7.4事件的独立性（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册北师大版（2019）

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预习衔接.夯实基础 事件的独立性
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 安宁区校级期中）2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲、乙、两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲、乙两人中恰有1人通过的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 即墨区期中）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A＝“第1枚正面朝上”，B＝“第2枚正面朝上”，则A与B的关系为（　　）
A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．相等
3．（2024秋 长宁区校级期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024春 铜仁市期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 安宁区校级期中）今年”国庆“假期期间，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，则（　　）
A．小王和小张都中奖的概率为0.1
B．小王和小张都没有中奖的概率为0.48
C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D．小王和小张中至少有一个人中奖的概率为0.52
（多选）6．（2024秋 南京期中）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则（　　）
A． B．
C．A和B是互斥事件 D．A和B是相互独立事件
（多选）7．（2024秋 常州期中）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案．设每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（　　）
A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是p2（3﹣2p）
B．若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是5p3（1﹣p）
C．若p＝0.6，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大
D．若p＝0.6，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 青羊区校级期中）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“i的胜者”，负者称为“i的负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．则乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为 　 　．
9．（2024秋 成都期中）在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为 　 　．
10．（2024春 仁寿县期末）四种电子元件组成的电路如图所示，T1，T2，T3，T4电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6，则该电路正常工作的概率为 　 　．
11．（2024春 河北期末）甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分．已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为．在第一轮比赛中，甲队得x分，乙队得y分，则在这一轮中，满足0＜x﹣y 2且y≠0的概率为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 平度市期中）甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军．现假定甲队在主场获胜的概率为p，平局的概率为，其中0＜p＜1；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为p，且不同对阵的结果互不影响．
（1）若甲队先主场后客场，且p，
（i）求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
（ⅱ）求甲队获得冠军的概率；
（2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军．假定甲队在第三方场地获胜的概率为p2，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为p．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
13．（2024秋 黄冈期中）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组，据统计新生通过考核选拔进入这三个兴趣小组成功与否相互独立.2024年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为，至少进入一个兴趣小组的概率为，且m＜n．
（1）求m与n的值；
（2）该校根据兴趣小组活动安排情况，对进入“绘画”兴趣小组的同学增加校本选修学分1分，对进入“书法”兴趣小组的同学增加校本选修学分2分，对进入“诗词”兴趣小组的同学增加校本选修学分3分．求该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率．
14．（2024秋 广州期中）在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取1个，取后不放回，直到2个白球都被取出来后就停止取球．
（1）求2个白球都被甲取出的概率；
（2）求将球全部取出才停止取球的概率．
15．（2024秋 杨浦区校级期中）为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品．在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示：
书签 明信片
手绘款 40
普通教 150 120
（1）设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小江补领了手绘款明信片40张．记事件A：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件B：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算P（A）、P（B），并判断事件A，B是否独立；
（2）设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品．若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？
预习衔接.夯实基础 事件的独立性
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 安宁区校级期中）2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲、乙、两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲、乙两人中恰有1人通过的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过．
