湖南省衡阳市衡南县2025年中考第二次模拟考试数学试题
1．（2025·衡南模拟）的绝对值是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2025·衡南模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·衡南模拟）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形
4．（2025·衡南模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·衡南模拟）“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·衡南模拟）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·衡南模拟）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
8．（2025·衡南模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·衡南模拟）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
10．（2025·衡南模拟）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数m，均成立
④若点，在抛物线上，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025·衡南模拟）分解因式： = ．
12．（2025·衡南模拟） 若，则 ．
13．（2025·衡南模拟）计算： ；
14．（2025·衡南模拟）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．
15．（2025·衡南模拟）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ．
16．（2025·衡南模拟）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ．
17．（2025·衡南模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为 ．
18．（2025·衡南模拟）观察下列等式：
……
则的值为 ．
19．（2025·衡南模拟）计算：．
20．（2025·衡南模拟）如图，，．
（1）求证：；
（2）若，则__________°．
21．（2025·衡南模拟）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．
（1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
（2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
22．（2025·衡南模拟）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
23．（2025·衡南模拟）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．
（1）求______，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？
（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．
24．（2025·衡南模拟）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长．
25．（2025·衡南模拟）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．连接和，点P在抛物线上运动，连接，和．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点，连接，，记的面积为，记的面积为，若满足，求的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2025·衡南模拟）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
（3）如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，
∴的绝对值是2，
故答案为：C．
【分析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此直接得到答案.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方法则逐项判断解答即可．
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
B、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
C、平行四边形是不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误.
故答案为：B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的性质求解.
4．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴且，
解得．
故选：C．
【分析】利用二次根式被开方数为非负数，分式的分母不为零进行解题即可．
5．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1．
6．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角大小为n°，
∵扇形的半径为2，弧长为，
∴，
解得：n=120，
∴扇形的圆心角大小为120°，
故答案为：D ．
【分析】设扇形的圆心角大小为n°，根据弧长公式，其中是弧长，是圆心角度数，是扇形半径，据此即可求解.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离，
∴，，
在中，，
故选：B．
【分析】先根据垂径定理得到长，然后利用勾股定理求出OA长解题．
8．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
【分析】根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比求出点的坐标．
9．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出AD的长即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，
∴，，，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴相交于点，，
∴二次函数的对称轴为直线，，，
由得：，
∵，
∴，
∴，即，故②错误；
当时，二次函数有最小值，
由图象可得，对任意实数m，，
∴对任意实数m，均成立，故③正确；
∵点，在抛物线上，且，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共个，
故答案为：B．
【分析】① 由抛物线的开口向上知，由抛物线顶点坐标的大体位置知对称轴在y左侧，即同号，由抛物线与y轴交点的位置知，所以；
② 由抛物线与x轴的交点坐标为和知，对称轴为，即或；则当时，，所以；
③ 因为抛物线开口向上，所以二次函数有最小值，即当时，最小，因此对于任意实数有，即 成立；
④ 因为抛物线的对称轴为，所以、即离对称轴距离越大函数值越大，所以．
11．【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.
故答案为：11.
【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
13．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的减法计算即可．
14．【答案】10
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：10．
【分析】根据圆周角定理求得，再根据“正边形的边数中心角”解答即可．
15．【答案】80
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点B作于N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴另一端B离地面的高度为．
故答案为：80．
【分析】过点B作BN⊥CD于N，由同一平面内，垂直同一直线的两条直线互相平行得OM∥BN，得由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AOM∽△ABN，进而根据相似三角形的对应边成比例建立方程，求解得出BN的值.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质得到，，结合可证明，然后根据相似三角形对应边成比例得，即．
17．【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，，
∴轴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】先由矩形的性质可得，根据旋转得到，，然后得到点B'的坐标解题．
18．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
，
，
∴，
∴当时，有，
故答案为：．
【分析】本题考查了数字的规律的探究，先求出，，，从而得的值，进而得到规律：，然后将代入进行求解即可.
19．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；绝对值的概念与意义；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据零指数幂、绝对值的意义、特殊的三角函数值、负整数指数幂进行化简，然后进行加减运算即可.
