5.2实际问题中的函数模型（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册北师大版（2019）

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预习衔接.夯实基础 实际问题中的函数模型
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 宜昌期中）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼是我国的一种传统文化．小明在春节前购进一种红灯笼，灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元时，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对．市场监管部门规定其销售单价不得高于每对68元，则该种灯笼一天获得的最大利润为（　　）
A．2816元 B．3116元 C．3276元 D．3600元
2．（2024秋 无锡期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：元）与x成正比；若在距离车站6km处建仓库，则y2＝4y1．要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（　　）
A．2km B．3km C．4km D．5km
3．（2024秋 西湖区校级期中）小明使用一架两臂不等长的天平称黄金．小明先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（　　）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有m1L1＝m2L2，其中m1，m2分别为左右盘中物体质量，L1，L2分别为左右横梁臂长）．
A．等于20g B．小于20g
C．大于20g D．与左右臂的长度有关
4．（2024秋 雁塔区校级期中）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系式为，其中P0为初始污染物含量，P0，λ均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了80%的污染物．如果废气中污染物的含量不超过0.04P0时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（　　）
A．4h B．6h C．8h D．12h
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 沙坪坝区校级期末）波恩哈德 黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家．他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础．他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为[0，1]，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（　　）
A．L（x）＝L（1﹣x）
B．L（a）L（b）≤L（ab）
C．L（a+b）≥L（a）+L（b）
D．关于x的不等式的解集为
（多选）6．（2024秋 丽水期末）生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中N0，r，K是正数，N0表示初始时刻种群数量，r叫做种群的内禀增长率，K是环境容纳量．N（t）可以近似刻画t时刻的种群数量．下面给出四条关于函数N（t）的判断正确的有（　　）
A．如果，那么存在t＞0，N（t）＝2N0
B．如果0＜N0＜K，那么对任意t≥0，N（t）＜K
C．如果0＜N0＜K，那么存在t＞0，N（t）在t点处的导数N′（t）＜0
D．如果，那么N（t）的导函数N′（t）在（0，+∞）上存在最大值
（多选）7．（2024秋 天心区校级期末）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b（e＝2.718 为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（　　）
参考数据：2.85≈172，2.76≈387
A．b∈（5，6）
B．若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时
C．k＜0
D．若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 浙江期中）证券公司现推出两种理财产品，所能获得的利润分别为A和B（万元），它们与投入资金x（万元）与利润有以下关系，，现有10万元投资这两种理财产品，可以获得的最大利润是 　 　（万元）．
9．（2024秋 宜城市期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2000元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价75元/m2；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为200元/m2．若要使总造价不高于28000元，则正方形MNPQ周长的最大值为 　 　m．
10．（2024秋 聊城期中）我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为20mg/m3．已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m3，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过 　 　分钟才能达到排放标准．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果取整数）
11．（2024秋 红桥区期中）建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑，沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效，通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果，为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为50立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，沼气池盖子的造价为2000元，沼气池最低总造价是 　 　元．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 西湖区校级期中）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度x（单位：摄氏度）与保鲜时间t（单位：小时）之间的函数关系式为t（x）＝eax+b，新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．
