2.1 空间向量的概念及线性运算
课时目标
1.类比平面向量，理解空间向量的定义及表示方法，掌握几种特殊的空间向量.
2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.
逐点清(一) 空间向量的有关概念
[多维度理解]
1.空间向量的概念
定义 在空间中，具有______和______的量叫作空间向量
表示 向量可用小写字母表示，如a，b，c，…，也可用有向线段表示，如A，其中点A叫作向量的起点，点B叫作向量的终点
向量 的模 表示向量a的__________的长度也叫作向量a的长度或模，用|a|表示.规定模为0的向量叫作零向量
自由 向量 数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为自由向量
2.几种特殊的空间向量
相等向量 方向______且模相等的向量称为相等向量
相反向量 方向______且模相等的向量互为相反向量
共线向量或 平行向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线____________时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量)
共面向量 能平移到同一平面内的三个向量叫作共面向量
微点助解
(1)注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等，与a(a≠0)方向相同的单位向量为，方向相反的单位向量为－.
(2)零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等.
(3)在空间中仍然有：＝(AB，CD不共线) 四边形ABCD为平行四边形.
(4)若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同.
[细微点练明]
1.下列说法正确的是( )
A.任一空间向量与它的相反向量都不相等
B.不相等的两个空间向量的模必不相等
C.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
2.给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a，b满足|a|＝|b|，
则a＝b；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确命题的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.[多选]如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中( )
A.单位向量有8个
B.与相等的向量有3个
C.的相反向量有4个
D.模为的向量有4个
逐点清(二) 空间向量的加减法
[多维度理解]
空间向量的运算 三角形法则 加法 a＋b＝＋＝
平行四边形法则 加法 a＋b＝＋＝
减法 a－b＝－＝
加法运算 律 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
交换律 a＋b＝b＋a
微点助解
(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即＋＋＋…＋＝0.
(3)空间向量加、减法运算的两个技巧
巧用相反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接
巧用平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果
[细微点练明]
1.已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则－－＝( )
A. B.
C. D.
2.[多选]在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，下列各式运算的结果为向量的是( )
A.(＋)－ B.(－)－
C.(－)＋ D.(－)－
3.在正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果.
逐点清(三) 空间向量的数乘运算
[多维度理解]
定义 实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算
几何 意义 λ>0 向量λa与向量a的方向 λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ<0 向量λa与向量a的方向
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
微点助解
(1)λa＝0 λ＝0或a＝0.
(2)向量λa与向量a一定是共线向量.
(3)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，明确表示向量的有向线段，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
[细微点练明]
1.下列各式计算正确的是( )
A.a＋b－(a＋b)＝2a
B.2(a＋b)＋c＝2a＋b＋c
C.3(a－b)＋3(a＋b)＝0
D.a＋b－(b－3c)＝a＋3c
2.如图，在斜四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A.a－b－c
B.a－b＋c
C.－a＋b＋c
D.－a＋b－c
3.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，＝2，＝，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝( )
A.－ B.
C.1 D.
4.如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为△BCD的重心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各式，并在图中标出化简结果.
(1)＋－；
(2)(＋－)；
(3)＋＋.
逐点清(四) 共线向量基本定理
空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”)
[例1] 设向量e1，e2，e3不共面，已知＝e1＋e2＋e3，＝e1＋λe2＋e3，＝4e1＋8e2＋4e3，若A，C，D三点共线，则λ＝( )
A.1 B.2
C.3 D.4
听课记录：
[例2] 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在体对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线.
听课记录：
向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立.
(2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ.
[针对训练]
1.设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，求实数k的值.
2.在正方体ABCD A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，证明：A1，G，C三点共线.
空间向量的概念及线性运算
[逐点清(一)]
[多维度理解] 1.大小 方向 有向线段 2.相同 相反 平行或重合
[细微点练明]
1.选C 零向量与它的相反向量相等，A错误；任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错误；同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C正确；将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错误.
2.选D 零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错误；命题④显然正确；空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误.
3.选ABC 由题可知单位向量有，，，，，，，，共8个，故A正确；与相等的向量有，，，共3个，故B正确；向量的相反向量有，，，，共4个，故C正确；模为的向量分别为，，，，，，，，共8个，故D错误.
[逐点清(二)]
[多维度理解]
[细微点练明]
1.选B －－＝＋－＝－＝.
2.选ABC 如图所示，(＋)－＝－＝＋＝；(－)－＝－＝；(－)＋＝＋＝；(－)－＝(－)－＝＋＝.
3.解：在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，
所以＝.
同理＝，
＝，
由正六棱柱性质可知＝，
所以－＋＋＋＝－＋(＋＋)＝＋＝，所以化简结果如图所示.
