章末总结与复习
@考点巩固
考点1 轴对称与轴对称图形
1.学校运动场的围墙上雕刻着一幅幅精美的运动图案，下列四幅图案中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A B C D
2.如图，已知△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点P是直线MN上一点，连接PA，PA'，AA'，下列结论错误的是（ ）
A.∠B＝∠B'
B.PA＝PA'
C.BC＝AA'
D.MN垂直平分线段AA'
3.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.
（1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使点P到A，B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标.
考点2 线段的垂直平分线
4.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若∠A＝50°，∠DCB＝2∠ACD，则∠B的度数为（ ）
第4题图
A.26° B.36° C.52° D.45°
5.如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，已知BD＝2，AB＝4，则DE的长为 .
第5题图
6.如图，已知△ABC，求作：∠BAC的平分线，边AC上的中线，边BC上的高，并标上字母.（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
7.如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，且AE平分∠BAC.
（1）求∠C的度数；
（2）若CE＝1，求BE的长.
考点3 等腰三角形与等边三角形
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
第8题图
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，在BC的延长线上取点E，连接AE，若∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，则∠CEA的度数为（ ）
第9题图
A.20° B.32° C.38° D.42°
10.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，P，Q两点分别是边AC，BC上的动点，且PQ∥AD，当∠PDQ＝30°时，如果CQ＝0.5，那么AB的长为 .
11.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长.
12.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，在BD的延长线上取一点E满足AE＝AB，AF平分∠CAE交BE于点F.
（1）如图1，连接CF，求证：△ACF≌△AEF；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，线段AF，EF，BF之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明.章末总结与复习
@考点巩固
考点1 轴对称与轴对称图形
1.学校运动场的围墙上雕刻着一幅幅精美的运动图案，下列四幅图案中，可以看作轴对称图形的是（ D ）
A B C D
2.如图，已知△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点P是直线MN上一点，连接PA，PA'，AA'，下列结论错误的是（ C ）
A.∠B＝∠B'
B.PA＝PA'
C.BC＝AA'
D.MN垂直平分线段AA'
3.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.
（1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使点P到A，B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标.
解：（1）∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，
∴点A1（1，－1），B1（4，－2），C1（3，－4）.
（2）如图，△A2B2C2即为所求.
（3）如图，点P即为所求，点P的坐标为（2，0）.
考点2 线段的垂直平分线
4.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若∠A＝50°，∠DCB＝2∠ACD，则∠B的度数为（ C ）
第4题图
A.26° B.36° C.52° D.45°
5.如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，已知BD＝2，AB＝4，则DE的长为 6 .
第5题图
6.如图，已知△ABC，求作：∠BAC的平分线，边AC上的中线，边BC上的高，并标上字母.（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
解：如图，AD，BE，AF即为所求.
7.如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，且AE平分∠BAC.
（1）求∠C的度数；
解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，
∴∠BAE＝∠B＝30°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°.
∴∠BAC＝60°.
∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－60°－30°＝90°.
（2）若CE＝1，求BE的长.
解：（2）∵∠C＝90°，∠EAC＝30°，
∴AE＝2CE＝2.
∵∠B＝∠BAE，
∴BE＝AE＝2.
考点3 等腰三角形与等边三角形
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有（ A ）
第8题图
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，在BC的延长线上取点E，连接AE，若∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，则∠CEA的度数为（ C ）
第9题图
A.20° B.32° C.38° D.42°
10.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，P，Q两点分别是边AC，BC上的动点，且PQ∥AD，当∠PDQ＝30°时，如果CQ＝0.5，那么AB的长为 4 .
11.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
（1）求证：DE＝DF；
（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF.
（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长.
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°.
∵∠BED＝90°，∴∠BDE＝30°.∴BE＝BD.
∵BE＝1，∴BD＝2.∴BC＝2BD＝4.
∴△ABC的周长为3BC＝12.
@素养专练
12.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，在BD的延长线上取一点E满足AE＝AB，AF平分∠CAE交BE于点F.
（1）如图1，连接CF，求证：△ACF≌△AEF；
（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF＝∠CAF.
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AE＝AC.
在△ACF和△AEF中，
∴△ACF≌△AEF（SAS）.
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，线段AF，EF，BF之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明.
（2）解：结论：AF＋EF＝BF.证明如下：
如图2，连接CF，在FB上截取BM＝CF，连接AM.
∵AB＝AE，∴∠E＝∠ABM.
由（1）易得△ACF≌∠AEF，
∴EF＝CF，∠ACF＝∠E＝∠ABM.
在△ABM和△ACF中，
∴△ABM≌△ACF（SAS）.
∴AM＝AF，∠BAM＝∠CAF.
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴∠BAC＝60°.
∴∠MAF＝∠MAC＋∠CAF＝∠MAC＋∠BAM＝∠BAC＝60°.
∵AM＝AF，∴△AMF是等边三角形.
∴AF＝AM＝MF.
∴AF＋EF＝MF＋BM＝BF，
即AF＋EF＝BF.