（1）新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；
（2）已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）
参考数据：lg2≈0.30，1g3≈0.48
13．（2024秋 泉州期中）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入72万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入15万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润M，乙产品的利润N与研发投入a（单位：万元）满足，，设甲产品的投入为x（单位：万元），两种产品的总收益为f（x）（单位：万元）．
（1）求f（x）的表达式，并求当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为多少万元；
（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？
14．（2024秋 沙坪坝区校级期中）重庆市主城区城市公共供水企业（不含乡镇水厂）服务的“一户一表”居民用水户综合水价按三档分阶梯计价（如下表所示）．阶梯水量以年为计价周期，周期之间不累计、不结转．
阶梯 用户用水量（吨） 综合水价（元/吨） 其中
自来水费（元/吨） 污水处理费（元/吨）
第一阶梯 0 260（含） 3.50 2.50 1.00
第二阶梯 260 360（含） 4.22 3.22
第二阶梯 360以上 5.90 4.90
（1）求用户水费y与用水量x的函数解析式，并求当某户一年所交水费为1078.8元时其一年的用水量：
（2）为改善生态环境，某污水处理企业对居民用水所产生的污水进行处理．已知该企业污水日处理量为z百吨（50≤z≤110），日处理污水的总成本w元与z百吨之间的函数关系可近似地表示为．若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该污水处理企业进行财政补贴：处理z百吨污水补贴40z+2000元，求该企业每日可获得的最大利润．
15．（2024秋 南海区校级期中）2022年夏天，重庆遭遇了极端高温天气，某空调厂家加大力度促进生产．生产某款空调的固定成本是1000万元，每生产x千台，需另投入成本R（x）（单位：万元），，生产的空调能全部销售完，每台空调平均售价5千元．
（1）写出年利润P（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：千台）的关系式；
（2）当年产量为多少千台时，这款空调的年利润最大？最大为多少？
预习衔接.夯实基础 实际问题中的函数模型
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 宜昌期中）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼是我国的一种传统文化．小明在春节前购进一种红灯笼，灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元时，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对．市场监管部门规定其销售单价不得高于每对68元，则该种灯笼一天获得的最大利润为（　　）
A．2816元 B．3116元 C．3276元 D．3600元
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意建立利润的函数，结合二次函数性质求最值可得．
【解答】解：灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元时，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对，
设红灯笼每对售价提高x元，一天获得利润为y元，
由题意得y＝（50+x﹣30）（100﹣x）＝﹣x2+80x+2000＝﹣（x﹣40）2+3，
因为销售单价不高于每对68元，所以x≤18，
所以当x＝18时，
即该种灯笼的销售单价为68元时，一天获得利润最大，最大值为3116元．
故选：B．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
2．（2024秋 无锡期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：元）与x成正比；若在距离车站6km处建仓库，则y2＝4y1．要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（　　）
A．2km B．3km C．4km D．5km
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】设，结合题意求出k1＝9k2，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案．
【解答】解：∵每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：元）与x成正比，
∴设，
∵在距离车站6km处建仓库时，y2＝4y1，
∴，∴k1＝9k2，
∴两项费用之和为，
当且仅当，即x＝3时等号成立，
∴要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km．
故选：B．
【点评】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，属中档题．
3．（2024秋 西湖区校级期中）小明使用一架两臂不等长的天平称黄金．小明先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（　　）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有m1L1＝m2L2，其中m1，m2分别为左右盘中物体质量，L1，L2分别为左右横梁臂长）．
A．等于20g B．小于20g
C．大于20g D．与左右臂的长度有关
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】设天平左臂长为a，右臂长为b，根据已知条件列式，然后利用基本不等式求得正确答案．
