初中数学华东师大版九年级上册 24.4　解直角三角形（第1---3课时）教学设计

24.4　解直角三角形
第1课时　解直角三角形
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.理解解直角三角形的意义.
2.理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解决简单问题.
3.通过观察、猜想等数学活动过程,提高自己的逻辑推理能力.
重点:掌握解直角三角形的方法.
难点:能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.
思考:在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)根据∠A=60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗
(2)根据AC=,BC=,你能求出这个三角形的其他元素吗
(3)根据∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个三角形的其他元素吗
解:(1)能.
(2)能.
(3)不能.
问题1:
1.如图所示,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5 m处折断倒下,树顶落在离树根12 m处.大树在折断之前高多少
解:将实物图抽象成如图所示的直角三角形ABC,
由勾股定理,得AB===13.
所以大树高13+5=18(m).
答:大树在折断之前高为18 m.
2.第1题中,∠A,∠B可求吗
解:可求.
[归纳] 解直角三角形概念:
在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.
问题2:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=2,解直角三角形.
解:在Rt△ABC中,AC==,sin A==,
所以∠A=60°.
所以∠B=90°-60°=30°.
[归纳] (1)已知两条边的情况:勾股定理求边;三角函数求角.
(2)已知一个锐角和一条边的情况:根据两锐角互余求角;根据三角函数求边.
(3)解直角三角形的依据:
①三边之间的关系:a2+b2=c2;
②锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;
③边角之间的关系:sin A=,cos A=,tan A=;
④面积公式:S△ABC=a·b=c·h.
范例应用
例1　某岛屿的平面图如图(1)所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图(2)所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15 km,CD=3 km.
请据此解答如下问题:
(1)求该岛的周长和面积;(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.449)
(2)连结AC,求∠ACD的余弦值.
解:(1)因为AB=BC=15 km,∠B=90°,
所以∠BAC=∠ACB=45°.
所以AC==15(km).
又因为∠D=90°,
所以AD===12(km),
所以周长为AB+BC+CD+DA=30+3+12≈55(km),
面积为S△ABC+S△ADC=×15×15+×3×12≈157(km2).
(2)在Rt△ACD中,cos∠ACD===.
[方法归纳]解决四边形问题通常通过辅助线分割成直角三角形来解决.正确作出辅助线是关键.
例2　如图所示,在△ABC中,AB=1,AC=,sin B=,求BC的长.
[点拨]要求的BC边不在直角三角形中,已知条件中有∠B的正弦值,作BC边上的高,将∠B置于直角三角形中,利用解直角三角形就可解决问题.
解:如图所示,过点A作AD⊥BC于点D.
因为AB=1,sin B=,
所以AD=AB·sin B=1×=.
所以BD===.
所以CD===.
所以BC=CD+BD=+=.
[方法归纳]通过作垂线(高),将斜三角形分割成两个直角三角形,然后利用解直角三角形来解决边或角的问题,这种“化斜为直”的思想很常见.在作垂线时,要结合已知条件,充分利用已知条件,如本题若过B点作AC的垂线,则∠B的正弦值就无法利用.
例3　如图所示,C处是一钻井平台,位于某港口A的北偏东60°方向上,与港口A相距60 n mile,一艘摩托艇从A出发,自西向东航行至B时,改变航向以每小时50 n mile的速度沿BC方向行进,此时C位于B的北偏西45°方向,则从B到达C处需要多少小时
解:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D,则∠CDA=∠CDB=90°,
由题意,得∠MAC=60°,∠NBC=45°,AC=60 n mile,
在Rt△ACD中,∠CAD=∠MAB-∠MAC=90°-60°=30°,sin∠CAD=,
所以CD=AC·sin∠CAD=60×=30(n mile).
在Rt△BCD中,∠CBD=∠NBD-∠NBC=90°-45°=45°,sin∠CBD=,
所以BC===60(n mile).
所以60÷50=1.2(h).
答:从B处到达C处需要1.2 h.
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=6,则AB等于(D)
A.4 B.6 C.8 D.10
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=2,则∠B的度数是(A)
A.30° B.45° C.60° D.75°
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连结BD.若cos∠BDC=,则BC的长是(D)
A.10 B.8 C.4 D.2
第3题图 第4题图 第5题图
4.如图所示,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔60 n mile的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离为(B)
A.60 n mile B.60 n mile C.30 n mile D.30 n mile
5.如图所示,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,cos C=,则AB边的长为　　.
6.已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,c=8,解这个直角三角形.
解:∠B=90°-∠A=30°.
因为sin A=,
所以a=c·sin 60°=8×=12.
因为cos A=,
所以b=c·cos 60°=8×=4.
