13.3.2 三角形的外角
@基础分点练
知识点1 三角形的外角
1.如图，∠1，∠2，∠3中是△ABC外角的是（ C ）
A.∠1，∠2
B.∠2，∠3
C.∠1，∠3
D.∠1，∠2，∠3
知识点2 三角形的外角的性质
2.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ B ）
第2题图
A.24° B.59° C.60° D.69°
3.如图，已知D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝64°，则∠2的度数为（ B ）
第3题图
A.37° B.64°
C.74° D.84°
4.如图，∠A＝18°，∠B＝30°，∠C＝52°.
第4题图
（1）∠1的度数为 100° ；
（2）比较∠1，∠2，∠A的大小： ∠1＞∠2＞∠A （用“＞”连接）.
5.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角.若∠ACD＝125°，则∠BAE＋∠CBF＝ 235° .
第5题图
@中档提分训练
6.一副三角尺如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（ B ）
第6题图
A.80° B.95° C.100° D.110°
7.如图，在△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后得到一个四边形，则∠1＋∠2等于（ B ）
第7题图
A.180° B.220° C.270° D.360°
8.如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，那么∠A＋∠P＝（ C ）
A.70° B.80° C.90° D.100°
9.如图，∠B＝30°，∠C＝10°，AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC.
（1）如图1，求∠E的度数；
解：∵AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC，
∴可设∠EDC＝∠EDB＝x，∠EAC＝∠EAB＝y.
（1）由题意，得
可得∠E＝（∠B＋∠C）＝20°.
（2）如图2，求∠E的度数.
解：（2）如图，延长ED交AC于点F，则∠CDE＝∠C＋∠CFD，∠CFD＝∠CAE＋∠E.
由题意，得
可得∠E＝（∠B－∠C）＝10°.
模型构建专题 三角形的高、角平分线的夹角模型
类型1 求同一顶点的角平分线与高的夹角
模型总结：如图，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠C＞∠B ∠DAE＝（∠C－∠B）.
1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD交AE延长线于点F.若∠B＝30°，∠ACB＝70°，则∠CFE＝ 20 °.
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.
（1）若∠B＝70°，∠C＝34°，求∠DAE的度数；
解：（1）在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝34°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－34°＝76°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC＝×76°＝38°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
∴∠DAC＝90°－∠C＝90°－34°＝56°.
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝56°－38°＝18°.
（2）探索∠B，∠C，∠DAE之间的数量关系（∠B＞∠C），并证明你的结论.
解：（2）∠DAE＝（∠B－∠C）.
证明：∵∠BAC＝180°－∠B－∠C，AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝（180°－∠B－∠C）＝90°－∠B－∠C.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠CAD＝90°－∠C.
∴∠DAE＝∠CAD－∠EAC＝90°－∠C－（90°－ ∠B－ ∠C）＝（∠B－∠C）.
类型2 求两内角平分线的夹角
模型总结：如图，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的n等分线（∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB） ∠O＝180°－（180°－∠A）.特别需要注意常用的：当n＝2（角平分线）时，∠O＝90°＋∠A.
3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E.若∠BED＝45°，则∠C的度数为 90° .
第3题图
4.如图，在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB的平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ACB的度数是 60° .
第4题图
5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点P.
（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BPC＝ 120° ；
（2）求证：∠BPC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）；
（2）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点P，
∴∠PBC＝∠ABC，
∠PCB＝∠ACB.
∵∠BPC＋∠PBC＋∠PCB＝180°，
∴∠BPC＝180°－（∠PBC＋∠PCB）＝180°－＝180°－（∠ABC＋∠ACB）.
（3）若∠A＝α，求∠BPC的度数.
（3）解：由（2）知，∠BPC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－（180°－∠A）＝180°－（180°－α）＝90°＋α.
类型3 求一内角平分线与一外角平分线的夹角
模型总结：如图，BO，CO，BO'，CO'分别为∠ABC，∠ACD，∠OBC，∠OCD的平分线 ∠O＝∠A，∠O'＝∠O.
6.如图，在△ABC中，A＝50°，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线，则∠M的度数为 102.5° .
7.如图1，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.
（1）若∠A1＝30°，则∠A的度数为 60° ；
（2）求证：∠A1＝∠A；
（2）证明：∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD.
∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，
∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，
∴∠A＝∠ACD－∠ABC＝2∠A1CD－2∠A1BC
＝2（∠A1CD－∠A1BC）＝2∠A1.