【解答】解：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b，
再设先称得黄金为xg，后称得黄金为yg，则bx＝10a，ay＝10b，
∴，∴，
当且仅当，即a＝b时等号成立，但a≠b，等号不成立，即x+y＞20．
因此，小明两次称得的黄金总重量大于20g．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的应用，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（2024秋 雁塔区校级期中）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系式为，其中P0为初始污染物含量，P0，λ均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了80%的污染物．如果废气中污染物的含量不超过0.04P0时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（　　）
A．4h B．6h C．8h D．12h
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件求出λ值，再由废气中的污染物含量不超过0.04P0列出不等式，即可求解．
【解答】解：依题意得：当t＝0时，P＝P0，
当t＝4时，P＝（1﹣80%）P0＝0.2P0，
则，可得c﹣4λ＝0.2，即λ，
所以，
当时，解得t≥8，
故至少需要过滤8h才能达到排放标准．
故选：C．
【点评】本题考查函数的实际应用，属中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 沙坪坝区校级期末）波恩哈德 黎曼（1866.07.20～1926.09.17）是德国著名的数学家．他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础．他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为[0，1]，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（　　）
A．L（x）＝L（1﹣x）
B．L（a）L（b）≤L（ab）
C．L（a+b）≥L（a）+L（b）
D．关于x的不等式的解集为
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果．
【解答】解：对于选项A，当x＝0时，1﹣x＝1，当x＝1时，1﹣x＝0，而L（0）＝L（1）＝0，
当x∈（0，1）时，1﹣x∈（0，1），若x是无理数，则1﹣x是无理数，有L（x）＝L（1﹣x）＝0，
若x是有理数，则1﹣x是有理数，当为正整数，为最简真分数），
则为正整数，为最简真分数），此时，
综上，x∈[0，1]时L（x）＝L（1﹣x），所以选项A正确；
对于选项B，当a，b＝0，1和无理数时，L（a）L（b）＝0，显然有L（a）L（b）≤L（ab），
当是正整数，是最简真分数）时，
，故L（a）L（b）≤L（ab），
当时，L（a）L（b）＝0，有L（a）L（b）≤L（ab），
当时，，有L（a）L（b）≤L（ab），
当a为无理数，时，L（a）L（b）＝L（ab）＝0，有L（a）L（b）≤L（ab），
综上L（a）L（b）≤L（ab），所以选项B正确；
对于选项C，取，则L（a+b）＝L（1）＝0，
而，所以选项C错误；
对于选项D，若x＝0或x＝1或（0，1）内的无理数，
此时L（x）＝0，显然不成立，
当为正整数，p，q互质），由，得到，
整理得到p+q＜5，又p，q为正整数，p，q互质，
所以p＝1，q＝2或p＝1，q＝3均满足，所以x可以取或，所以选项D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查函数性质的实际应用，属于中档题．
（多选）6．（2024秋 丽水期末）生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中N0，r，K是正数，N0表示初始时刻种群数量，r叫做种群的内禀增长率，K是环境容纳量．N（t）可以近似刻画t时刻的种群数量．下面给出四条关于函数N（t）的判断正确的有（　　）
A．如果，那么存在t＞0，N（t）＝2N0
B．如果0＜N0＜K，那么对任意t≥0，N（t）＜K
C．如果0＜N0＜K，那么存在t＞0，N（t）在t点处的导数N′（t）＜0
D．如果，那么N（t）的导函数N′（t）在（0，+∞）上存在最大值
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】解方程得到A正确，计算N（t）﹣K＜0得到B正确，求导得到N′（t）＞0恒成立，C错误，构造f（t）＝N′（t），求导得到导函数，计算函数的单调区间，计算最值得到答案．
【解答】解：对选项A：，解得，r＞0，故A正确；
对选项B：，0＜N0＜K，故，
，故N（t）﹣K＜0，即N（t）＜K，故B正确；
对选项C：，0＜N0＜K，故任意的t＞0，N（t）在t处的导数N′（t）＞0，故C错误；
对选项D：令，
则，，
令f′（t）＞0得，解得，
令f′（t）＜0得，解得，
所以f（t）在上单调递增，在上单调递减，
那么N（t）的导函数N′（t）在（0，+∞）上存在极大值，也是最大值，故D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查了利用导数求函数的最值，函数的应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 天心区校级期末）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+b（e＝2.718 为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（　　）
参考数据：2.85≈172，2.76≈387
A．b∈（5，6）
B．若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时
C．k＜0
D．若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】应用题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用条件若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，得出关于k和b的关系，然后依次判定各个选项．
【解答】解：在函数y＝ekx+b中，当x＝0时，eb＝192，由2.85≈172，2.76≈387知，b∈（5，6），选项A正确；
当x＝14时，e14k+b＝48，所以，则，
当x＝21时，，选项B不正确；