7.如图所示,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A=60°,求BC的长;
(2)若sin A=,求AD的长.
解:(1)因为∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tan A=,
所以∠E=30°,BE=6·tan 60°=6.
又因为∠CDE=90°,CD=4,
所以CE=2CD=8.
所以BC=BE-CE=6-8.
(2)因为∠ABE=90°,AB=6,sin A==,
所以设BE=4x,则AE=5x.
所以AB==3x,
所以3x=6,解得x=2.
所以BE=8,AE=10.
所以tan E====,
解得DE=.
所以AD=AE-DE=10-=,
即AD的长是.
解直角三角形
1.解直角三角形的定义
在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.
2.直角三角形的边角关系
(1)三边关系:a2+b2=c2.;
(2)两锐角关系:∠A+∠B=90°;
(3)边角关系:sin A=cos B=,cos A=sin B=,tan A=,tan B=.
3.解直角三角形的两种情况
(1)已知两条边;
(2)已知一条边和一个锐角.
24.4　解直角三角形
第1课时　解直角三角形
1.解直角三角形的主要依据:
(1)勾股定理;
(2)锐角之间的关系;
(3)边角关系:正弦、余弦、正切.
2.解直角三角形,只有下面两种情况可解:
(1)已知两边;
(2)已知一边和一个锐角.
3.方向角问题.
　　首先让学生知道什么叫解直角三角形,直角三角形三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系,正确选用这些关系是正确、迅速解直角三角形的关键.解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此在处理例题时,首先让学生独立完成,培养学生分析问题和解决问题的能力,同时渗透数形结合的思想.
第2课时　仰角和俯角的问题
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.了解仰角、俯角、方向角的概念,能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.
2.通过借助辅助线解决实际问题,使学生掌握数形结合、抽象归纳的思想方法.
3.感知本节与实际生活的密切联系,认识知识应用于实践的意义.
重点:能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.
难点:在实际问题中抽象出直角三角形,解直角三角形.
如图所示，小明的教室在教学楼的二楼A点处,一天,他站在教室的窗台前看操场上的旗杆,心想:“站在二楼可以利用解直角三角形测得旗杆的高度吗 ”他望着旗杆顶端和旗杆底部,可以测得视线与水平线之间的夹角各一个,但是,这两个角怎样命名区别呢
知识点　仰角和俯角问题
阅读教材P113~114内容,完成下列问题.
在进行观察或测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做　仰角　;
从上往下看,视线与水平线的夹角叫做　俯角　.
[归纳](1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;
(2)仰角和俯角都是锐角.
范例应用
例1　如图所示,为了测量旗杆的高度BC,在离旗杆底部10 m的A处,用高1.50 m的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°,求旗杆BC的高度.(精确到0.1 m)
解:在Rt△CDE中,因为CE=DE×tan α=AB×tan α=10×tan 52°≈12.8(m),
所以BC=BE+CE=DA+CE≈1.50+12.80=14.3(m).
答:旗杆BC的高度约为14.3 m.
[方法归纳]解决仰角、俯角问题时要注意合理构造、选择直角三角形,注意不要忘了计算身高或测角仪的高度.
例2　两座建筑物DA与CB,其地面距离DC为50.4 m,从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角α=20°,测得其底部C的俯角β=35°.求这两座建筑物的高度.(精确到0.1 m)
解:由题意,知AD=EC,AE=CD=50.4 m,
在Rt△AEC中,tan β=,
则AD=EC=AE·tan β≈50.4×0.7=35.28≈35.3(m),
在Rt△ABE中,tan α=,
则BE=AE·tan α≈50.4×0.36≈18.14(m).
所以BC=BE+EC≈53.4(m).
即建筑物DA的高度为35.3 m,建筑物CB的高度为53.4 m.
例3　小敏同学测量一建筑物CD的高度,她站在B处仰望楼顶C,测得仰角为30°,再往建筑物方向走30 m,到达点F处测得楼顶C的仰角为45°(B,F,D在同一直线上).已知小敏的眼睛与地面距离为1.5 m,求该建筑物CD的高度.(参考数据:≈1.732,≈1.414,结果精确到1 m)
解:如图所示,延长AE交CD于点G.
设CG=x m.在Rt△ECG中,∠CEG=45°,则EG=CG=x m.
在Rt△ACG中,因为∠CAG=30°,tan∠CAG=,
所以AG==x m.
因为AG-EG=AE,
所以x-x=30,解得x=15(+1).
故CD=15(+1)+1.5≈42(m),
即该建筑物CD的高度约为42 m.
