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10.1.1 平方根教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十章
课题 10.1.1 平方根 课时 1课时
课标要求 《义务教育数学课程标准（2022 年版）》在初中阶段对于数与代数领域的要求中，涉及到平方根内容的要求为：了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根；了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根。这一要求旨在让学生通过对平方根概念的学习，进一步丰富对数的认识，理解数的运算的多样性，为后续学习实数、二次根式等知识奠定基础。同时，在学习过程中，注重培养学生的运算能力、抽象能力和逻辑推理能力，让学生体会数学知识之间的内在联系以及数学与生活的紧密关联。
教材分析 本节课是华师大版八年级上册第十章 “数的开方” 的起始课，是在学生已经学习了有理数、有理数的乘方等知识的基础上进行的。平方根作为一种新的运算，它是对乘方运算的逆运算的深入探究，是数的概念的又一次扩展。学好本节课内容，不仅能为接下来学习立方根、实数等知识做好铺垫，而且对于理解数学中的逆向思维、完善学生的知识体系具有重要意义。
学情分析 八年级的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对具体、生动的实例比较感兴趣，具有一定的观察、分析和归纳能力，但对于较为抽象的数学概念，理解起来可能存在一定的困难。在平方根概念的学习中，对于负数没有平方根这一抽象性质，学生可能难以理解，需要教师通过具体的数字运算和实际例子进行引导和解释。
核心素养目标 1.通过对实际问题中 “已知平方求原数” 的分析和归纳，抽象出平方根的概念，让学生体会从具体到抽象的数学思维过程，提高学生的数学抽象能力。2.在探究平方根的性质过程中，引导学生通过具体数字的计算和分析，进行合理的推理和归纳，得出正数、0、负数的平方根的情况，培养学生的逻辑推理能力。3.让学生掌握平方根的表示方法，会求一个非负数的平方根，通过练习和应用，提高学生的数学运算能力。
教学重点 1.理解平方根的概念，明确平方根与平方运算的互逆关系。2.掌握平方根的性质，即一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。通过对不同类型数字的平方根的探究，引导学生总结出平方根的性质。
教学难点 对平方根概念的理解，尤其是一个正数有两个平方根这一特性，与学生之前学习的运算结果唯一性有所不同，学生容易产生混淆。
教学准备 多媒体课件、计算器、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 创设情境，引入课题思考：要剪出一张面积为 25cm2的正方形纸片，正方形的边长应是多少？填一填：若正方形的面积如下，请把下表填写完整：通过填表，你能求出正方形的边长吗？问题实质上就是要求一个数， 这个数的平方等于25，所以正方形的边长是5cm. 学生思考教师提出的问题。学生填表。 通过填写表格，让学生直观地看到平方运算与所求数之间的关系，为抽象出平方根的概念提供具体的实例支撑。
二、探究 合作探究，活动领悟探究1：教师出示平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 在前面的问题中，因为52=25，所以5是25的一个平方根. 又因为(-5)2=25，所以-5也是25的一个平方根.这就是说，5和-5都是25的平方根.根据平方根的意义，我们可以利用平方运算来探求一个数的平方根.例1 求100的平方根.解：因为102=100，(-10)2=100，除了10和-10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和-10.也可以说，100的平方根是±10.试一试：144的平方根是什么 144的平方根是±12.想一想：正数有几个平方根？ 一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数.显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到另一个.正数 a 的正的平方根，叫作 a 的算术平方根，记作，读作“根号 a”;另一个平方根是它的相反数，即-. 因此，正数 a的平方根可以记作“±”，其中a称为被开方数.【拓展提高】1.已知一个数的平方根是±9，这个数是多少 因为92=81，(-9)2=81，所以这个数是81.2.已知一个数的算术平方根是0.7，这个数是多少 因为0.72=0.49，所以这个数是0.49.3.若a+1和2a-7是一个正数的两个平方根，求a的值。因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以a+1+2a-7=0，解得a=2.