13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和定理
@基础分点练
知识点1 三角形的内角和定理
1.如图，是一个建筑工地的三角形ABC支撑架，它的上部∠ACB被一个长方形钢架遮挡，测量得∠A＝60°，∠B＝80°，则被遮挡的∠ACB的度数为（ ）
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
2.在△ABC中，三个内角的度数比为3∶4∶9，则这个三角形一定是（ ）
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
3.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C＝ °.
知识点2 三角形内角和定理与平行线、角平分线的综合
4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为（ ）
A.35° B.40° C.45° D.50°
5.（长沙中考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且∠B＝3∠BAD，则∠B的度数为 .
7.如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，点B，C，D在同一条直线上，FD∥EC，∠D＝42°，求∠B的度数.
知识点3 三角形内角和定理的实际应用
8.如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠BCD＝130°，则∠B的度数是 .
第8题图
9.（教材例题变式）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的度数是 .
第9题图
@中档提分训练
10.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.若∠A＝72°，∠C＝58°，则∠BDE的度数为（ ）
第10题图
A.25° B.30° C.35° D.40°
11.（教材习题变式）如图，在△ABC中，点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，若∠P＝2∠A，则∠A的度数为（ ）
第11题图
A.50° B.60° C.70° D.80°
12.如图，∠FAE＝100°，线段GD分别交AF，AE于点C，B，连接GF，ED，则∠D＋∠G＋∠F＋∠E的度数为 .
13.如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°.点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G.
（1）求∠AGF的度数；
（2）求∠EAD的度数.
@拓展素养训练
14.[数学建模]问题情景：如图，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角尺PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，点P在△ABC内部.
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC＋∠ACB＝ °，∠PBC＋∠PCB＝ °，∠ABP＋∠ACP＝ °；
（2）类比探索：请猜想∠ABP＋∠ACP与∠A的数量关系，并说明理由.
13.3.1 三角形的内角 第2课时 直角三角形的两锐角互余
@基础分点练
知识点1 直角三角形的两个锐角互余
1.在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B＝（ ）
A.35° B.55° C.65° D.145°
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝10°，则∠A的度数为（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠2，∠C＝68°，则∠BAC的度数为（ ）
第3题图
A.68° B.67° C.77° D.78
4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E.若∠BAD＝34°，则∠AEB的度数为 .
第4题图
知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形
5.在△ABC中，已知∠A＝28°，∠B＝62°，则△ABC为（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上都有可能
6.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A.∠A＋∠B＝∠C
B.∠A－∠B＝∠C
C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D.∠A＝∠B＝3∠C
@中档提分训练
7.在直角三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶m∶2，则m的值是（ ）
A.1 B.2 C.1或3 D.1或2
8.（教材例题变式）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC，BD⊥AE交AE的延长线于点D.若∠1＝24°，则∠EAB＝（ ）
第8题图
A.66° B.33° C.24° D.12°
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 .
第9题图
10.（教材习题变式）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：△EPF是直角三角形.13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和定理
@基础分点练
知识点1 三角形的内角和定理
1.如图，是一个建筑工地的三角形ABC支撑架，它的上部∠ACB被一个长方形钢架遮挡，测量得∠A＝60°，∠B＝80°，则被遮挡的∠ACB的度数为（ B ）
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
2.在△ABC中，三个内角的度数比为3∶4∶9，则这个三角形一定是（ D ）
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
3.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C＝ 32 °.
知识点2 三角形内角和定理与平行线、角平分线的综合
4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝70°，∠BAD＝30°，则∠C的度数为（ D ）
A.35° B.40° C.45° D.50°
5.（长沙中考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（ C ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且∠B＝3∠BAD，则∠B的度数为 54° .
7.如图，在△ABC中，∠A＝46°，CE是∠ACB的平分线，点B，C，D在同一条直线上，FD∥EC，∠D＝42°，求∠B的度数.
解：∵FD∥EC，∠D＝42°，
∴∠BCE＝∠D＝42°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.
∵∠A＝46°，
∴∠B＝180°－84°－46°＝50°.
知识点3 三角形内角和定理的实际应用
8.如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠BCD＝130°，则∠B的度数是 40° .
第8题图
9.（教材例题变式）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的度数是 85° .
第9题图
@中档提分训练
10.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.若∠A＝72°，∠C＝58°，则∠BDE的度数为（ A ）
第10题图
A.25° B.30° C.35° D.40°
11.（教材习题变式）如图，在△ABC中，点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，若∠P＝2∠A，则∠A的度数为（ B ）
第11题图
A.50° B.60° C.70° D.80°
12.如图，∠FAE＝100°，线段GD分别交AF，AE于点C，B，连接GF，ED，则∠D＋∠G＋∠F＋∠E的度数为 280° .
13.如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝40°，∠ACB＝80°.点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G.
（1）求∠AGF的度数；
（2）求∠EAD的度数.
解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°－40°－80°＝60°.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝ ∠BAC＝30°.
∵FG⊥AE，∴∠AHG＝90°.
∴∠AGF＝180°－90°－30°＝60°.
（2）∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.
∵∠ACB＝80°，∴∠CAD＝180°－90°－80°＝10°.
∵∠CAE＝30°，
∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD＝30°－10°＝20°.
@拓展素养训练
14.[数学建模]问题情景：如图，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角尺PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，点P在△ABC内部.
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC＋∠ACB＝ 125 °，∠PBC＋∠PCB＝ 90 °，∠ABP＋∠ACP＝ 35 °；
（2）类比探索：请猜想∠ABP＋∠ACP与∠A的数量关系，并说明理由.
解：（2）∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.
理由如下：
在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A.
∵∠ABC＝∠ABP＋∠PBC，
∠ACB＝∠ACP＋∠PCB，
∴（∠ABP＋∠PBC）＋（∠ACP＋∠PCB）＝180°－∠A，
即（∠ABP＋∠ACP）＋（∠PBC＋∠PCB）＝180°－∠A.
在△PBC中，∠P＝90°，
∴∠PBC＋∠PCB＝180°－90°＝90°.
∴（∠ABP＋∠ACP）＋90°＝180°－∠A.
∴∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.
13.3.1 三角形的内角 第2课时 直角三角形的两锐角互余
@基础分点练
知识点1 直角三角形的两个锐角互余
1.在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B＝（ B ）
A.35° B.55° C.65° D.145°
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝10°，则∠A的度数为（ A ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠2，∠C＝68°，则∠BAC的度数为（ B ）
第3题图
A.68° B.67° C.77° D.78
4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E.若∠BAD＝34°，则∠AEB的度数为 62° .
第4题图
知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形
5.在△ABC中，已知∠A＝28°，∠B＝62°，则△ABC为（ C ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上都有可能
6.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ D ）
A.∠A＋∠B＝∠C
B.∠A－∠B＝∠C
C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D.∠A＝∠B＝3∠C
@中档提分训练
7.在直角三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶m∶2，则m的值是（ C ）
A.1 B.2 C.1或3 D.1或2
8.（教材例题变式）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC，BD⊥AE交AE的延长线于点D.若∠1＝24°，则∠EAB＝（ C ）
第8题图
A.66° B.33° C.24° D.12°
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 14° .
第9题图
10.（教材习题变式）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：△EPF是直角三角形.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
又EP，FP 分别平分∠BEF，∠DFE，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝（∠BEF＋∠DFE）＝×180°＝90°.
∴△EPF 是直角三角形.