【解答】解：由题意，甲、乙、两人通过强基计划的概率分别为，，
甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，
那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为．
故选：A．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
2．（2024秋 即墨区期中）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A＝“第1枚正面朝上”，B＝“第2枚正面朝上”，则A与B的关系为（　　）
A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．相等
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据相互独立事件的定义可解．
【解答】解：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A＝“第1枚正面朝上”，B＝“第2枚正面朝上”，
根据相互独立事件的定义可知，第几枚正面朝上互不影响，
则A与B的关系为相互独立．
故选：A．
【点评】本题考查相互独立事件的定义，属于基础题．
3．（2024秋 长宁区校级期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N，根据题意列出N的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解．
【解答】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N，
则甲最终获胜的概率为：
P（N）＝P（BCBC）+P（BCBAC）+P（BCABC）+P（BCACB）+P（BABCC）+P（BACBC）+P（ACBCB）+P（ABCBC）
．
故选：D．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2024春 铜仁市期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．丙与丁相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
【考点】由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．
【专题】常规题型；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出各个事件的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答．
【解答】解：甲、乙、丙、丁事件分别记为A，B，C，D，则有P（A）＝P（B），P（C），P（D），
对于A，P（A）P（C），P（AC）＝0，P（AC）≠P（A）P（C），A不正确；
对于B，P（C）P（D），P（CD）＝0，P（CD）≠P（C）P（D），B不正确；
对于C，P（A）P（D），P（AD），P（AD）＝P（A）P（D），甲与丁相互独立，C正确；
对于D，P（B）P（C），P（BC），P（BC）≠P（B）P（C），D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 安宁区校级期中）今年”国庆“假期期间，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，则（　　）
A．小王和小张都中奖的概率为0.1
B．小王和小张都没有中奖的概率为0.48
C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D．小王和小张中至少有一个人中奖的概率为0.52
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用随机事件概率以及相互独立事件的定义，根据对立事件概率的加法公式对选项逐一计算可得结论．
【解答】解：顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，且两人能否中奖相互独立，
记事件A：顾客小王中奖，事件B：顾客小张中奖，则小王、小张未中奖可记为；
易知；
由题意可知A与B相互独立，所以与，A与，B与均相互独立；
所以小王和小张都中奖的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.4×0.2＝0.08，即A错误；
小王和小张都没有中奖的概率为，可得B正确；
小王和小张中只有一个人中奖的概率为，即C正确；
小王和小张中至少有一个人中奖的概率为，即D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 南京期中）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则（　　）
A． B．
C．A和B是互斥事件 D．A和B是相互独立事件
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；事件的互斥（互不相容）及互斥事件；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式可知AB正误，根据互斥事件和独立事件的定义可知CD正误．
【解答】解：对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，
所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，共4个，
其中满足事件A的有{正，正}，{正，反}，共2个，
所以P（A），故A正确；
事件A和事件B同时发生的情况仅有{正，反}，
所以P（AB），故B错误；
因为事件A和事件B可以同时发生，所以A和B不是互斥事件，故C错误；
因为满足事件B的有{正，反}，{反，反}，共2个，
所以P（B），
所以P（AB）＝P（A）P（B），
所以A和B是相互独立事件，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了互斥事件和独立事件的定义，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 常州期中）甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案．设每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（　　）
A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是p2（3﹣2p）
B．若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是5p3（1﹣p）
C．若p＝0.6，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大
D．若p＝0.6，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】AC
【分析】对于A，采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜三种情况分别计算求和即可；对于B，采用5局3胜制，要让甲以3：1获胜，则前三局中甲胜两局，第四局甲胜；对于C，分别计算5局3胜制与3局2胜制甲胜的概率，比较即可；对于D，在甲获胜的条件下比赛局数X＝3，4，5，借助条件概率分别计算进而求出期望即可判断．
【解答】解：对于A，若采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜三种情况，
则最终甲胜的概率为P1＝p2+p（1﹣p）p+（1﹣p）p2＝p2（3﹣2p），故A正确；
对于B，若采用5局3胜制，要证甲以3：1获胜，则前三局甲胜2局，最后一局甲胜，
