7.3独立性检验问题（预习衔接.夯实基础.含解析）2025-2026学年高二上学期数学选择性必修第一册北师大版（2019）

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预习衔接.夯实基础 独立性检验问题
一．选择题（共4小题）
1．（2024春 长治期中）某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据的分类统计结果，并计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值，知x0.01＝6.635，则下列判断正确的是（　　）
A．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
B．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
C．数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01
D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为数学成绩优秀与性别无关
2．（2024春 金安区校级期末）古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能有一个好天气，天气晴朗．某学习小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下2×2列联表．
有朝霞 无朝霞 合计
当天有雨 8 8 16
当天无雨 2 12 14
合计 10 20 30
参考公式：．
临界值参照表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
则下列说法正确的是（　　）
A．如果有朝霞，当天下雨的概率超过95%
B．能在犯错概率不超过5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
C．能在犯错概率不超过0.5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
D．连续三天中必有一天出现朝霞
3．（2024 红桥区校级模拟）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为5m（m∈N*）人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．零假设为H0：喜欢短视频和性别相互独立．若依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则m的最小值为（　　）
附：，附表：
α 0.05 0.01
xα 3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2024春 张家口期末）某研究中心对治疗哮喘的两种药物的疗效是否有差异进行实验，并运用2×2列联表进行检验，零假设H0：两种药物的疗效无差异，计算出χ2≈5.389，根据下面的小概率值α的独立性检验表，认为“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过（　　）
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．5% B．1% C．0.5% D．0.1%
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 重庆期中）下列说法中，正确的是（　　）
A．对于独立性检验，随机变量χ2的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小
B．若P（A）＞0，P（B）＞0，P（B|A）＝P（B），则P（A|B）＝P（A）
C．随机变量X服从正态分布N（1，σ2），P（x＞1.5）＝0.34，若P（x＜a）＝0.34，则a＝0.5
D．数据4，3，2，5，6，7的50%分位数为4
（多选）6．（2024春 肇庆校级期末）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”…小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：
夜晚天气“日落云里走” 下雨 未下雨
出现的天数 25 5
未出现的天数 25 45
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
经计算得到χ2≈19.05，下列对地区A天气的判断正确的是（　　）
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为
C．有99.9%的把握认为“日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨
（多选）7．（2024春 仁寿县校级期末）2021年12月1日，某市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出等高堆积条形图：
根据图中的信息（35岁以上含35岁），下列结论中一定正确的是（　　）
A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通
B．样本中多数女性是35岁以上
C．样本中35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多
D．样本中35岁以上的人对地铁1号线的开通关注度更高
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 集美区校级期中）某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 　 　人．
优秀 合格 合计
语文 20 28 48
英语 30 18 48
9．（2024春 信阳期末）为了研究高三学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了高三学生200名，得到如下列联表：
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 80 20 100
男 30 70 100
合计 110 90 200
根据列联表的数据，计算得χ2＝　 　；依据小概率值α＝　 　的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”．
附：临界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
10．（2024春 葫芦岛期末）一部年代创业剧《乘风踏浪》，让辽宁葫芦岛成为许多人心驰神往的旅游度假目的地．为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对1200位游客进行了满意度调查，结果如下表：
男性 女性 合计
满意 560 540 1100
不满意 40 60 100
合计 600 600 1200
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝　 　（精确到0.001）；依据数据可作出的判断是 　 　．
附：χ2，n＝a+b+c+d．
P（χ2≥k） 0.1 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
11．（2024春 莆田期末）已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001．在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则我们至少有 　 　%把握认为喜欢某种甜品与性别有关．
四．解答题（共4小题）
12．（2024春 长治期中）直播带货逐渐成为乡村振兴的新动力，为了解甲、乙两个推销农产品的直播间的销售情况，统计了一段时间内观众下单的相关数据，得到如下的2×2列联表：
下单的观众数（单位：百人） 未下单的观众数（单位：百人） 合计
甲直播间 6
乙直播间 1
