3.1 空间向量基本定理
课时目标
1.类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理.掌握判断空间三个向量是否构成基的方法.
2.能通过空间向量的线性运算用基表示向量.会用基证明空间位置关系及直线所成的角.
(1)如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________________.
(2){a，b，c}叫作空间向量的__________，其中a，b，c都叫作__________.
微点助解
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同.
(2)一组基是一个向量组，一组基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基.( )
(2)若对向量p可找到三个向量a，b，c，使p＝xa＋yb＋zc，则{a，b，c}可构成空间向量的一组基.( )
(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(λ1，λ2，λ3)，使0λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.( )
(4)若{a，b，c}为空间向量的一组基，则a，b，c全不是零向量.( )
2.正方体ABCD A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是( )
A.1,1,1 B.，，
C.，， D.2,2,2
题型(一) 基的判断
[例1] [多选]若{a，b，c}是空间的一组基，则下列各组能构成空间的一组基的是( )
A.{a＋b，a－b，c}
B.{a＋b，b＋c，c＋a}
C.{3a－4b,2b－3c,3a－6c}
D.{a＋b，a＋b＋c,2c}
听课记录：
判断给出的三个向量能否构成基的方法
判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面.
[针对训练]
1.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间向量的一组基的一组向量是( )
A.3a，a－b，a＋2b
B.2b，b－2a，b＋2a
C.a,2b，b－c
D.c，a＋c，a－c
题型(二) 用基表示向量
[例2] 如图，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点.用一组基{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2).
听课记录：
[方法技巧] 用基表示向量的一般步骤
定基 根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基
找目标 用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果
下结论 利用空间的一组基{a，b，c}可以表示出空间内所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量
[针对训练]
2.如图，四棱锥P OABC的底面为矩形，PO⊥平面OABC，E，F分别是PC和PB的中点.设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，，，.
题型(三) 利用空间向量基本定理解决几何问题
[例3] 如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD A1B1C1D1，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°.
(1)求证：AC1⊥DB；
(2)求异面直线BD1与AC夹角的余弦值.
听课记录：
用空间向量基本定理解决几何问题的一般思路
(1)选取恰当的基.
(2)将所求向量用基表示.
(3)将几何问题转化为向量问题：
①将距离和线段长转化为向量的模；
②将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题；
③将空间角问题转化为向量夹角问题.
[针对训练]
3.如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.证明：MN∥平面C1DE.
3.1 空间向量基本定理
课前环节
(1)xa＋yb＋zc (2)一组基 基向量
[基点训练]
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.A
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 选AB 因为a＋b，a－b，c是不共面的向量，所以能构成空间的一组基，故A正确；a＋b，b＋c，c＋a是不共面的向量，能构成空间的一组基，故B正确；因为3a－6c＝3a－4b＋2(2b－3c)，所以3a－4b,2b－3c,3a－6c是共面向量，不能构成空间的一组基，故C错误；因为a＋b＝a＋b＋c－(2c)，所以a＋b，a＋b＋c,2c是共面向量，不能构成空间的一组基，故D错误.
[针对训练]
1.选C 因为a，b，c不共面，故a,2b，b－c也不共面，能构成空间向量的一组基.其他选项皆共面.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
连接AC，AD1，
＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c.
(2)＝(＋)
＝(＋2＋)
＝a＋b＋c.
[针对训练]
2.解：如图，连接BO，
则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c，
＝＋＝－a＋＝－a＋(＋)＝－a－b＋c，
＝＋＝＋＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c，＝＝＝a.
综上，＝－a－b＋c，
＝－a－b＋c，
＝－a＋b＋c，＝a.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)证明：∵以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，
∴·＝·＝·
＝1×1×cos 60°＝，
∴·＝(＋＋)·(－)＝(＋＋)·(－)＝·－·＋2－·＋·－2＝0，∴AC1⊥DB.
(2)∵＝＋－＝＋－，＝＋＝＋，
∴||＝＝
＝＝，
||＝
＝＝＝，
·＝(＋－)·(＋)
＝2－2＋·＋·
＝1－1＋＋＝1，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴异面直线BD1与AC夹角的余弦值为.
[针对训练]
3.证明：设＝a，＝b，＝c.
因为E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点，
由题意知＝＋＋(＋)
＝－c－a＋(b＋c)＝－a＋b，
＝＋＝＋
＝a－b＝－，
所以＝－，所以∥.
所以MN∥DE.
又因为MN 平面C1DE，DE 平面C1DE，
所以MN∥平面C1DE.(共66张PPT)
3.1
空间向量基本定理
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1．类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理．掌握判断空间三个向量是否构成基的方法．
2．能通过空间向量的线性运算用基表示向量．会用基证明空间位置关系及直线所成的角．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
(1)如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝_____________.
