第三章 勾股定理 章末复习教案 （表格式） 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册

第三章 勾股定理 本章考点复习
教学设计
教学目标 1.理解知道勾股定理并会用几何图形验证勾股定理。 2.会利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，会判定一组数是不是勾股数。 3.会用勾股定理及其逆定理解决简单的问题.
教学重难点 重点:勾股定理及其逆定理的应用 难点:建立本章知识结构
教学策略 首先回顾本单元的基础知识，通过基础题目训练，理解个知识点之间的连系，通过构建出知识网络图，对本章内容整体把握，在此基础上解决典型例题，学生通过尝试解决问题，师生之间、生生之间的讨论交流，进一步加深对本章内容的理解，对数学思想方法的使用，对解决问题的策略把握等，提高学生的逻辑思维能力.
教学过程
教学步骤 教学活动
情境导入 我们学习了勾股定理这一章内容，大家对本章内容掌握得怎样？还存在哪些问题？哪个地方不好理解？通过这一节课的复习，希望大家的困惑都能得到解决. 【设计意图】展示本节课的主题，让学生明确学习任务，激发学生的学习的兴趣，调动学习积极性.
复习巩固 活动1　复习回顾 1.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为7，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 2．有一圆柱体如图，高4cm，底面周长6cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离为（　　）cm． A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在 Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则DC的长是 　 ． 【师生活动】学生先独立思考每个问题后在小组内交流，教师深入小组，并参与小组活动，及时了解学生做题情况，对出现的问题及时纠正，并了解学生对知识的掌握情况. 1．D解析：∵小正方形面积为7， ∴（m﹣n）2＝7， 又∵（m+n）2＝21， ∴（m+n）2﹣（m﹣n）2＝14， ∴2mn＝7． 又∵大正方形的面积4+（m﹣n）2＝m2+n2， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝21﹣7＝14． 2.C 解析：如图，把圆柱展开，连接AC，则， 由勾股定理得：AC5（cm）。 3. 解析：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°， ∴BC3，DC⊥BC， 如图，过D作DE⊥AB于点E， ∵BD平分∠ABC， ∴DC＝DE， 设DC＝DE＝x， ∵S△BCD+S△ABD＝S△ABC， ∴BC DCAB DEAC BC， 即3x5x4×3， 解得：x， 即DC的长为 ． 追问：上述各题中都运用到我们学过的勾股定理的哪个知识点？它们之间有怎样的关系？ 题(1)考查利用图形面积验证勾股定理，关键是用不同的角度研究同一个图形面积的计算方法；题(2)考查利用勾股定理解决圆柱体侧面两点间的最近距离，注意要把几何体侧面展开，即“化曲为直”；题(3)考查勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积等知识，见到角平分线条件，一般考虑角平分线的性质. 【设计意图】通过3道题都是与勾股定理有关系的题目，唤醒学生对勾股定理相关知识的回顾，并理清它们之间的关系. 活动2　整理建构 根据以上问题的解决梳理一下本单元知识点,然后与同伴交流. 【师生活动】教师深入小组参与活动,指导、倾听学生交流.通过小组代表的汇报与补充,师生共同完成本章知识结构图. 【设计意图】通过问题的解决回顾本章知识，画出本章知识结构图，提高学生观察、分析、归纳、概括、对比的能力. 活动3 典型例题 【例1】如图，△ABC内部有一点D，且∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12，AD＝4，CD＝3． （1）判断△ABC的形状； （2）求四边形ABCD的面积． 解：（1）∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3． 在△ADC中，根据勾股定理得：AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25， ∵AB＝13，BC＝12， AC2+BC2＝25+122＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， 根据勾股定理逆定理可知，△ABC是直角三角形； （2）图形ABCD的面积为： S△ABC﹣S△ACD5×123×4＝24， 则四边形ABCD面积为24． 【设计意图】通过对题目的解题过程，让学生加深对勾股定理及其逆定理是理解，正确认识它们的区别与联系，培养学生的运算能力与逻辑思维能力. 【例2】如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是 　　； （2）求该长度最短的金属丝的长； （3）如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度为m，求m2的值 ． 解：（1） A； （2）如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为12， ∴BC12＝6， ∵圆柱的高AB＝8， ∴该长度最短的金属丝的长为2AC＝220； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度m2＝（4×12）2+82＝2368 ． 【设计意图】通过解此类题让学生明确应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再根据“两点之间，线段最短”确定两点之间的最短路径，同时加深对转化思想的理解。 【即时测评】 1．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（D） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10 2．△ABC的三边分别为a、b、c，其对角分别为∠A、∠B、∠C．下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（D） A．∠B＝∠A﹣∠C B．a：b：c＝5：12：13 C．b2﹣a2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 3．如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为 　5cm 　． 4．以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，如果三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，如果S1＝4，S2＝18，则S3＝　22或14　． 5．如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是 　 8 　m．
当堂达标 （要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.） 1．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，且已知a＝5，c＝13，则b为（　C　） A．8 B．10 C．12 D．18 2．五根木棒（单位：cm）的长度分别为5，9，12，15，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（　D　） A．5，9，12 B．4，5，6 C．12，15，17 D．5，12，13 3．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 　1.6米． 4．如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是 　50cm　． 5．某小区计划对临街直角转弯处进行改造，如图所示设计一片绿化地（四边形ABCD），D点处放置一雕像，已知AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，求这片绿化地的面积． 解：连接AC， 在Rt△ABC中，AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+BC2＝AC2， ∴AC5m，在△ADC中，AC＝5m，CD＝13m，AD＝12m， ∴AC2+AD2＝169，CD2＝169， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴∠CAD＝90°， 四边形的面积＝SRt△ABC+SRt△ADC＝36（m2）， 答：这片绿化地的面积是36m2． 【设计意图】通过当堂检测掌握学生对本节课的学习效果,在学生掌握基础知识的前提下,进一步培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
课堂小结 (1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 (2)本节课还有哪些疑惑 请同学们说一说. 【设计意图】小结新课内容,及时梳理,使学生对前后的知识有所串联,让新知识与旧知识得到同化,并且内化成自身的数学体系,提高学生的数学素质.
板书设计
教学反思 本节课围绕问题和总结，巩固了勾股定理及其逆定理的知识点，结合本章重点内容,针对学生平时容易出现的错误,精心设计问题,引导学生探究、质疑、从而激发了学生的学习兴趣,提高学生分析问题的能力，明确数学来源生活并服务于生活，生活处处是数学，对学生整体把握本章知识起到很好的作用.