辽宁省鞍山市铁东区2025届九年级下学期中考三模数学试卷(含详解)

2025年辽宁省鞍山市铁东区中考数学三模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若将辽河的标准水位记为0米，则下列水位记录最接近标准水位的是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 1米
2.如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务.其活跃用户数在上线21天后达到了3370万.将3370万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现.下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书
6.如图是某次视力检测的结果，参加测验的有10人，其中有部分数据丢失，根据目前已知数据仍旧可以确定这组数据的( )
视力
人数 1 2 4
A. 平均数，方差 B. 中位数，平均数 C. 中位数，众数 D. 方差，中位数
7.如图，已知，，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
8.《九章算术》“盈不足”中有如下记载：今有共买琎ì，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数、进价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱.问人数和琎石的价格各是多少？设人数为x，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
9.如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为( )
A. 27cm B. 50cm C. 72cm D. 80cm
10.已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式的解集是______.
12.如图，已知的边BC在x轴上，，且点，若将平移，使点B落在点A处，则点C的对应点的坐标为______.
13.“服务社会，提升自我.”宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学两男一女成立了“交通秩序维护”小分队.若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是______.
14.如图，点E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若，，则______.
15.如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF；③分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于M，N两点；④作直线MN交射线AF于点P，交CB于点G，交AB于点若，，则PG的长为______.
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.端午节到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的倍，已知用2000元购买A种礼盒的数量，比用2400元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元？
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题9分
计算：
；
18.本小题9分
某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩百分制进行整理、描述和分析，下面给出部分信息：
学生成绩的统计图如图数据分为五组：，，，，
在这一组成绩的是80、80、80、81、81、82、83、84、84、85、85、87、88、89、89、
成绩不低于90分为优秀.
根据以上信息，回答下列问题：
本次调查采用的方式是______选填“全面调查”或“抽样调查”样本容量是______；
补全频数分布直方图；
若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数.
19.本小题9分
如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱BC与地面PC垂直，米，支撑杆于点E，且，从点B观测点D的仰角为，又测得米.
求该支架的边BD的长；
求支架的边BD的顶端点D到地面PC的距离结果保留根号
20.本小题9分
每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利60元时，每天可售出50个；单价每降低2元，每天可多售出5个.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助听的利润不低于40元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元.
求y与x的函数关系式；每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器.
21.本小题9分
如图，在中，四边形ACDB是圆内接四边形，AB是的直径，，过D作交AC延长线于点E，连接
求证：DE为的切线；
若，，求的半径长.
22.本小题9分
【问题背景】
如图1，点P是线段，AB，CD的中点，求证：；
【变式迁移】
如图2，在等腰中，BD是底边AC上的高线，点E为内一点，连接ED，延长ED到点F，使，连接AF，若，请判断AF、BE、BC三边数量关系并说明理由；
【拓展应用】
如图3，在等腰中，，，点D为AB中点，点E在线段BD上点E不与点B，点D重合，连接CE，过点A作，连接FD，若，，请直接写出FD的长.
23.本小题12分
定义：若点为常数且在函数F的图象上，则点A称为这个函数F的k倍值点.例如：点是函数的2倍值点，点是函数：的倍值点.
若点B是函数的2倍值点，求点B的坐标；
已知函数有且只有一个k倍值点C，求k的值；
函数图象与函数图象交于D，E两点，函数有D，F两个k倍值点，求的面积.
答案和解析
1.B
解：，
，
上列水位记录最接近标准水位的是米，
故选：
2.A
解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的右端是一个小正方形．
故选：
3.C
解：3370万
故选：
4.D
解：，则A不符合题意，
，则B不符合题意，
，则C不符合题意，
，则D符合题意，
故选：
5.B
解：杨辉三角是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.割圆术示意图既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C.赵爽弦图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D.洛书既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：
6.C
解：根据表格数据，可得视力为和的总人数为人，
视力为所占人数最多为4，因此众数为，
从小到大排列后中间两个数是、，因此中位数为，
则与被遮盖的数据无关的是中位数和众数，
数据不全无法求平均数，也不能求方差．
故选：
7.C
解：，
，
又，
故选：
8.D
解：根据“每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱”可得：，
故选：
9.C
解：已知，，，，
，
，
解得：
，
，
故选：
10.B
解：比例函数中，，此函数图象在二、四象限，
，
点、在第四象限，
函数图象在第四象限内为增函数，
，
，
在第二象限，
，
、b、c的大小关系是，
故选：
11.
解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：
故答案为：
12.
解：将平移，使点B落在点A处，点，，
坐标的变化规律为横坐标，纵坐标，
，
点C的对应点的坐标为是，即
故答案为：
13.
解：列表如下：
男 男 女
男 男，男 男，女
男 男，男 男，女
女 女，男 女，男
共有6种等可能的结果，其中恰是一男一女的结果有4种，
恰是一男一女的概率为
故答案为：
列表可得出所有等可能的结果数以及恰是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.
解：四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
15.2
解：由作图可知GQ垂直平分线段BC，
，，
，
，
，，，
，
，，
平分，
，
，
故答案为：
16.解：设A种粽子礼盒的单价是x元，则B种粽子礼盒的单价是元，由题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：A种粽子礼盒的单价是80元，则B种粽子礼盒的单价是120元．
设A种粽子礼盒的单价是x元，则B种粽子礼盒的单价是元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
17.；

解：原式
；
原式
18.抽样调查，50；
见解析；
104名．
本次调查采用的方式是抽样调查，样本容量是：；
故答案为：抽样调查，50；
成绩在这一组的共有16名，成绩在这一组的有名，
补全频数分布直方图如下：
名，
答：估计该校七年级学生达到优秀的人数有104名．
19.解：，
是直角三角形，
在中，，
，
，
即该支架的边BD的长为10米；
根据已知可得，在中，且，
，
即，
解得：，
在矩形GFCB中，，
米．
20.y与x的函数关系式为；每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元；
这天售出了75个助听器．
解：根据题意得：，
，
当时，y有最大值，最大值为4000，
答：y与x的函数关系式为；每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元；
根据题意得：，
解得：，，
每个助听的利润不低于40元，
，
此时，
这天售出了75个助听器．
21.见解析；
的半径长为
证明：连接OD，
四边形ACDB是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
过E作于H，
，
，
，
，
过C作于G，
，
，，
设，
，
，
，
故的半径长为
22.证明：点P是线段AB，CD的中点，
，，
在与中，
，
≌，
，
；
解：，理由如下：
连接CE，如图：
是等腰三角形，BD是底边AC上的高线，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
；
解：延长FD到T，使得，连接BT，延长CE交BT于点J，如图：
为AB的中点，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，

23.或；
或；

解：点B是函数的2倍值点，
，
，
解得，
或；
函数有且只有一个k倍值点，
只有一个根，
，
解得或；
图象与函数图象交于D，E两点，
有两个不相等的实数根，
整理得：，
函数有D，F两个k倍值点，
有两个不相等的实数根，
整理得：，
与的交点为D，
，解得，
，
，，
直线EF的解析式为，
过点D作轴交直线EF于点G，
，
的面积