∴∠A1＝∠A.
（3）如图2，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2 025，若∠A＝α，则∠A2 025＝ α .
类型4 求两外角平分线的夹角
模型总结：如图，BO，CO分别为∠CBD，∠BCE的平分线 ∠O＝90°－∠A.
8.如图，在△ABC中，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，∠A＋∠I＝130°，则∠A＝（ D ）
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
9.如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE.
（1）∠BOC与∠A的关系为 ∠BOC＝90°－∠A ；
（2）请就（1）中的结论进行证明.
证明：（2）由三角形的外角的性质知，∠CBD＝∠A＋∠ACB，
∠BCE＝∠A＋∠ABC，
∴∠CBD＋∠BCE＝180°＋∠A.
∵BO，CO分别是∠CBD，∠BCE的平分线，
∴∠CBO＝∠CBD，∠BCO＝∠BCE.
∴∠CBO＋∠BCO＝（∠CBD＋∠BCE）＝90°＋∠A.
∴∠BOC＝180°－（∠CBO＋∠BCO）＝180°－＝90°－∠A.13.3.2 三角形的外角
@基础分点练
知识点1 三角形的外角
1.如图，∠1，∠2，∠3中是△ABC外角的是（ ）
A.∠1，∠2
B.∠2，∠3
C.∠1，∠3
D.∠1，∠2，∠3
知识点2 三角形的外角的性质
2.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是（ ）
第2题图
A.24° B.59° C.60° D.69°
3.如图，已知D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝64°，则∠2的度数为（ ）
第3题图
A.37° B.64°
C.74° D.84°
4.如图，∠A＝18°，∠B＝30°，∠C＝52°.
第4题图
（1）∠1的度数为 ；
（2）比较∠1，∠2，∠A的大小： （用“＞”连接）.
5.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角.若∠ACD＝125°，则∠BAE＋∠CBF＝ .
第5题图
@中档提分训练
6.一副三角尺如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
第6题图
A.80° B.95° C.100° D.110°
7.如图，在△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后得到一个四边形，则∠1＋∠2等于（ ）
第7题图
A.180° B.220° C.270° D.360°
8.如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，那么∠A＋∠P＝（ ）
A.70° B.80° C.90° D.100°
9.如图，∠B＝30°，∠C＝10°，AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC.
（1）如图1，求∠E的度数；
（2）如图2，求∠E的度数.
模型构建专题 三角形的高、角平分线的夹角模型
类型1 求同一顶点的角平分线与高的夹角
模型总结：如图，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠C＞∠B ∠DAE＝（∠C－∠B）.
1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD交AE延长线于点F.若∠B＝30°，∠ACB＝70°，则∠CFE＝ °.
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.
（1）若∠B＝70°，∠C＝34°，求∠DAE的度数；
（2）探索∠B，∠C，∠DAE之间的数量关系（∠B＞∠C），并证明你的结论.
类型2 求两内角平分线的夹角
模型总结：如图，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的n等分线（∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB） ∠O＝180°－（180°－∠A）.特别需要注意常用的：当n＝2（角平分线）时，∠O＝90°＋∠A.
3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E.若∠BED＝45°，则∠C的度数为 .
第3题图
4.如图，在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB的平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ACB的度数是 .
第4题图
5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点P.
（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BPC＝ ；
（2）求证：∠BPC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）；
（3）若∠A＝α，求∠BPC的度数.
类型3 求一内角平分线与一外角平分线的夹角
模型总结：如图，BO，CO，BO'，CO'分别为∠ABC，∠ACD，∠OBC，∠OCD的平分线 ∠O＝∠A，∠O'＝∠O.
6.如图，在△ABC中，A＝50°，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线，则∠M的度数为 .
7.如图1，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.
（1）若∠A1＝30°，则∠A的度数为 ；
（2）求证：∠A1＝∠A；
（3）如图2，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2 025，若∠A＝α，则∠A2 025＝ .
类型4 求两外角平分线的夹角
模型总结：如图，BO，CO分别为∠CBD，∠BCE的平分线 ∠O＝90°－∠A.
8.如图，在△ABC中，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，∠A＋∠I＝130°，则∠A＝（ ）
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
9.如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE.
（1）∠BOC与∠A的关系为 ；
（2）请就（1）中的结论进行证明.