1.如图所示,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度,将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上,若测角仪的高度是1.5 m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°,则教学楼的高度是(C)
A.55.5 m B.54 m C.19.5 m D.18 m
第1题图 第2题图
2.如图所示,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A,B在同一水平面上).为了测量A,B两地之间的直线距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800 m到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A,B两地之间的距离为(D)
A.800sin α m B.800tan α m C. m D. m
3.某校数学社团的同学对“某塔”的高度进行了测量.如图所示,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进60 m至B处,测得仰角为60°.若学生的身高忽略不计,则该塔CD的高度约为　51　m.(≈1.7,结果精确到1 m)
4.如图所示,A,B两个小岛相距10 km,一架直升机由B岛飞往A岛,其飞行高度一直保持在海平面以上的h km,当直升机飞到P处时,由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°.已知A,B,P和海平面上一点M都在同一个平面上,且M位于P的正下方,求h.(结果取整数,≈1.732)
解:由题意,得∠PAB=60°,∠PBA=45°,AB=10 km.
在Rt△APM和Rt△BPM中,
tan∠PAB==,tan∠PBA==1,
所以AM=h km,BM=h km.
因为AM+BM=AB=10 km,
所以h+h=10,
解得h=15-5≈6.
5.如图所示,无人机在离地面60 m的C处,观测楼房顶部B的俯角为30°,观测楼房底部A的俯角为60°,求楼房AB的高度.
解:如图所示,过点B作BE⊥CD于点E,
由题意,得∠CBE=30°,∠CAD=60°,
在Rt△ACD中,tan∠CAD=tan 60°==,
所以AD==20(m).
因为∠BED=∠BAD=∠ADE=90°,
所以四边形ADEB是矩形.
所以BE=AD=20 m.
在Rt△BCE中,tan∠CBE=tan 30°==,
所以CE=20×=20(m).
所以ED=CD-CE=60-20=40(m).
所以AB=ED=40 m.
答:楼房AB的高度为40 m.
仰角和俯角的问题
1.仰角和俯角的问题
视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在水平线下方的角叫做俯角.仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的,可记为“上仰下俯”.
2.运用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤
(1)将实际问题抽象成数学问题.
(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数,运用直角三角形的有关性质,解直角三角形.
(3)得到数学问题的答案.
(4)得到实际问题的答案.
第2课时　仰角和俯角的问题
1.仰角和俯角的概念.
2.用仰角和俯角解决实际问题.
3.例题.
　　本节课从学生的生活经验出发,让学生理解仰角、俯角的概念,并结合图形识别,选取几个不同类型的例题,不断深化对解决实际问题的思维方法训练,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.
第3课时　坡度的问题
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.理解、掌握测量中坡角、坡度的概念.
2.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题.
重点:坡度与坡角的概念和关系,解与坡度有关的实际问题.
难点:解与坡度有关的实际问题.
运用前面所学的知识填空:
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则各元素之间有以下关系:
(1)三边之间的关系:　a2+b2=c2　;
(2)锐角之间的关系:　∠A+∠B=90°　;
(3)边角之间的关系:
sin A=　　,cos A=　　,tan A=　　.
知识点　坡度与坡角
阅读教材P115~116内容,完成下列问题.
1.坡角:坡面与水平面的夹角叫做　坡角　,记作α.
2.坡度(或坡比):坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的　坡度　(或坡比),记作i,即i=,坡度通常写成1∶m的形式,如i=1∶6.
3.坡度与坡角的关系
①i=　　=　tan α　;
②坡度等于坡角的正切值,坡度越大,坡角α就越大,坡面就越陡.
[注意]坡角是角度有度数;坡度是比值没有单位.
范例应用
例1　如图所示,一段路基的横断面是梯形,高为4.2 m,上底的宽是12.51 m,其坡面的坡角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1 m)
解:如图所示,作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为点E,F.
由题意,知DE=CF=4.2 m,EF=CD=12.51 m.
在Rt△ADE中,
因为tan∠DAE=tan 32°==,
所以AE=≈6.72(m).
在Rt△BCF中,同理可得BF=≈7.90(m).
所以AB=AE+EF+BF=6.72+12.51+7.90≈27.1(m).
答:路基下底的宽约为27.1 m.
例2　如图所示,为测量一座山峰CF的高度,将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段,每一段山坡近似是“直”的,测得坡长AB=800 m,BC=200 m,坡角∠BAF=30°,∠CBE=45°.
(1)求AB段山坡的高度EF;
(2)求山峰的高度CF.(≈1.414,≈1.732.结果精确到1 m)
解:(1)如图所示,过点B作BH⊥AF于点H.