20．【答案】（1）证明：在和中，
，
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
【分析】（1）直接利用得到两三角形全等即可；
（2）根据三角形内角和定理得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等解答即可．
（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
21．【答案】（1）解： 设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．
根据题意，得
，
解得
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
（2）解： 设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件．
根据题意，得，
解得．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据题意列关于x，y的二元一次方程组解题即可；
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，根据“总费用单价数量”列关于a的一元一次不等式，求出a的最大整数解即可．
（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．
根据题意，得
，
解得
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件．
根据题意，得，
解得．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
22．【答案】（1）解：如图，过点作交于点，
由题意可知，，
，
在中，，米，
，
米，
即的长约为8米；
（2）解：米，米，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间为秒，
即模拟装置从点下降到点的时间为秒．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）过点作交于点，利用余弦的定义求出的长即可；
（2）根据勾股定理求出长，然后根据正弦的定义求出的长，利用线段的和差得到的长，根据“时间=路程÷时间”计算解题．
（1）解：如图，过点作交于点，
由题意可知，，
，
在中，，米，
，
米，
即的长约为8米；
（2）解：米，米，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间为秒，
即模拟装置从点下降到点的时间为秒．
23．【答案】（1）解：（名，
喜欢乒乓球的人数；（名，
补全统计图：
故答案为：200；
（2）解：（名，
答：估计喜欢乒乓球运动的学生有312名；
（3）解：画树状图得：
一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用喜爱篮球的人数除以占比即可求出，然后用总数减去其它组的人数求出喜欢乒乓球的人数，补全条形统计图即可；
（2）用1200乘以最喜爱乒乓球的学生的人数占比解答即可；
（3）画出树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）解：（名，
喜欢乒乓球的人数；（名，
补全统计图：
故答案为：200；
（2）解：（名，
答：估计喜欢乒乓球运动的学生有312名；
（3）解：画树状图得：
一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
24．【答案】（1）证明：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理、直径随队的圆周角是直角得到，即可证得到结论；
（2）连接，即可得到，然后得到AB=DC，根据正弦计算解答即可．
（1）解：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
25．【答案】（1）解：将点和代入抛物线可得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：．
（2）解：∵，∴点，
设点，则点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的表达式为：，则点，
同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：，
如图：连接交于点E，设直线交y轴于点D，则点，
则，
同理可得：，
∴，解得：（舍去）或
∴点，
∴的面积为．
（3）解：存在，理由如下：由（2）知，；
由点C、P的坐标得，，
当点Q在点C的上方时，则，
由点C、P的坐标得，，
如图：过点Q作于点H，
∵
∴，
设，
∴，即，解得：，
∴
∴，解得：；
∴，
∴，
∴，
∴即点；
当点在点C下方时，
同理可得：，
∴点；
综上，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数表达式，化成顶点式得到顶点坐标；
（2）先求出直线AC的解析式，设点，则点，点，然后表示S1，S2，即可得到关于m的方程，求出m值即可；
（3）当点Q在点C的上方时，则，利用正切求出长，即可求解；点在点C下方时，同理可解．
（1）解：将点和代入抛物线可得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：．
（2）解：∵，
∴点，
设点，则点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的表达式为：，则点，
同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：，
如图：连接交于点E，设直线交y轴于点D，则点，
则，
同理可得：，
∴，解得：（舍去）或
∴点，
∴的面积为．
（3）解：存在，理由如下：
由（2）知，；
由点C、P的坐标得，，
当点Q在点C的上方时，则，
由点C、P的坐标得，，
如图：过点Q作于点H，
∵
∴，
设，
∴，即，解得：，
∴
∴，解得：；
∴，
∴，
∴，
∴即点；
当点在点C下方时，
同理可得：，
∴点；
综上，或．
26．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵以点为中心，将线段顺时针旋转得到线，
∴，
∴；
（2）解：的大小不发生变化，，理由如下：
如图，连接交于点，
∵以点为中心，将线段顺时针旋转得到线，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（3）解：如图，连接，过点作于，过点作于，
由（1）得，
∵，，
∴，
∵以点为中心，将线段顺时针旋转得到线，以点为中心，将线段逆时针转得到线段，
∴，，，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍去），
∵点是上一个动点（点不与重合），
∴，即，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形”等边对等角“性质以及三角形内角和定理得，由三角形外角的性质得，然后根据旋转的性质得，最后求的度数即可；
（2）连接交于点，根据旋转的性质得，，由等腰三角形”等边对等角“性质以及三角形内角和定理得，然后结合（1）中的，可证明，根据相似三角形对应边成比例得，接下来再证明，根据相似三角形对应角相等即可求出的度数；
（3）连接，过点作于，过点作于，由（1）得，根据含30°的直角三角形的性质得，由旋转的性质得，，，然后设，则，求出，根据含30°的直角三角形的性质以及等腰三角形”三线合一“性质得，，从而利用勾股定理得，进而得，接下来求出，利用勾股定理求出的值，最后再求出的取值范围，即可得的取值范围.
