13.1 三角形的概念
@基础分点练
知识点1 三角形及其相关概念
1.如图所示的图形中，三角形共有（ ）
第1题图
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.（教材习题变式）观察图形，回答下列问题：
第2题图
（1）以线段AE为边的三角形有 ；
（2）以∠B为角的三角形有 ；
（3）△AED的三个内角分别是 .
知识点2 三角形的分类
3.三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
4.图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能
5.如图，已知AB＝AC，AD＝BD＝DE＝CE＝AE，则图中有 个等腰三角形，有 个等边三角形.
@中档提分训练
6.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 对.
7.如图，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有 个三角形.
8.如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形.
（1）以AB为一边可以画出 个三角形；
（2）以C为顶点可以画出多少个三角形？其中有几个等腰三角形？
13.2 与三角形有关的线段
13.2.1 三角形的边
@基础分点练
知识点1 三角形的三边关系
1.（教材习题变式）下列长度的三条线段首尾相接能组成三角形的是（ ）
A.1 cm，2 cm，3 cm
B.3 cm，4 cm，5 cm
C.4 cm，5 cm，10 cm
D.6 cm，9 cm，2 cm
2.如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得PA＝7 m，PB＝5 m，那么A，B之间的距离可能是（ ）
A.2 m B.9 m C.12 m D.13 m
3.[一题多变]若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A.8 cm B.13 cm
C.8 cm或13 cm D.11 cm或13 cm
[变式1]已知等腰三角形的一边长为2 cm，另一边长为4 cm，则它的周长是 .
[变式2]已知等腰三角形的周长为20，一边长为4，则这个等腰三角形的底边长为 .
4.一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 .
5.已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于18的偶数.
（1）求c边的长；
（2）判断△ABC的形状.
知识点2 三角形的稳定性
6.下列图形中具有稳定性的是（ ）
7.椅子是一种日常生活家具，下列椅子的设计中利用了“三角形稳定性”的是（ ）
A B C D
8.如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，点E，F，G，H分别是四条边的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）
A.A，C两点之间
B.G，H两点之间
C.B，F两点之间
D.E，G两点之间
9.[新情境·神舟二十号]2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟二十号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射任务取得圆满成功.运载火箭的发射架被焊接成许多小三角形结构，这样做的道理是利用 .
@中档提分训练
10.若三角形的三边长分别为3，1＋2x，8，则x的取值范围是（ ）
A.2＜x＜5 B.3＜x＜8
C.4＜x＜7 D.5＜x＜9
11.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且M＝（a＋b＋c）（a＋b－c）（a－b－c），那么（ ）
A.M＞0 B.M≥0
C.M＝0 D.M＜0
12.[应用意识]如图，图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定.如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（ ）
第12题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
13.（易错题）如图，用四条线段首尾相接连成一个可拉动的框架，其中AB＝12，BC＝14，CD＝18，DA＝24，则A，B，C，D任意两点之间的最长距离为 .
第13题图
14.[分类讨论思想]用一条长为30 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果底边长是腰长的一半，求各边长；
（2）能围成其中一条边长为7 cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两条边.
@拓展素养训练
15.[数形结合思想]已知P是△ABC内任意一点.
（1）如图1，求证：AB＋AC＞PB＋PC；
（2）如图2，连接PA，比较（AB＋BC＋AC）与PA＋PB＋PC的大小关系，并说明理由.13.1 三角形的概念
@基础分点练
知识点1 三角形及其相关概念
1.如图所示的图形中，三角形共有（ C ）
第1题图
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.（教材习题变式）观察图形，回答下列问题：
第2题图
（1）以线段AE为边的三角形有 △ABE，△ADE和△ACE ；
（2）以∠B为角的三角形有 △ABD，△ABE和△ABC ；
（3）△AED的三个内角分别是 ∠DAE，∠ADE，∠AED .
知识点2 三角形的分类
3.三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（ D ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
4.图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ D ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能
5.如图，已知AB＝AC，AD＝BD＝DE＝CE＝AE，则图中有 4 个等腰三角形，有 1 个等边三角形.
@中档提分训练
6.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 3 对.
7.如图，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有 21 个三角形.
8.如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形.
