23.3.4相似三角形的应用 教案 华东师大版（2024）数学九年级上册

4.相似三角形的应用
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.通过典型事例认识现实生活中物体的相似,能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.
2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学建模的思想,培养分析问题、解决问题的能力.
重点:能熟练应用相似三角形的有关性质解决实际问题.
难点:在实际问题中建立数学模型.
运用前面所学的知识填空:
(一)相似三角形的判定方法
1.两角　分别相等　的两个三角形相似.
2.两边对应　成比例　且　夹角　相等的两个三角形相似.
3.　三边对应　成比例的两个三角形相似.
(二)相似三角形的性质
1.　对应角　相等,　对应边　成比例.
2.　对应角平分线　的比、对应高的比、对应中线的比都等于相似比.
3.周长的比等于相似比.
4.面积的比　等于相似比的平方　.
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让学生明确:利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度问题及两物体之间的距离问题.
知识点1　测量不易直接测量的物体的高度
1.古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:如图所示,为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O'B',比较木棒的影长 A'B' 与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB.如果O'B'=
1 m,A'B'=2 m,AB=274 m,求金字塔的高度OB.
解:因为太阳光线是平行光线,
所以∠OAB=∠O'A'B'.
又因为∠OBA=∠O'B'A'=90°,
所以△OAB∽△O'A'B'.
所以=.
所以OB===137(m).
答:金字塔的高度OB为137 m.
[归纳] 在同一时刻,太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等.利用太阳光测量物体的高度需要注意:
(1)由于太阳相对于地面的位置在不停地改变,影长也随着太阳位置的变化而发生变化,因此要在同一时刻测量影长;
(2)被测物体的底部必须在可以到达的地方,否则,测不到被测物体的影长,从而计算不出物体的高;
(3)表达式:物高1∶物高2=影长1∶影长2.
2.如图所示,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面平面镜,向后退到B处,恰好在平面镜中看到楼的顶部E;再将平面镜放到C处,然后后退到D处,恰好再次在平面镜中看到楼的顶部E(O,A,
B,C,D在同一条直线上),测得AC=2 m,BD=2.1 m,如果小明眼睛距地面高度BF(DG)为1.6 m,试确定楼的高度OE.
解:令OE=a m,AO=b m,CB=x m,
则由△GDC∽△EOC,得=,
即=.
整理,得3.2+1.6b=2.1a-ax①,
由△FBA∽△EOA,得=,
即=,
整理,得1.6b=2a-ax②,
将②代入①,得3.2+2a-ax=2.1a-ax,
所以a=32,即OE=32 m,
答:楼的高度OE为32 m.
[归纳] 本题考查了相似三角形的应用.解题时要应用镜面反射的基本性质,得出三角形相似,再运用相似三角形对应边成比例即可解答.
知识点2　测量不易直接测量的物体的宽度
如图所示,为了估算河的宽度,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和C,使AB⊥BC,然后,再选定点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=118 m,DC=61 m,EC=50 m,求河的宽度AB.　
解:因为∠ADB=∠EDC,∠ABD=∠ECD=90°,
所以△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似).
所以=.
解得AB==≈96.7( m).
答:河的宽度AB约为96.7 m.
[点拨] 另一种解法:我们还可以在河对岸选定一目标点A,再在河的一边选点D和E,使DE⊥AD,然后,再选点B,作BC∥DE,与视线EA相交于点C.此时,测得DE,BC,BD,就可以求两岸间的大致距离AB了.
[归纳] 利用相似测量不能直接到达的两点间的距离,关键是构造相似三角形,构造的相似三角形可以为“A”字型,也可以为“X”字型,并测量出必要的数据,然后根据相似三角形的性质求出所要求的两点间的距离.
知识点3　利用相似三角形测量有遮挡的物体
已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8 m和CD=12 m,两树底部的距离BD=5 m.一个人估计自己眼睛距地面 1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点C了
解:如图所示,作EG∥l交AB于点H,交CD于点K.假设观察者从左向右走到点E时,她的眼睛的位置点E与两棵树顶端点A,C恰在一条直线上.
由题意可知,AB⊥l,CD⊥l,
所以AB∥CD,△AEH∽△CEK.
所以=,
即==,
解得EH=8 m.
由此可知,如果观察者继续前进,即她与左边树的距离小于8 m时,由于这棵树的遮挡,右边树的顶端点C在观察者的盲区之内,观察者看不到它.
[归纳] 解决和人眼观察有关的问题,可以从人眼所在的部位向物体作垂线,根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型,利用相似三角形对应边的比相等解决问题.
1.身高1.6 m的小明在阳光下的影长是0.4 m,同一时刻同一地点测得某旗杆的影长为5 m,则该旗杆的高度是(C)
A.1.25 m B.10 m C.20 m D.8 m
2.如图所示,利用标杆BE测量建筑物CD的高度.已知标杆BE高1.2 m,测得AB=1.6 m,BC=12.4 m,则建筑物CD的高是(B)
A.9.3 m B.10.5 m C.12.4 m D.14 m
第2题图 第3题图
3.如图所示,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5 m有一棵树,在北岸边每隔50 m有一根电线杆,小丽站在离南岸边15 m的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则河宽为　22.5　 m.
4.如图所示,在离某建筑物4 m处有一棵树AB,在某时刻,将1.2 m长的竹竿A'B'竖直立在地面上,影长为2 m,此时,树的影子照射到地面,还有一部分影子投影在建筑物的墙上,墙上的影子长为2 m,那么这棵树高约为　4.4　m.
5.如图所示,小明站在灯光下,投在地面上的身影AB=1.125 m,蹲下后,身影AC=0.5 m,已知小明的身高AD=1.6 m,蹲下时的高度等于站立高度的一半,求灯离地面的高度PH.
解:因为AD∥PH,
所以△ADB∽△HPB,△AMC∽△HPC.
所以=,=.
又因为AB=1.125 m,AD=1.6 m,
AM=AD=0.8 m,AC=0.5 m,
所以=,=,
解得AH=4.5 m,PH=8 m.
故灯离地面的高度PH为8 m.
相似三角形的应用
1.测量不易直接测量的物体的高度:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
2.测量不易直接测量的物体的宽度:测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
3.利用相似解决有遮挡物问题:解决和人眼观察有关的问题,可以从人眼所在的部位向物体作垂线,根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型,利用相似三角形对应边的比相等解决问题.
4.相似三角形的应用
1.测量不易直接测量的物体的高度.
2.测量不易直接测量的物体的宽度.
3.利用相似解决有遮挡物问题.
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