由，得，选项C正确；
由y≥96，得，所以x≤7，选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了指数函数模型应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 浙江期中）证券公司现推出两种理财产品，所能获得的利润分别为A和B（万元），它们与投入资金x（万元）与利润有以下关系，，现有10万元投资这两种理财产品，可以获得的最大利润是 　　（万元）．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由题可得A+B关于x的表达式，后由换元法可得最值．
【解答】解：设关于B的投资为x万元，则关于A的投资为（10﹣x）万元，其中x∈[0，10]，
则总利润为，令，
则，
当且仅当t＝2，即x＝4时取等号，
则可以获得的最大利润是（万元）．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
9．（2024秋 宜城市期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2000元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价75元/m2；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为200元/m2．若要使总造价不高于28000元，则正方形MNPQ周长的最大值为 　12　m．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】12．
【分析】先分别求出正方形，长方形，四个空角的面积，再由题意计算出总成本小于28000列不等式解出即可；
【解答】解：设正方形MNPQ的边长为xm，x＞0，则正方形MNPQ的面积为x2m2，
四个相同的矩形即阴影部分的面积为2（14﹣x）x﹣2x2＝28x﹣4x2（m2），
四个空角的面积为，
在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2000元/m2，
在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价75元/m2，
在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为200元/m2，
设总造价为W元，
则W＝2000x2+75（28x﹣4x2）+200（98﹣28x+2x2）
＝2100x2﹣3500x+19600≤28000，
即3x2﹣5x﹣12≤0，即（x﹣3）（3x+4）≤0，解得0＜x≤3，
故正方形MNPQ周长的最大值为3×4＝12m．
故答案为：12．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
10．（2024秋 聊城期中）我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为20mg/m3．已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m3，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过 　16　分钟才能达到排放标准．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果取整数）
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】16．
【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到，代入lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求出答案．
【解答】解：因为排放废气中二氧化硫最高允许浓度为20mg/m3，
又我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m3，
且处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式：，
所以，
所以，
所以，
又lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，
所以，
所以t的最小值为16，
所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准．
故答案为：16．
【点评】本题考查函数的实际应用，对数的运算，属中档题．
11．（2024秋 红桥区期中）建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑，沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效，通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果，为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为50立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，沼气池盖子的造价为2000元，沼气池最低总造价是 　7000　元．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】7000．
【分析】设长方体底面长方形较长边为x，利用x表示沼气池总造价y，利用基本不等式求其最小值即可．
【解答】解：设沼气池的底面一边长为x米，沼气池总造价为y元，
因为沼气池的深为2米，容积为50立方米，
所以沼气池底面面积为25平方米，
则沼气池的底面另一边长为米，
依题意，，
当且仅当，即x＝5时等号成立，
所以当沼气池的底面是边长为5米的正方形时，沼气池总造价最低，最低总造价为7700元．
故答案为：7000．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 西湖区校级期中）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度x（单位：摄氏度）与保鲜时间t（单位：小时）之间的函数关系式为t（x）＝eax+b，新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．
（1）新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；
（2）已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）
参考数据：lg2≈0.30，1g3≈0.48