合计 10 20
（1）请补全2×2列联表；
（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析两个直播间观众的下单意愿是否有差异．
附：．
α 0.10 0.05 0.01
xa 2.706 3.841 6.635
13．（2024 回忆版）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
（1）填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（12.247）
附：K2，
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
14．（2024春 沈阳期中）近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据：
青年人 中年人 老年人
对该种APP有需求 2m+4n 200 m
对该种APP无需求 m+n 150 4n
其中的数据为统计的人数，已知本次被调研的青年人数为400．
（1）求m，n的值．
（2）在犯错误的概率不超过1%的前提下，对该种APP的需求，是否与是青年人还是中老年人有关？
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
15．（2024春 临潼区期末）某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），如图是该校高一1000名学生选择各个模块的扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为8：7，选择历史类男女比例为2：3．
男生 女生 合计
物理类
历史类
合计 1000
（Ⅰ）请将上述2×2列联表补充完整；
（Ⅱ）判断能否有99%的把握认为“该校学生是否选择物理类与性别有关”？
附：，其中a＝a+b+c+d．
P（K2≥k） 0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
预习衔接.夯实基础 独立性检验问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024春 长治期中）某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据的分类统计结果，并计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值，知x0.01＝6.635，则下列判断正确的是（　　）
A．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
B．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
C．数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01
D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为数学成绩优秀与性别无关
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据独立性检验的定义判断即可．
【解答】解：因为χ2≈6.816＞6.635＝x0.01，
所以数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
故选：C．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
2．（2024春 金安区校级期末）古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能有一个好天气，天气晴朗．某学习小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下2×2列联表．
有朝霞 无朝霞 合计
当天有雨 8 8 16
当天无雨 2 12 14
合计 10 20 30
参考公式：．
临界值参照表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
则下列说法正确的是（　　）
A．如果有朝霞，当天下雨的概率超过95%
B．能在犯错概率不超过5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
C．能在犯错概率不超过0.5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
D．连续三天中必有一天出现朝霞
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】对A，由题中2×2列联表判断即可；对BC，计算卡方判断即可；对D，根据概率的性质判断即可．
【解答】解：对于A，由题中2×2列联表知，如果有朝霞，则当天下雨的概率约为80%，故A选项错误；
对于BC，由题得，但小于7.879，故B选项正确，C选项错误；
对于D，有朝霞的天数占总天数的，但并不意味着连续三天中必有一天出现朝霞，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
3．（2024 红桥区校级模拟）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为5m（m∈N*）人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．零假设为H0：喜欢短视频和性别相互独立．若依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则m的最小值为（　　）
附：，附表：
α 0.05 0.01
xα 3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】依题意，写出2×2列联表中的a，b，c，d，算出X2的数值，和表格中的参照数据比较后选出答案．
【解答】解：根据题意，不妨设a＝4m，b＝m，c＝3m，d＝2m，
于是，
由于依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，
根据表格可知，解得m≥8.0661，于是m最小值为9．
故选：C．
【点评】本题考查了独立性检验的应用，属于中档题．
4．（2024春 张家口期末）某研究中心对治疗哮喘的两种药物的疗效是否有差异进行实验，并运用2×2列联表进行检验，零假设H0：两种药物的疗效无差异，计算出χ2≈5.389，根据下面的小概率值α的独立性检验表，认为“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过（　　）
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．5% B．1% C．0.5% D．0.1%
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据χ2≈5.389，与临界值比较即可作出判断．
【解答】解：因为χ2≈5.389，而3.841＜5.389＜6.635，
所以认为“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过0.05，即5%．
故选：A．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 重庆期中）下列说法中，正确的是（　　）
A．对于独立性检验，随机变量χ2的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小
B．若P（A）＞0，P（B）＞0，P（B|A）＝P（B），则P（A|B）＝P（A）
C．随机变量X服从正态分布N（1，σ2），P（x＞1.5）＝0.34，若P（x＜a）＝0.34，则a＝0.5
D．数据4，3，2，5，6，7的50%分位数为4