(2){a，b，c}叫作空间向量的________，其中a，b，c都叫作_______．
xa＋yb＋zc
一组基
基向量
微点助解
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基．基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同．
(2)一组基是一个向量组，一组基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．
基点训练
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基．( )
(2)若对向量p可找到三个向量a，b，c，使p＝xa＋yb＋zc，则{a，b，c}可构成空间向量的一组基．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] [多选]若{a，b，c}是空间的一组基，则下列各组能构成空间的一组基的是( )
A．{a＋b，a－b，c}
B．{a＋b，b＋c，c＋a}
C．{3a－4b,2b－3c,3a－6c}
D．{a＋b，a＋b＋c,2c}
题型(一) 基的判断
√
√
解析：因为a＋b，a－b，c是不共面的向量，所以能构成空间的一组基，故A正确；
a＋b，b＋c，c＋a是不共面的向量，能构成空间的一组基，故B正确；
因为3a－6c＝3a－4b＋2(2b－3c)，所以3a－4b，2b－3c,3a－6c是共面向量，不能构成空间的一组基，故C错误；
判断给出的三个向量能否构成基的方法
判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．
方法技巧
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间向量的一组基的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c
解析：因为a，b，c不共面，故a,2b，b－c也不共面，能构成空间向量的一组基．其他选项皆共面．
针对训练
√
题型(二) 用基表示向量
解：(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，连接
AC，AD1，
用基表示向量的一般步骤
方法技巧
定基 根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基
找目标 用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果
下结论 利用空间的一组基{a，b，c}可以表示出空间内所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量
针对训练
解：如图，连接BO，
[例3] 如图，一个结晶体的形状为平行六面体
ABCD－A1B1C1D1，其中以顶点A为端点的三条棱长
均为1，且它们彼此的夹角都是60°.
(1)求证：AC1⊥DB；
(2)求异面直线BD1与AC夹角的余弦值．
题型(三) 利用空间向量基本定理解决几何问题
解：(1)证明：∵以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，
用空间向量基本定理解决几何问题的一般思路
(1)选取恰当的基．
(2)将所求向量用基表示．
(3)将几何问题转化为向量问题：
①将距离和线段长转化为向量的模；
②将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题；
③将空间角问题转化为向量夹角问题．
方法技巧
3.如图，直四棱柱ABCD －A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.
针对训练
因为E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点，
所以MN∥DE.
又因为MN 平面C1DE，DE 平面C1DE，
所以MN∥平面C1DE.
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6．已知{a，b，c}是空间的一组基，向量p＝3a＋b＋c，{a＋b，a－b，c}是空间的另一组基，向量p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋c，则x＋y＝________.
解析：∵p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋c，
且p＝3a＋b＋c，
∴x＋y＝3.
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10.如图，已知空间四边形ABCD各边的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长．
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，
且p，q，r三向量两两夹角均为60°.
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同理可证MN⊥CD．
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在直三棱柱ABC－A1B1C1中，易知AA1⊥AC，AA1⊥AB，
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在△ABC中，由AB＝AC＝BC，
则∠BAC＝60°，
由AA1＝AB＝AC＝1，
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15.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，
E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请
选择恰当的基向量证明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C．
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又EG，AC无公共点，
所以EG∥AC．
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所以FG∥AB′.
又FG 平面AB′C，AB′ 平面AB′C，
所以FG∥平面AB′C．
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又由(1)知EG∥AC
由EG 平面AB′C，AC 平面AB′C，
可得EG∥平面AB′C，
又FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG，
所以平面EFG∥平面AB′C．课时跟踪检测(二十九) 空间向量基本定理
A级——综合提能
1．[多选]在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间向量的一组基，则下列说法正确的是( )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
2．[多选]已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线．若{，，}与{，，}均不能构成空间的一组基，则下列结论正确的是( )
A．{，，}不能构成空间的一组基
B．{，，}不能构成空间的一组基
C．{，，}不能构成空间的一组基
D．{，，}能构成空间的一组基
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为( )
A．a－b＋2c B．a－b－2c
C．－a＋b＋c D.a－b＋c
4.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为( )
A.a B.a C.a D.a
5.已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边CB，OA的中点，点G在线段MN上，且使NG＝2GM，用向量，，正确表示向量的是( )
A.＝＋＋
B.＝＋＋
C.＝＋＋
D.＝＋＋
6．已知{a，b，c}是空间的一组基，向量p＝3a＋b＋c，{a＋b，a－b，c}是空间的另一组基，向量p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋c，则x＋y＝________.