探究：0和负数的平方根 【想一想】0的平方根是什么 由于0的平方等于 0，其他任何数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个（就是0），也叫做0的算术平方根. -4有没有平方根 为什么 -4没有平方根，因为任何一个数的平方都不可能是负数.所以，负数没有平方根.【总结归纳】平方根的性质：1. 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.2. 0的平方根还是0.3. 负数没有平方根.拓展提高【想一想】若有意义，x需要满足什么条件 因为负数没有平方根，所以被开方数必须为非负数，即：x-1≥0，解得x≥1探究：什么是开平方？求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根.在例1中，我们可以先求出100的算术平方根，有，然后得知100 的平方根是 . .开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.例2将下列各数开平方：（1）49； （2） 解 ：（1） 因为72 =49， 所以因此49的平方根为探究三：用计算器求正数的算术平方根在例1、例2中，我们是通过观察，利用开平方与平方的关系来求平方根的.通常可用计算器直接求出一个正数的算术平方根(有时得到的是近似值).例3：用计算器求下列各数的算术平方根：（1）529； （2） 44.81(精确到0.01) 解 ：（1）本小题的按键顺序是 显示结果为23，所以529的算术平方根为（2）本小题的按键顺序是 显示结果为6.694027188，要求精确到0.01，所以44.81的算术平方根为 探究平方根的定义.学生完成例题。学生探究算数平方根的定义。学生总结平方根的性质。学生探究用计算器求正数的算术平方根。 通过具体数字的平方根求解，让学生亲身体验不同类型数字的平方根情况，为总结平方根的性质积累素材。学生在交流和碰撞中深入理解平方根的性质，特别是难点问题，如负数没有平方根，通过辩论可以让学生更加清晰地认识到其中的道理，培养学生的逻辑推理能力。让学生自主学习用计算器求正数的算术平方根的表示方法，培养学生的自学能力。
三、尝试 尝试练习，巩固提高1.16的平方根是( D ).A. -4 B. 4 C. 2 D. ±42. 下列各数中，有且只有一个平方根的数是( B ).A. -1 B. 0 C. 1 D. 43.“36的算术平方根是6”用式子表示为( C ).4.用计算器求 的值，按键顺序为（ D ）.A.B.C.D.5.下列运算正确的是( C )6.3a-4和12-5a是一个正数的两个平方根，则这个正数为( B )A.4 B.64 C.4或8 D.4或647.（1）填表：由上表你发现了什么规律 请用语言叙述这个规律：被开方数的小数点向左(或右)每移动两位，其算术平方根的小数点相应地向相同方向移动一位（2）根据你发现的规律填空：答案：①0.016 ②23.04 学生独立完成练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
四、提升 适时小结，兴趣延伸回顾这节课你学到了什么？本节课从实际问题入手，通过已知正方形的面积求边长，逐步抽象出平方根的概念，这体现了从具体到抽象的数学研究方法。而且，我们还发现开平方运算和乘方运算互为逆运算，这让我们明白，在数学学习中，很多新的运算都可以通过与已学运算的联系来理解和掌握，这种逆运算的思想是我们学习数学的重要方法之一。 学生在教师的引导下总结本节课的学习内容。 引导学生总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 10.1.1 平方根1.平方根2.算数平方根3.平方根的性质4.用计算器求一个正数的算术平方根 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标：1. 已知一个数的一个平方根为-6，则这个数的另一个平方根是____6___，这个数是__36___.2. 的算数平方根是（ B ）.A.±3 B.3 C.±9 D.9能力提升：3. 下列结论正确的是( B ) A. (-2)2的平方根是-2B. (-5)2的算术平方根是5C. 一个数的算术平方根一定是正数D. 算术平方根等于本身的数只有1 4. 式子 的值 （ A ）.A.当x=-4时最大B.当x=-4时最小C.当x=0时最大D.当x=0时最小拓展迁移：5.(1)已知a的平方根是±4，b的算数平方根是3，求a+b的算术平方根;解：因为a的平方根是±4，b的算数平方根是3，所以a = 16，b=9,所以a+b=16 +9 =25，25的算术平方根是5，所以a+b的算术平方根是5.(2)已知实数m的两个不同的平方根是2-3n和4n-5，求m的值.解：因为实数m的两个不同的平方根是2-3n和4n-5，所以2-3n+4n-5 =0，解得n=3，所以m =(2-3n)2 =(-7)2= 49.