【考点】独立性检验；条件概率乘法公式及应用；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；百分位数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】结合独立性检验的定义、相互独立事件的概率乘法公式，判断A，B，结合正态分布的对称性，判断C，结合百分位数的定义，判断D．
【解答】解：对于独立性检验，随机变量χ2的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小，故A正确；
若P（A）＞0，P（B）＞0，P（B|A）＝P（B），
则事件A、B独立，
故P（A|B）＝P（A），故B正确；
随机变量X服从正态分布N（1，σ2），P（x＞1.5）＝0.34，P（x＜a）＝0.34，
则，解得a＝0.5，故C正确；
数据从小到大排序：2，3，4，5，6，7，共6个，
6×50%＝3，
故所求的50%分位数为，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查概率与统计的知识，是基础题．
（多选）6．（2024春 肇庆校级期末）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”…小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：
夜晚天气“日落云里走” 下雨 未下雨
出现的天数 25 5
未出现的天数 25 45
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
经计算得到χ2≈19.05，下列对地区A天气的判断正确的是（　　）
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为
C．有99.9%的把握认为“日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】对于选项A，B利用频率估算概率，即可得到结果，对于选项C，D，根据K2，对照题目中的表格，得出统计结论．
【解答】解：对于选项A：因为夜晚下雨的天数一共有25+25＝50天，所以夜晚下雨的概率约为，故A正确；
对于选项B：未出现“日落云里走”夜晚下雨的有25天，未出现“日落云里走”的一共25+45＝70天，所以未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为，故B正确；
对于选项C：因为K2≈19.05＞10.828，所以有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，故C正确，D错误；
故选：ABC．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
（多选）7．（2024春 仁寿县校级期末）2021年12月1日，某市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出等高堆积条形图：
根据图中的信息（35岁以上含35岁），下列结论中一定正确的是（　　）
A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通
B．样本中多数女性是35岁以上
C．样本中35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多
D．样本中35岁以上的人对地铁1号线的开通关注度更高
【考点】等高堆积条形图．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据高堆积条形图中信息，逐个判断各个选项即可．
【解答】解：设等高堆积条形图对应2×2列联表如下：
35岁以上 35岁以下 合计
男性 a c a+c
女性 b d b+d
合计 a+b c+d a+b+c+d
根据第1个等高条形图可知，35岁以上男性比35岁以上 性多，即a＞b，
35岁以下男性比35岁以下女性多，即c＞d，
根据第2个等高条形图可知，男性中35岁以上的比35岁以下的多，即a＞c，
女性中35岁以上的比35岁以下的多，即b＞d，
对于选项A，男性人数为a+c，女性人数为b+d，因为a＞b，c＞d，所以a+c＞b+d，所以A正确；
对于选项B，35岁以上的女性人数为b，35岁以下的女性人数为d，因为b＞d，所以B正确；
对于选项C，35岁以下男性人数为c，35岁以上女性人数为b，无法从图中直接判断b与c的大小关系，所以C不一定正确；
对于选项D，35岁以上的人数为a+b，35岁以下的人数为c+d，因为a＞c，b＞d，所以a+b＞c+d，所以D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 集美区校级期中）某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 　12　人．
优秀 合格 合计
语文 20 28 48
英语 30 18 48
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】12．
【分析】用集合A表示语文合格，用集合B表示英语合格，则CardA＝28，CardB＝18，再利用容斥原理求解即可．
【解答】解：全班共48名同学，用集合A表示语文合格，用集合B表示英语合格，
则CardA＝28，CardB＝18
用A∩B表示两项比赛均合格，
当Card（A∩B）＝10时，48﹣18﹣10﹣8＝12人，
所以两项比赛中都评定为优秀的同学最多为12人．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系，考查了容斥原理的应用，属于基础题．
9．（2024春 信阳期末）为了研究高三学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了高三学生200名，得到如下列联表：
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 80 20 100
男 30 70 100
合计 110 90 200
根据列联表的数据，计算得χ2＝　50.505　；依据小概率值α＝　0.001　的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”．
附：临界值表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】应用题；对应思想；数学模型法；概率与统计；数据分析．
【答案】50.505；0.001．
【分析】假设H0：高三学生的性别和身高无关联，计算χ2，对照附表即可得出结论．
【解答】解：假设H0：高三学生的性别和身高无关联，
根据列联表中的数据，计算，
对照附表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，
即认为“高三学生的性别和身高有关联”．
故答案为：50.505；0.001．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，是基础题．
10．（2024春 葫芦岛期末）一部年代创业剧《乘风踏浪》，让辽宁葫芦岛成为许多人心驰神往的旅游度假目的地．为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对1200位游客进行了满意度调查，结果如下表：
男性 女性 合计
满意 560 540 1100
不满意 40 60 100
合计 600 600 1200
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝　4.364　（精确到0.001）；依据数据可作出的判断是 　满意度与性别有关联，断犯错误的概率不大于0.05（或：有95%的把握认为满意度与性别有关）　．
附：χ2，n＝a+b+c+d．
P（χ2≥k） 0.1 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
【考点】独立性检验．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】4.364；满意度与性别有关联，断犯错误的概率不大于0.05（或：有95%的把握认为满意度与性别有关）．
【分析】根据题意算出χ2的值，再比较临界值，即可得解．
【解答】解：根据题意可得χ24.364＞3.841，