（1）解：由旋转的性质得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：的大小不发生变化，，理由如下：
连接交于点O，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴；
由旋转的性质得，，，
设，
∵，
∴，
如图所示，过点D作于G，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
，
∴或（舍去）；
∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合），
∴，即，
∴，
∴．
1 / 1湖南省衡阳市衡南县2025年中考第二次模拟考试数学试题
1．（2025·衡南模拟）的绝对值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，
∴的绝对值是2，
故答案为：C．
【分析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此直接得到答案.
2．（2025·衡南模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方法则逐项判断解答即可．
3．（2025·衡南模拟）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
B、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
C、平行四边形是不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误.
故答案为：B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合圆、平行四边形、等腰三角形、菱形的性质求解.
4．（2025·衡南模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴且，
解得．
故选：C．
【分析】利用二次根式被开方数为非负数，分式的分母不为零进行解题即可．
5．（2025·衡南模拟）“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1．
6．（2025·衡南模拟）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角大小为n°，
∵扇形的半径为2，弧长为，
∴，
解得：n=120，
∴扇形的圆心角大小为120°，
故答案为：D ．
【分析】设扇形的圆心角大小为n°，根据弧长公式，其中是弧长，是圆心角度数，是扇形半径，据此即可求解.
7．（2025·衡南模拟）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离，
∴，，
在中，，
故选：B．
【分析】先根据垂径定理得到长，然后利用勾股定理求出OA长解题．
8．（2025·衡南模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
【分析】根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比求出点的坐标．
9．（2025·衡南模拟）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出AD的长即可.
10．（2025·衡南模拟）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数m，均成立
④若点，在抛物线上，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，
∴，，，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴相交于点，，
∴二次函数的对称轴为直线，，，
由得：，
∵，
∴，
∴，即，故②错误；
当时，二次函数有最小值，
由图象可得，对任意实数m，，
∴对任意实数m，均成立，故③正确；
∵点，在抛物线上，且，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共个，
故答案为：B．
【分析】① 由抛物线的开口向上知，由抛物线顶点坐标的大体位置知对称轴在y左侧，即同号，由抛物线与y轴交点的位置知，所以；
② 由抛物线与x轴的交点坐标为和知，对称轴为，即或；则当时，，所以；
③ 因为抛物线开口向上，所以二次函数有最小值，即当时，最小，因此对于任意实数有，即 成立；
④ 因为抛物线的对称轴为，所以、即离对称轴距离越大函数值越大，所以．
11．（2025·衡南模拟）分解因式： = ．
【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．（2025·衡南模拟） 若，则 ．
【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.
故答案为：11.
【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
13．（2025·衡南模拟）计算： ；
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的减法计算即可．
14．（2025·衡南模拟）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．
【答案】10
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：10．
【分析】根据圆周角定理求得，再根据“正边形的边数中心角”解答即可．
15．（2025·衡南模拟）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ．
【答案】80
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点B作于N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴另一端B离地面的高度为．
故答案为：80．
【分析】过点B作BN⊥CD于N，由同一平面内，垂直同一直线的两条直线互相平行得OM∥BN，得由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AOM∽△ABN，进而根据相似三角形的对应边成比例建立方程，求解得出BN的值.
16．（2025·衡南模拟）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质得到，，结合可证明，然后根据相似三角形对应边成比例得，即．
17．（2025·衡南模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，，
∴轴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】先由矩形的性质可得，根据旋转得到，，然后得到点B'的坐标解题．
18．（2025·衡南模拟）观察下列等式：
……
则的值为 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
，
，
∴，
∴当时，有，
故答案为：．
【分析】本题考查了数字的规律的探究，先求出，，，从而得的值，进而得到规律：，然后将代入进行求解即可.
19．（2025·衡南模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；绝对值的概念与意义；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据零指数幂、绝对值的意义、特殊的三角函数值、负整数指数幂进行化简，然后进行加减运算即可.