教学反思 在教学过程中，通过问题情境导入，激发了学生的学习兴趣，让学生在解决实际问题中感受到数学的实用性。在概念讲解环节，注重从具体到抽象的过渡，利用实例帮助学生理解平方根和算数平方根的概念，但部分学生对其区别与联系的把握还不够精准，后续教学中需加强针对性练习。
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第十章
课标要求 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 2.了解在实数范围内，任意一个正数有两个平方根， 它们互为相反数，0 的平方根是 0， 负数没有平方根，任意一个实数有且只有一个立方根， 正数的立方根是正数， 0的立方根是0，负数的立方根是负数。3.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。 4.了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应，能用有理数估计一个无理数的大致范围。
内容分析 地位和作用：本章 “数的开方” 是在学生已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算的基础上进行的，是对有理数运算的进一步拓展。通过引入平方根、立方根等概念，将数的范围从有理数扩充到实数，为后续学习函数、方程等知识奠定基础。同时，开方运算在几何图形的边长、面积、体积计算以及物理等其他学科中也有广泛应用。 知识结构：本章内容主要包括平方根、算术平方根、立方根、无理数和实数的概念。首先，从实际问题出发引出平方根的概念，通过对平方根性质的研究，进一步得出算术平方根的概念。接着类比平方根学习立方根的相关知识。在学方根和立方根后，引入无理数的概念，最后将数的范围扩充到实数。
学情分析 八年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们对直观、具体的问题容易理解，但对于抽象的数学概念和理论，理解起来可能存在一定困难。在学习本章内容时，对于平方根、立方根等概念的理解，需要借助具体的实例和图形，帮助学生从直观感知上升到理性认识。同时，学生的自主探究能力和合作学习能力在不断发展，但在面对较为复杂的问题时，仍需要教师的引导和启发。
单元目标 （一）教学目标1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念，掌握它们的表示方法，能熟练求出某些非负数的平方根、算术平方根以及任意数的立方根。 2.了解开方与乘方互为逆运算，能运用这种互逆关系解决相关问题。 3.认识无理数和实数，知道实数与数轴上的点一一对应，会对实数进行分类。4.通过从实际问题中抽象出平方根、立方根等数学概念的过程，培养学生的数学抽象能力。5.在解决实际问题的过程中，让学生经历运用数学知识分析问题、解决问题的过程，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力。（二）教学重点、难点重点1.平方根、算术平方根、立方根的概念及求法；2.无理数和实数的概念。难点1.平方根与算术平方根概念的区别与联系；2.对无理数概念的理解；3.实数与数轴上点的一一对应关系
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数10.1 平方根认识平方根和算术平方根110.2立方根认识立方根和开立方110.3 实数知道实数的组成和会进行实数的运算1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务10.1.1 平方根1.理解平方根和算数平方根的概念，能准确说出它们的定义、表示方法及性质。2.了解开方运算与乘方运算的互逆关系，并能利用这种关系进行简单的数学运算。能够熟练运用开平方运算，求出给定数的平方根和算术平方根。任务一：讲解平方根和算数平方根的基本概念、原理、法则等知识，使学生形成初步认知。任务二：巩固练习。10.1.2立方根1.学生能够深入理解立方根的概念，熟练掌握立方根的表示方法，准确说出立方根的性质特点。2.对于给定的数，能迅速且正确地运用开立方运算求出其立方根。理解立方根与平方根在概念、性质、运算等方面的异同点，构建完整的数的开方知识体系。任务一：讲解立方根的基本概念、原理、法则，让学生形成初步认知。任务二：将立方根与平方根进行对比教学，从概念、性质、运算等多方面类比。10.2 实数1.学生能够清晰阐述实数的定义，准确说出实数的分类。2.深刻理解无理数在实数体系中的地位，熟练识别常见的无理数。1.掌握实数的概念与分类，让学生准确把握实数的范畴，清晰区分有理数和无理数。2.实数与数轴上的点一一对应的关系。任务一：讲解实数的定义、分类标准、数轴对应关系等基础知识，为学生构建知识框架。任务二：巩固练习。
《数的开方》单元教学设计
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第十章 数的开方
10.1.1 平方根
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能准确理解平方根和算数平方根的概念，掌握它们的表示方法；
01
能熟练运用平方根和算数平方根的性质进行计算，会求一个非负数的平方根和算数平方根；
02
通过对平方根概念的探究过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，培养归纳概括能力。
03
02
新知导入
思考：要剪出一张面积为 25cm2的正方形纸片，
正方形的边长应是多少？
25cm2
02
新知导入
填一填：若正方形的面积如下，请把下表填写完整：
正方形的面积/cm2 1 4 9 16 25 36
正方形的边长/cm
1
2
3
4
5
6
通过填表，你能求出正方形的边长吗？
问题实质上就是要求一个数， 这个数的平方等于25，所以正方形的边长是5cm.
03
新知探究
探究
平方根的定义
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
在前面的问题中，因为52=25，所以
5是25的一个平方根.
又因为(-5)2=25，所以-5也是25的一个平方根.
25的平方根只有一个吗 还有没有别的数的平方也等于25
这就是说，5和-5都是25的平方根.
03
新知探究
根据平方根的意义，我们可以利用平方运算来探求一个数的平方根.
解：因为102=100，(-10)2=100，
除了10和-10以外，任何数的平方都
不等于100，所以100的平方根是10和-10.
也可以说，100的平方根是±10.
求100的平方根.
例1
144的平方根是什么
144的平方根是±12.
想一想：正数有几个平方根？
知识要点
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数.显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到另一个.
正数 a 的正的平方根，叫作 a 的算术平方根，记作 ，读作“根号 a”;另一个平方根是它的相反数，即 .
