据题意
∴
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）由线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得GA=GB，由等边对等角可得∠1=∠2，由作图可得AQ平分∠GAP，即∠3=∠2，由等量代换可得∠1=∠3，然后根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可判断求解；
（2）由作图可得：AG=AC，由等边对等角并结合三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得∠AGC=∠C=2∠1，在三角形ABC中，用三角形的内角和等于180°可求解.
22．（2025·浙里三模）某工厂员工生产一款零件，员工的日工资结算方案如下：
方案一：基本工资每天20元，每生产一个零件加计2元，
方案二：当生产数量不超过100个时，发基本工资每天100元，每超过一个加计4元.
如图所示是日工资y（元）关于生产数量х（个）的函数图象，
（1）求x>100时，方案二的日工资y（元）关于生产数量х（个）的函数表达式；
（2）甲员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，求甲员工生产的零件个数的范围；
（3）乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元，则乙员工生产了多少个零件？
【答案】（1）解：设函数表达式为y=kx+b，k≠0
∵每超过一个加计4元，
∴k=4
把（100，100）代入y=4x+b
解得b＝-300
函数表达式为y=4x-300
（2）解：方案一的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式为y=2x+20，
100=2x+20，解得x=40
4x-300＝2x+20，解得x=160
由图象可得40（3）解：100-20=2x+20，解得x=30；
4x-300-20=2x+20，解得x=170；
∴这位员工生产了30或170个零件.
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；一次函数的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设函数表达式为y=kx+b，k≠0，由题意易得k=4，由图可知，直线经过点（100，100），用待定系数法可求解；
（2）由题意可得：方案一的日工资y（元）关于生产数量x（个）的函数表达式为y=2x+20，由题意把y=100代入方案一的解析式求出x的值；再把方案二的解析式代入方案一的解析式可得关于x的方程，解方程求出x的值，于是结合图象可得方案一的工资比选择方案二的工资多的x的取值范围；
（3）根据题意“ 乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元”可得关于x的一元一次方程，解之即可求解.
23．（2025·浙里三模）已知二次函数.
（1）若二次函数经过点，
①求二次函数解析式；
②当时，求y的取值范围；
（2）若，点、、在二次函数图象上，请比较，，的大小.
【答案】（1）解：①把（2，-1）代入y=ax2-(3a+1)x+3，解得a=1
∴二次函数解析式为y＝x2-4x+3＝(x-2)2-1
②x=2在“-1≤x≤3”范围内
∴当x＝2时，y最小=-1
当x＝-1时，y最大=8
∴-1≤y≤8
（2）解：当 时，
当时，
当时
当时
＜y3＜y1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①由题意，用待定系数法可求解；
②结合①的解析式，根据二次函数的性质并结合x的范围可得：当x＝2时，y有最小值；根据二次函数的性质“当二次项系数a＞0时，与对称轴距离越大，对应的函数值越大”可得当x＝-1时，y有最大值，代入解析式计算可求解；
（2）将三个点的横坐标代入二次函数的解析式计算可得y1、y2、y3的值，比较大小即可判断求解.
24．（2025·浙里三模）已知四边形ABCD内接于，对角线AC与BD交于点E.
（1）如图1，若AC为直径，点B是中点，，.
①求证：；
②求DC的长；
（2）如图2，若，，且AC、BD不过点O，P、Q分别为AB、CD的中点，连结PE、EQ、QO、OP，试猜想四边形PEQO的形状，并证明你的猜想.
【答案】（1）解：①据题意∠1=∠2=45°
∠BCE=∠DCB
∴△BCE∽△DCB
②作，垂足为H
∴△ADH为等腰直角三角形
（2）解：四边形 PEQO 为菱形，证明如下：
∴
即
又
P、Q 分别为 AB、CD 的中点
，
∴PE=QE
易证△DCB≌△ABC
∴∠1=∠DBC
又∵AC⊥BD
∠1=45°
∴∠AOB=2∠1=90°
OP=AB
同理OQ=CD
∴PE =QE=OQ=OP
∴四边形PEQO为菱形
【知识点】菱形的判定；圆的综合题；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）①由同弧所对的圆周角相等可得∠1=∠2，结合图形，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
②作AH⊥DB于点H，根据“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等”可得∠3=×90°=45°，于是可得三角形ADH是等腰直角三角形，用勾股定理可求得AH=DH的值，由线段的和差BH=BD-DH求得BH的值，然后根据锐角三角函数tan∠4=tan∠5=可得关于DC的方程，解方程可求解；
（2）四边形 PEQO 为菱形，证明如下：根据“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等”和弧的和差可得：，则DC=AB，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PE=AB，QE=DC，则PE=QE，由题意可得△DCB≌△ABC，由全等三角形的对应角相等可得∠1=∠DBC，根据圆周角定理可得∠AOB=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP=AB，同理可得OQ=CD，于是可得PE=QE=OQ=OP，然后根据四边都相等的四边形是菱形可判断求解.
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