20．（2025·衡南模拟）如图，，．
（1）求证：；
（2）若，则__________°．
【答案】（1）证明：在和中，
，
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
【分析】（1）直接利用得到两三角形全等即可；
（2）根据三角形内角和定理得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等解答即可．
（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
21．（2025·衡南模拟）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．
（1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
（2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
【答案】（1）解： 设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．
根据题意，得
，
解得
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
（2）解： 设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件．
根据题意，得，
解得．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据题意列关于x，y的二元一次方程组解题即可；
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，根据“总费用单价数量”列关于a的一元一次不等式，求出a的最大整数解即可．
（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．
根据题意，得
，
解得
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件．
根据题意，得，
解得．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
22．（2025·衡南模拟）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图，过点作交于点，
由题意可知，，
，
在中，，米，
，
米，
即的长约为8米；
（2）解：米，米，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间为秒，
即模拟装置从点下降到点的时间为秒．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）过点作交于点，利用余弦的定义求出的长即可；
（2）根据勾股定理求出长，然后根据正弦的定义求出的长，利用线段的和差得到的长，根据“时间=路程÷时间”计算解题．
（1）解：如图，过点作交于点，
由题意可知，，
，
在中，，米，
，
米，
即的长约为8米；
（2）解：米，米，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间为秒，
即模拟装置从点下降到点的时间为秒．
23．（2025·衡南模拟）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．
（1）求______，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？
（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1）解：（名，
喜欢乒乓球的人数；（名，
补全统计图：
故答案为：200；
（2）解：（名，
答：估计喜欢乒乓球运动的学生有312名；
（3）解：画树状图得：
一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用喜爱篮球的人数除以占比即可求出，然后用总数减去其它组的人数求出喜欢乒乓球的人数，补全条形统计图即可；
（2）用1200乘以最喜爱乒乓球的学生的人数占比解答即可；
（3）画出树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）解：（名，
喜欢乒乓球的人数；（名，
补全统计图：
故答案为：200；
（2）解：（名，
答：估计喜欢乒乓球运动的学生有312名；
（3）解：画树状图得：
一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
24．（2025·衡南模拟）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理、直径随队的圆周角是直角得到，即可证得到结论；
（2）连接，即可得到，然后得到AB=DC，根据正弦计算解答即可．
（1）解：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
25．（2025·衡南模拟）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．连接和，点P在抛物线上运动，连接，和．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点，连接，，记的面积为，记的面积为，若满足，求的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点和代入抛物线可得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：．
（2）解：∵，∴点，
设点，则点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的表达式为：，则点，
同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：，
如图：连接交于点E，设直线交y轴于点D，则点，
则，
同理可得：，
∴，解得：（舍去）或
∴点，
∴的面积为．
（3）解：存在，理由如下：由（2）知，；
由点C、P的坐标得，，
当点Q在点C的上方时，则，
由点C、P的坐标得，，
如图：过点Q作于点H，
∵
∴，
设，
∴，即，解得：，
∴
∴，解得：；
∴，
∴，
∴，
∴即点；
当点在点C下方时，
同理可得：，
∴点；
综上，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形—边角关系；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数表达式，化成顶点式得到顶点坐标；
（2）先求出直线AC的解析式，设点，则点，点，然后表示S1，S2，即可得到关于m的方程，求出m值即可；
（3）当点Q在点C的上方时，则，利用正切求出长，即可求解；点在点C下方时，同理可解．
（1）解：将点和代入抛物线可得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：．
（2）解：∵，
∴点，
设点，则点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的表达式为：，则点，
同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：，
如图：连接交于点E，设直线交y轴于点D，则点，
则，
同理可得：，
∴，解得：（舍去）或
∴点，
∴的面积为．
（3）解：存在，理由如下：
由（2）知，；
由点C、P的坐标得，，
当点Q在点C的上方时，则，
由点C、P的坐标得，，
如图：过点Q作于点H，
∵
∴，
设，
∴，即，解得：，
∴
∴，解得：；
∴，
∴，
∴，
∴即点；
当点在点C下方时，
同理可得：，
∴点；
综上，或．
26．（2025·衡南模拟）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
（3）如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵以点为中心，将线段顺时针旋转得到线，
∴，
∴；
（2）解：的大小不发生变化，，理由如下：
如图，连接交于点，
∵以点为中心，将线段顺时针旋转得到线，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（3）解：如图，连接，过点作于，过点作于，
由（1）得，
∵，，
∴，
∵以点为中心，将线段顺时针旋转得到线，以点为中心，将线段逆时针转得到线段，
∴，，，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：或（舍去），
∵点是上一个动点（点不与重合），
∴，即，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形”等边对等角“性质以及三角形内角和定理得，由三角形外角的性质得，然后根据旋转的性质得，最后求的度数即可；
（2）连接交于点，根据旋转的性质得，，由等腰三角形”等边对等角“性质以及三角形内角和定理得，然后结合（1）中的，可证明，根据相似三角形对应边成比例得，接下来再证明，根据相似三角形对应角相等即可求出的度数；
（3）连接，过点作于，过点作于，由（1）得，根据含30°的直角三角形的性质得，由旋转的性质得，，，然后设，则，求出，根据含30°的直角三角形的性质以及等腰三角形”三线合一“性质得，，从而利用勾股定理得，进而得，接下来求出，利用勾股定理求出的值，最后再求出的取值范围，即可得的取值范围.
（1）解：由旋转的性质得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：的大小不发生变化，，理由如下：
连接交于点O，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴；
由旋转的性质得，，，
设，
∵，
∴，
如图所示，过点D作于G，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
，
∴或（舍去）；
∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合），
∴，即，
∴，
∴．
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