因此，正数 a的平方根可以记作“ ”，其中a称为被开方数.
拓展提高
1.已知一个数的平方根是±9，这个数是多少
2.已知一个数的算术平方根是0.7，这个数是多少
因为92=81，(-9)2=81，所以这个数是81.
因为0.72=0.49，所以这个数是0.49.
3.若a+1和2a-7是一个正数的两个平方根，求a的值。
因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以a+1+2a-7=0，
解得a=2.
03
新知探究
探究
0和负数的平方根
【想一想】0的平方根是什么
由于0的平方等于 0，其他任何数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个（就是0），也叫做0的算术平方根.
记作 ，即 = 0.
03
新知探究
探究
0和负数的平方根
【想一想】-4有没有平方根 为什么
所以，负数没有平方根.
-4没有平方根，因为任何一个数的平方都不可能是负数.
03
新知探究
【总结归纳】
平方根的性质：
1. 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2. 0的平方根还是0.
3. 负数没有平方根.
拓展提高
【想一想】若 有意义，x需要满足什么条件
即：x-1≥0，解得x≥1
因为负数没有平方根，所以被开方数必须为非负数，
03
新知探究
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.
开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.
在例1中，我们可以先求出100的算术平方根，有 ，然后得知100 的平方根是 .
探究
什么是开平方？
将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根.
03
新知讲解
将下列各数开平方：
（1）49； （2）
例2
解 ：（1） 因为72 =49， 所以
因此49的平方根为
仿照小题(1)的解答过程，你能写出小题(2)的解答过程吗？
03
新知讲解
将下列各数开平方：
（1）49； （2）
例2
仿照小题(1)的解答过程，你能写出小题(2)的解答过程吗？
03
新知探究
探究
用计算器求正数的算术平方根
在例1、例2中，我们是通过观察，利用开平方与平方的关系来求平方根的.通常可用计算器直接求出一个正数的算术平方根(有时得到的是近似值).
03
新知讲解
用计算器求下列各数的算术平方根：
（1）529； （2） 44.81(精确到0.01)
例3
解 ：（1）本小题的按键顺序是
显示结果为23，所以529的算术平方根为
03
新知讲解
用计算器求下列各数的算术平方根：
（1）529； （2） 44.81(精确到0.01)
例3
显示结果为6.694027188，要求精确到0.01，所以44.81的算术平方根为
解 ：（2）本小题的按键顺序是
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.16的平方根是( ).
A. -4
B. 4
C. 2
D. ±4
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 下列各数中，有且只有一个平方根的数是( ).
A. -1
B. 0
C. 1
D. 4
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.“36的算术平方根是6”用式子表示为( ).
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.用计算器求 的值，按键顺序为（ ）.
A.
B.
C.
D.
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.下列运算正确的是( )
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.3a-4和12-5a是一个正数的两个平方根，则这个正数为( )
A.4
B.64
C.4或8
D.4或64
B
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.（1）填表：
0.0004 0.04 4 400 40 000
0.02
0.2
2
20
200
由上表你发现了什么规律 请用语言叙述这个规律：
被开方数的小数点向左(或右)每移动两位，其算术平方根的小数点相应地向相同方向移动一位
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.（1）填表：
0.0004 0.04 4 400 40 000
0.02
0.2
2
20
200
（2）根据你发现的规律填空：
0.016
23.04
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
2.一个正数 a 有两个平方根，它们互为相反数，正数 a 的正的平方根，叫作 a 的算术平方根.
3.0的平方根就是0本身；负数没有平方根.
4. 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1. 已知一个数的一个平方根为-6，则这个数的另一个平方根
是_________，这个数是_____.
6
36
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 的算数平方根是（ ）.
A.±3
B.3
C.±9
D.9
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 下列结论正确的是( )
A. (-2)2的平方根是-2
B. (-5)2的算术平方根是5
C. 一个数的算术平方根一定是正数
D. 算术平方根等于本身的数只有1
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4. 式子 的值 （ ）.
A.当x=-4时最大
B.当x=-4时最小
C.当x=0时最大
D.当x=0时最小
A
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.(1)已知a的平方根是±4，b的算数平方根是3，求a+b的算术
平方根;
解：因为a的平方根是±4，b的算数平方根是3，
所以a = 16，b=9,
所以a+b=16 +9 =25，25的算术平方根是5，
所以a+b的算术平方根是5.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.(2)已知实数m的两个不同的平方根是2-3n和4n-5，求m的值.
解：因为实数m的两个不同的平方根是2-3n和4n-5，
所以2-3n+4n-5 =0，解得n=3，
所以m =(2-3n)2 =(-7)2= 49.
Thanks!
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