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）499；
（2）2.33．
【分析】（1）由题意有，则，代入x＝7，计算即可得t（7）；
（2）令eax+b≥960，结合指数函数的性质计算即可得．
【解答】解：（1）依题意得，则，
当x＝7时，，
即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为499小时；
（2）由题意令eax+b≥960，得，
即，则，
则，
即，
解得：x≤2.334，
故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2.33摄氏度．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
13．（2024秋 泉州期中）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入72万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入15万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润M，乙产品的利润N与研发投入a（单位：万元）满足，，设甲产品的投入为x（单位：万元），两种产品的总收益为f（x）（单位：万元）．
（1）求f（x）的表达式，并求当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为多少万元；
（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1），88万元；
（2）在甲产品投入39万元，在乙产品投入33万元．
【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可；
（2）分情况求出各段的最大值，结合换元，基本不等式，二次函数知识求解即可．
【解答】解：（1）因为甲产品的投入为x万元（15≤x≤57），则乙产品的投入为（72﹣x）万元，
所以当15≤x≤37时，，
当37＜x≤57时，，
所以，
所以当x＝26时，f（26）＝413+81＝88，
即当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为88万元；
（2）当15≤x≤37时，令，
则总收益为g（t）＝4t（t2+1）+81（t﹣4）2+88.5，
所以当t＝4时，g（t）取得最大值88.5万元，
当37＜x≤57时89.5，
当且仅当，即x＝39时，等号成立，
因为89.5＞88.5，
所以该公司在甲产品投入39万元，在乙产品投入33万元，总收益最大，最大总收益为89.5万元．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
14．（2024秋 沙坪坝区校级期中）重庆市主城区城市公共供水企业（不含乡镇水厂）服务的“一户一表”居民用水户综合水价按三档分阶梯计价（如下表所示）．阶梯水量以年为计价周期，周期之间不累计、不结转．
阶梯 用户用水量（吨） 综合水价（元/吨） 其中
自来水费（元/吨） 污水处理费（元/吨）
第一阶梯 0 260（含） 3.50 2.50 1.00
第二阶梯 260 360（含） 4.22 3.22
第二阶梯 360以上 5.90 4.90
（1）求用户水费y与用水量x的函数解析式，并求当某户一年所交水费为1078.8元时其一年的用水量：
（2）为改善生态环境，某污水处理企业对居民用水所产生的污水进行处理．已知该企业污水日处理量为z百吨（50≤z≤110），日处理污水的总成本w元与z百吨之间的函数关系可近似地表示为．若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该污水处理企业进行财政补贴：处理z百吨污水补贴40z+2000元，求该企业每日可获得的最大利润．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1），300；
（2）2000．
【分析】（1）根据题设写出水费的分段函数f（x）表达式，即可求解；
（2）表示出利润的表达式，即可求解．
【解答】解：（1）设用水量为x吨，则：
当0≤x≤260，水费f（x）＝3.5x元，
当260＜x≤360，水费f（x）＝260×3.5+4.22×（x﹣260）＝4.22x﹣187.2元，
当x＞360，水费f（x）＝260×3.5+4.22×（360﹣260）+5.9（x﹣360）＝5.9x﹣792元，
由题设，用户水费y与用水量x的函数解析式为，
当f（x）＝1078.8元，而3.5×260＝910＜1078.8，3.5×260+4.22×（360﹣260）＝1332＞1078.8，
所以4.22x﹣187.2＝1078.8，可得x＝300吨，
也即一年的用水量为300吨；
（2）已知该企业污水日处理量为z百吨（50≤z≤110），日处理污水的总成本w元与z百吨之间的函数关系可近似地表示为，
由题意可得该企业每日可获得的利润为：
，
，
由二次函数对称轴为z＝100，开口向下可知：
当z＝100时，取得最大值，最大值为：y＝2000，
所以该企业每日可获得的最大利润为2000元．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
15．（2024秋 南海区校级期中）2022年夏天，重庆遭遇了极端高温天气，某空调厂家加大力度促进生产．生产某款空调的固定成本是1000万元，每生产x千台，需另投入成本R（x）（单位：万元），，生产的空调能全部销售完，每台空调平均售价5千元．
（1）写出年利润P（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：千台）的关系式；
（2）当年产量为多少千台时，这款空调的年利润最大？最大为多少？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）产量为7万台时，年利润最大为700万元．
【分析】（1）求出销售收入，减去成本后可得利润函数；
（2）根据利润函数分段求最大值，一段利用二次函数性质得最大值，一段利用勾形函数的单调性求得最大值，比较后即可得．
【解答】解：（1）由题意得空调销售收入为0.5×1000x＝500x（万），
则
；
（2）由（1）得：
当1≤x≤60时，，
∴当x＝50时，P（x）取得最大值250；
当60＜x≤100时，
由勾形函数性质知P（x）在（60，70）上递增，在（70，100）上递减，
∴当x＝70时，P（x）取得最大值700，
综上所述，当年产量为70000台时，年利润最大，最大为700万元．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
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