则甲以3：1获胜的概率是P23p3（1﹣p），故B错误；
对于C，∵p＝0.6，结合选项A可知，若采用3局2胜制，
最终甲胜的概率为P3＝p2（3﹣2p）＝0.62（3﹣2×0.6）＝0.648，
若采用5局3胜制，甲获胜的比分为3：0，3：1，3：2三种情况，
∴甲在5局3胜制中获胜的概率为：
P40.68256，
∵0.68256＞0.648，
∴若p＝0.6，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大，故C正确；
对于D，∵p＝0.6，且采用5局3胜制，甲获胜的概率为P4＝0.68256，
在甲获胜的条件下比赛局数X＝3，4，5，
由条件概率公式得：
P（X＝3），
P（X＝4），
P（X＝5），
∴p＝0.6，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是：
E（X）454，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机变量分布列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 青羊区校级期中）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“i的胜者”，负者称为“i的负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．则乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为 　　．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：甲1胜3胜，乙1负4胜5胜，甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：乙1胜3胜，丙2胜3负5胜，乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率，丁与丙相同，由此能求出乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．
【解答】解：已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同，
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：
乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，
若考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为：
，丁与丙相同，
若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，
所以甲与乙在决赛相遇的概率为：，
所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式，属于基础题．
9．（2024秋 成都期中）在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为 　　．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，甲队胜两场且乙队胜一场，可分为甲胜乙丙，且甲平或负丁；甲胜乙丁，平或负丙；甲胜丙丁三种情况分析，分别由相互独立事件的概率公式求解，再相加即可．
【解答】解：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，
根据题意，甲队胜两场且乙队胜一场，可分为甲胜乙丙，且甲平或负丁；甲胜乙丁，平或负丙；甲胜丙丁三种情况分析，
（1）甲胜乙丙，且甲平或负丁：
①乙胜丙，且乙平或负丁，概率为；
②乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为．
因此，（1）概率为．
（2）甲胜乙丁，平或负丙，同（1），概率为．
（3）甲胜丙丁：
①甲平乙，乙胜丙，且乙平或负丁，此时概率为；
②甲平乙，乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为；
③甲负乙，乙平或负丙、丁，此时概率为，
因此，（3）概率为．
综上：甲胜两场且乙胜一场的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（2024春 仁寿县期末）四种电子元件组成的电路如图所示，T1，T2，T3，T4电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6，则该电路正常工作的概率为 　0.8784　．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．
【专题】计算题；对应思想；分析法；概率与统计；数据分析．
【答案】0.8784．
【分析】该电路正常工作即T1正常工作，T2，T3，T4至少一个正常工作，再由独立事件的乘法公式，即可得出答案．
【解答】解：该电路正常工作即T1正常工作，T2，T3，T4至少一个正常工作，
所以该电路正常工作的概率为0.9×（1﹣0.2×0.3×0.4）＝0.8784．
故答案为：0.8784．
【点评】本题考查互斥事件的计算公式，属于基础题．
11．（2024春 河北期末）甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分．已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为．在第一轮比赛中，甲队得x分，乙队得y分，则在这一轮中，满足0＜x﹣y 2且y≠0的概率为 　　．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】先求出甲在一轮比赛中得2分，3分的概率，乙在一轮比赛中得1分、2分的概率，设在这一轮中，满足0＜x﹣y≤2且y≠0为事件A，则A包含①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分，乙队得1分，③甲队得3分，乙队得2分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算能求出结果．
【解答】解：由题意得甲队在一轮比赛中得2分的概率为P2，
甲队在一轮比赛中得3分的概率为P3，
乙队在一轮比赛中得1分的概率为：
P1′，
乙队在一轮比赛中得2分的概率为：
P2′，
设在这一轮中，满足0＜x﹣y≤2且y≠0为事件A，
则A包含①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分，乙队得1分，③甲队得3分，乙队得2分，
∴在这一轮中，满足0＜x﹣y 2且y≠0的概率为：
P＝P2P1'+P3P1'+P3P2'．
故答案为：．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 平度市期中）甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军．现假定甲队在主场获胜的概率为p，平局的概率为，其中0＜p＜1；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为p，且不同对阵的结果互不影响．
（1）若甲队先主场后客场，且p，
（i）求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
（ⅱ）求甲队获得冠军的概率；
（2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军．假定甲队在第三方场地获胜的概率为p2，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为p．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）（i）； （ii）； （2）“主客场比赛“比“单场比赛制”更有利于甲夺冠．