7．在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面)，连接对应顶点．设＝a，＝b，＝c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基{a，b，c}表示向量＋的结果为________．
8．在正四面体PABC中，M是PA上的点，且PM＝2MA，N是BC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为________．
9．如图，已知ABCD A1B1C1D1是平行六面体．
(1)化简＋＋；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
10.如图，已知空间四边形ABCD各边的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长．
B级——应用创新
11.如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF＝DD1，记＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝，则等于( )
A. B.
C. D.
12．在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝( )
A. B.
C. D.
13.[多选]如图，已知AO⊥平面OBC，∠BOC＝，OA＝OB＝2，OC＝3，E为AB的中点，＝3，则以下正确的是( )
A．OF＝
B．EF＝
C．AB与OC夹角的余弦值为
D．OE与OF夹角的余弦值为
14.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的夹角为________．
15．如图，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基向量证明：
(1)EG∥AC；
(2)平面EFG∥平面AB′C.
课时跟踪检测(二十九)
1．选ACD A正确，若四点共线，则，，共面，构不成基；B错误，C正确，若四点共面，则，，共面，构不成基；D正确，若有三点共线，则这四点共面，，，构不成基．
2．选ABC 因为{，，}与{，，}均不能构成空间的一组基，且A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线，所以空间五点A，B，C，D，E共面，所以这五点A，B，C，D，E中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一组基，所以A、B、C正确，D错误．
3．选D ＝＋＝＋＝＋(－)＝a－b＋c.
4．选A 设＝i，＝j，＝k，＝＋＋＝i＋j＋(－j＋k)＝i＋j＋k，故||2＝a2＋a2＋a2＝a2，所以MN＝a.
5．选C 根据题意可得＝＋，由NG＝2GM可得＝，所以＝＋＝＋(＋)＝＋×(＋)＝×＋(＋)＝＋＋.
6．解析：∵p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋c，且p＝3a＋b＋c，∴x＋y＝3.
答案：3
7．解析：如图，＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＝b＋(a＋b)＋(a＋c)＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
8．解析：如图所示，连接PN，＝＋
＝－＋(＋)＝－＋＋，∴x＝－，y＝，z＝.
∴x＋y＋z＝.
答案：
9．解：(1)∵ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，
∴＋＋＝＋＋＝.
(2)∵＝＋＝＋＝(－)＋(＋)＝＋＋，又＝α＋β＋γ，∴α＝，β＝，γ＝.
10．解：(1)证明：设＝p，＝q，＝r.
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.
∵＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0，∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.
(2)由(1)可知＝(q＋r－p)．
∴||2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝＝×2a2＝.
∴||＝a，∴MN的长为a.
11．选B 设＝λ，因为＝＋＋＋＝－λ－＋＋＝－λ－＋＋＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝－λ.
因为x＋y＋z＝－λ＝，所以λ＝.
12.选C 如图，＝＋＋＝＋＋(－)＝＋＋，故||2＝2＝||2＋||2＋||2＋·＋·＋·，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，易知AA1⊥AC，AA1⊥AB，在△ABC中，由AB＝AC＝BC，则∠BAC＝60°，由AA1＝AB＝AC＝1，则||2＝＋1＋＋×1×1×＝，则AM＝.
13．选ABC 因为AO⊥平面OBC，OB，OC 平面OBC，所以OA⊥OB，OA⊥OC，所以·＝0，·＝0，·＝||·||cos＝－3，在△OAC中，＝＋＝＋(－)＝＋，所以||＝
＝
＝＝，
所以A正确；在△OEF中，＝－＝＋－(＋)
＝－＋ ，
||＝＝
＝＝，所以B正确；
因为＝－，·＝(－)·＝·－·＝－3，||＝＝2，cos〈，〉＝＝＝－，所以AB与OC夹角的余弦值为，所以C正确；由以上知OF＝，EF＝，且OE＝AB＝，在△OEF中，由余弦定理得cos∠EOF＝＝，所以D错误．
14．解析：＝＋，＝－＝＋－－－＝＋－－－＝－－，故·＝·＝2－·－·＋·－2－·＝×4－×8＝0，
即⊥，则AM与PM的夹角为90°.
答案：90°
15．证明：取基{，，}．
(1)因为＝＋＝＋，
＝＋＝2，所以∥，
又EG，AC无公共点，所以EG∥AC.
(2)因为＝＋＝＋，＝＋＝2，
所以∥，又FG，AB′无公共点，
所以FG∥AB′.
又FG 平面AB′C，AB′ 平面AB′C，
所以FG∥平面AB′C.
又由(1)知EG∥AC，由EG 平面AB′C，AC 平面AB′C，可得EG∥平面AB′C，
又FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG，
所以平面EFG∥平面AB′C.