[逐点清(三)]
[多维度理解] λa 相同 相反 |λ|
[细微点练明]
1.选D a＋b－(a＋b)＝0，故A不正确；2(a＋b)＋c＝2a＋2b＋c，故B不正确；3(a－b)＋3(a＋b)＝6a，故C不正确；a＋b－(b－3c)＝a＋3c，故D正确.
2.选A 依题意，＝＋＝＋＝＋(－)＝－－＝a－b－c.
3.选B 因为＝2，＝，所以＝＋＝＋＝－＋－＝－＋－＝－＋＋－＝＋－，故x＝，y＝，z＝－，故x＋y＋z＝.
4.解：(1)连接EF，∵G是△BCD的重心，∴＝.又＝，∴由向量加法的三角形法则可知，＋＋＝＋＋＝＋＝.在图中标出，如图所示.
(2)连接AH，∵F，H分别为AD，BC的中点，∴(＋－)＝(2－)＝－＝－＝.在图中标出，如图所示.
(3)＋＋＝＋(－)＋(－)＝＋(＋)＝＋＝＋＝.在图中标出，如图所示.
[逐点清(四)]
[例1] 选C 由＝e1＋e2＋e3，＝e1＋λe2＋e3，得＝＋＝2e1＋(1＋λ)e2＋2e3，因为A，C，D三点共线，所以∥，则存在唯一实数μ，使得＝μ，则解得
[例2] 证明：如图，连接EF，FB，∵＝－＝－＝(＋＋)－＝(＋＋)－＝＋－，＝－＝＋－(＋＋)＝＋－，∴＝，
∴∥，又EF∩FB＝F，
∴E，F，B三点共线.
[针对训练]
1.解：因为＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
所以＝＋＝e1＋3e2－(2e1－e2)
＝－e1＋4e2，
又A，B，D三点共线，
于是＝λ，即2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，
而e1，e2不共线，因此解得k＝－8，
所以实数k的值是－8.
2.证明：连接GB，GD，GC1，如图，则＝＋＋＝＋＋，
因为G是△BC1D的重心，
所以＋＋＝0，
又＝＋，＝＋，
＝＋，
所以3＝＋＋；
即＝(＋＋)＝，
所以∥，A1，G，C三点共线.(共74张PPT)
空间向量的概念及线性运算
(概念课—逐点理清式教学)
2.1
课时目标
1．类比平面向量，理解空间向量的定义及表示方法，掌握几种特殊的空间向量．
2．经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 空间向量的有关概念
逐点清(二) 空间向量的加减法
逐点清(三) 空间向量的数乘运算
4
逐点清(四) 共线向量基本定理
5
课时跟踪检测
逐点清(一) 空间向量的有关概念
01
多维度理解
1．空间向量的概念
大小
方向
向量的模 表示向量a的_________的长度也叫作向量a的长度或模，用|a|表示．规定模为0的向量叫作零向量
自由向量 数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为自由向量
有向线段
续表
2．几种特殊的空间向量
相等向量 方向_____且模相等的向量称为相等向量
相反向量 方向______且模相等的向量互为相反向量
共线向量或 平行向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线____________时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量)
共面向量 能平移到同一平面内的三个向量叫作共面向量
相同
相反
平行或重合
细微点练明
√
1．下列说法正确的是( )
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
解析：零向量与它的相反向量相等，A错误；
任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错误；
同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C正确；
将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错误．
√
2．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错误；
命题④显然正确；
空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．
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逐点清(二) 空间向量的加减法
02
多维度理解
(3)空间向量加、减法运算的两个技巧
巧用相反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接
巧用 平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果
细微点练明
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解：在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，
所以化简结果如图所示．
逐点清(三) 空间向量的数乘运算
03
多维度理解
定义 实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算 几何 意义 λ>0 向量λa与向量a的方向______ λa的长度是a的长度的_____倍
λ<0 向量λa与向量a的方向______ λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 相同
相反
|λ|
微点助解
(1)λa＝0 λ＝0或a＝0.
(2)向量λa与向量a一定是共线向量．
(3)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，明确表示向量的有向线段，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
细微点练明
√
1．下列各式计算正确的是( )
A．a＋b－(a＋b)＝2a
B．2(a＋b)＋c＝2a＋b＋c
C．3(a－b)＋3(a＋b)＝0
D．a＋b－(b－3c)＝a＋3c
解析：a＋b－(a＋b)＝0，故A不正确；
2(a＋b)＋c＝2a＋2b＋c，故B不正确；
3(a－b)＋3(a＋b)＝6a，故C不正确；
a＋b－(b－3c)＝a＋3c，故D正确．
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解：(1)连接EF，∵G是△BCD的重心，
(2)连接AH，∵F，H分别为AD，BC的中点，
逐点清(四) 共线向量基本定理
04
空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．通常把这个定理称为共线向量基本定理．(也称“一维向量基本定理”)
√
证明：如图，连接EF，FB，
∴E，F，B三点共线．
方法技巧
针对训练
又A，B，D三点共线，
即2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，
所以实数k的值是－8.