（1）以AB为一边可以画出 3 个三角形；
（2）以C为顶点可以画出多少个三角形？其中有几个等腰三角形？
解：（2）如图，以点C为顶点的三角形有△ABC，△BEC，△BCD，△ACE，△ACD，△CDE共6个，其中等腰三角形有1个.
13.2 与三角形有关的线段
13.2.1 三角形的边
@基础分点练
知识点1 三角形的三边关系
1.（教材习题变式）下列长度的三条线段首尾相接能组成三角形的是（ B ）
A.1 cm，2 cm，3 cm
B.3 cm，4 cm，5 cm
C.4 cm，5 cm，10 cm
D.6 cm，9 cm，2 cm
2.如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得PA＝7 m，PB＝5 m，那么A，B之间的距离可能是（ B ）
A.2 m B.9 m C.12 m D.13 m
3.[一题多变]若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是（ D ）
A.8 cm B.13 cm
C.8 cm或13 cm D.11 cm或13 cm
[变式1]已知等腰三角形的一边长为2 cm，另一边长为4 cm，则它的周长是 10 cm .
[变式2]已知等腰三角形的周长为20，一边长为4，则这个等腰三角形的底边长为 4 .
4.一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 4 .
5.已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于18的偶数.
（1）求c边的长；
（2）判断△ABC的形状.
解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
∴2＜c＜10.
∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴2＜c＜8，
∴c＝4或6.
（2）当c＝4或6时，△ABC的形状都是等腰三角形.
知识点2 三角形的稳定性
6.下列图形中具有稳定性的是（ C ）
7.椅子是一种日常生活家具，下列椅子的设计中利用了“三角形稳定性”的是（ A ）
A B C D
8.如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，点E，F，G，H分别是四条边的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ D ）
A.A，C两点之间
B.G，H两点之间
C.B，F两点之间
D.E，G两点之间
9.[新情境·神舟二十号]2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟二十号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射任务取得圆满成功.运载火箭的发射架被焊接成许多小三角形结构，这样做的道理是利用 三角形的稳定性 .
@中档提分训练
10.若三角形的三边长分别为3，1＋2x，8，则x的取值范围是（ A ）
A.2＜x＜5 B.3＜x＜8
C.4＜x＜7 D.5＜x＜9
11.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且M＝（a＋b＋c）（a＋b－c）（a－b－c），那么（ D ）
A.M＞0 B.M≥0
C.M＝0 D.M＜0
12.[应用意识]如图，图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定.如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（ A ）
第12题图
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
13.（易错题）如图，用四条线段首尾相接连成一个可拉动的框架，其中AB＝12，BC＝14，CD＝18，DA＝24，则A，B，C，D任意两点之间的最长距离为 32 .
第13题图
14.[分类讨论思想]用一条长为30 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果底边长是腰长的一半，求各边长；
（2）能围成其中一条边长为7 cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两条边.
解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm.
由题意，得x＋2x＋2x＝30，解得x＝6.
故2x＝12.
∴各边长为6 cm，12 cm，12 cm.
（2）能.理由如下：
①若腰长为7 cm，设底边长为y cm，
则7＋7＋y＝30，解得y＝16.
此时三边长为7 cm，7 cm，16 cm.
∵7＋7＜16，∴不能围成三角形；
②若底边长为7 cm，设腰长为z cm，
则7＋z＋z＝30，解得z＝11.5.
此时三边长为7 cm，11.5 cm，11.5 cm，能围成三角形.
∴它的另两条边长分别为11.5 cm，11.5 cm.
@拓展素养训练
15.[数形结合思想]已知P是△ABC内任意一点.
（1）如图1，求证：AB＋AC＞PB＋PC；
（1）证明：延长BP，交AC于点D.
在△ABD中，AB＋AD＞PB＋PD，
在△PCD中，PD＋DC＞PC，
所以AB＋AD＋PD＋DC＞PB＋PD＋PC，
即AB＋AC＞PB＋PC.
（2）如图2，连接PA，比较（AB＋BC＋AC）与PA＋PB＋PC的大小关系，并说明理由.
（2）解：PA＋PB＋PC＞（AB＋BC＋AC）.
理由：在△ABP中，PA＋PB＞AB.
同理，PB＋PC＞BC，PA＋PC＞AC.
以上三式分别相加，得
2（PA＋PB＋PC）＞AB＋BC＋AC，
即PA＋PB＋PC＞（AB＋BC＋AC）.