在Rt△ABH中,因为sin∠BAH=,
所以BH=AB·sin∠BAH=800·sin 30°=400(m),
因为∠BHF=∠F=∠BEF=90°,
所以四边形BHFE是矩形.
所以EF=BH=400 m.
故AB段山坡的高度EF为400 m.
(2)在Rt△CBE中,因为sin∠CBE=,
所以CE=BC·sin∠CBE=200·sin 45°=100(m).
所以CF=CE+EF=100+400≈541(m).
故山峰的高度CF约为541 m.
例3　如图所示,大楼AN上悬挂一条幅AB,小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°.沿坡面向下走到坡脚E处,然后向大楼方向继续行走10 m来到C处,测得条幅的底部B的仰角为45°,此时小颖距大楼底端N处20 m.已知坡面DE=20 m,山坡的坡度i=1∶(即tan∠DEM=1∶),且D,M,E,C,N,B,A在同一平面内,点E,C,N在同一条直线上,求条幅AB的长度.(结果精确到1 m,参考数据:≈1.73,≈1.41)
解:如图所示,过点D作DH⊥AN于点H,过点E作FE⊥DH于点F,过点C作CP⊥DH于点P.
因为山坡的坡度i=1∶,
所以∠EDF=∠DEM=30°.
因为坡面DE=20 m,
所以EF=DE=10 m,DF=DE·cos 30°=DE=10 m.
所以DH=DF+FP+PH=DF+EC+CN=(10+30)m.
在Rt△ADH中,因为∠ADH=30°,
所以AH=DH·tan 30°=DH=(10+10)m.
所以AN=AH+HN=AH+EF=(20+10)m.
在Rt△BCN中,因为∠BCN=45°,
所以CN=BN=20 m.
所以AB=AN-BN=10≈17(m).
故条幅AB的长度约是17 m.
[方法归纳]正确作出直角三角形是关键:选取适当的位置(点)作垂直,找出和题目有关的直角三角形.理解掌握仰角、俯角的概念,将实际问题转化为直角三角形问题来解决.
1.如图所示,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是∠BAC.若tan∠BAC=,则此斜坡的水平距离AC为(A)
第1题图 第2题图 第3题图
A.75 m B.50 m C.30 m D.12 m
2.如图所示,为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度),把一根长5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出杆长1 m处的D点离地面的高度DE=0.6 m,又量得杆底与坝脚的距离AB=3 m,则石坝的坡度为(B)
A. B.3 C. D.4
3.如图所示,一名滑雪运动员沿着坡角为34°的斜坡,从A滑行至B,已知AB=500 m,则这名滑雪运动员的高度下降了约　280　m.(参考数据:sin 34°≈0.56,cos 34°≈0.83,tan 34°≈0.67)
4.如图所示,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18 cm,宽为30 cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1∶5,则AC的长度是　210　cm.
5.汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对一段长200 m且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图所示,加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯,平均每级阶梯高30 cm,斜坡AB的坡度i=1∶1;加固后,坝顶宽度增加2 m,斜坡EF的坡度i=1∶,问工程完工后,共需土石多少立方米 (计算土石方时忽略阶梯,结果保留根号)
解:如图所示,过A作AH⊥BC于点H,过E作EG⊥BC于点G,
则四边形EGHA是矩形,
所以EG=AH,GH=AE=2 m.
因为斜坡AB的坡度i=1∶1,
所以AH=BH=30×30=900(cm)=9(m),
所以BG=BH-HG=7(m),
因为斜坡EF的坡度i=1∶,
所以FG=9.
所以BF=FG-BG=(9-7)m.
所以=×(2+9-7)×9=(m2),
所以共需土石为×200=(8 100-4 500)m3.
坡度的问题
1.坡度和坡角的概念
(1)坡度:坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i=.
(2)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.
2.坡度和坡角的关系
(1)坡角与坡度之间的关系:i==tan α.
(2)坡度越大,则坡角越大,坡面就越陡.
(3)坡角是指斜坡的坡面与水平面的夹角,是一个角度,有单位.
坡度是坡角的正切值,是一个比值,没有单位.
3.坡度和坡角的应用
(1)在解决坡度的有关问题中,一般通过作高构成直角三角形.
(2)应用领域:①测量领域;②航空领域;③航海领域;④工程领域等.
第3课时　坡度的问题
1.坡角的概念.
2.坡度的概念.
3.坡度与坡角的关系.
4.例题.
　　这节课从不同的角度选择了具有特色的关于坡度问题的例题,题目设计合理、环环相扣,注重知识点的迁移,使学生真正地理解和运用坡度的相关知识.最后,又把数学问题转化到实际问题中,解决实际问题,充分体现了数学的价值.这里尽显教育智慧,尽展数学之美.