∴满意度与性别有关联，断犯错误的概率不大于0.05．
故答案为：4.364；满意度与性别有关联，断犯错误的概率不大于0.05（或：有95%的把握认为满意度与性别有关）．
【点评】本题考查独立性检验原理的应用，属基础题．
11．（2024春 莆田期末）已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001．在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则我们至少有 　99　%把握认为喜欢某种甜品与性别有关．
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】99．
【分析】根据6.635＜7.235＜10.828，再利用题设条件，即可求出结果．
【解答】解：因为6.635＜7.235＜10.828，
又P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001，
所以我们至少有99%把握认为喜欢某种甜品与性别有关．
故答案为：99．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024春 长治期中）直播带货逐渐成为乡村振兴的新动力，为了解甲、乙两个推销农产品的直播间的销售情况，统计了一段时间内观众下单的相关数据，得到如下的2×2列联表：
下单的观众数（单位：百人） 未下单的观众数（单位：百人） 合计
甲直播间 6
乙直播间 1
合计 10 20
（1）请补全2×2列联表；
（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析两个直播间观众的下单意愿是否有差异．
附：．
α 0.10 0.05 0.01
xa 2.706 3.841 6.635
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）补全2×2列联表如下：
下单的观众数（单位：百人） 未下单的观众数（单位：百人） 合计
甲直播间 6 9 15
乙直播间 4 1 5
合计 10 10 20
（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，两个直播间观众的下单意愿无差异．
【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；
（2）计算χ2，对照题目中的表格，得出统计结论．
【解答】解：（1）补全2×2列联表如下：
下单的观众数（单位：百人） 未下单的观众数（单位：百人） 合计
甲直播间 6 9 15
乙直播间 4 1 5
合计 10 10 20
（2）零假设H0：两个直播间观众的下单意愿无差异，
因为χ22.4＜3.841，
所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0成立，即两个直播间观众的下单意愿无差异．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
13．（2024 回忆版）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
（1）填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（12.247）
附：K2，
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K2，对照题目中的表格，得出统计结论；
（2）由题意求得，比较和p+1.65，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
零假设H0：根据α＝0.05的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，
X24.6875＞3.841，
有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
零假设H0：根据α＝0.01的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，
4.6875＜6.635，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．
（2）由题意得0.64，p+1.650.5+1.650.57，
所以p+1.65，故有优化提升．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．
14．（2024春 沈阳期中）近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据：
青年人 中年人 老年人
对该种APP有需求 2m+4n 200 m
对该种APP无需求 m+n 150 4n
其中的数据为统计的人数，已知本次被调研的青年人数为400．
（1）求m，n的值．
（2）在犯错误的概率不超过1%的前提下，对该种APP的需求，是否与是青年人还是中老年人有关？
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】方程思想；数学模型法；定义法；概率与统计；运算求解；数据分析．
【答案】（1）m＝50，n＝50．
（2）有关．
【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可．
（2）根据题意填写列联表，零假设，计算X2，对照附表得出统计结论．
【解答】解：（1）由题意知，，化简得，解得m＝50，n＝50．
（2）根据题意，填写列联表如下：
青年人 中老年人 合计
对该种APP有需求 300 250 550
对该种APP无需求 100 350 450
合计 400 600 1000
零假设H0：对该种APP的需求，是否与是青年人还是中老年人无关，计算X2107.744＞6.635＝Xα＝0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即对该种APP的需求，是否与是青年人还是中老年人有关，此推断犯错误的概率不大于0.01，
即在犯错误的概率不超过1%的前提下，对该种APP的需求，是否与是青年人还是中老年人有关．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
15．（2024春 临潼区期末）某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），如图是该校高一1000名学生选择各个模块的扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为8：7，选择历史类男女比例为2：3．
男生 女生 合计
物理类
历史类
合计 1000
（Ⅰ）请将上述2×2列联表补充完整；
（Ⅱ）判断能否有99%的把握认为“该校学生是否选择物理类与性别有关”？
附：，其中a＝a+b+c+d．
P（K2≥k） 0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（Ⅰ）列联表如下：
男生 女生 合计
物理类 480 420 900
历史类 40 60 100
合计 520 480 1000
（Ⅱ）没有．
【分析】（Ⅰ）由扇形图求出该校学生选择物理类有900人，选择历史类有100人，再结合男女比例补充完整2×2列联表即可；
（Ⅱ）计算K2的值，再与临界值比较即可．
【解答】解：（Ⅰ）由扇形图知，该校学生选择物理类有900人，选择历史类有100人，
根据男女比例填写2×2列联表如下：
男生 女生 合计
物理类 480 420 900
历史类 40 60 100
合计 520 480 1000
（Ⅱ）零假设H0：该校学生是否选择物理类与性别无关，
则K26.410＜6.635，
我们依据小概率值α＝0.01的独立性检验推断H0成立，即没有99%的把握认为“该校学生是否选择物理类与性别有关”．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
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