6.2 认识一次函数 第2课时 一次函数与正比例函数的识别 导学案（含答案） 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册

2认识一次函数
第2课时　一次函数与正比例函数的识别
【学习目标】
1.理解一次函数和正比例函数的概念.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
2.经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力.经历从实际问题中得到函数关系式这一过程,发展学生的数学应用能力.
3.在实际问题中，能说出一次函数y=kx+b中k，b的实际意义.
【复习回顾】
1、请你回顾函数的定义.
2、将下列问题中的变量能用关系式表示.
（1）圆的周长 C 随半径r的大小变化而变化
（2）一支钢笔5元钱，写出买支这样的钢笔所需的费用元这两个量间的关系 .
（3）某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x 每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，则y与x之间的关系式为 .
【新知探究】
[任务一 探究一次函数和正比例函数的概念]
活动1：在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的关系如下表所示：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
（1）随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是“均匀”的吗？
（2）写出y与x之间的表达式，并说明理由。
活动2：某辆汽车油箱原有汽油40 L,汽车每行驶50 km耗油4 L.
(1)完成下表:
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
(2)写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式吗
(3)写出油箱剩余油量z(单位：L)与汽车行驶路程x之间的表达式.
总结：如果两个变量 x、y之间的关系可以表示成 的形式，则称y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）特别地，当 时，称y是x的正比例函数.
注意：一次函数与正比例函数都具有(1) ;(2) ;
三个特征.
例1写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数 是否为正比例函数
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间 x(时)之间的关系;
(2)圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系;
(3)某水池有水15 m3,现打开进水管进水,进水速度为5 m3/h,x h后这个水池内水的体积为y m3,y与x之间的关系.
[即时测评]
1、在函数(1),(2),(3),(4)，其中是一次函数的是 ,是正比例函数的是 .
2. 写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数？是否为正比例函数
（1）汽车以60千米/时的速度行使，行使路程（千米）与行使时间（时）之间的关系；
（2）圆的面积（cm2）与它的半径（cm）之间的关系；
（3）某水池有水15，现打开进水管进水，进水速度为5/，后这个水池内有水. 与之间的关系式。
[任务二 探究一次函数表达式y=kx+b中k，b的实际意义]
活动3：根据以上例题，回答下列问题.
（1）例1中，两个一次函数的一次项系数k和常数项b分别是多少？它们的实际意义是什么？
（2）一般地、k，b对一次函数y=kx+b有怎样的影响？与同伴进行交流。
例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1s其速度减少35km/h.
（1）假设该汽车以120 km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y（单位：km/h）与刹车后所经过的时间t（单位：s）之间的表达式y=kt+b，并说明k和b的实际意义；
（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间。
[即时测评]
1.一汽车油箱里有油40L，在行驶过程中，每小时耗油2.5L，回答下列问题：
（1）在这一变化过程中，邮箱里剩下的油量和行驶的时间是　　，每小时的耗油量是　　；
（2）①设汽车行驶的时间为xh，油箱里剩下的油为QL，请用含x的式子表示Q并说明k和b的实际意义；
②这辆汽车最多能行驶多少小时？
[当堂达标]
1．下列函数中，正比例函数是（　　）
A．y=﹣8x B．y=﹣8x+1 C．y=8x2+1 D．y=﹣
2．下列各关系中，符合正比例关系的是（　　）
A．正方形的周长C和它的一边长a
B．距离s一定时，速度v和时间t
C．圆的面积S和圆的半径r
D．正方体的体积V和棱长m
3．以下函数：①y=2x2+x+1；②y=2πr；③y=；④y=（﹣1）x；⑤y=﹣（a+x）（a是常数）；⑥s=2t，是一次函数的有　　（填序号）．
4．一次函数y=（k﹣4）x+k2﹣16，当k取　　值时它为正比例函数．
5．写出下列各题之间的关系式,并判断为一次函数还是正比例函数
（1）一个矩形的长为3，宽为a，面积为S，则S与a之间的函数关系；
（2）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面高度h千米与温度t的函数关系；
（3）等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，则下列y与x的关系式；
（4）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为x m，另一边长为y m，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系。
答案
【复习回顾】
2.（1）C=2πr
（2）y=5x
（3）y=3+0.5x
[任务一 探究一次函数和正比例函数的概念]
活动1：解：（1）是“均匀”的；
（2）y=0.5x+3.0.
活动2：解：（1）
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L 0 4 8 12 16 24
（2）y=x；
（3）z=40-x.
总结：
y=kx+b(b为常数，k≠0） b=0
注意：(1)是含有两个变量的等式;(2)y,x的次数都是1;(3)k≠0.
例1解：（1）根据路程=速度×时间，得y＝60x，y是x的一次函数，也正比例函数；
（2）由圆的面积公式，得y＝πx2，y不是x的正比例函数，也不是一次函数；
（3）这个水池每小时加5 m3，xh增加水5 xm3因而y＝5x+15，y是x的一次函数，但不是正比例函数．
[即时测评]
1.（2）（3）；（3）
2.（1）y=60x，是一次函数也是正比例函数
y=πx ，不是一次函数
y=15+5x，是一次函数，不是正比例函数
[任务二 探究一次函数表达式y=kx+b中k，b的实际意义]
（1）y=0.5x+3.0的一次项系数k和常数项b分别是0.5和3.0，其中k=0.5表示每挂1kg物体，弹簧伸长的长度，b=3.0表示不挂物体时，弹簧的长度；
z=40－x的一次项系数k和常数项b分别是－和40，其中k=－表示汽车每行驶1 km耗油 L，b=40表示汽车油箱原有汽油40 L.
（2）在一次函数y=kx+b，k＞0，表示y随x的增加而均匀增加的量；k＜0，表示y随x的增加而均匀减少的量；b表示最开始的量.
[任务二 探究一次函数表达式y=kx+b中k，b的实际意义]
例2解：（1）刹车开始时汽车的速度为120 km/h，每过1s汽车的速度减少35km/h，于是经过ts汽车的速度减少了35tkm/h，所以y与t的表达式是y=-35t+120。其中，k=-35表示每秒汽车速度的变化量，b=120表示刹车开始时汽车的速度。
（2）汽车停止时的速度y=0，解方程0=-35t+120，得t＝≈3.43，因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为3.43s。
[即时测评]
解：（1）变量，常量；
（2）①根据（1）中的基本关系可得：Q＝40﹣2.5x，其中k表示每小时耗油量，b表示汽车没行驶前油箱里油量；
②当油箱里剩下的油为0时，汽车就不能行驶了，因此令Q＝0，建立方程40﹣2.5x＝0，
解得：x＝16，
即这辆汽车最多能行驶16小时．
[当堂达标]
1.A
2.A
3.②③④⑤⑥
4.﹣4
5.解:（1）S＝3a，正比例函数，也是一次函数；
（2）t＝25﹣6h，是一次函数；
（3）y＝36﹣2x，是一次函数；
（4）y＝40﹣2x ，是一次函数。