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，证明：A1，G，C三点共线．
因为G是△BC1D的重心，
课时跟踪检测
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空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，C错误；
由空间向量的有关概念与性质知D正确．
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2．已知空间任意两个向量a，b，则这两个向量一定是 ( )
A．共线向量 B．共面向量
C．不共线向量 D．共面但一定不共线
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因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，EF 平面DCC1D1，所以EF∥平面ABB1A1，D正确．
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解：因为M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，
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2??课时跟踪检测(二十七) 空间向量的概念及线性运算
1．[多选]下列说法正确的是( )
A．向量与的长度相等
B．在空间四边形ABCD中，与是相反向量
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
2．已知空间任意两个向量a，b，则这两个向量一定是 ( )
A．共线向量 B．共面向量
C．不共线向量 D．共面但一定不共线
3．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．[多选]下列命题是真命题的是( )
A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量
B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量
C．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上
D．向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上
5．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，化简＋－＝( )
A. B.
C. D.
6．在四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则＋(＋)＝( )
A. B.
C. D.
7．已知空间四边形ABCD，点E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与满足的关系为( )
A.＝ B.∥
C．||＝|| D．||≠||
8.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝2，则以下结论正确的是( )
A.＝＋＋
B.＝－＋－
C.＝－＋
D.＝＋－
9．在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若＝＋x＋y，且G，M，N三点共线，则x＋y＝( )
A．－ B.
C. D．－
10．[多选]在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＝＋＋，＝＋＋，则( )
A．E为棱D1C1的中点
B．F为棱CC1上更靠近C的三等分点
C．EF＝CD1
D．EF∥平面ABB1A1
11．在正方体ABCD A1B1C1D1中，－＋＝________.
12.如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，N是BC的中点，则向量＝________.(用a，b，c表示)
13.如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝3，N为BC的中点，若＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝__________.
14.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E为棱B1C1上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：
(1)的相等向量，的相反向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示.
15．如图，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？
课时跟踪检测(二十七)
1．选AD 向量与是相反向量，长度相等，A正确；在空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反，B错误；空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，C错误；由空间向量的有关概念与性质知D正确．
2．B
3．选C 如图，与向量大小相等，方向相同的向量有，，，共3个．
4．AD
5．选A ∵ABCD－A1B1C1D1为平行六面体，如图所示，∴＋－＝＋＝＋＝.
6．选C 如图，因为E为棱BC的中点，所以＋(＋)＝＋×2＝＋＝.
7．选B 由＝λ，＝λ，得＝－＝λ(－)＝λ，所以，共线，同理，由＝μ，＝μ，得＝μ，所以，共线，所以，共线，即∥.
8．选D 因为＝2，所以＝，＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－＝＋－.
9．选B 若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得＝λ＋(1－λ)＝＋＋成立，所以＝，可得λ＝，所以x＝y＝，可得x＋y＝.
10．选ABD 因为＝＋＋＝＋＋＝＋，所以－＝＝，则E为棱D1C1的中点，A正确．因为＝＋＋＝＋，所以－＝＝，则F为棱CC1上更靠近C的三等分点，B正确．因为E为棱D1C1的中点，F为棱CC1上更靠近C的三等分点，易得EF≠CD1，C错误．因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，EF 平面DCC1D1，所以EF∥平面ABB1A1，D正确．
11．解析：－＋＝＋－＝＋＝.
答案：
12．解析：由向量的减法及加法运算可得，＝－＝＋－＝＋－＝b＋c－a.
答案：b＋c－a
13．解析：因为＝3，N为BC的中点，所以＝，＝(＋)．所以＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.因为＝xa＋yb＋zc，所以x＋y＋z＝－＋＋＝.
答案：
14．解：(1)根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有，，；的相反向量有，.
(2)用“首尾规则”求解，如果只在含的三角形中考虑，有＝＋，＝＋，＝－，＝－.(答案不唯一)
(3)用“首尾规则”求解，则＝＋＋，＝＋＋＋＋.(答案不唯一)
15．解：因为M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，
所以＝＋＋＝＋＋.又＝＋＋＋＝－＋－－，所以＋＋＝－＋－－.所以＝＋2＋＝2(＋＋)＝2，即与共线．