【分析】（1）（i）事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，分三种情况，求出概率相加得到答案；
（ii）甲队获得冠军包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，分四种情况，求出概率，相加即可；
（2）在“单场比赛制”下，甲队获得冠军包含甲队胜、甲队平同时点球胜，计算出相应的概率，结合（1）中所求甲队获得冠军的概率，作差法比较出结论．
【解答】解：（1）（i）记甲队通过点球大战获得冠军为事件A，
则事件A包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，
∴甲队通过点球大战获得冠军的概率为：
P（A）＝[p（1﹣p）+（1）p）] p（1﹣p），
∵p，
∴P（A），
∴甲队通过点球大战获得冠军的概率为．
（ii）记甲队获得冠军为事件B，
事件B包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，
∴甲队获得冠军的概率为：
P（B），
将p代入，得P（B），
∴甲队获得冠军的概率为．
（2）由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件C，
事件C包含甲队胜，甲队平同时点球胜，
∴P（C），
∵0＜p1，∴0＜p，
此时0＜p2p满足题意，
P（B）﹣P（C）（5﹣6p），
∵0＜p，0，5﹣6p＞0，
∴P（B）﹣P（C），
∴“主客场比赛“比“单场比赛制”更有利于甲夺冠．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（2024秋 黄冈期中）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组，据统计新生通过考核选拔进入这三个兴趣小组成功与否相互独立.2024年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为，至少进入一个兴趣小组的概率为，且m＜n．
（1）求m与n的值；
（2）该校根据兴趣小组活动安排情况，对进入“绘画”兴趣小组的同学增加校本选修学分1分，对进入“书法”兴趣小组的同学增加校本选修学分2分，对进入“诗词”兴趣小组的同学增加校本选修学分3分．求该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由于进入这三个兴趣小组成功与否相互独立，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式来列出方程求解．
（2）分析该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的情形有三种，即分数为4分，5分，6分，然后进行相互独立事件同时发生的概率乘法计算，再用分类事件加法原理求解即可．
【解答】解：通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为，至少进入一个兴趣小组的概率为，且m＜n．
（1）由题意得：，解得：；
（2）设该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分的分数为X，
则，
，
，
所以．
即该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率为．
【点评】本题考查相互独立事件概率的乘法公式，属于中档题．
14．（2024秋 广州期中）在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取1个，取后不放回，直到2个白球都被取出来后就停止取球．
（1）求2个白球都被甲取出的概率；
（2）求将球全部取出才停止取球的概率．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式可解；
（2）根据题意，分①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，②第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，③第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，四种情况可解．
【解答】解：（1）若2个白球都被甲取出记为事件A，三种情况：
①第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，其概率为；
②第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，
其概率为；
③第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，
其概率为；
故．
所以2个白球都被甲取出的概率为，
（2）若将球全部取出才停止取球记为事件B，则最后一次即第5次取出的一定是白球，
四种情况：①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为；
②第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为；
③第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为；
④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为；
故．
所以将球全部取出才停止取球的概率为．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式，属于中档题．
15．（2024秋 杨浦区校级期中）为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品．在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示：
书签 明信片
手绘款 40
普通教 150 120
（1）设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小江补领了手绘款明信片40张．记事件A：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件B：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算P（A）、P（B），并判断事件A，B是否独立；
（2）设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品．若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1），，事件A，B不独立；
（2）59．
【分析】（1）根据概率公式求出P（A）、P（B），根据相互独立事件的概率公式判断是否独立；
（2）表示出首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品的概率，解不等式求解即可．
【解答】解：（1）依题意，
书签 明信片
手绘款 40 40
普通教 150 120
，
，
，
因为P（AB）≠P（A）P（B），
所以事件A，B不独立．
（2）设手绘款明信片的张数为x，首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品为事件C，
小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，
则，解得58.07＜x＜822.93，
考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，且为整数，
所以手绘款明信片的张数为59．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
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